关于中秋节的名言-大话西游小品剧本

盈 亏 问 题
（第一讲）


盈亏问题的特点是问题 中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，
称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实 际问题，是把一定数量的物品平
均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如 果每人多
分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”。盈
亏 问题是一类古老的问题。它讨论的是：在分配物品时，人数一定，在两种分配方
案中，第一种分配有余（ 盈），第二种分配不足（亏）；或者两种都不足，或者两
种都有余。解答的关键是要求出总差额和两次分 配的数量差，然后利用基本公式求
出分配者人数，进而求出物品的数量。盈亏问题的基本关系式：盈亏总 额÷两次分
配数之差＝份数。
一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：(盈

亏)

两次每人分配数的差

分的人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出。每次分的数量×份数＋盈=总数量
每次分的数量×份数－亏=总数量
※小朋友分桃子，每人8个多7个，每人10个少9个。有（ ）个小朋友，
有（ ）个桃子。
※智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4个就多9个，如果
每 人分5个则少6个，问：有（ ）位同学，有（ ）个糖果。
※一堆糖果有十几颗，每人分4块多2块，每人分5块少1块，想一想，有（ ）
块糖果，有（ ）个人。
※秋天到了，小白兔收了一些萝卜，它按照计划吃的天数算一 下，如果每天吃4
个，则多出8个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜，那么小白兔收回有（ ）
个萝卜，计划吃（ ）天。
※一个植树小组植树。如果每人栽5棵，还剩14棵；如 果每人栽7棵，就缺4
棵。这个植树小组（ ）人，一共有（ ）棵树。
※三 年级一班少先队员参加学校搬砖劳动，如果每人搬4块，还剩7块；如果每
人搬5块，则少2块，参加劳 动的少先队员有（ ）个，要搬的砖共有（ ）
块。
※幼儿园把一些积木分给 小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分
3个，则差40个。幼儿园有（ ）个小朋友，一共有（ ）个积木。
※一袋巧克力，每人分4块，还剩2块，每人分6块，少4块，这袋巧克力有
（ ）块，有（ ）个人。
※幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具，则多出2个玩具；如果每班 分10
个玩具，则少12个玩具。幼儿园有（ ）个班，玩具有（ ）个。
※ 山上有群猴，摘了一篮桃。1只吃1个，刚好剩1个，1只吃两个，有1只没
吃着。你来猜一猜，猴（ ）只来桃（ ）个。

※小朋友分糖果，若每人分4颗则多9颗，若每人分5颗，则少6颗，有（ ）
个小朋友，有（ ）颗糖。
※猪妈妈带着孩子们去野餐，如果每张餐布周围坐4只 小猪就有6只小猪没地方
坐；如果每张餐布周围多坐1只小猪就会余出4个空位置，一共有（ ）只小猪，
猪妈妈一共带了（ ）张餐布。
※王老师到新华书店去买书，若买5本则多5元钱；若买7本则少3元钱，这本
书的单价是（ ）元，王老师共带了（ ）元钱。
盈 亏 问 题
（第二讲）


盈亏问题的基本关系式：盈亏总额÷两次分配数之差＝份数。(盈

亏)< br>
两次
分得之差

分的人数或单位数
两次都有余（盈）可用 公式：(大盈

小盈)

两次每人分配数的差

分的人数或
单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出。每次分的数量×份数＋盈=总数量
※小朋友分糖果，如果每人分5颗，那么还余12颗；如果每人分8颗，还余3
颗。有（ ）个小朋友，有（ ）颗糖。
※小明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元钱，就多 出8元钱；如果
每人出7元，就多出了4元。那么有（ ）个同学去买蛋糕，这个蛋糕的价钱是
（ ）元。
※学校体育室有一些羽毛球，如果 每盒装7个，则多出14个；如果每盒装9个，
则多出4个。有（ ）个盒子，有（ ）个羽毛球。
※老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个
桃则多出2个桃，那么一共有（ ）只小猴子，老猴子一共有（ ）个桃子。
※有一 批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本；如果每人7本，则多10
本，那么这个班有（ ）位学生，有（ ）本练习本。
※老师把一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分5本，则 多了14本；如果
每人分7本，则多了2本，优秀少先队员有（ ）人，老师买来（ ）本练
习本。
※一些少先队员到山上去种一批树。如果每人种6棵，还有24棵没种；如果每
人种9棵，还有6棵没有种。有（ ）名少先队员，有（ ）棵树。
※王 老师给美术兴趣小组的同学分若干支彩色笔。如果每人分5支则多12支；
如果每人分8支还多3支。有 （ ）支彩笔，有（ ）人。
※几只小白兔分一堆萝卜，每只分5个则多12个，每只分7个则多2个，有
（ ）只小白兔，有（ ）个萝卜。
※老猴子找到一挂香蕉，想把它分给自己喜欢的小猴子们，如果 第只小猴分3
根，则剩下10根；如果每只小猴分6根，还剩下1根，一共有（ ）只小猴，这
挂香蕉有（ ）根。
盈 亏 问 题
（第三讲）

两次都不够（亏），可用公式：(大亏

小亏)

两次每人分配数的差

分的人数
或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出。 每次分的数量×份数－亏=总数量
※学校将一批铅笔 奖给三好学生。如果每人奖7支，则缺7支；如果每人奖9
支，则缺25支。三好学生有（ ）人，铅笔有（ ）支。
※将一批本子发给学生，每人发10本，差28本；若每人发8本，则仍差8本，
有（ ）个学生，有（ ）个本子。
※将月季花插入一些花瓶中，如果每瓶改为插6朵，则缺少1朵 ；如果每瓶插8
朵，则缺少15朵。花瓶有（ ）只，月季花有（ ）朵。
※美 术小组的同学分发图画纸。如果每人发3张，则少2张；如果每人发5张，
则少12张。美术小组有（ ）名同学，一共有（ ）张图画纸。
※幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每个人发9块就少2 4块，如果每个人发6块
就少12块，幼儿园有（ ）个小朋友，有（ ）块糖。
※把一些苹果分给客人，如果每人8个缺少16个；如果每人6个缺少8个。有
（ ）位客人，有（ ）个苹果。
※学校派一些学生去搬一批树苗，如果每人搬6棵，则差4棵； 如果每人搬8
棵，则差18棵，学生有（ ）人，这批树苗有（ ）棵。
※王老师有铅笔若干支，奖给三好学生，若每人奖9支缺少15支；若每人奖7
支则缺少7支。三好学生 有（ ）人，铅笔有（ ）支。
※几只猴子分桃子，每只猴子分10个则差6个；每只猴子分12个则差14个。
有（ ）只猴子，有（ ）个桃子。
盈 亏 问 题
（第四讲）


