我不是最弱小的教学设计-办公室年终总结

数学思维训练
(三年级全册)

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三年级奥数
前 言

成为数学优等生的正确方法

一. 学会主动预习。
在老师讲新知识之前 ，学生要认真阅读要学的内容，课前自学例题，在看书时，要
动脑思考，步步深入。学会运用自己有的知 识去独立探究新的知识。
二. 注意听讲，在老师的引导下掌握思考问题的方法。
一些学生 对公式.性质.法则等背的很熟，但遇到实际问题时又无从下手，不知如何
应用所学知识去解题，因此要 注意上课听讲时在老师的指导下掌握思考问题的方法。一
些学生之所以那么优秀，就是因为他们把老师讲 的知识都应用到了自己解题的过程中
了。课堂上的40分钟就决定了你的成败，所以必须消化和理解老师 在课堂上讲的内容。
三.及时总结解题规律
在解题时，要注意总结解题规律，在解决每一道 练习题后，要回顾以下问题：(1).
本题最重要的特点时什么?(2).解本题用了哪些基本知识?( 3).解本题最关键的一步在
哪里?(4).以前有没有做过跟本题类似的题目?异同点在哪里?(5) .本题除了这种方法之
外，还有没有其他解法?把这一连串的问题贯穿于解题。
四.善于质疑问难
学启于思，思源于疑。也就是说学生的积极思维往往思由疑问开始的，学生 的发现
和提出问题思学会创新的关键。著名教育家顾明远说：“不会提问的学生，不是一个好
学 生。”因此，学生从小开始，就要学会质疑。比如学习“角的度量”，认识学习量角器
时，认真观察它， 问：“我发现了什么?刻度有什么用?”在学习时，经常这样提出问题，
就可以开拓自己的思维空间，进 而提高分析问题解决问题的能力。
此外还要养成良好的学习习惯：
1.良好的学习习惯是很关键的，它对于孩子学习数学起到很关键的作用。
2.自觉学习的习 惯是一种良好的学习习惯。从小学开始养成这种习惯，对以后的学
习甚至是以后工作都有很好的帮助。
3.良好的解题习惯对于学习也是很有帮助的。比如，在书写解题步骤时，要正确.
规范。
兴趣是最好的老师，是学好数学的前提。正确的学习方法，良好的学习习惯是学好
的关键。






第1讲 找规律
.

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一、知识要点
按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列 。如自然数列：1，2，3，4，……双数
列：2，4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了发现 数列中数排列的规律，并依据
这个规律来填写空缺的数。
按照一定的顺序排列的一列数，只要 从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道
其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和 、差考虑，有时还要从积、
商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。
二、精讲精练
【例题1】在括号内填上合适的数。
（1）3，6，9，12，（ ），（ ）
（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）
（3）2，6，18，54，（ ），（ ）
练习1：在括号内填上合适的数。
（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）
（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）
（3）2，8，32，128，（ ），（ ）
（4）1，5，25，125，（ ），（ ）
（5）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ）
【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）
（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）
练习2：按规律填数。
（1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）
（2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）
（3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）
（4）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ）
（5）1，2，5，14，（ ），（ ）
【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）2，5，14，41，（ ） （2）252，124，60，28，（ ）
（3）1，2，5，13，34，（ ） （4）1，4，9，16，25，36，（
.


）

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练习3：按规律填数。
（1）2，3，5，9，17，（ ），（ ） （2）2，4，10，28，82，（ ），
（ ）
（3）94，46，22，10，（ ），（ ） （4）2，3，7，18，47，（ ），（ ）
【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。
（1）






（3）


8
(2)

5 10
9 14

7 12 9
13

14
11 16
4
16
2
8
7
14
9
443
9
12
3
4
27
36
36 12

练习4：找出排列规律，在空缺处填上适当的数。
（1）



(2)


（3）



8
16
4
8
16
32
5 15 12
7 21 18
9 27



3
5
7
9

8 12 12 16
14

10 14
7
8
28
6
9
27
8
4
32 16 64

【例题5】按规律填数。
（1）187，286，385，（ ），（ ）
（2）

.
23

31

41 23

35

24
2541 4643

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练习5：根据规律，在空格内填数。
（1）198，297，396，（ ），（ ）
（2）


（3）





第2讲 有余除法
一、知识要点
把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最 后
会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋
友的人 数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除
法计算中特别要注意的。
解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被
除数与除数、 商和余数的关系求出被除数。
在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余
数。


二、精讲精练
【例题1】 [ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？
【思路导航】除数是____，根据________ ____，余数可填_____________.根据
____________，又已知商、除数、 余数，可求出最大的被除数为6×8＋5＝53，最小的
被除数为______________。列式 如下：________________________________________
答：被除数最大是53，最小是______。
练习1：
.
32

54

21 45

32

57
3864 2665
37

25

23 45

34

25
3895 2775

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(1)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷8＝3……
[ ]
(2)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷4＝7……
[ ]
(3)下题中要使除数最小，被除数应为________。 [ ]÷[ ]＝12……
4
【例题2】算式[ ]÷[ ]＝8……［ ］中，被除数最小是几？
【思路导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数 小就
行。余数最小为______，那么除数则为______。
根据这些，我们就可求出被除数最小为：8×______＋______＝_______。
练习2：
(1)下面算式中，被除数最小是几？
①[ ]÷[ ]＝4……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝7……［ ］
③[ ]÷[ ]＝9……［ ］
(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？
①[ ]÷[ ]＝3……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝6……［ ］
(3)算式[ ]÷8＝[ ]……［ ］中，商和余数都相等，那么被除数最大是
几？
【例题3】算式28÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商分别是______和______。
【思路导航】根据“被除数＝商×除数＋ 余数”，可以得知“商×除数＝被除数－
余数”，所以本题中商×除数＝28－4＝24。这两个数可能 是1和24，____和____，____
和____，____和____，又因为余数为4，因此 除数可以是24,12,8,6,商分别为____，____，
____，____。 ________________________________________________ _________________
答：除数和商分别是24，1；____，____；____，____；____，____。
练习3：
(1)下面算式中，除数和商各是几？
①22÷[ ]＝[ ]……4 ②65÷[ ]＝[ ]……2
③37÷[ ]＝[ ]……7 ④48÷[ ]＝[ ]……6
(2)149除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。
.

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______________________________ _________________________________________
___
(3)算式[ ]÷4＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？ < br>_______________________________________________ ________________________
___
【例题4】算式[ ]÷7＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪
些数？
【思路导航】 题目中告诉我们除数是7，商和余数相等，因为余数必须比除数小，
所以余数和商可为1,2,3,4, 5,6,这样被除数就可以求出来了。
7×1＋1＝8 7×2＋2＝16 7×3＋3＝24
7×4＋4＝32 7×5＋5＝40 7×6＋6＝48
答：被除数可以是8,16,24,32,40,48。
练习4：
(1) 下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
①[ ]÷6＝[ ]……[ ] ②[ ]÷5＝[ ]……
[ ]
③[ ]÷4＝[ ]……[ ] ④[ ]÷3＝[ ]……
[ ]
(2)一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。
第3讲 配对求和
一、知识要点
被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方 法又快又好地
算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？ 原来，他用
了一种简便的方法：先配对再求和。
数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个 数（最后一项）叫末项，如果一个数
列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫 做等差数列，这个
不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：
等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
末项＝首项＋公差×（项数－1）
.

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项数＝（末项－首项）÷公差＋1
二、精讲精练
【例题1】你有好办法算一算吗？
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（ ）


练习1：速算。
(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100


(3) 21+22+23+24+……+100


【例题2】计算。
(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324


练习2：计算。
(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188


【例题3】有一堆木材叠堆在一起， 一共是10层，第1层有16根，第2层有17
根，……下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？
练习3：
(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11 个座
位，……这个体育馆东区共有多少个座位？


(2)有一串数，第1 个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串
数连加的和是多少？
.

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(3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2 下，……十二点钟敲12下，分钟指向6
敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？


【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。


练习4：计算。
(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009


(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19


【例题5】计算 1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18- 82-19-81


练习5：计算。
(1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1


(2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-8 7-17-88-18-89-19


(3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16



.

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第4讲 加减巧算
一、知识要点
在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外， 还需要掌握一
些巧算的方法。加减法的巧算主要是运用“凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进行简算。
进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差 的数，要根据
“多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减”的原则进行处理。另外，可以结合加法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。
二、精讲精练
【例题1】你有好办法迅速算出结果吗？
(1) 502+799-298-98 (2) 9999+999+99+9


练习1：计算。
(1) 308+203-399-97 (2) 99999+9999+999+99+9


(3) 1999+199+19 (4) 375+483+525+617


【例题2】计算。
(1) 487+321+113+279 (2) 736-567+264


(3) 877+345-677 (4) 528-248-152


练习2：计算。
(1) 321+127+73+279 (2) 235-125+365
.

