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三年级奥数教程第13讲 数阵图

例1、 把1～6这六个数字分别填入图13一l的六个圈内，使得每个正方形顶点上的数的
和都为13．
分析从1到6这六个数的和是21．而两个正方形8个顶点上的数之和是26(＝13×2)，
比六个数的总和大5．这是因为中间两个圈内的数，都被算了两次，所以，多出来的5就是
中间 两个圈内的数的和．
解 在1到6六个数中，两个数的和为5，只可能是1+4、2+3．当 中间两个圈内填1
与4时，剩下的四个数，3与5、2与6配对即可以满足条件．当中间两个圈内填2与 3
时，剩下的四个数无法组成和相等的两对，因而无法满足条件．所以，得到如图13—2的
填 法．

随堂练习1 将3、4、6这三个数填入图13—3的三个圆圈内，使得每条边上的三个数的
和等于11．

例2、将2到7这六个数，填入图13—4的圈中，使得每条线上的三个数的和相等．
分析与解将三条线上的三个数都相加，中间的1被加了3次，所以三条线上三个数的
和为
1+2+„+6+7+1+1＝30．
从而每条线上的和是10(＝30÷3)，即每条线上剩余两个圆圈内数的和是
9(＝10—1)．
由 2+7＝4+5＝3+6＝9．
可以得到如图13—5的解．
随堂练习2 将1到7这七个数填入图13—6，使得每条线上的三个数的和相等．

例3、将1到9这九个数填入图13—7，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等．

分析与解 先来确定中心的数．设这个数为a，则4条线上12个数(中心的数出现4次，< br>其余的数各出现一次)的和
1+2+„+9+a+a+a
是4的倍数，即45+3×a是4的倍数．所以a只可能是1、5、9．
(1)当a＝1时，2与9、4与7、8与3、5与6两两搭配填入同一条线的两个圈内即可．
(2)当a＝5时，l与9、2与8、3与7、4与6搭配．
(3)当a＝9时，1与8、2与7、3与6、4与5搭配．
这样得到如图13—8所示的三个解．

随堂练习3 将1～8填入图13—9，使两个正方形顶点上的数的和相等，并且用斜线连接
的4对数的和也都相等．


例4、将1到5这五个数填入图13-10，使得圆周上四个数的和与每条直线 上的三个数的
和都相等．
分析与解 设处于中心圈内的数是a，因为竖线上的三个 数的和等于圆周上的四个数的
和，所以a等于它左、右两个数的和．同理，a等于它上、下两个数的和． 从而a是最大的
数5．其余四个数，2与3搭配，1与4搭配，写在同一条线上．得到的解如图13—1 1所
示．
随堂练习4 在图13一12中圆圈内填上7、8、10、12，使得每个圆内的四个数的和相
等．

例5、将1～6这六个数填入图13～13的六个圆圈内，使得每条边上的三个数的和相等．
分析与解用字母a、b、c表示三个顶点上的数．如果l、6都在边上，那么a、b、c中
有两个数的差 是5(＝6—1)．这不可能．所以可设以a＝1或6．如
果a＝1，那么由
2+6＝3+5．
3+6＝4+5．
可得图13—14的(1)，(2)．如果a＝6，同样可得图13—14的 (3)，(4)．

随堂练习5 将l到16填入图13—15，使得每条线段 上四个数的和相等，两个八边形八
个顶点上的数的和也相等．


例6、 将1～16填入图13—16的正方形，使每行、每列、每条对角线的和都相等．

































图13—16
分析与解 本题也就是造一个四阶幻方．
四阶幻方的造法很多，解也不惟一．下面介绍一种最简的做法，可以称为调整法．
先将1～16依照次序先左后右，先上后下逐一填入图13—17(1)中得


1

5

2

6

3

7

4

8





1

9

14

15

4

6

7



1

15

14

4

7

9

12



12

6

9

10

11

12



5

10

11

8

3



8

10

11

5

2

16

13

14

15

16



13

2

16



13

3

⑴ ⑵
⑶
图13—17
四阶幻方中每行和、每列和、每条对角线的和都是 (1+2+„+16)÷4＝(1+16)×16
÷2÷4＝34．
现在图13—17(1)的两条对角线的和都已经是34，合乎要求．所以对角线上的数不要
再动．
先来调整行．将第一行的2、3分别与第四行的14、15对调，第二行的5、8分别与第三行的9、12对调，得图13—17(2)，这个图中，不但每条对角线的和是34，每一行的
和 也都是34．
再调整列．将图13—17(2)第一列的9、5分别与第四列的12、8对调 ，第二列的14、
2分别与15、3对调，得图13—17(3)，这个图就是一个合乎要求的幻方．
随堂练习6 比较例6所得的幻方与随堂练习5的答案．有何联系?

读一读„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„
可能与必然
上节末，说到一个游戏“数独”．
数独怎么填呢?
比如先看第一行，在上 节末的图中，有6个空格，应填1、2、4、7、8、9这6个数字．每
个空格填的数有6种可能，难以 确定．
如果看第二列，只有2个空格，应填2、7，每个空格有2种可能，但还不能惟一确定．
可能 性太多，需要逐个枚举讨论，比较麻烦．所以应先考虑可能较小的方格．最好能发
现一些方格，只有一种 填法，也就是说这些方格填什么数是必然的．将这些方格先填好，对
填其他方格会有帮助．
同时考虑几个方面的要求，可以得到必然的填法．
比如中间的3×3的正方形，只有3个空格 ，应填2、6、8．再结合第四行已经有8，
第六行也已经有8，所以8必须填在中央．接下去，因为第 四行已经有6，所以6必须填在
第六行，2填在第四行．
现在再看第四行，只剩2个 空格，应填9与3．第九列有9，所以第四行的9只能(必然)
在第三列，3在第九列．
同样，右中3×3的正方形中，9必然在第六行．第六行第一列必填2．左中3×3的正
方形中，5必在 第一列，7在第三列．第八列3必填在第九行，9必填在第二行．右上3×
3的正方形中，7必填在第七 列．右下3×3的正方形中，5必在第八行第七列，2必在第
八行，1在第九列第七行，6在第七行第七 列．右中3×3的正方形中，6在第九列，2在

第七列．左下3×3的正方形中，2、3 、8、6的填法都是必然的．左上3×3的正方形中，
按行
依次填2、1、4、7、6．右上 3×3的正方形中，填4、8．中上3×3的正方形中填8、9、
6、2、7、4．中下3×3的正方形 中填9、3、6、4、1、7．填法都是必然的。
当然，上面填数的顺序可以变更．但应尽量先填只有 一种可能的方格，而不要先填那
些难以确定的方格．

练习题
1、如果图中每行、每列、每条对角线的和都相等，那么a、b、c、d有什么关系?

2、将1到8这八个数填入下图，使得每条线上的三个数的和相等．

3、将1到9这九个数填入下图，使得每条边上的四个数的和相等．


4、将6到10这五个数填入下图，使得每条边上的三个数的和相等．

5、将5到12填入下图，使得每条边上的四个数的和相等．

6、将2到11填入下图，使得每条线段上的三个数之和相等．

7、将1到10填入下图，使得每条线上的四个数的和相等．

8、将1到10填 入下图，使每条线段上的四个数的和相等，每个三角形三个顶点上的数的
和也相等．(三角形顶点上的数 不必与线段上的数的和相等)

9、将1到8填入圈内，使得每个圆上的五个数的和相等．

10、将l到8填入圈内，使每一圆周上的四个数、每条线上的四个数的和相等．