盈亏问题的基本关系式：盈亏总额÷两次分配数之差＝份数。(盈

亏)
< br>两次
分得之差

分的人数或单位数
一次分得有余（盈）或差（亏），一次分得正好，可用公式：
（盈的数）或（亏的数）÷两次每人分配数的差

分的人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出。每次分的数量×份数＋盈=总数量
每次分的数量×份数－亏=总数量
※杨老师将一叠练习本分给同学。如果每人分7本还多7本 ；如果每人分8本则
正好分完。算一算有（ ）个学生，这叠练习本一共有（ ）本。
※猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼；每只小猫分11条鱼
则正好分完， 那么一共有（ ）只小猫，一共有（ ）条鱼。
※学而思学校三年级基础班的一部分同学 分小玩具，如果每人分4个就少9个；
如果每人分3个正好分完，有（ ）位同学，有（ ）个玩具。
※学而思学校买来一批足球分给各班：如果每班分4个，就差16个；如果每班
分 2个，则正好分完，学而思小学一共有（ ）个班，买来（ ）个足球。
※一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每个分5粒正好分
完。有（ ）位学生，共有（ ）粒糖果。

※老师将一些练习本发给班上的学生。如果每人 发10本，则有两个学生没分
到；如果每人发8本，则正好发完。有（ ）个学生；有（ ）本练习本。
盈 亏 问 题
（第五讲）


盈亏问题的基 本关系式：盈亏总额÷两次分配数之差＝份数。(盈

亏)

两次
分 得之差

分的人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出。每次分的数量×份数＋盈=总数量
每次分的数量×份数－亏=总数量
※学校为新生分配宿舍，每个房间住 3人，则多出13人；每个房间住5人，则
空出3个房间，宿舍有（ ）间，新生有（ ）人。
※某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，
则多出 4个床位，问宿舍（ ）间，住宿生有（ ）人。
※学校给一批新入学的学生分配宿舍 。如果每个房间住6人，则4人没有位
置；如果每个房间住8人，则空出1个房间。学生宿舍有（ ）间，住宿学生有
（ ）人。
※某校有若干个学生寄宿学校，若每一间宿舍住4人， 则多出4人；若每间宿
舍住7人，则多出2间宿舍。宿舍有（ ）间，寄宿学生有（ ）人。
※学校分配学生宿舍。如果每个房间住6人，则少2间宿舍；如果每个房间住9
人，则 空出1个房间。学生宿舍有（ ）间，住宿学生有（ ）人。
※某校安排宿舍，如果 每间6人，则6人没有床位；如果每间8人，则多出10
个床位。问宿舍有（ ）间，学生有（ ）人。
※育才小学学生乘汽车去春游。如果每车坐10人，则有5人不能乘车；如果每
车多坐 5人，恰好多余了一辆车。一共有( )辆汽车,有( )学生。
※实验小学 学生乘车去春游，如果每辆车从30人，则有15人上不了车；如果
每辆车多坐5人，恰好多出一辆车， 一共有（ ）辆车，有（ ）个学生。
※实验小学学生坐汽车去春游，如果每车坐6人 ，则多1人；如果每车做8人，
则少5人。问一共有（ ）辆车，有（ ）学生。 < br>※三（1）班学生去公园划船，如果每条船坐4人，则少1条船；如果每条船坐
6人，则多出4条 船，公园有（ ）条船，三（1）班有（ ）学生。
※学校规定上午8时到校，小强 由家到学校，如果每分钟走30米，上课就要迟到
3分钟；如果每分钟走40米，就可以比上课时间提前 2分钟到校。小强（ ）时（ ）
离家刚好8时到校，小强家到学校的路程是（ ）米。
※学校规定上午8时到校，东东从家去学校，如果每分钟走50米，结果比上课
提前4分 钟到校；如果每分钟走40米，则要迟到2分钟，那么东东（ ）时（ ）
离家刚好8时到校，东东家到学校的路程是（ ）米。
※学校规定上午8时 到校，王老师由家到学校，如果每分钟骑车500米，上课就
要迟到1分钟；如果每分钟骑车600米， 就可以比课时间提前1分钟到校。王老师
（ ）时（ ）离家刚好8时到校，王老师家到学校的路是（ ）米。

※学校规定上午8时 到校，小明去上学，如果每分钟走60米，可提前10分钟
到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到 校，小明（ ）时（ ）离家刚好8
时到校，由家到学校的路程是（ ）米。
还 原 问 题（
第一讲
）



“一个数加上3，乘 以3，再减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几
呢？”像这样已知一个数的变化过程和最后的结 果，求原来的数，我们通常把它叫
做“还原问题”。解答“还原问题”一般采用倒推法，简单说，就是倒 过来想。原
来加的，退回去用减；原来减的，退回去用加；原来乘的，退回去用除；原来除
的， 退回去用乘。换句话说，从结果出发，按它变化的相反方向，一步一步倒着
想，一步一步退还到原来的出 发点，直到问题解决。
※一个数加上6，乘以3，再减去5得22，这个数是（ ）。
※一个数加上5，乘5，减去5，再除以5，结果还是5，这个数是（ ）。
※某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，这个数是（ ）。
※某数加上10，乘以10，减去10，除以10，结果等于10。这个数是（ ）。
※一个数的7倍加上3减去8乘以3得27，这个数（ ）。
※一个数加上8，乘以8，减去8，再除以8，结果还是8.这个数是（ ）。
※一个数减16加上24，再除以7得到9，这个数是（ ）。
※某数加上3，乘5，再减去8，等于12，这个数是（ ）。
※我爷爷说：“把 我的年龄加上25，除以4，再减去23，最后乘以25，恰好是
半百。”请你猜猜我的爷爷今年（ ）岁。
※有一位老人说：“把我的年龄加上4后除以3，再减去6，最后用5乘，恰巧
是10 0岁。”这位老人今年（ ）岁。
※老爷爷说：“把我的年龄加上12，再用4除，然后减去 15，再乘以10，恰好是
100岁。”老爷爷现在（ ）岁。
※有一个说：“把我的年龄加上28后除以15，再用8乘，就是32岁。”这个人
（ ）岁。
※小明有一些零用钱，妈妈又给了他5元，他买了一本书用去12元，这时还剩
下10 元。小明原来有（ ）元零用钱。
※水果店原有一些水果，又运来42箱，上午卖出2 7箱，下午卖出38箱，这时还
剩15箱。水果店原来有水果（ ）箱。
※一根绳子，第一次用去一半，第二次用去3米，这时还剩下5米，这根绳子原
来长（ ）米。
※妈妈带了一些钱去买菜，先用了总钱数的一半，又用了8元，这时还剩下20
元，妈妈带了（ ）元钱去买菜。
※妈妈带了一些钱去买菜，先用了8元，又用了剩下钱数的一半，还剩下20
元，妈妈带了（ ）元钱去买菜。
※一根电线，第一次用去2米，第二次用去剩下的一半，第三次又用去3米，还
剩下5米。这根电线原来有（ ）米。
还 原 问 题（
第二讲
）