(3) 987-733-167 (4) 487+(413-89)


【例题3】计算下面各题。
(1) 962-(284+262) (2) 432-(154-168)


练习3：计算。
(1) 421+(279-125) (2) 812+(168-112)


(3) 823-(175+323) (4) 538-(283-162)


【例题4】2000-111-89-1 12-88-113-87-114-86-115-85-116-84



练习4：计算。
(1) 800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5
1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90



【例题5】计算: 98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87……-4-3+2+1



.
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(2)

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练习5：计算。
(1) 2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14……+2006



(2) 1+2-3+4+5-6+7+8-9……+97+98-99




第5讲 图形个数
一、知识要点
同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、
长方形……那就必 须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数，关键是要从 基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本
图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的 图形，并求出它们的和。
二、精讲精练
【例题1】数出下图中有多少条线段？

ABCD
【思路导航】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端
点的线段有：CD 1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。
方法二：把图中线段 AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成
的线段有：AB、BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条基本
线段构成的线段有：AD 1条。所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。
练习1：
（1）数出下图中有多少条线段？ （2）数出下图中有几个长方形？

ABCDE
A
B
C
D
.
【例题2】数出图中有几个角？

O

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【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD 3个；以OB为一边的角还有：
∠BOC、∠BOD 2个；以OC为一边的角还有：∠COD 1个。所以，图中共有角3+2+1=6
（个）。
方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠C OD看做基本角来数，那么，由1个基本角构成
的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC、∠BOD 2个；
由3个基本角构成的角有：∠AOD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。
A
练习2：数出图中有几个角？
A
（1） （2）
O
B


【例题3】数出右图中共有多少个三角形？

A
BC
D
B
C
D
E
O
C
P
【思路导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以PA为边的三角形有：
△PAB、△PAC、△PAD、3个；以PB为边的三角形还有：△PBC、△PBD 2个；以PC为
边的三角形还有：△PCD 1个。所以，图中共有三角形3+2+1=6（个）。方法二：把图中
三角形 △PAB、△PBC、△ PCD看做基本三角形来数，那么，由1个基本三角形构成的三
角形有：△PAB、△PBC、△PCD 3个；由2个基本三角形构成的三角形有: △PAC、△PBD
2个；由3个基本三角形构成的三角形有：△PAD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）< br>三角形。方法三：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段 AD中包含几条
线段就可以了，即3+2+1=6（个）。所以图中共有6个三角形。
练习3：数出图中共有多少个三角形？
A
A
（1） （2）



【例题4】数出下图中有多少个长方形？

C
D
G
H
I
G
BCD
EF
A
K
BCD
E
B
F
【思路导航】数图中有多少个长方形和数三角形的方法 一样，长方形是由长、宽两
.

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对线段围成，线段 CD上 有3+2+1=6（条）线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分
别作为长方形的长和宽，这里共有 6×1=6（个）长方形，而AC上共有2+1=3（条）线
段也就有6×3=18（个）长方形。它的 计算公式为：
长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数
（3+2+1）×（2+1）=18（个） 答：图中共有18个长方形。
练习4：
（1）数出下图中有多少个长方形？ （2）数出下图中有多少个正方形？



C
D
A
B
【例题5】有5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？
【思路导航】这道题可 以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个
端点代表一个同学。
1
2 3
45
从图上可以看出，第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次；第2个同学还要
与其余3个同学握手共握手3次，第3个同学要与其余2个同学握手共握手2次；第4
个同学还要与最 后1个同学握手共握手1次。所以，一共要握手4+3+2+1=10（次）
练习5：
（1）银海学校三年级有9个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？
（2）有1，2，3，4，5，6，7，8等8个数字，能组成多少个不同的两位数？

第6讲 植树问题
一、知识要点
爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友们在路的 一边植树，先植一棵树，以后每隔3米
植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？”晶晶 一看，随口答题：“27
米。”同学们，晶晶答对了吗？
这一类应用题我们通常称为“植树问 题”。解答这类问题的关键是要弄清总距离、
间隔长和棵数三者之间的关系。解答植树问题先要考虑植树 的方式，一般在不封闭的线
路上植树，棵数＝总距离÷间隔长＋1；在封闭的线路上植树，棵数＝总距离 ÷间隔长。
另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比如锯木头、爬楼梯
问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间
.

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隔长”、“棵数”对应起来。
二、精讲精练
【 例题1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植
了9棵，问第一棵和第九 棵树相距多少米？
【思路导航】要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：

0
1棵
3米
2棵
6米
3棵
9米
4棵
12 米15米18米
21米24米
5棵6棵7棵
8棵9棵
根据“已经植了9棵”， 从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8
（个），每个间隔是3米，所以第一棵和 第九棵相距3×8=24（米），具体列式如下：
3×（9-1） =3×8=24（米） 答：第一棵和第九棵树相距24米。
练习1：
（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路
有多长？
（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这
条走廊长多 少米？
【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相
邻 两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？
【思路导航】根据“在路的两侧共栽了 14棵树”这个条件，我们可以先求出每一
侧栽了14÷2=7（棵）树，那么从第1棵树到第7棵树之 间的间隔是7-1=6（个）。42
米长的大路平均分成6段，每段是42÷6=7（米）。列式如下：
42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6 =7（米） 答：相邻两棵树之间的距离是7
米。
练习2：在公园一条长30米的路的两侧放椅子，从起点 到终点共放了12把椅子，
相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？


【例题3】把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，
这根钢管被锯成了多少段？
【思路导航】我们先求出钢管被锯开了28÷4=7（处），因而被锯开的 段数有7+1=8
（段）。列式如下： 28÷4+1 =7+1 =8（段） 答：这根钢管被锯成了8段。
练习3： 一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟。已知每锯下一段要3分
.

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钟，这根圆木长多少米？

【例题4】甲、乙两 人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，
甲跑到16楼时，乙跑到了多少楼？ < br>【思路导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段数进行计算，
因为第一层楼 是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”，根据题意“甲跑到4
楼时，乙恰好跑到3楼”， 实际上是说“甲跑3段楼梯与乙跑2段楼梯所用的时间相同。”
照这样计算，甲跑到16楼，也就是跑了 15段楼梯，应是甲跑3段楼梯所用的时间的5
倍，在同一时间里，乙跑的楼梯段数也是他跑2段楼梯的 5倍，也就是这时乙跑了10
段楼梯，即他跑到了第10+1=11（楼）。列式如下：
（3-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1 =2×5+1 =11（楼）
答：甲跑到16楼时，乙跑到了11楼。
练习4：小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第4 层时，小红跑到第5层，照这
样计算，当小明跑到第16层时，小红跑到了第几层？

【例题5】一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗
中间插一面黄旗， 跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？
【思路导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于分成的段数，所以 插了红旗300÷
6=50（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数就等于红旗的面数 ，也
是50面。
300÷6=50（面） 答：跑道周围插了50面红旗和50面黄旗。
练习5：
（1） 有一个正方形水池，周长是 200米。如果沿着水池周围每隔10米装一盏红
灯，再在相邻的两盏红灯中间等距离地装4盏黄灯。问 水池周围一共装了
几盏红灯？几盏黄灯？


（2）一条公路长480米， 在两旁植树，两端都植。每隔12米植一棵樟树，两棵樟
树中间又等距离地栽了3棵柳树。问樟树和柳树 各栽了多少棵？

.

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第7讲 简单推理
一、知识要点
数学课上，老师布置了一道题：
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑< br>更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。
解答这类推理题时，要求小 朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，
寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等 方法来进行解答。
二、精讲精练
【例题1】下式中，□和△各代表几？
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得到28=
△ ＋△＋△＋△，4个△等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7
＋7＋7= 21。
练习1：
1．☆＋○=18 ☆=○＋○ ☆=（ ） ○=（ ）
2．△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（ ） ○=（ ）
3．○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□ ○=（ ） □=（ ）
【例题2】下式中，□和△各代表几？
□×△=36 □÷△=4 □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□÷△=4可知△为一份，□是这样的4份，即□=4△；又根据□
×△ =36，可以得到4△×△=36，即△×△=9，进一步得到△=3，□=4△=4×3=12。
练习2：
1．○和□各表示几？
○×□=16 □÷○=4 ○=（ ） □=（ ）
2．想想，填填。
○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△ ○=（ ） △=（ ）
3．□和○各代表几？
.

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□=○＋○＋○＋○ ○×□=16 □=（ ） ○=（ ）
【例题3】下式中，□和△各代表几？
□＋□＋△=16 □＋△＋△=14 □=（ ） △=（ ）
【思路导航】16里面有2个□，1个△；14里面 有1个□，2个△，16减去14等
于2，即□－△=2，那么如果把△换成了□，则16需要加上2， 即□＋□＋□=16＋2，
那么□=（16＋2）÷3=6，△=16－6×2=4。
练习3：
1．□＋□＋○＋○=38 □＋□＋○=22 □=（ ） ○=（ ）
2．□＋□＋□＋△＋△=52 □＋□＋△＋△＋△=48
□=（ ） △=（ ）
3．○＋△＋□＋□=10 △＋□＋△＋□=12 △＋○＋□＋○=12
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
【例题4】下式中，□和○各代表几？
□＋□＋○＋○＋○=34 ○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48
□=（ ） ○=（ ）
【思路导航】34里面有2个□、3个○，48里面有3个□、4个○， 用48减去34
得到□＋○=14，34中有2个（□＋○）及1个○。所以，○=34－14×2=6 ，□=（34
－6×3）÷2=8。
练习4：
1．☆＋☆＋△＋△＋△=24 △＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36
☆=（ ） △=（ ）
2．○＋○＋○＋△＋△=54 △＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76
○=（ ） △=（ ）
3．□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96 △＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□
=123
□=（ ） △=（ ）
【例题5】下式中，□、☆和△各代表几？
☆＋☆=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△＋△＋△ ☆＋□＋△＋△=80
☆=（ ） □=（ ） △=（ ）
【思路导航】因为2个☆等于3个□，3个□又等于4个△，所以2个☆等于4个
.

