小学三年级奥数 巧数图形 知识点与习题
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第11讲 巧数图形
数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。由于图形千变万
化，错综复杂，
所以要想准确地数出其中包含的某种图形的个数，还真需要动点脑筋。要想有条
理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。
例1数出下图中共有多少条线段。
分析与解：我们可以按照线段的左端点的位置分
为A，B，C三类。如下图所示，
以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端
点的线段
有1条。所以共有3＋2＋1＝6(条)。
我们也可以按照一条线段
是由几条小线段构成的来分类。如下图所示，AB，
BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线
段有3条，由两条小线段构成
的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条。
所以，共有3＋2＋1＝6(条)。
由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学
，所分的类型
要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。
例2
下列各图形中，三角形的个数各是多少？
分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个
三角形(以顶点及这条线段的
两个端点为顶点的三角形)，所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段
的条
数就是三角形的总个数。由前面数线段的方法知，
图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。
图(2)中有三角形1＋2＋3=6(个)。
图(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(个)。
图(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。
图(5)中有三角形
1＋2＋3＋4＋5＋6=21(个)。
例3下列图形中各有多少个三角形？
分析与解：(1)只需分别求出以AB，ED为底边的三角形中各有多少个三角形。
以AB为底边的三角形ABC中，有三角形
1＋2＋3＝6(个)。
以ED为底边的三角形CDE中，有三角形
1＋2＋3＝6(个)。
所以共有三角形6＋6=12(个)。
这是以底边为标准来分类计算的方法。它的好处是可以借助
“求底边线段数”
而得出三角形的个数。我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有
6个小块。
由1个小块组成的三角形有3个；
由2个小块组成的三角形有5个；
由3个小块组成的三角形有1个；
由4个小块组成的三角形有2个；
由6个小块组成的三角形有1个。
所以，共有三角形
3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。
(2)如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以
“小块个数”为
分类标准来计算：
由1个小块组成的三角形有4个；
由2个小块组成的三角形有6个；
由3个小块组成的三角形有2个；
由4个小块组成的三角形有2个；
由6个小块组成的三角形有1个。
所以，共有三角形
4＋6＋2＋2＋1＝15(个)。
例4右图中有多少个三角形？
解：假设每一个最小三角
形的边长为1。按边的长度来分
类计算三角形的个数。
边长为1的三角形，从上到下一层一层地数，有
1＋3＋5＋7=16(个)；
边长为2的三角形(注意，有一个尖朝下的三角形)有1＋2＋3＋1=7(个)；
边长为3的三角形有1＋2＝3(个)；
边长为4的三角形有1个。
所以，共有三角形
16＋7＋3＋1＝27(个)。
例5数出下页左上图中锐角的个数。
分析与解：在图中加一条虚线，如下页右上图。容
易发现，所要数的每个角都
对应一个三角形(这个角与它所截的虚线段构成
的三角形)，这就回到例2，从而回到例1的问题，即所
求锐角的个数，就等于
从O点引出的6条射线将虚线截得的线段的条数。虚线上线段的条数有
1+2+3+4+5=15(条)。
所以图中共有15个锐角。
例6在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个？
解：按包含的小块分类计数。
包含1小块的有1个；包含2小块的有4个；
包含3小块的有4个；包含4小块的有7个；
包含5小块的有2个；包含6小块的有6个；
包含8小块的有4个；包含9小块的有3个；
包含10小块的有2个；包含12小块的有4个；
包含15小块的有2个。
所以共有
1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(个)。
练习11
1.下列图形中各有多少条线段？
2.下列图形中各有多少个三角形？
3.下列图形中，各有多少个小于180°的角？
4.下列图形中各有多少个三角形？
5.下列图形中各有多少个长方形？
6.下列图形中，包含“*”号的三角形或长方形各有多少？
7.下列图形中，不含“*”号的三角形或长方形各有几个？
答案与提示
练习11
1.(1)28；(2)210。2.(1)36；(2)8。
3.(1)10；(2)15。
4.(1)9个；(2)16个；(3)21个。
5.(1)60个；(2)66个。
6.(1)12个；(2)32个。
7.(1)21个；(2)62个。
提示：4～7题均采用按所含小块的个数分类(见下表)，表中空缺的为0。