还原问题是逆解应用题，还原问题先提出一个 未知量，经过一系列的运算，
最后给出另一个已知量，要求求出原来的未知数量。解题时，从最后一个已 知量出
发，逐步进行逆推性运算。
※在做一道加法式题时，某学生把个位上的5看作9，把十 位上的8看作3，结
果所得的和是123。正确的答案是（ ）。
※小明在做一道 加法计算题时，把个位上的4看作7，十位上的8看作2，结果
和是306。正确的答案应该是（ ）。
※小马虎在计算两个数相减时，一粗心竟把被减数个位的6看成了9，减数十位
的1看成 了7，结果得88。问正确的结果应为（ ）。
※丁丁在做一道减法时，把减数个位上的3看 成了8，十位上的9看成了6，结
果等于48，正确的差应该是（ ）。
※文文在 做一道加法时，把一个加数个位上的4看成了1，十位上的6看成了0，
百位上的1看成了7，结果是8 61，正确的和应该是（ ）。
※王大爷去粮站买米，粮站的陈叔叔因粗心，错把一袋米少 算了20千克，把另
一袋米多算了3千克，合计卖给王大爷60千克米。王大爷实际购买了（ ）千克。
还 原 问 题（
第三讲
）

解答还原问题时，一定要认 真分析题目中问题的结构特征和类型，认真分析
数量关系和内在联系，结合示意图、线段图帮助理解。列 综合算式时，要特别注意
运算顺序，为此要正确使用括号。
※李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数 的一半多1个，下午又卖出剩下的一半多1
个，最后还剩3个鸡蛋没有卖出。李奶奶原来有（ ）个鸡蛋。
※一只油桶装满了油，第一次取出了总数的一半多1千克，第二次取出余下的一
半 多2千克，桶中还剩3千克。原来桶中共装了（ ）千克油。
※一捆电线，第一次用去全长了 一半多3米，第二次用去余下的一半多5米，还
剩下7米。这捆电线原来长（ ）米。
※妈妈买了一些苹果，小明一家人第一天吃了苹果的一半多1个，第二天吃了剩
下的一半多1个，最后 还剩2个苹果，妈妈一共买了（ ）个苹果。
※有一篮鸡蛋，第一次取出一半多2个，第二次 取出余下的一半多2个，第三次
拿出8个，篮里还剩2个鸡蛋。篮里原来有（ ）个鸡蛋。 ※有一篮鸡蛋，第一次取出全部的一半还多1个，第二次取出余下的一半少2
个，篮里还剩2个，篮 里原有鸡蛋（ ）个。
※工人们修一段路，第一天修了公路全长的一半还多2千米，第二天 修了余下了
一半还少1千米，还剩2千米没有修完。公路的全长是（ ）千米。
※有 一筐苹果，第一次取出全部的一半多2个，第二次取出余下的一半少2个，
筐中还剩20个，筐中原有苹 果（ ）个。
※爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩< br>下的一半多1个，第三天又吃了剩下的一半多1个，还剩下1个。爸爸买了（ ）
个橘子。
※某人从甲地到乙地，第一次行了全程的一半多4千米；第二次行了余下的一半< br>多3千米；第三次又行了余下的一半多2千米。这时他离乙地还有8千米。甲、乙
两地相距（ ）千米。

※
4
猴子吃桃子，第一天吃了一半又一只，第二天吃了余下 的一半又一只，第三
天也吃了余下的一半又一只，第四天、第五天都分别吃了前一天余下的一半又一只，最后只剩下一只桃子。原来有（ ）只桃子。
※某人从甲地到乙地，第一次行了全 程的一半多4千米，第二次行了余下的一半
多3千米，第三又次行了余下的一半多2千米，这时他离乙地 还有8千米。甲乙两
地相距（ ）千米。
※袋子里有若干个小球，小明每次拿出其中 的一半多1个球，这样共操作了3次，
袋子里还有2个球。袋里原来有（ ）个球。
※袋子里有若干个小球，小明每次拿出其中的一半再放回1个球，这样共操
作了5次后袋 子里还有1个小球，袋里原来有（ ）个球。
还 原 问 题（
第 四 讲
）
用还原法解题，一般用倒退法，简单说，就是倒过来想。根据题意，从结果出
发 ，按它变化的相反方向一步步倒着推想。
※一个数减24加上15，再乘以8得432，求这个数。
※甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本，乙给丙5本后，三个人的本数
同样多，乙原来 比丙多多少本？
※李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多10个，下午又卖出剩下的一半多10个，最后还剩65个鸡蛋没有卖出。李奶奶原来有多少个鸡蛋？
线段图： 余下的一半 多10个
总数的一半 多10个 剩下65个
※小红、小青、小宁都喜爱画片。如果小红给小青11张画片，小青给小宁20张
画片，小宁给小红5张画片，那么他们三人的画片张数同样多。已知他们三人共有
画片150张，他们三 人原来各有画片多少张？
※两人一起搬运图书60本，李明抢先拿了一些，王平看他拿得太多，就抢走 了
一半，李明不肯，王平就给了他10本，这时李明比王平多4本。问李明最初拿了多
少本？
※一个数加上3，乘以3，在减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几？
※一个数的4倍加上6减去10，乘以2的88，求这个数。
※一个数缩小2倍，在缩小2倍的80，求这个数。
※小松、小明、小航各有玻璃球若干个， 如果小松给小明10个，小明给小航6
个后，三人的个数同样多，小明原来比小航多几个？
※ 甲、乙、丙三个组各有一些图书，如果甲组借给乙组13本后，乙组又送给丙
组6本，这时三个组图书的 本数同样多，原来乙组和丙组哪个组的图书多，多几
本？
※甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡 若干张，如果甲给乙13张，乙给丙23张，
丙给甲3张，那么他们每人各有30张，问原来三人各有年 历卡多少张？
※竹篮内有若干李子，取它的一半又一枚给第一人，再取余下的一半又两枚给
第 二人，还剩下6每李子。竹篮内原来有李子多少枚？
※王叔叔拿工资若干元，从工资中拿出一半多10 元存入银行，又拿出余下的一
半多5元买米、油，剩下80元买菜。王叔叔拿工资多少元？
※ 妈妈买来一些橘子，小明第一天吃了一半多2个，第二天吃了剩下的一半少2
个，还剩下5个。妈妈买了 多少个橘子。
※三筐苹果共90千克，如果从甲筐取出15千克放入乙筐，从乙筐取出20千克
放入丙筐，从丙筐取出17千克放入甲筐，这时三筐苹果同样重。甲、乙、丙原来各
有苹果多少千克？