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△，那么1个☆等于2个△。在☆＋□＋△＋△=80中，2个△可 以用1个☆替代，就
变为☆＋□＋☆=80，而2个☆又可以用3个□替代，也就是□＋□＋□＋□=8 0，所以
□=20，☆=20×3÷2=30，△=20×3÷4=15。
练习5：
1．△＋△=○＋○＋○ ○＋○＋○=□＋□＋□ ○＋□＋△＋△=100
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
2．○＋○=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△ △＋□＋○=40
△=（ ） □=（ ） ○=（ ）
3．□＋□=○＋○＋○ ○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆
□＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320
○=（ ） □=（ ） ☆=（ ）






第8讲 算式谜
一、知识要点
一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。
解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。
解算式谜的思考方法 是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的
数先填上；不能确定的，要分几种情况，逐 一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺
数字的关系，抓准解题的突破口。
二、精讲精练
【例题1】在下面算式的□内，填上适当的数字，使算式成立。

答案：
【思路导航】已知被乘数个位是8，积的个位是2，可推出乘数可能是4或9，但积
的百位上是 7，因而乘数只能是4，被乘数百位是1，那么十位上只能是9。（算式见右
.

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上）
练习1：在□里填上适当的数，使算式成立。


【例题2】□里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？

6
5
6
解题思路：
5
0
30
30
0
6
1
5
0
6
30
30
0
61
9
6
3
3
5
0
0
0
0


0
【思路导航】已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从 商的末位上的数与
除数相乘的积想起，
5630
，可知被除数个位为0，再想商十 位上的数与6的乘积为一
位数，这个数只能是1，这样确定商的十位为1，最后被除数十位上的数为369
。
练习2：在□里填上适当的数，使算式成立。
（1）
87
（2）

45



00
【例题3】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。

7
7
答案：
1


0
1
78< br>7
1
1
2
4
4
4
0
1
79
7
2
2
3
1
1
1
0
1
7 9
7
2
2
4
8
8
8
0
【思路导航 】要求□里填哪些数，我们可以先想被除数的十位上的数是多少。容易
知道，被除数的十位数字比7大， 只可能是8或9。如果十位数字是8，那么商的个位
只能是2；如果十位数字是9，那么商的个位是3或 4。所以，这道题有三种填法（见上
页）。

练习3：
□里可以填哪些数字？

.
（1）
8
1
8（2）
4
2
0
0

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【例题4】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。



4
4
8
答案：
2

7
3040
2432
7
24
32
32
7
8
8040
6432
7
64
3 2
32
7
【思路导航】通过观察，我们发现，由于余数是7，则除数必须比7大，且被 除数
个位上应填7；由于商是4时是除尽的，所以被除数十位上应为2，同时
3412 , 84=32
，
因而除数可能是3或8，可是除数必须比7大，因而除数只能是8，因而被除数 百位上
是3，而商的百位上为0，商的千位是8或3，所以一共有两种填法（见上）。
练习4：在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。
（1）
2（2）
6




5
0
4
9
2
5
【例题5】在下面□中填入适当的数，使算式成立。

8
6
402
241
6
24
1
6
1
2
4
4
8
8
2
答案：



1
2
48
0
8
8
0
【思路导航】通过观察，我们发现，商的个位8与除数的乘积是48，由此可求出除
数为6。再根据商的千位与6的乘积是二十几，于是可求出商的千位是4，因而被除数
的万位是2，千位 是4，然后可求出商的百位是0，十位是2，被除数的百位是1，十位
是6，个位是8。（填法见上）
练习5：在下面□中填入适当的数，使算式成立。
.

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（1）







2
1
1
9
（2）
15
2
5
35
4
63
0
第9讲 乘法速算
一、知识要点
我们已经学会了 整数乘法的计算方法，但计算多位数乘法要一位一位地乘，运算起
来比较麻烦。其实，多位数与一些特殊 的数相乘，也可以用简便的方法来计算。
计算乘法时，如果一个因数是25，另一个因数考虑可拆成4 ×几，这样可“先拆数
再扩整”。两位数、三位数及更高位数乘以11，可采用“两头一拉，中间相加” 的办法，
但要注意相邻两位相加作积的中间数时，哪一位上满十要向前一位进一。比如两位数乘
以11，我们有“两位数与11相乘，首尾不变中间变，左右相加放中间，满十进一头就
变。”
二、精讲精练
【例题1】试着计算下列各题，你发现了什么规律？
（1）26×11 （2）57×11 （3）253×11 （4）467×11
【思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与11相乘，所得的结果 就是将这
个数的首位和末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位
加起，和写在十位、百位……，哪一位上满十就向前一位进一。
（1）26×11=286 （2）57×11=627 （3）253×11=2783 （4）247×11=2717
练习1：很快算出下面各题的结果。
（1）12×11 （2）34×11 （3）25×11 （4）11×44
（5）48×11 （6）65×11 （7）11×75 （8）87×11
（9）124×11 （10）305×11 （11）439×11 （12）872×11
【例题2】下面的乘法计算有规律吗？
（1）25×24 （2）21×25 （3）25×427 （4）1998×25
.

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【思路导航】因为25×4=100，因此，一个数与25相乘，我 们就看这个数里有几个
4，有几个4就有几个100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。
（1）25×24=100×6=600 （2）21×25=100×5+25=525
（3）25×427=100×106+75=10600+75=10675
（4）1998×25=100×499+50=49900+50=49950
练习2：速算。
（1）12×25 （2）34×25 （3）25×121 （4）25×46
（5）148×25 （6）643×25 （7）25×7252 （8）5678×25
【例题3】很快算出下面各题的结果。
（1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15
【思路导航】因 为15=10+5，那么24×15就可以写成24×（10+5），也就是用24
加上它的一半再乘以 10，24+12=36，再用36×10=360。
一个因数乘以15，也就是用这个数加上它的一半再乘以10。具体过程如下：
（1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15
=（24+12）×10 =（248+124）×10 =（5678+2839）
×10
=36×10 =360 =372×10 =3720 =8517×10
=85170
练习3：很快算出下面各题的结果。
（1）34×15 （2）436×15 （3）8472×15
【例题4】很快算出下面各题的结果。
（1）45×9 （2）32×99 （3）78×999
【思路导航】（1）我们可以先用4 5×10=450，这样就多加了一个45，因此我们还
要从450中减去1个45，即450-45= 405。
（2）我们可以先用32×100=3200，这样就多加了一个32，因此我们还要从32 00
中减去1个32，即3200-32=3168。
（3）我们可以先用78×1000= 78000，这样就多加了一个78，因此我们还要从78000
中减去1个78，即78000-78 =77922。
从上面几题可以看出，一个数与9相乘，就用这个数乘以10，再减去这个数；一个< br>数与99相乘，就用这个数乘以100，再减去这个数；一个数与999相乘，就用这个数乘
.

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以1000，再减去这个数。
（1）45×9 （2）32×99 （3）78×999
=45×10-45 =32×100-32 =78×1000-78
=450-45 =405 =3200-32 =3168 =78000-78 =77922
练习4：计算。
（1）32×9 （2）461×9 （3）1234×9
（4）45×99 （5）85×99 （6）728×99
（7）24×999 （8）3×999 （9）56×999
【例题5】下面的乘法计算有规律吗？
（1）15×15 （2）25×25 （3）35×35
（4）45×45 （5）65×65 （6）95×95
【思路导航】通过计算我们发现，个位 是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两
位都是25，25前面的数是这个两位数首位数与首位数加1 的积，例如：
(1) 15 × 15=225

1×(1+1)

(4) 45 × 45=2025

4×(4+1)
(2) 25 × 25=625
2×(2+1)
(3) 35 × 35=1225
3×(3+1)
(5) 65 × 65=4225
6×(6+1)
(6) 95 × 95=9025
9×(9+1)

我们还可以发现，这种方法还适用于个位是5的两个相同的多位数相乘的计算。
练习5：速算。
（1）55×55 （2）75×75 （3）85×85
（4）105×105 （5）125×125 （6）995×995






第10讲 添运算符号
一、知识要点
根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有
.

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趣的游戏。这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把
握。 < br>添运算符号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有两种：1．如果题目中的
数字比较简单， 可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所
求的式子；2．如果题目中的数字 多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接
近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。 通常情况下，要根据题目的特点，
选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。
二、精讲精练
【例题1】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（ ），使等式成立。
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
【思路导航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果10想起，最后
一 个数是5，可以从下面几种情况中想：□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5=10。
（1）从□＋5=10考虑，□=5，前4个数必须组成得数是5的算式有：
（1＋2）÷3＋4＋5=10 （1＋2）×3－4＋5=10
（2）从□－5=10考虑，□=15，前4个数必须组成得数是15的算式有：
1＋2＋3×4－5=10
（3）从□×5=10考虑，□=2，前4个数必须组成得数是2的算式有：
（1×2×3－4）×5=10 （1＋2＋3－4）×5=10
（4）从□÷5=1 0考虑，□=50，前面4个数必须组成得数是50的算式，而前面4
个数无法组成得数是50的算式。
练习1：
1．你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？
（1）4 1 2 5 = 10 （2）4 1 2 5 = 10
2．在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。
（1）3 4 5 6 8 = 8 （2）3 4 5 6 8 = 8
3．巧添运算符号，使等式成立。
（1）3 3 3 3 =1 （2）3 3 3 3 =2 （3）3 3 3 3 =3
【例题2】拿出都是8的四张牌，添上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。你能
试一试吗？ 8 8 8 8 = 0 8 8 8 8 = 1 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 =
.

