重庆高考志愿填报-合作合同

第19讲 重叠问题

一、知识要点
三（1）班准备给参加班 级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同
学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品 发下去时，却多出5份，这
是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛， 所
以奖品就多出了5份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学 中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个
计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的 和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图
示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，
从而找出解答方法。
二、精讲精练
【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？
【思路导航】根据题意，画出下图： < br>从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起
是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一 次，所以这行
彩旗共有8＋10－1=17面。
练习1：
1.小朋友排队做操，小 明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队
小朋友共有多少人？


2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21
个。这一行座位有多少 个？


3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个 。
这一排共有多少个同学？

【例题2】同学们排队做操 ，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4
个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是 第6个。做操的同学共
有多少个？
【思路导航】根据题意，画出下图：






由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明 横行有4＋3－
1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做< br>操的同学共有：6×10=60人。
练习2：
1.同学们排队跳舞，每行、每列人数 同样多。小红的位置无论从前数从后数，
从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？


2.为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？


3.三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前
数是第6个，从后数是第5 个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学
生多少人？


【例题 3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这
块钉在一起的木板长120厘米，中 间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少
厘米？
【思路导航】把等长的两块木板的一端钉 起来，钉在一起的长度就是重叠部
分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120
＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。

练习3：
1.把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条
长30厘米，中间重叠部 分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？


2.把两块一样长的木板钉在一起， 钉成一块长35厘米的木板。中间重合部
分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？


3.两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长66厘米，其中一
根木棍长48厘米 ，中间重叠部分长12厘米。另一根木棍长多少厘米？


【例题4】一次数学测试 ，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做
对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。问 两道聪明题都做对的有几人？
【思路导航】根据题意，画出下图：
图中间重叠部分表示两道 题都做对的人数，把做第一道题和做对第
二道题的人数加起来得21＋18=39人，这39人比全班总 人数36多出了
39－36=3人，这多出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第
二 道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。
练习4：
1.三（1）班有学生55人， 每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参
加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。两项比赛都参 加的
有几人？


2.两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长13 0
厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？


3.三（5）班有42名同 学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，
两种棋都不会的有10名。两种棋都会下的有多少 名？

【例题5】三（1）班订《数学报》的有32人，订《阅读 报》的有30人，
两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？
【思路导航】根据题意，画出下图：


从上图可以看出，中间重叠部分表 示两份报纸都订的
10人，这10人既被包括在订《数学报》的32人内，又被包括在订《阅读报》的30人内，重复算了一次，所以要算出全班人数，必须从32＋30=62人中去掉
被重复算过的 10人。所以全班人数应是62－10=52人。
练习5：
1.三（4）班做完语文作业的 有37人，做完数学作业的有42人，两种作业
都完成的有31人，每人至少完成一种作业。三（4）班 共有学生多少人？


2.两块木板各长90厘米，像下图这样钉成一块木板，中间 重合部分是15
厘米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？


3.三年级 有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，
每人至少带一种。三年级既带矿泉 水又带水果的小朋友有多少人？