※三年级三个班共有学生156人，若从班调5人到班，从班调8人到班，再从班
调4人到班，这时每个班的人数相同。三个班原来各有学生多少人？
※小林、小芳、军军、小敏四个 好朋友都爱看书。如果小林给小芳10本，小芳
给军军12本，军军给小敏20本，小敏再给小林14本 ，四个人的本数同样多。已知
他们共有112本书，他们四人原来各有多少本？
※兄弟俩争着 挑26块砖，弟弟抢着装了一些，哥哥看弟弟挑得太多，就抢去一
半，弟弟不服，哥哥就还给弟弟5块， 这时两人一样多，问：弟弟最初准备挑多少
块？
※两棵树上共有麻雀28只，从第一棵树上飞 走一半到第二棵树上，又从第二棵
树上飞走3只到第一棵，这时第二棵比第一棵多6只。问最初第一棵树 上有多少只
麻雀？
※甲、乙两桶水各若干千克，如果从甲桶倒出和乙桶人样多的水放入乙桶， 再
从乙桶倒出和甲桶同样多的水放入甲桶，这时两桶水恰好都是24千克。问两桶谁原
来各有多 少千克？
植 树 问 题
（
第一讲
）
植树造林，美化 环境，造福人类，植树问题是数学中一种应用题，它有特殊
的数量关系和解题规律，这类题主要研究总长 度、树距、段数、树的棵数等数量之
间的关系，此外像“上楼梯”、 “锯木头”等许多相似的问题也可 以转化为“植
树问题”来解决或借助“植树问题”的思考方法来解决。植树问题包括三个要素：
1、总线路长；2、间距（株距）；3、棵数。只要知道三个要素中的两个，就可以求
出第三个。 我们把植树问题分为不封闭路线和封闭路线两种情况。并根据具体的情况分为
四种类型。1、不封闭 路线植树沿线两端都要植树；2、不封闭路线植树沿线一端植
树，另一端不植树；3、不封闭路线植树沿 线两端都不植树。4、封闭路线植树沿线
是一个封闭图形的周长。
解答植树问题要考虑植树的方式，通常有两种情况：
1、在不封闭的路线上植树，①两端都植树，那么植树的棵树=间距个数+1；
②一端植树，一端不植树，棵树=间距个数；③两端都不植树，棵树=间距
个数?1。
2、在封闭的路线上植树，棵树=间距个数。
植树问题中常用的数量关系式：总长=间距长×间距个数
※在一条长30米的大路两旁种树，每隔5米栽一棵，如果起点和终点都种一
棵，一共要种（ ）棵树。
※两座楼房之间相距40米，每隔4米栽一棵雪松，一直行共能栽（ ）棵雪松。
※同学们栽树，7棵树之间的距离是18米，照这样计算，30棵树的距离是
（ ）米。
※在一条长300米的街道上，如果每隔6米栽一棵树，两端都不栽需要（ ）棵
树，两端都栽需要（ ）棵树。

※11位小朋友站成一列做操，每相邻两位小朋友相隔2米，做操的队伍长（ ）
米。
※国庆节时，学校大门挂了一些彩旗，从头到尾一共挂了12面彩旗，每两面彩旗之间相距2米，学校大门有（ ）米宽。
※学校举行田径运动会，要在跑道的一侧从头到尾 每隔4米插一面彩旗，已知学
校跑道长100米，需要插（ ）面小旗。
※人民南路两边从头到尾共有路灯184盏，每相邻的两盏灯之间相距10米，人
民南路长（ ）米。
※在一条长400米的公路两边栽树，每隔4米栽一棵，这样一共要栽（ ）棵。
※一条路上每隔10米有一根电线杆，连两端一共有31根电线杆，请问这条路共
有（ ）米。
※在一条长75米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽52棵，相
邻两个 树之间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离。

植 树 问 题
（
第二讲
）
在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头 尾两端重合在一起，所
以种树的棵数等于分成的段数。如右图所示。
植树问题中常用的数量关系式：总长=间距长×间距个数
棵数=段数=周长÷株距
※公园池塘的周围长48米，在池塘周围每隔6米种一棵柳树，
一共要种（ ）棵柳树。
※一个池塘的周长为90米，村民准备在它的周围每隔5米栽一棵柳树，应该准
备（ ）棵柳树才够栽。
※一个圆形的花坛，周长为160米，每隔8米种一株月季，每相邻的两株月季之< br>间均匀的栽三株牡丹。可以栽（ ）株牡丹。
※一个湖泊周围长180米，现每隔6米 栽一棵柳树，每两棵柳树之间栽一棵桃树.
问湖泊周围一共栽了（ ）棵柳树，（ ）棵桃树？。
※一个圆形花坛周长200米，沿四周每隔5米载一棵柳树，花园周围一共载（ ）
棵柳树。
※在正方形的花车的四周站着一些少先队员，每边站了8个人，并且四个顶点都< br>站有1人，求花车四周一共站了（ ）名少先队员。
※在正方形的草地的四周种一些树 ，每边种了10棵树，并且四个顶点都种1棵，
求正方形的草地的四周一共种了（ ）棵树。
※王师傅把一根木头锯成3段用了8分钟，如果这根木头锯成8段，需要（ ）
分钟。
植 树 问 题
（
第三讲
）
※有一根木料，要锯成6段，每锯一次要花4分钟，锯完要用（ ）分钟。
※有一根钢管，锯成16段需要45分钟，如果锯成20段需要（ ）分钟。
※一根钢管，锯成5段要用12分钟，把另外同样的一根钢管以同样的速度锯成
10段，共要（ ）分钟。

※一根木料在24秒内被切成了4段，用同样的速度切成5段，需要（ ）秒。
※小红从1楼上到6楼需要30秒，那么上到15楼需要（ ）秒。
※阳阳从1楼到3楼用了12秒，他从一楼到六楼需要（ ）秒。
※小红从一楼爬到四楼要6分钟，小军爬楼的速度是小红的2倍，请问小军从一
楼爬到五楼要（ ）分钟。
※爸爸和小芳一同上楼。小芳从一楼到五楼花了8分钟，爸爸上楼的速度是小芳
的3 倍，那么爸爸从一楼到七楼要（ ）分钟。
※有一栋楼房高14层，相邻两层之间有16级台阶，亮亮从一层走到顶层，一共
走（ ）级台阶。
※一座楼房每上一层需要走16个台阶，到小樱家要走64个台阶，她家住（ ）
楼。
※晶晶上楼，从第一层走到第三层要走36级台阶，那么从第一层走到第六层需要（ ）
级台阶。