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3
【思路导航】这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想：
（1）等于0的思考方法：假 设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成两组，
这两组的和、差、积、商应该相等，有：
8＋8－（8＋8）=0 8×8－8×8=0 8－8－（8－8）=0 8÷8－8÷8=0
（2）等于1的思考方法：假设最后一步是除法，那么四个数分成两组，这两组的
和、积、商分别相等，相同的数相除也可得到1，有：
（8＋8）÷（8＋8）=1 8×8÷（8×8）=1 8÷8÷（8÷8）=1
8×8÷8÷8=1 8÷8×8÷8=1 8÷（8×8÷8）=1
（3）等于2的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为1，有：
8÷8＋8÷8=2
（4）等于3的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为3个8，有：
（8＋8＋8）÷8=3
练习2：
1.在各数中添上＋、－、×、÷或（ ），使算式相等。
4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 2
4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5
2.巧添各种运算符号和括号，使等式成立。
5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1
5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 3
3.用8个8组成5个数，再添上适当的运算符号，使它们的和是1000。
8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000
【例题3】在4个4之间添上＋、－、×、÷或括号，使组成的得数是8。4 4 4
4 = 8
【思路导航】这类问题，我们可以用倒推方法来分析。这道题最后得数是8，而最
后一个数是4，我们可以想□＋4=8，□－4=8，□×4=8，□÷4=8，然后再进行解答。
（1）从□＋4=8考虑，□=4，前面3个4必须组成得数是4的算式有：
4＋4－4＋4=8 4－4＋4＋4=8 4－（4－4）＋4=8
（2）从□－4=8考虑，□=12，前3个4必须组成得数是12的算式有：
4＋4＋4－4=8 4×4－4－4=8
.

精品文档 < br>（3）从□×4=8考虑，□=2，前面3个4必须组成得数是2的算式有：（4＋4）÷4
×4 =8
（4）从□÷4=8考虑，□=32，前3个4必须组成得数是32的算式有：
（4＋4）×4÷4=8 4×（4＋4）÷4=8
练习3：
1．你能在下面数中填上＋、－、×、÷，使结果等于已知数吗？答
（1）9 9 9 9 = 18 （2）5 5 5 5 = 10
2．在下面数中填上＋、－、×、÷或（ ），使算式成立。答
（1）4 4 4 4 4 = 8 （2）3 3 3 3 3 = 9
3．在下面几个数中填上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。答
（1）2 3 5 6 = 6 （2）2 3 5 6 = 6
【例题4】在下面12个5之间添上＋、－、×、÷，使算式成立。
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1000
【思路导航】这道题的结果比 较大，那我们就要尽量想出一些大的数来，使它与1000
比较接近，如：555＋555=1110这 个数比1000大了110，然后我们在剩下的6个5中凑
出110减掉就可以了。 555＋555－55－55＋5－5=1000
练习4：
1.用12个3组成8个数，它们的结果等于2000。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 2000
2.在9个2之间添上运算符号，使结果等于1000。2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1000
3.用7个6组成4个数，使下面的算式成立。 6 6 6 6 6 6 6 = 600
【例题5】在下面式子中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21
【思路导航】这题左边的数字比较多，等号右边的得数是21，可以考虑在 等号左边
最后两个数字2、1前添＋，这时我们必须使前面几个数字的结果为0，然后再用倒推的
方法可以得出：9－8＋7－6＋5－4－3=0 9－8＋7－6＋5－4－3＋21=21
练习5：
1．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 23
2．在下面式子的适当地方添上＋、－、×号，使等式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 = 1
.

精品文档
3．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 = 14




第11讲 文字算式谜
一、知识要点 < br>一般说来，算式都是由一些数字和运算符号组成的，可有些算式却由汉字或英文字
母组成，我们称 它为文字算式。
文字算式是一种数字谜，解答时要注意在同一道题中，相同的文字或英文字母应表示相同的数字，不同的文字或英文字母应表示不同的数字。
通过本周的学习，我们可以发现解文字 算式谜与添运算符号、填竖式的步骤与方法
基本是一样的，都要仔细观察算式的特征，认真分析，正确选 择解题的突破口，最后通
过尝试找寻正确答案。
二、精讲精练
【例题1】下式中， 每个字各代表一个不同的数字，其中“心”
代表9，请问其他汉字分别代表哪个数字？


【思路导航】乘数个位与被乘数个位相乘，“心”ד心”=9×9=81，所以“少”=1，乘积就是111111111。根据积，用乘数“心”去逐一乘被乘数，9ד中”的积个位
数应该是3，所以“中”=7，往前一位进7；9ד乐”的积的个位数应是4，“乐”=6，
往前一位 进6；9ד俱”的积个位数应是5，“俱”=5，往前一位进5；9ד球”积个
位数字应是6，“球 ”=4，往前一位进4；9ד足”的积个位数是7，所以“足”=3，
往前一位进3；9ד年”的积 的个位数是8，“年”=2，往前一位进2；9×1＋2=11，
即：
12345679×9=111111111
练习1：
1． 下面（左下）每个字代表不同的数字，这些汉字分别代表几？

.

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2．如果A、B满足下面算式，它们各代表几？（上中）
3．上右图各个汉字分别代表几？
【例题2】下面
表相同的数字。它们


【思路导航】由积的个位是2，乘数是3，可推出被乘数个位上“学”是4，4×3=12，
在积的 个位上写2，向十位进1；因为积的十位上“学”为4，所以“数”×3应为3，
推出“数”为1；因为 “数”为1，百位上“庚”×3末位应为1，因而“庚”为7，千
位上5×3＋2=17，在千位上写7 ，向万位进1，因而“罗”为5，万位上8×3＋1=25，
在千位上写5，向前一位进2，因而“华” 为8。
练习2：
下面各个竖式中的汉字分别代表几？ .


×
不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代
各表示几？
【例题3】在下面的竖式中，a、b、c、d各代表什么数字?
【思路导航】仔细审题发现 千位a×9的结果是一位数，于是就可以
确定a只能是1。接着思考个位d×9=1是不可能的，所以应 该是d×9等
于几十一，于是确定d=9。或者想千位上1×9=9，所以d一定是9。最后
确 定剩下的c为8。只有8×9=72，72＋8=80，积中才会有0。
练习3：
1．下面（左下）竖式中的字母各代表几？



.

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2．上面（右上）竖式中的字母各代表几？ A＋B＋C=（ ）
【例题4】下面算式里，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字。
如果以 下3个等式成立：
小小×朋朋=友小小友
爱爱×科科=爱学学爱
朋朋×朋朋=小小学学
【思路导航】通过观察，我们发现第三个等式最特殊，它是相同的两位 数相乘得到
千位和百位、十位和个位分别相同的积，逐步试验，11×11，22×22得不到四位数， 然
后从33×33试，我们发现88×88=7744，这样可以得出：朋=8，小=7，学=4。将朋 =8、
小=7代入第一个算式中得出77×88=6776，确定友=6。这样，0——9中，只剩下9 ，5，
3，2，1，0这几个数字，其中0、1不考虑，试后发现55×99=5445，所以爱=5， 科=9。
练习4：



【例题5】下面算式中四个字分别代表四个数，你能求出来吗？


新=（ ） 年=（ ） 快=（ ） 乐=（ ）
× ×
那么，小=（ ） 朋=（ ） 友=（ ）
爱=（ ） 科=（ ） 学=（ ）
【思路导航】从千位上看，千 位上得数是2，假设新=2，那么百位上，“新＋年”
不可能等于0，因而“新”不可能是2，只能是“ 新=1”。从百位上看，新＋年＋进来
的数=10，我们可判断“年”=7或8。而“新＋年=8”，即 使个位进来2，十位上也不可
能向百位进2，因而“年”=8，十位上“新＋年”=1＋8=9，而个位 上已向十位进了1，
因而“快”=0，最后从“新＋年＋快＋乐”=11中可推出“乐”=1。即：
新=（ 1 ） 年=（ 8 ） 快=（ 0 ） 乐=（ 1 ）
练习5：
1 ．下面（左下）算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，
请问这些汉字各代表几 ？



.

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2．上面（上中）各字母分别代表几？
3．上面（上右）竖式中每个字母代表不同的数字，想想下面的算式怎样写？




第12讲 填数游戏
一、知识要点
小朋友都喜爱做游 戏。填数游戏不但非常有趣，而且能促使你积极地思考问题、分
析问题、发展能力。但有时也有一定的难 度，不过，只要你掌握了填写方法，填起来就
很轻松了。
填数时，要仔细观察图形，确定图形 中关键的位置应填几，一般是图形的顶点及中
间位置。另外，要将所填的空与所提供的数字联系起来，一 般要先计算所填数的总和与
所提供数字的和之差，从而确定关键位置应填几。关键位置的数确定好了，其 他问题就
迎刃而解了。
二、精讲精练
【例题1】 在下图中分别填入1——9，使两条直线上五个数的
和相等，和是多少呢？

【思路 导航】我们可以这样想，把1——9中间的5填到中心的
○内，剩下八个数，一大一小，搭配成和都是1 0的四组，这
样两条直线上五个数的和都是5＋10×2=25。
如果把1填在中心的○内， 这样剩下的八个数可以一大一
小搭配成和都是11的四组，这时两条直线上五个数的和是1
＋1 1×2=23。
想想：两条直线上五个数的和还可以是多少？
练习1：
.

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1.在下图（左下）中填入2——10，使横行、竖行中的五个数的和相同。和是多少
呢？




2.把1、4、7、10、13、16、19七个数填入 图（中上图）中7朵花里，使每条直线
上三个数的和相等。
3.把6、8、10、12、14 、16、18七个数填在右上图的○中，使每排三个数及外圆
上三个数的和都是32。
【例题2】 把数字1——8分别填入下图的小圆圈内，使每
个五边形上5个数的和都等于20。
【思路导 航】题目中所给8个数字的和是1＋2＋3＋4＋5＋6
＋7＋8=36，题中要使每个五边形上五个数 的和等于20，那么两
个五边形上数字的总和是20×2=40。两个五边形上的数字总和
比8 个数的和多40－36=4，多4的原因是图中中间两个圆圈的
数字算了两次，多算了一次。1——8中 只有1和3的和为4，
所以先确定关键的中间两个圆圈中，一个填1.一个填3。20－（1＋3）=1 6，16可以分
成2＋6＋8和4＋5＋7，所以本题应该这样填：
练习2：
1.将数字1——6填入下图（左下）中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是
15。




2.把5、6、7、8、9、10这六个数填入右上图 三角形三条边的○内，使得每条边上
的三个数的和是21。
.

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3.把1——8这八个数，分别填入下图的各个□内，使得每一横< br>行、每一竖行的三个数的和是13。
【例题3】 在图中填入2——9，使每边3个数的和等于15。




【思 路导航】解这题的关键是填出图中的4个顶点，因为求和时这4个顶点各算了
两次，多算了一次，所以4 边数的和是15×4=60，所给的数的和是2＋3＋4＋5＋6＋7
＋8＋9=44，所以4个顶点数 的和是60－44=16。我们可选出3＋7＋4＋2=16填入4个顶
点。
想一想，有没有其他填法？
. 练习3：
1.把1——8填入下图（下左）中，使每边3个数的和等于13。




2.将1——9这九个数填入中上图中，使三角形每条边上四个数的和等于19，且有
一个顶点的数字为1。
3.把1——10这十个数填入右上图中，使每个正方形顶点圆圈内四个数之 和都相等，
而且最大。这个和是多少？
【例题4】 把1——8填入下图○内，使每边上三个数的和最大。求
最大的和是多少？
【思路导航】要使 每边上三个数之和最大，容易想到把8、7、6、5
填在四角，因为四个角上的数在求和时各用了两次， 其他数各用了一次。
由此我们可以列出求和的算式为：
[（8＋7＋6＋5）×2＋4＋3＋2＋1]÷4=62÷4
和不是整数，说明四条边上的 总和要减少2才行，这只要将填在角上的5换成3即
可。所以，最大的和为：（62－2）÷4=15
.

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.练习4：
1.把3——10填入下图（左下）○中，使每边上三个数的和最大，求最大的和是多
少？



2.把1——8填入中上图○中，使每边上三个数的和最小。最小的和是多少？
3.将数字1 ——8填入右上图中，使横行□中的数之和等于竖行□中的数之和，这
个和可以是多少？
【例题5】 在下图（左下）各圆空余部分填上3、5、7、8，使每个圆的4个数的
和都是21。


【思路导航】这题的关键是找出中间部分填什么，因为所给的3个数都是双数 ，恰
好每个圆内有两个双数，它们的和也是双数，再填入两个数后，使每个圆的4个数的和
是2 1.21是单数，也就是每个圆内填入的两个数的和为单数，而3、5、7、8中3、5、7
都是单数， 要使和为单数，8要填入中间部分，如右上图。
练习5：
1.在图（左下图）中各圆的空余 部分分别填上1、2、4、6，使每个圆中4个数的和
是15。



2.在图（中上图）中各圆空余部分分别填上4、5、7、9，使每个圆中4个数的和是
27。
3.在图（右上图）中各圆空余部分分别填上6、8、10、11.使每个圆中4个数的和
是3 3。



.

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第13讲 周期问题
一、知识要点
在日常生活中，有一些按照一定的规律不 断重复的现象，如：人的十二生肖，一年
有春夏秋冬四个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常 碰到的有一定周期的问
题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。
在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，
也就是找出循环的固定 数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。
二、精讲精练
【例题1】 小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个
黑的的规律排列（如下图），请你 算一算，第32个珠子是什么颜色？


从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑 ”的规律重复排列，即6个珠子为一周
期。32÷6=5（组）……2（个），32个珠子中含有5个周 期多2个，所以第32个珠子
就是重复5个周期后的第2个珠子，应为红色。
练习1：
1.如图，算出第20个图形是什么？
○△△□□□○△△□□□○△△……
2.“数学趣味题数学趣味题……”依次重复排列，第2001个字是什么？
3.把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？


【例题2】2001年10月1日是星期一，问：10月25日是星期几？
【思路导航】我们 知道，每星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。
从10月1日到10月25日经过25－ 1=24天，24÷7=3（星期）……3（天），说明24
天中包括3个星期还多3天。所以从10月 1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，
从这最后一天起再过3天就应是星期四。
练习2：
.

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1.2001年5月3日是星期四，5月20日是星期几？
2.2001年8月1日是星期三，8月28日是星期几？
3.2001年6月1日是星期五，9月1日是星期几？
【例题3】100个3相乘，积的个位数字是几？
【思路导航】这道题我们只考虑积的个位数 字的排列规律。1个3.积的个位是3；2
个3相乘积的个位数字是9；3个3相乘积的个位数字是7； 4个3相乘积的个位数字是
1；5个3相乘积的个位数字是3……可以发现，积的个位数字分别以3、9 、7、1不断
重复出现，即每4个3积的个位数字为一周期。100÷4=25（个），因此100个3 相乘
积的个位数字是第25个周期中的最后一个，即是1。
练习3：
1.23个3相乘，积的个位数字是几？
2.100个2相乘，积的个位数字是几？
3.50个7相乘，积的个位数字是几？
【例题4】有一列数按“432794327918 6……”排列，那么前54个数字
之和是多少？
【思路导航】上面一列数中，从第1个数字开 始重复出现的部分是“43279186”，
周期数是8。要求出这列数字的和，就要先求出这列数里共 有多少组“43279186”。
54÷8=6（组）……6（个）
因此，前6组数字和是 （4＋3＋2＋7＋9＋1＋8＋6）×6=240，余下6个数字之和
是4＋3＋2＋7＋9＋1=2 6。所以，这列数中前54个数字之和是240＋26=266。
练习4：
1.一列数按“294736294736294……”排列，那么前40个数字之和是多少？
2.有一列数按“9453672945367294……”排列，那么前50个数字之和是多少？ < br>3.有一列数“72365……”，请问从左起第2个数字到第25个数字之
间（含第2个与第2 5个数字）所有数字的和是多少？
【例题5】小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就 是说3页插图
前后各有1页文字。如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少< br>页？
.

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【思路导航】已知这本童话书3页插图前 后各有1页文字，也就是说这本书是按“1
页文字3页插图“的规律重复排列的，把“1页文字3页插图 ”看作一周期，128页中
含有128÷（1＋3）=32个周期，所以这本童话书共有插图3×32= 96页。
练习5：
1.校门口摆了一排花，每两盆菊花之间摆3盆月季，共摆了112盆花 。如果第一盆
花是菊花，那么共摆了多少盆月季花？
2.同学们做早操，36个同学排成一列 ，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，
这列队伍中男生有多少人？
3.一个圆形花辅 周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中间插两
面黄旗。花辅周围共插了多少面黄旗？






第14讲 数学趣题.
一、知识要点
在日常生活中，常有一些妙趣横生、带有智力测试性质的问题，如：3个小朋友 同
时唱一首歌要3分钟，100个小朋友同时唱这首歌要几分钟？类似这样的问题一般不需
要较 复杂的计算，也不能用常规方法来解决，而常常需要用小朋友的灵感、技巧和机智
获得答案。
对于趣味问题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思考，运用基础知识以
及自己的聪明才智巧妙 地解决。
二、精讲精练
【例题1】如果每人步行的速度相同，2个人一起从学校到儿童乐园 要3小时，那
么6个人一起从学校到儿童乐园要多少小时？
【思路导航】2个人一起从学校到 儿童乐园要3小时，也就是1个人从学校到儿童
乐园要3小时；6个人一起从学校到儿童乐园所用的时间 与一个人所用的时间相等，所
以6个人一起从学校到儿童乐园还是用3小时。
.

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练习1：
1.3个人同时唱3首歌用9分钟，9个人同时唱同样的3首歌用几分钟？
2.5只猫5天能捉5只老鼠，照这样计算，要在100天里捉100只老鼠要多少只猫？
3 .6个人从甲地到乙地用4小时，如果每人的步行速度相同，那么3个人从甲地到
乙地要用几小时？ < br>【例题2】一条毛毛早由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米。问
长到5厘米时 要用多少天？
【思路导航】毛毛虫每天长大一倍，说明第二天的身长是第一天身长的2倍。这条
毛毛虫在第30天时，身长为20厘米，那么在第29天时，这条毛毛虫的身长为20÷2=10
厘米 ；在第28天时，这条虫的身长为10÷2=5厘米。
练习2：
1.有一个池塘中的睡莲， 每天长大一倍，经过10天可以把整个池塘全部遮住。问
睡莲要遮住半个池塘需要多少天？
2 .一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，20天能长到36厘米。问长到9厘
米时要用几天？ < br>3.一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，15天能长到4厘米。问要长到32
厘米共要多 少天？
【例题3】小猫要把15条鱼分成数量不相等的4堆，问最多的一堆中最多可放几条
鱼？ 【思路导航】小猫要把15条鱼分成数量各不相等的4堆，要让最多的一堆中小鱼
条数尽量多，那么 其余三堆小鱼的条数就要尽量少。所以，小猫可以在第一堆中放1条，
在第二堆中放2条鱼，在第三堆中 放3条鱼，这样第四堆就可放：
15－（1＋2＋3）=9（条）。
练习3：
1.小明要把20颗珠子分成数量不等的5堆，问最多的一堆中最多可放几颗珠子？
2.老师 为共有18人的舞蹈队设计队形，要求分成人数不等的5队，问最多的一队
最多可排几人？
3 .兔妈妈拿来1盘萝卜共25个，分给4只小兔，要使每只小兔分得的个数都不同。
问分得最多的一只小 兔至多分得几个？
.