植 树 问 题
（
第五讲
）
※时钟4点时敲4下，用12秒敲完，那么6点时敲6下，用（ ）秒敲完。
※一个时钟4点钟敲4下，9秒钟敲完，那么8点钟敲8下，（ ）秒钟敲完。
※时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下 ，3点钟敲3下，依次类推；从1点到12点
这12个小
时内时钟共敲了（? ?）下。
※有一台挂钟，在3点整时敲了3下，6秒 钟敲完，那么这台挂钟在12点整时敲
12下，需要几秒钟敲完？
※某人要到一座高层楼的第 8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层
需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多 少秒？
※一根木料锯成3段要6分钟。如果每次锯的时间相同，那么锯7段要多少分
钟？
※一幢楼房17层高，相邻两层有17级台阶。某人从1层到17层，要走多少级
台阶？ ※某人到高层建筑的10楼去办事，从1层到5层用了100秒。如果用同样的速
度到10层，还需 要多少秒？
※甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4层楼时，乙跑到3层楼。照这样的速度，甲
跑 到16层楼时，乙跑到多少层楼？
※一条公路长500米，在路的两边每隔20米栽1棵树，起点和终 点是站牌，不
用栽树。一共栽多少棵树？
※汽车站每隔10分钟开出一辆汽车，1小时开出多少辆汽车？
和 差 问 题
（第 一 讲）

小朋友们，在我们平时的生活中，常常会遇到这样的问题：已知一个 班级里男
生与女生共有40人，男生比女生多4人，求男生和女生各有多少人？像这样已知两
数 和与两数差，求两个数的应用题，叫和差问题应用题。有些复杂的应用题，虽然
题目中不是直接给出两个 数的和与差，但通过转化，可以推算出某两个未知量的和
与差，这样的应用题，我们也看做是和差问题。
方法指导：已知大、小两数之和与大、小两数之差，求大、小两数的问题，我们
称为和差问题． 和差问题的基本计算公式是：大数＝(和＋差)÷2 小数＝
(和－差)÷2
在解答这类题目时，关键是找到两数和与两数差，再利用上述公式就可以解决
问题了。
1、育才小学准备校庆活动，从花圃买来200盆花，其中 红花比黄花多30盆，
红花和黄花各有多少盆？
※大鹿和小鹿一共有32只，大鹿比小鹿多8只，大鹿和小鹿各多少只？
※数学兴趣小组有学生45人，男生比女生多3人，这个兴趣小组男、女生各有多
少人？ < br>※甲、乙两人同时写字，8分钟共写了72个字，已知甲每分钟比乙多写3个，问
甲、乙两人每分 钟各写多少字？
※三（6）班分成8个学习小组，平均每个小组8人，又知道这个班男生比女生
多2人，三（6）班男生、女生各多少人？
※姐姐弟弟一起进行跳绳比赛，一共跳了240下，姐姐 比弟弟多跳40下，姐姐
弟弟各跳了多少下？
※兄弟俩的年龄和30岁，哥哥比弟弟大8岁，哥哥和弟弟各多少岁？
※姐姐和妹妹的年龄和是29岁，5年以后，姐姐比妹妹大5岁。问今年姐姐和妹
妹各多少岁？
※杨平期末考试语文和数学的总分是188分，语文比数学少10分，语文和数学
各多少分？
※李刚上学期期终考试语文和数学的平均分数是92分， 数学成绩比语文成绩高
6分，李刚上学期期终考试语文、数学各得了多少分？

和 差 问 题
（第 二 讲）

※、姐妹俩共有卡通画100张，如果姐姐给妹妹10张 ，她们的卡通画的张数就
同样多，姐姐，妹妹各有多少张？
※甲、乙两仓库共有粮食278吨，如果从甲仓库运16吨 给乙仓库，那么两个仓
库的粮食一样多，甲、乙两仓库各有粮食 多少吨？
※甲、乙两个仓库 共存大米80吨．如果从甲仓库调15吨大米到乙仓库，两个仓
库的大米正好相等．求原来两个仓库各有 大米多少吨？
※王晓看一本故事书，两天看完全书的60页，如果第一天少看5页，第二天多
看5页，则两天看得一样多，他原来两天各看多少页？
※甲、乙两袋面粉共120千克，如果从甲袋中 取10千克放入乙袋，那么两袋面
粉就一样重了，那么甲袋面粉多少千克？乙袋呢？

< br>※甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重
量相等，问甲桶油 原来多少千克，乙桶油原来多少千克？
※舞蹈团和合唱团共有96名同学，如果从合唱团调8名同学到 舞蹈团，那么两
个团的人数就相等了。原来合唱团和舞蹈团有多少名同学？
※甲乙两桶水共重 60千克，从乙桶倒出8千克水给甲桶，那么两桶水的重量正
好相等地。原来甲乙两桶水各重多少千克？
※一个两层书架上面一共放了72本书，小君从上层拿了4本书借给小兰过后，
上层还比下层多 8本，两层原来各有多少本书？
※西湖小学和翠园小学一共有240人，后来西湖小学转走了30个学 生，翠园小
学转走了10个学生，这是西湖小学比翠园小学还多20个人，原来这两个学校各多
少人？
※ 哥和弟弟的平均年龄是21岁，哥哥比弟弟大4岁。兄弟两个人各是多少
岁？ < br>※强强语文、数学两门考试的平均分为90分，并且数学比语文高8分。你能算
出强强这次考试语 文、数学各是多少分吗？
和 倍 问 题
（第 一 讲 ）
已知两个数的和与它 们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和
倍问题。解答和倍问题时，我们要确定一个数为 标准，一般是比较小的那个数，假
定它为一倍（一份），再根据其他几个数与较小数的倍数关系，确定这 几个数是较
小数的几倍，然后用除法求出较小数，再算出其他各数。
解答和倍应用题的基本数量关系是：和÷（倍数＋1）=小数（两数和÷份数和
＝每份数）
小数×倍数=大数 或和－小数=大数
1、兄弟两个去钓鱼，一共钓了24条，哥哥钓的鱼是弟弟的2倍，哥哥、弟弟各
钓了多少条？
※学校有科技书和故事书共32本，科技书的本数是故事书的3倍。两种书各有
多少本？
※用锡和铝制成的合金是72千克，其中铝的重量是锡的8倍。铝和锡各用了多
少千克？
※甲数是乙数的9倍，甲乙两数之和是80，甲、乙各是多少？
※甲、乙两数的和是42，甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？
※学校买来篮球和 足球共27个，其中篮球的个数是足球的2倍。学校买来篮球
和足球各多少个？
※学校将36 本图书分给二、三年级，已知三年级所得的本数是二年级的3倍。
二、三年级各分得多少本图书上？ < br>※副食店中白糖的千克数正好是红糖的5倍，已知白糖和红糖共有18千克。副
食店有白糖、红糖 各多少千克？

※生产队养公鸡、母鸡共40只，其中公鸡的只数是母鸡的3倍。公鸡、 母鸡各
养了多少只？
※水果店运来苹果和梨共27千克，苹果是梨的一半，两种水果各运来多少千克?
※参加表演的学生一共45人，男生是女生的2倍，男生和女生各有多少人？
※五、六年级的 同学们共植树180棵，已知六年级植树的棵数是五年级的2倍。
每个年级各植树多少棵？
※图书馆科技书和文艺书共240本，其中科技书是文艺书的5倍。这两种书各
多少本？
※丁丁和当当共有100元钱，丁丁的钱是当当的4倍。丁丁比当当多多少元钱？
※陈梅家里养白兔和黑兔一共32只，白兔的只数是黑兔的3倍，养的白兔和黑
兔各有多少只？
※三(1)班同学做了50朵纸花，红花是白花的4倍，两种花各有多少朵?