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【例题4】把100只桃子分装在 7个篮子里，要求每个篮子里装的桃子的只数都带
有6字。想一想，该怎样分？
【思路导航】 因为6×6=36只，这样就可以在每个篮子里装6只桃，共装6个篮子，
还有一个篮子里装100－3 6=64只桃。64这个数，正好也含有数字6，符号题目要求。
练习4：
1.把100个 鸡蛋分装在6个盒里，要求每个盒里装的鸡蛋的数目都带有6字，想想
看，应该怎样分？
2. 有人认为8是个吉祥数字，他们得到的东西的数量都要含有数字8。现在有200
块糖要分给一些人，请 你帮助设计一个吉祥的分糖方案。
3.7只箱子分别放有1只、2只、4只、8只、16只、32只、 64只苹果，现在要从
这7只箱子里取出87只苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取。你 看该
怎么取？
【例题5】舒舒和思思到书店去买书，两人都想买《动脑筋》这本书，但钱都不 够。
舒舒缺2元8角，思思缺1分钱，用两个人合起来的儿买一本，仍然不够。这本书多少
钱？
【思路导航】思思买这本书缺1分钱，两个人合起来的钱买一本书仍然不够，这说
明舒舒根本没 有钱，所以这本书的价钱是2元8角。
练习5：
1.小华和娟娟到商店买文具盒，两人看中 同一个文具盒，但钱都不够。小华缺9元
4角，娟娟缺1分，两人合起来买一个仍然不够。这个文具盒多 少钱？
2.李华和张洁到商店买同一种练本，但发现钱都没带够，李华缺6角，张洁缺2分
钱 ，但两人合起来买一本仍不够。这种本子一本多少钱？
3.王阿姨和李阿姨到商场买电视机，两人都看 中同一种电视机，但王阿姨缺600元，
李阿姨缺900元，用两人带的钱合起来买这一台电视机正好。 这台电视机多少钱？





第15讲 乘除巧算
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一、知识要点
前面我们已给同学 们介绍了加、减法中的巧算，大家学会了运用“凑整”的方法进
行巧算，实际上这种凑整的方法也同样可 以运用在乘除计算中。为了更好地凑整，同学
们要牢记以下几个计算结果：2×5=10，4×25=1 00，8×125=1000。
提高计算能力，除了加、减、乘、除基本运算要熟练之外，还要掌握一 定的运算技
巧。巧算中，经常要用到一些运算定律，例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等
等，善于运用运算定律，是提高巧算能力的关键。
二、精讲精练
【例题1】你有好办法算出下面各题的结果吗？
（1）25×17×4 （2）8×18×125 （3）8×25×4×125 （4）125×2×8×5
【思路导航 】（1）我们知道25×4=100，因而我们要尽量把25与4放在一块计算，
这样比较简便。所以我 们先算25×4=100，再与17相乘即100×17=1700；（2）因为8
×125=1000 ，因而我们先把8与125放在一块计算，8×125=1000，再乘18：1000×
18=180 00；（3）已知25×4=100、125×8=1000，因此这道题我们要通过移位的方法把
25 与4相乘，125与8相乘，然后再把1000与100相乘，1000×100=100000；（4）因为125×8=1000，2×5=10，因而这道题也要移一移，先计算125×8=1000和2×5= 10，
再计算1000×10=10000。
练习1： 1.计算：（1）25×23×4 （2）125×27×8
2.计算：（1）5×25×2×4 （2）125×4×8×25 （3）2×125×8×5
3.想一想，怎样算比较简便？ 125×16
【例题2】你有好办法计算下面各题吗？
（1）25×8 （2）16×125 （3）16×25×25 （4）125×32×25
【思路导航】（1）已知25×4=1 00，因为8=2×4，所以我们可以把25×8转化为
25×4×2.然后先算25×4=100，再 算出100×2=200。（2）125×8=1000，16=8×2.因
而我们可以把16×125 转化为2×（8×125），然后算出8×125=1000，再乘2得到2000；
（3）因为25× 4×100，16=4×4，这样可以将两个4分别与两个25相乘，所以原式就
转化为（4×25）× （4×25），再分别计算，得到结果100×100=10000；（4）因为125
×8=1000 ，25×4=100，我们又发现32=4×8，所以可将4和8分别与25、125相乘，得
到（12 5×8）×（25×4），再分别算出结果为1000×100=100000。
练习2： 1.（1）25×12 （2）125×32 （3）48×125
.

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2.（1）125×16×5 （2）25×8×5
3.（1）125×64×25 （2）32×25×25
【例题3】你能很快算出它们的结果吗？
（1）82×88 （2）51×59
【思路导航】通过观察，我们可以发现这两题都是两位数乘两位数，被乘数和乘数< br>十位上的数字相同，个位数字和是10，像这样的题目，我们可以将首位数字加1再乘首
位数字， 得数作为积的前两位数字；将两个末位数字相乘，得数作为积的末位两个数字，
如果末位数字相乘的积是 一位数，要在前面被一个0。（1）82×88先用首位数字加1
再乘首位数字，即（8＋1）×8=7 2作为积的前两位数字，再用两个末位数字相乘2×8=16
作为积的末位两个数字，所以82×88= 7216；（2）51×59先用首位数字加1乘首位数
字，即（5＋1）×5=30作为积的前两位数 字，再用两个末位数字相乘1×9=9，它们的
积是一位数，要前9前面被一个0，作为积的末两个数字 ，所以，51×59=3009。
练习3：
1.（1）72×78 （2）45×45
2.（1）81×89 （2）91×99
3.（1）42×48 （2）61×69
【例题4】简便运算：
（1）130÷5 （2）4200÷25 （3）34000÷125
【思路导航】这里可以运 用商不变的性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同的
倍数（0除外），商不变，因而：（1）130 ÷5可将130和5同时乘2.使除除变为10，
然后再用260÷10=26；（2）4200÷25 可以将4200和25同时乘4，使除数变为100，
然后再用16800÷100=168；（3）3 4000÷125可以将34000和125同时乘8，使除数变
为1000，然后再用272000÷ 1000=272。
练习4：
1.你能迅速算出结果吗？（1）170÷5 （2）3270÷5 （3）2340÷5
2.计算：（1）7200÷25 （2）3600÷25 （3）5600÷25
3.你有好办法计算下面各题吗？
（1）32000÷125 （2）78000÷125 （3）43000÷125
【例题5】计算：31×25
.

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【思路导航】题中31不能被4整除，但31可拆成4×7＋3.这 样就得到（4×7＋3）
×25，或者把25看作100÷4也可求出得数。
（1）31×25 =（4×7＋3）×25 =（4×7＋3）×25 = 4×7×25＋3×25 = 775
（2）31×25 = 31×（100÷4）= 31×100÷4 = 775
练习5：
计算：（1）29×25 （2）17×25 （3）221×25
（4）322×25 （5）2561×25 （6）3753×25




第16讲 应用题（一）

一、知识要点
应用题是小学数学中非常重 要的一部分内容，它需要我们小朋友用学到的数学知识
来解决生产、生活中的一些实际问题。学好应用题 的关键在于认真分析题意，掌握数量
关系，找到问题的突破口。
在分析应用题的数量关系时， 我们可以从条件出发，逐步推出所求的问题；也可以
从问题出发，找到必须的两个条件。在实际解答时， 我们可以根据题目中的数量关系，
灵活运用这两种方法。有时，借助线段图来分析应用题的数量关系，解 答就更容易了。
二、精讲精练
【例题1】学校里有排球24只，足球的只数比排球
的2倍少5只，学校有排球、足球共多少只？
【思路导航】根据题意画出线段图
从上图可以 看出，把24只排球看作1倍数，足球的
只数比这样的2倍还少5只，用24×2－5=43（只）可以 求出足球的只数，再用43＋24=67
只可以求出两种球的总只数。
练习1：1.小红每分 钟跳绳25下，小军每分钟跳的下数比小红的3倍少16下，小
军每分钟比小红多跳几下？
.

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2.王奶奶家养鸡12只，养鹅的只数比鸡的只数的4倍还多7只。 王奶奶家共养鸡、
鹅多少只？
3.少先队员种柳树30棵，种的杨树的棵数比柳树棵数的3倍 多14棵。少先队员种
的杨树、柳树共多少棵？
【例题2】人民广场花圃中有180盆郁金香 ，比月季花盆数的3倍少15盆。月季花
有多少盆？
【思路导航】从上图可以看出， 把月季花的盆数看作1
倍数，郁金香的盆数是这样的3倍少15盆。如果郁金香再增
加15盆， 就正好是月季花盆数的3倍。因此用（180＋15）
÷3=65（盆）就可求出月季花的盆数。 练习2：1.小明的父亲每月工资1000元，比小明母亲每月工资的2倍少200元。小
明母亲每 月工资多少元？
2.饲养场养母鸭400只，比公鸭只数的7倍还多36只。饲养场养公鸭多少只？
3.水果店卖出9筐水果，平均每筐重45千克。卖出水果的千克数比剩下的3倍还
多27千克 ，还剩多少千克水果？
【例题3】小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只，白 鸡的
只数正好是黑鸡的2倍。白鸡、黄鸡、黑鸡各多少只？
【思路导航】根据“黄鸡比黑鸡多 13只，白鸡比黄
鸡多12只”，从线段图上我们可以看出白鸡比黑鸡多13
＋12=25只， 这相当于黑鸡的2－1=1倍，这样也就求出
黑鸡的只数为25÷1=25只，黄鸡的只数是25＋13 =38只，白鸡的只数是25×2=50只。
练习3：1.商店里有红、白、蓝三种围巾，其中红围巾 比白围巾多12条，蓝围巾比
红围巾多20条，蓝围巾的条数正好是白围巾的5倍。红围巾、白围巾、蓝 围巾各多少
条？
2.有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐比乙筐多12只苹果，丙筐比甲筐多15只 苹果，丙
筐苹果个数是乙筐的4倍。甲、乙、丙筐各有多少只苹果？
3.男女学生参加小组交 流会，如果少去1名女生，男女生人数相等；如果少去一名
男生，女生人数是男生的2倍。参加交流会的 男女生各多少人？
【例题4】用一批纸装订同样大小的练习本，如果每本16页，可装订400本。如 果
每本20页，可以少装订多少本？
.