※中 年级有40人参加义务劳动，四年级参加的人数是三年级的3倍，两个年级
各有多少人参加?
※甲班和乙班共有图书45本.甲班的图书本数是乙班的4倍，甲班和乙班各有图
书多少本？
※小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍,小红、妈妈
各有多少岁？
和 倍 问 题
（第 二 讲 ）
※小华有弹子20个，红弹子是绿弹子个数的4倍，红弹子和绿弹子各有多少
个？
※ 一枝钢笔和一枝圆珠笔共价18元，钢笔的单价是圆珠笔的5倍，圆珠笔和钢
笔的单价各是多少元？ < br>※一肉店卖出猪肉和牛肉共72千克,卖出的猪肉是卖出的牛肉的8倍,卖出的牛
肉和猪肉个多少 千克?
2、甲仓库存粮14吨，乙仓库存粮10吨，要使甲仓库的存粮是乙仓库的2倍，
那么 必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？
※弟弟有课外书10本，哥哥有课外书15本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的书是
哥哥的4倍？
※一书架上层有35本图书，下层有28本图书，上层要拿出多少本到下层，下层
才是上层的6 倍？
※甲桶有油13千克，乙桶有油15千克，甲桶要倒给乙桶多少千克，乙桶才是甲
桶油的3倍？

※小宁圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯12枝，问小青把多少枝给小宁后，小宁
的圆珠笔芯枝数是小青的6倍？
※光明小学买来足球和篮球共30个，已知买来的足球的个数比篮球 的2倍还多3
个，学校买来足球和篮球各多少个？
差 倍 问 题
（第 一 讲）

已知两个数的差与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做差
倍 问题。差倍问题也类似于和倍问题，先确定较小的数是一倍数，再根据倍数关系
确定差是一倍数的多少倍 ，求出较小数，再求出其他数。
解答差倍应用题的基本数量关系是：差÷（倍数－1）=小数（两数差÷份数差＝
每份数）
小数×倍数=大数 或差＋小数=大数
1、桃树的棵数是梨树的3倍，桃树比梨树多18棵。桃树、梨树各有多少棵？
※兴趣小组借 着田园风光开展户外活动，其中民乐小组的人数是美术小组的4
倍，美术小组比民乐小组少24人。民乐 小组、美术小组各多少人？
※今年妈妈比儿子大25岁，妈妈的年龄是儿子的6倍，妈妈与儿子各多少岁？
※白天鹅的只 数是黑天鹅的3倍，黑天鹅再飞来12只就和白天鹅同样多了。黑
天鹅、白天鹅原来各有多少只？ ※参加学校课外美术小组的同学，女生人数是男生的4倍，男生再来9人就和女
生同样多。男、女生 各有多少人？
※爷爷的年龄是多多的7倍，爷爷比多多大48岁，你知道爷爷和多多各是多少
岁吗？
※有甲、乙两袋大米，甲袋大米重量是乙袋大米重量的3倍，如果再往乙袋里装
10千克大米，两袋大 米就一样多了，原来甲、乙两袋各有大米多少千克？
※乐乐今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是乐乐的3倍？
※一个车间，女工 比男工少35人，男工人数是女工人数的2倍。这个车间男
工、女工各多少人？
※果园里桃树比杏树多90棵，桃树的棵树是杏树的3倍，桃树和杏树各多少
棵？
※一棵杉树的高度是一棵松树的4倍，这棵极树比这棵松树高26米，杉树、松
树各高多少米？
※大仓库存粮比小仓库存粮多24吨。又知大仓库存粮是小仓库存粮的3倍。
大、小仓库各存粮 多少吨？
※有两缸金鱼，如果从甲缸中取出25条放入乙缸，两缸内的金鱼数相等。已知
原来 甲缸的金鱼数是乙缸的6倍，甲缸原有金鱼多少条？

※两筐重量相等的苹果，甲筐卖出 7千克，乙筐卖出19千克以后，甲筐余下的
千克数是乙筐的3倍，两筐苹果和有多少千克？
※一养鸡场，公鸡比母鸡少36只，母鸡是公鸡的4倍。公鸡、母鸡各多少只？
※一篮苹果比一篮桔子重40千克，苹果重量是桔子的5倍，苹果、桔子各有多
少千克？ ※一种钢笔的价钱是一种圆珠笔的4倍，这种钢笔比圆珠笔贵12元。这种钢笔
和圆珠笔的单价各是 多少元？
※光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踢踺子人数的3倍，比踢
踺子 的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？
年 龄 问 题
（第 一 讲）

（1）爸爸今年35岁，明明今年8岁，他们相差（ ）岁，再过20年，爸爸（ ）
岁，明明（ ）岁，他们相差（ ）岁，他们的差距（ ）改变。（最后一个填“有”
或“没有” ）
（2）爷爷今年72岁，可可今年8岁，爷爷的年龄是可可的（ ）倍，8年后，爷爷
的年龄是可可的（ ）倍。它们的倍数（ ）发生改变。（最后一个填“有”或“没
有” ）
两个人的年龄在过了若干年后，
差距（ ）改变，但是倍数（ ）发生改变
年龄问题的三个基本特征：
一、知识点小结。
1、两个人的年龄差是不变的。
2、两个人的年龄是同时增加或同时减少的。
3、
两个人年龄的倍数是发生变化的。

4、二、解题方法总结。
1、依据知识点进行分析。
2、到较难题目时可以选择较为直观的线段图进行分析。
3、题目后要依据只是点进行检验（即把答案代入题目，看是否符合题意）。
※今年毛毛8岁，哥哥今年15岁，9年后，毛毛比哥哥小几岁？
※今年小猫2岁，老猫6岁，几年后它们的年龄和是12岁？
※叔叔和小华今年的年龄和正好是40岁，叔叔比小华大14岁，小华今年多少
岁？
※明明的爸爸今年43岁，明明今年11岁，几年后爸爸的年龄是明明的3倍？
※今年姐妹俩的年龄和是40岁，5年后姐姐比妹妹大4岁，现在姐妹俩各是多少
岁？
※爸爸、妈妈今年的年龄和是82岁。5年后，爸爸比妈妈大6岁。今年爸爸、妈
妈各多少岁？
※强强今年11岁，军军今年7岁。当两人的年龄的是38岁时，两人各是多少
岁？
※今年女儿7岁，妈妈33岁，多少年后她们的年龄和是60岁？
※小强今年13岁，小军今年9岁。当两人的年龄和是40岁时。两人各是多少
岁？
※今年小猴7岁，老猴16岁，再过5年它们的年龄和是多少岁？