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【思路 导航】根据“如果每本16页，可装订400本”，可得这批纸的总页数16×
400=6400页；再 用总页数6400÷20=320本求出如果每本20页可装订的本数，400－
320=80本则表示 少装订的本数。
练习4：1.水果市场要将一些水果装箱，如果每箱10千克，可装30箱。如果每箱
15千克，可少装多少箱？
2.服装厂有一些布料加工窗帘，如果把窗帘做成3米长，可做1 40幅。如果每幅窗
帘做成2米长，则可多做多少幅？
3.同一批纸装订同样大小的练习本， 如果每本16页，可装订400本。如果每本多
装订9页，则少装订多少本？
【例题5】李师 傅原计划6小时加工零件480个，实际2小时加工192个。照这样
的效率，可以提前几小时完成？
【思路导航】根据“实际2小时加工192个”，可以求出李师傅的实际工作效率为
192÷2 =96（个小时），再用要加工的零件总数除以实际工作效率，即480÷96=5小时，
求出实际完成 的时间。6－5=1小时，则表示提前完成的时间。
练习5：1.王奶奶计划10小时做纸盒400个 ，实际3小时已加工150个。照这样的
效率，可以提前几小时完成？
2.暑假中，小宁30 天共要写大字600个，实际12天已写大字360个。照这样的速
度，小宁可以提前几天写完同样多的 字？
3.自行车制造厂四月份（30天）共生产自行车3600辆，五月份改进技术后9天已
生产自行车1350辆。照这样的效率，可以提前几天完成四月份的任务？





第17讲 应用题（二）
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一、知识要点
一 般应用题的条件和问题变换的形式多，数量关系也比较复杂，但只要善于分析，
善于思考，善于抓住关键 ，不管什么问题都能迎刃而解。
.

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解答一般应用题的关 键是要掌握数量关系，了解应用题中条件和条件、条件和问题
之间的联系，找出解题方法，灵活解题。
二、精讲精练
【例题1】一列火车早上5时从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶120千米 ，下
午3时到达乙地，但实际到达时间是下午5时整，晚点2小时。问火车实际每小时行驶
多少 千米？
【思路导航】由“这列火车早上5时出发，计划下午3时到达”可知，这列火车原
计划 行驶12＋3－5=10小时，用原计划每小时行驶120千米×计划行驶的10小时，便
可得到甲地到 乙地的距离为120×10=1200千米；火车晚点2小时，说明火车实际行驶
了10＋2=12小时 ，用1200÷12=100千米就可得到火车实际每小时行的千米数。
练习1：1.一辆汽车早上8 点从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶60千米，下午
4时到达乙地。但实际晚点2小时到达，这辆汽 车实际每小时行驶多少千米？
2.一列火车早上6时从甲城开往乙城，计划每小时行驶100千米，下 午6时到达乙
城。但实际到达时间是下午4时，提前2小时。问火车实际每小时行驶多少千米？
3.王叔叔驾驶一辆摩托车，上午11时从城东开到城西，计划每小时行驶60千米，
下午2时到达城 西，实际到达时间是下午3时，晚到1小时。问实际每小时比计划少行
多少千米？
【例题2】 小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买了7枝，小红买了5枝，小佳没有
买。回家后，三个人平均分铅笔， 小佳拿出8角钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少钱？
【思路导航】小宁和小红一共买了7＋5=12 枝铅笔，三个人平均分，每人应得12
÷3=4枝，所以小佳拿出的8角钱就相当于4枝铅笔的价钱，那 么每枝铅笔的价钱应是
8÷4=2角。小佳应给小宁2×（7－4）=6角钱，应给小红2×（5－4） =2角钱。
练习2：1.三个好朋友去买饮料，小亮买了5瓶，小华买了4瓶，阳阳没有买。到
家后，三个人平均喝完饮料，阳阳拿出6元钱，他应给小亮多少钱？给小华多少钱？
2.甲、乙、丙 3人一起买了6个面包分着吃，甲、乙各拿出3个面包的钱，丙没有
带钱。那么吃完后，丙应拿出4元8 角钱，他应分别给甲、乙多少钱？
3.张、王、李三家合用一个炉灶，他们烧的柴同样多，张家出了4 担柴，李家出了
5担柴，王家因无柴付18元。张、李家各得多少钱？
【例题3】用一个杯子 向空瓶里倒牛奶，如果倒进去2杯牛奶，连瓶共重450克；
如果倒进去5杯牛奶，连瓶共重750克。 一杯牛奶和一个空瓶各重多少克？
.

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【思路导航】根据题目的条件，我们可以写出两个关系式：
2杯牛奶重量＋1个空瓶重量=450克（1） 5杯牛奶重量＋1个空瓶重量=750克（2） 比较（1）、（2）两个式子，可发现用（2）－（1）可消去空瓶重量，并可得到5
－2=3瓶牛 奶重量是750－450=300克，那么1瓶牛奶重量是300÷3=100克，然后可求
出空瓶重量 是450－100×2=250克。
练习3：1.有12筐苹果，它们重量相等，我们把它们装入一个 大箱子里，如果装进
2筐苹果，连箱共重量220千克；如果装进5筐苹果，连箱共重520千克。1筐 苹果和
大箱子各重多少千克？
2.有一个木桶向一个水缸中倒水，如果倒进4桶水，连缸共重 240千克；如果倒进
7桶水，连缸共重390千克。一桶水和一个水缸各重多少千克？
3. 有一瓶水，向几个相同的杯子里注水，如果注满3杯水，连瓶重550克；如果注
满6杯水，连瓶共重2 50克。一杯水多重？
【例题4】一共有红、黄、绿三种颜色的珠子120粒。如果把红色珠子分放在 9个
盒子里，把黄色珠子分放在6个盒子里，把绿色珠子分放在5个盒子里，那么每个盒子
里的 珠子粒数相等。三种颜色的珠子各多少粒？
【思路导航】把120粒珠子分放到盒子里以后，每个盒子 里的珠子粒数相等，那么
就可以120÷（6＋9＋5）=6粒，求出每个盒子里珠子的粒数，然后再求 三种颜色的珠
子各几粒。红色珠子：6×9=54粒；黄色珠子：6×6=36粒；绿色珠子：6×5= 30粒。
练习4：1.一共有苹果、梨、橘子共105个，如果把苹果分放到4个盘中，把梨分
放到5个盘中，把橘子分放到6个盘中，那么每个盘子的水果个数相等。三种水果各多
少个？
2.一共有白兔、灰兔、黑兔共250只，如果把白兔分放到5个笼中，把灰兔分放到
11个笼中，把 黑兔分放到9个笼中，这样每个笼中的兔子的只数相等。三种兔子各多少
只？
3.共有科技书 、文艺书和故事书共360本，若把科技书分放到2个书架上，把文艺
书分放到3个书架上，把故事书分 放到4个书架上，则每个书架上的本数相等。三种书
各有多少本？
【例题5】在6个筐里放着 同样多的鸡蛋，如果从每个筐里拿出50个鸡蛋，则6
个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡 蛋个数的总和。原来每个筐里有鸡蛋
多少个？
.

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【思路导航】根据“6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来5个筐里鸡蛋个数的
总和”，说明6个筐 里取出的鸡蛋个数的总和等于原来（6－2）=4个筐里鸡蛋的总和，
用取出的50×6=300个鸡蛋 除以4就可求出原来每个筐里的鸡蛋个数：300÷4=75个。
练习5：1.在6个纸箱中放着同样 多的苹果。如果从每个纸箱里拿出50个苹果，则
6个箱里剩下的苹果个数的总和等于原来2个箱子的苹 果个数的总和。原来每个箱里有
多少个苹果？
2.某商店有5箱皮球，如果从每箱里取出15 个，那么5个箱里剩下皮球的个数正
好等于原来2箱皮球的个数。原来每箱装了多少个皮球？
3.有3个水桶，如果从每桶中倒出4千克水，那么3桶里剩下的水的重量正好等于
原来1桶的重量。原 来每桶装多少千克水？





第18讲 数字趣谈

一、知识要点
在日常生活中，0、1、2、3、、4、5、6、7、8、 9是我们最常见、最熟悉的数，由
这些数字构成的自然数列中也有很多有趣的计数问题，动动脑筋，你就 会找到答案。本
周的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的方法一般是采用尝试探索法和< br>分类统计法，相信你们能很好地掌握它。
二、精讲精练
【例题1】在10和40之间有多少个数是3的倍数？
【思路导航】由尝试法可求出答案：
3×4=123×5=153×6=183×7=213×8=24
3×9=273×10=303×11=333×12=363×13=39
练习1：
1.在20和50之间有多少个数是6的倍数？
2.在15和70之间有多少个数是8的倍数？
.