※今年弟弟7岁，哥哥16岁，当他们的年龄和是33岁时，两人各多少岁？
※叔叔比小利大20岁，明年叔叔的年龄正好是小利的3倍。小利今年多少岁？
※今年父亲的年龄正好是女儿的4倍，3年前，父女的年龄和是49岁，父女两人
今年多少岁？
※爷爷今年72岁，孙子今年12岁，孙子多大时，爷爷的年龄正好是他的4倍？
※小红和小康的年龄和是40岁，小康的年龄是小红的3倍多4岁。小康和小红
各多少岁？
最 佳 安 排
（第一讲）

专题简析：科学地安排时间的方法，用最少的时间做最多的事，就叫做最佳安
排。
小 朋友在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题：（1）要做哪几件事：（2）
做每件事需要的时间；（3 ）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事
可以同时做。
※明明早晨起来要完 成以下几件事情：洗水壶1分钟，烧开水12分钟，把水灌
入水瓶要2分钟，吃早点要8分钟，整理书包 2分钟。应
该怎样安排时间最少？最少要几分钟？
分析：能同时做的事尽量要同时去做，这样 节省时
间。水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水
同时进行；而吃早点和整理书包可 以和烧开水同时进行。这一过程可用方框图表
示：从图上可以看出，洗水壶要1分钟，接着烧开水要12 分钟，在等水开的同时吃
早点、整理书包，水开了就灌入水瓶，共需1＋12＋2=15分钟。
※红红早晨起来刷牙洗脸要4分钟，读书要8分钟，烧开水要10分钟，冲牛奶1
分钟，吃早饭5分钟 。红红应怎样合理安排？起床多少分钟就能上学了？
※玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要2分钟，烧开 水要12分钟，买茶叶5分钟，
洗茶杯要1分钟，冲茶要1分钟。要让客人尽早喝上茶，你认为最合理的 安排需要
多少分钟客人就能喝上茶了？
※小李阿姨要出门，出门之前她要完成以下几件事：整 理房间5分钟，把衣服和
水放入洗衣机要1分钟，洗衣服自动洗涤要12分钟，擦鞋要3分钟。怎样合理 安
排，小李阿姨在多少分钟后就可以出发了？
最 佳 安 排
（第二讲）

※贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架
子上一次最多只能 放2个烧饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟？
思路导航：先放第一、二两个烧饼贴第一面，过3分钟后 ，拿下第一个，并把
第二个翻过去，并放上第三个烧饼；过2分钟拿下第二个，并放第一个烧饼，过1< br>分钟把第三个烧饼翻过来；再过1分钟取下第一个烧饼，再过1分钟三个烧饼全贴
完了，只用了8 分钟。3＋2＋1＋1＋1=8分钟
※用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要2分 钟，烙第二面
需要1分钟。现在在烙三个饼，最少需要多少分钟？

※烤面包的 架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需要2分钟，那么
烤三个面包最少需要多少分钟？ < br>※小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。烙一个饼一面要2分
钟，另一面要1分 钟，可小红烙6个饼只用了5分钟，她是怎么做的？
※小李买了一个烤面包机，每次可以放两片面包。 烤面包时，第一面要烤2分
钟，烤第二面时，再烤2分钟就够了，也就是说，烤一片面包需要4分钟。小 李一
家人每天吃早餐时，需要吃6片面包，他最少要烤多少分钟？
※用一个平底锅烙饼，每次 只能放两张饼，烙熟一张饼需要2分钟（正、反面各
1分钟），问烙熟3张饼至少要几分钟？怎样烙？
最 佳 安 排
（第三讲）

※甲、乙、丙、丁四人各有一块麦地，他们同时 用一台收割机进行收割，甲的
麦地需要收割4小时，乙的麦地需要收割1小时，丙的麦地需要收割3小时 ，丁的
麦地需要收割2小时。怎样安排四人的顺序，他们花的总时间最少？最少时间是多
少？
分析：所用时间是指四个人各自收割时间与等的时间的总和。而各自收割的时
间不变。要让等的 时间尽可能少，就应该安排收割时间少的人先用，顺序是：乙、
丁、丙、甲，过程可用下表表示：

乙收割的时丁收割的时丙收割的时甲收割的时
间 间

间


间
乙等的时间
丁等的时间
丙等的时间
甲等的时间
1
1
1
1
2
2
2
3
3

4
从表中可以看出，四人收割的时间为： 1＋2＋3＋4=10小时，三人等的时间为：
1×3＋2×2＋3=10小时，所以，最少时间为10 ＋10=20小时。
※甲、乙、丙三人都要到同一水龙头下取水，甲需要用2分钟，乙需要用4分钟，丙需要用1分钟。怎样安排，他们花的总时间最少？最少时间是多少？
※卫生室里有四名同学 等候医生治病，甲打针要3分钟，乙换纱布需要4分
钟，丙涂红药水需要2分钟，丁点眼药水需要1分钟 。怎样安排，他们在医院等候
的时间和最少？最少是多少分？
※三个顾客到同一个柜台去买东 西，甲需要用4分钟，乙需要用6分钟，丙需
要用2分钟。怎样安排他们购买的顺序，使他们所花的总时 间最少？最少是多少？
最 佳 安 排
（第四讲）

※在一条公路上每 隔50千米有一个粮库，共4个粮库。甲粮库存有10吨粮
食，乙粮库存有20吨粮食，丁粮库存有50 吨粮食，还有一个粮库是空的。现在想

把所存的粮食集中放在一个粮库中，如果每吨粮食 运1千米要1元的运费，那么最
少要花多少运费才行？
思路导航：这种运输问题，运的货物越 重路程越远，花费就越多。反之，如
果移动的货物重量小路程近，花费的费用就少。在本题中，各粮库之 间的距离相等
都是50千米，一般原则是“少往多处靠”。集中存在粮食较多的库房比较节约，
甲、乙两仓库粮食合起来是30吨，还不如丁粮库的粮食多，所以应将甲、乙粮库的
粮食集中放在丁粮库 。甲粮库需用1×10×50×3=1500元，乙粮库需要1×20×50
×20=2000元，共用 1500＋2000=3500元。
※一条公路上每隔20千米有1个仓库，共有5个仓库。1号仓库 存有20吨货物，2
号仓库存有30吨货物，5号仓库存有70吨货物，其余两个仓库是空的。现在要把 所
存的货物集中在一个仓库中，如果每吨货物运1千米要1元运费，那么最少要花多
少运费？
※一条公路有四个储油站，它们之间都相隔100千米。甲储油站有50吨油，乙
储油站储有1 0吨油，丙储油站有20吨油，丁储油站是空的。现在如果想把所存的
油集中于一个储油站，每吨油运1 千米要2元运费，那么最少要花多少运费？
※一条公路有三所小学分别为A、B、C，在什么地方设一 个汽车站，才能使用三
个学校的学生上学放学所行的总路程最少？
最 佳 安 排
（第五讲）

※小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需 2分钟，
乙马过河需3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟。每次只赶两匹马过河，
要 把4匹马都赶到对岸去，最少要几分钟？
思路导航：要使过河时间最少，应抓住以下两点：（1）同时 过河的两匹马相差
时间尽可能小些，才能使花时间少的马在过河时少浪费时间；（2）过河后应骑时间< br>少的那匹马回来。因此，赶马的顺序是：小明先骑甲马赶乙马一起过河，再骑甲马
返回，共需3＋ 2=5分钟；然后骑丙马赶丁马一起过河后，再骑乙马返回，7＋3=10
分钟；最后骑在甲马背上赶乙 马一起过河，不再回来，共需3分钟。所以，4匹马都
赶到对岸去最少时间是5＋10＋3=18分钟。
※明明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河需1分钟，
乙牛过河需2分 钟，丙牛过河需5分钟，丁牛过河需6分钟。每次只能赶两头牛过
河，要把4头占都赶到对岸去，最少要 多少分钟？
※小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁4匹马，甲马过河需7分钟，乙马
过 河要2分钟，丙马过河要3分钟，丁马过河要8分钟。每次只能两匹马过河，要
把4匹马都赶到对岸去， 最少要多少分钟？
※有一农夫带了一条狗，一只兔子，一筐萝卜。要到河对面去，河里只有一条
小船。因为船小，农夫一次只能带一样东西，但是他不在时，狗会欺负胆小的兔
子，兔子又会吃萝卜。 请同学们帮他想想，应该怎样过河最好？

※一个人带着一只狼、一只山羊和一捆白菜过 河，河边只有一条小船，一次只
能带一样东西过河。如果人不在，儿狼要吃山羊，而山羊要吃白菜。请你 动脑筋，
既不让狼吃山羊，又不让山羊吃白菜，他该怎样安排过河？
消 元 问 题
（第一讲）
知识导航：消元问题一般和等量代换结合在一起，需要同学们把数学信息转换< br>成简单的数学模型，再进行消元代换求解。学习本讲初步掌握方程的思想，为以后
解决比较复杂的 题目奠定基础！
※李大妈买了6千克苹果和4千克白菜，共付32元钱。买1千克苹果和2千克
白菜用的钱一样多。那么1千克白菜与1千克苹果各多少钱？
※吉凯利教育买了2张桌子和5椅子共 付110元，每张桌子的价钱是每把椅子价
钱的3倍，每张桌子多少元？
※张阿姨买了3斤苹果和4斤香蕉共22 元，已知一斤香蕉的价格是苹果的2倍，
问每斤香蕉和每斤苹果分别多少钱？
※小雨买了2本 故事书和8本童话书共32元，其中4本童话书的价格等于3本
故事书的价格，一本故事书和一本童话书 分别是多少钱?
※3本小笔记本和6本大笔记本一共24元，3本小笔记本和2本大笔记本的价钱相等，问一本小笔记本和一本大笔记本的价钱各是多少元？
※甲有3盒糖，乙有4盒薯片共24元 ，如果甲有4盒糖，乙有3盒薯片共25元，
那么一盒糖和一盒薯片共多少钱？一盒糖和一盒薯片分别多 少钱？
※现有两种规格的水桶，已知4个小桶和5个大桶能装55千克水，如果是5个
小桶和 6个大桶能装67千克水，请问一个小桶和一个大桶分别装多少千克的水？
※超市购进一批水果，已知 苹果、桃子和菠萝一共重630千克，梨、菠萝和桃子
共重730千克，苹果、桃子和梨共重330千克 ，菠萝、苹果和梨共重800千克，请
问超市购进四种水果各多少千克？
※三年级有三个班， 已知甲、乙两班的人数比丙班多19人，乙丙两班的人数比
甲班多59人，甲丙两班的人数比乙班多37 人。甲乙丙三班各有多少人?
※中关村学校国庆节买来四种颜色的旗子，其中红色和黄色共83面，黄 色的旗
子和蓝色的旗子共86面，蓝色的旗子和绿色的旗子共88面，问学校共买了红色和
绿色 的旗子共多少面？
※1只兔子的重量和1只猴子的重量等于8只鸡的重量，又知道3只兔子的重量等于9只鸡的重量，请问一只猴的重量等于几只鸡的重量？
※ 妈妈买了4千克葡萄和3千克苹果 ，一共36元，已知买3千克苹果的钱正好
买2千克葡萄，那么葡萄、苹果每千克各多少钱？
※3年级同学植树，6名男同学和5名女同学共植树39棵，4名男同学和3名女
同学共植树25棵，请 问一名男同学和1名女同学各植树都少棵？
※一个花球、黑球、白球的重量是60克；一个灰球、黑球 、白球的重量是70
克；一个灰球、黑球、花球的重量是80克；一个灰球、白球、花球的重量是90< br>克。请问一个花球=（ ）克；一个灰球=（ ）克；一个黑球=（ ）克；一
个白球=（ ）克。
高 斯 求 和
（第一讲）
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同
学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

老师出完题后，全班同学都在埋头计算， 小高斯却很快算出答案等于5050。高
斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道
题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并 且广泛地适用于
“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称 为一项，其中第一项称为首
项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与 前项
之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，
末项为99，公差为 2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数
列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
※1＋2＋3＋…＋98＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首 项是1，末项是
1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得：原式=（1＋99）×98÷ 2＝
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等
差数列。
※11＋12＋13＋…＋31＝？
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的 ，这时就需要先求出
项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项- 首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。
※3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1
＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
※求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 < br>利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有
关的问题。※计算 ：1+2+3+4+…+18+19 ※计算：
1+2+3+4+…+29+30
※计算：2+4+6+8+…+98+100 ※计算：40+41+42+…+61

※计算：13+14+15+…+27 ※计算：
101+102+103+104+105+106+107+108+109+110
※计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 ※计算：
11+12+13+14+15+16+17+18+19
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋200； （2）17＋19＋21＋…＋39；
（3）5＋8＋11＋14＋…＋50； （4）3＋10＋17＋24＋…＋101。