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3.两个整数之积为144，差为10，求这两个数。

【例题2】在10和1000之间有多少个数是3的倍数？
【思路导航】求10和1000之 间有多少个数是3的倍数，用一一列举的方法显得很
麻烦。可以这样思考：
10÷3=3……1说明10以内有3个数是3的倍数；
1000÷3=333……1说明1000以内有333个数是3的倍数。
333－3=330说明10——1000之间有330个数是3的倍数。
练习2：
1.在1到1000之间有多少个数是4的倍数？
2.在10到1000之间有多少个数是7的倍数？
3.在100到1000之间有多少个数是3的倍数？
【例题3】从1——9九个数中选取， 将11写成两个不同的自然数之和，有多少种
不同的写法？
【思路导航】将1——9的九个自然数从小到大排成一列：
1.2.3.4，5，6，7，8，9
先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求， 但用第二小的2和最大的9
相加，和为11符合要求，得11=2＋9。依次做下去，可得11=3＋8 ，11=4＋7，11=5＋6。
共有4种不同的写法。
练习3：
1.从1——9九个数中选取，将13写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写
法？

2.将15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方法，请列出来。

3.将12分拆成3个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方法？
< br>【例题4】2000年2月的一天，有三批同学去植树，每批的人数不相等，没有一个
人单独去的 ，三批人数的乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生各有几人？
.

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【思路导航】2000年2月有29天，三批同学人数的乘积不能大 于29，我们可以先
用最小的几个数试乘（1除外）：2×3×4=24，24＜29；2×3×5=3 0，30＞29，不合题
意。所以，这三批学生的人数是2.3.4人。
练习4：
1.2001年5月的一天，有三批学生去参加助残活动，每批人数不相等，三批人数的
乘积正好等于这 一天的日期。想一想，这三批学生最多各有多少人？

2.学校进行运动会比赛，三（2）班 参加其中三项体育比赛的人数各不相同，而且
这三项参赛人数之积在35到45之间。那么三（2）班最 少各有多少人参加这三项比赛？

3.小明家有四种水果，每种水果的千克数不相等，这四种 水果的千克数的乘积在200
到250之间，那么这些水果最少共有多少千克？

【 例题5】一本连环画共100页，排页码时一个铅字只能排一位数字。请你算一下，
排这本书的页码共要 用多少个铅字？
【思路导航】这道题可以分类计算：
从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9个；
从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180个；
第100页，只有1页共用3个铅字。
所以这本书的页码共用9＋180＋3=192个铅字。
练习5：
1.一本书共2 00页，排版时一个铅字只能排一位数字，那么排这本书的页码共用了
多少个铅字？
2.《宇宙历险记》这本书共214页，编排这本书时共用多少个数码？
3.编排《儿童漫画》的页码时共用了51个数码，这本书共多少页？





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第19讲 重叠问题

一、知识要点
三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗 读比赛的12位同学每人
发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么 回事？
对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。
数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除 原理，即当两个计数部
分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解 答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借
助图形进行思考，找出哪 些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解
答方法。
二、精讲精练
【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；
从后数起，红旗是第 10面。这行彩旗共多少面？
【思路导航】根据题意，画出下图：
从图上可以看出，从前数 起红旗是第8面，从后数起
是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行
彩旗共有 8＋10－1=17面。

练习1：
1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第4 个，从后数起排在第7个。这队小朋友
共有多少人？
2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从 左数起是第12个，从右数起是第21个。这
一行座位有多少个？
3.同学们排队去参观展览 ，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排
共有多少个同学？

【例题 2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从
右数起是第3个，从前数起是 第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？
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【思路导航】根据题意，画出下图：






由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；
从前数 第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×
10=60人。
练习2：
1.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左
数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？
2.为庆祝“六一”，同学们排成每行人数 相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，
从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少 人？
3.三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6
个 ，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人？

【例题3】 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在
一起的木板长120厘米，中间重 叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？
【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一 起的长度就是重叠部分，重
叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋
16=1 36厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。

练习3：
1.把两段一样 长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30
厘米，中间重叠部分是6厘米，原来 两段纸条各长多少厘米？
2.把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。中间重合部 分长11
厘米，这两块木板各长多少厘米？
.

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3.两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，
中间重叠部分长1 2厘米。另一根木棍长多少厘米？

【例题4】一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪 明题的有
21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明
题都做对的有 几人？
【思路导航】根据题意，画出下图：
图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做 第一道题和做对第
二道题的人数加起来得21＋18=39人，这39人比全班总人数36多出了39－ 36=3人，
这多出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。
练习4：
1.三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳 绳比赛中的一种。已知参加赛跑
的有36人，参加跳绳的有38人。两项比赛都参加的有几人？

2.两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130
厘米的木板，中间重合部 分是多少厘米？

3.三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有1 7名，两种棋
都不会的有10名。两种棋都会下的有多少名？

【例题5】三（1） 班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸
都订的有10人，全班每人至少订一种 报纸。三（1）班有学生多
少人？
【思路导航】根据题意，画出下图：


从上图可以看出，中间重叠部分表示两份报纸都订的10人，这10人既被包括在订
《数学报》 的32人内，又被包括在订《阅读报》的30人内，重复算了一次，所以要算
.

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出全班人数，必须从32＋30=62人中去掉被重复算过的10人 。所以全班人数应是62－
10=52人。

练习5：
1.三（4）班做 完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成
的有31人，每人至少完成一种作业 。三（4）班共有学生多少人？
2.两块木板各长90厘米，像下图这样钉成一块木板，
中间 重合部分是15厘米，这块钉在一起的木板总长多少
厘米？

3.三年级有107个 小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人至
少带一种。三年级既带矿泉水又带水果 的小朋友有多少人？






第20讲 简单枚举
.
一、知识要点
枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地， 要根据问题要求，一一列
举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次 序、有
规律地进行枚举。
运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要 全，不能造成
遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。
二、精讲精练
【例题1】从小华家到学校有3条路可走，从学
校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公 园，
有几种不
.

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同的走法？
【思路导航】为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。
我们把小华的不同走法一一列举如下：
根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有 4种不同走法，走②路有4
种不同走法，走③路也有4种不同走法，共有4×3=12种不同走法。 < br>练习1：1.从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲
地到丙地有多 少种不同走法？
2.新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书< br>和一种数学读物，共有多少种不同买法？
3.明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不 同的鞋子。最多可搭配成多少
种不同的装束？
【例题2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？
【思路导航 】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信
号进行列举。可以看出，红色信号 灯排在第一个位置时，
有两种不同的信号，绿色信号灯排在第一个位置时，也
有两种不同的信号 ，黄色信号灯排在第一个位置时，也
有两种不同的信号，因而共有3个2种不同排列方法，即2×3=6 种。
练习2：1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不
同的 涂法？○○○
2.用数字1、2、3.可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？
3.用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？
【例题3】一个长方形的周 长是22米，如果它的长和宽
都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？
【思路导航 】由于长方形的周长是22米，可知它的长与
宽之和为11米。下面列举出符合这个条件的各种长方形：
练习3：1.一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个
长方形的 面积有多少种可能值？
2.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？
.

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3.3个自然数的乘积是18，问由这样的3个数所组 成的数组有多少个？如（1.2.9）
就是其中的一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组 ，如（1.2.9）和（2.9，
1）是同一数组。
【例题4】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？
【思路导航】 把4个小朋友分别编号：A、B、C、D，A与其他小朋友打电话，应该
打3次，同样B小朋友也应打3 次电话，同样C、D应该各打3次电话。4个小朋友，共
打了3×4=12次。但题目要求两个小朋友之 间只要通一次电话，那么A打电话给B时，
A、B两人已经通过话了，所以B没有必要再打电话给A，照 这样计算，12次电话中，有
一半是重复计算的，所以实际打电话的次数是3×4÷2=6次。
练习4：1.6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？
2.有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？
3.小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了
多少次手？
【例题5】一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中
间至少相隔 5个车站），那么这样的车票共有多少种？
我们可以利用列举的方法：
如果起点站是1.那 么终点站只能是7、8、9或10；如果起站站是2.那么终点站只
能是8、9或10；如果起点站是3 .那么终点站只能是9或10；如果起点站是4，终点站
只能是10；如果起点站是5、6时，就找不到 与它至少相隔5站的终点站了；如果起点
站是7，终点站只能是1；如果起点站是8，那么终点站是2或 1；如果起点站是9，那
么终点站是3、2或1；如果起点站是10，那么终点站是4、3、2或1。所 以，起点到终
点至少相隔5个车站的车票有：4＋3＋2＋1＋0＋0＋1＋2＋3＋4=20种。 < br>练习5：1.上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需
要多少种不同 的机票？
2.一条公路上，共有8个站点。如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔
3个车站），那么共有多少种不同的车票？
3.在长江的某一航线上共有6个码头，如果每个起点终点 只许用一种船票（中间至
少要相隔2个码头），那么这样的船票共有多少种？


.

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第二十一讲 错中求解
专题简析：
在进行加、减、乘、除运算时，要认真审题，不能抄错题目，不能漏掉 数字。计算
时要仔细小心，不能丝毫马虎，否则就会造成错误。
解答这类题，往往要采用倒推 的方法，从错误的结果入手分析错误的原因，最后利
用和差的变化求出加数或被减数、减数，利用积、商 的变化求出因数或被除数、除数。
例题1 小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位的5错看成2 ，另一个加数个
位上的4错看成1，结果计算的和为241。正确的和是多少？
思路导航：把 一个加数十位上的5看成2，少了3个10，这样和就减少了30；把另
一个加数个位上的4看作1，少 了3个1，这样和就少了3。小马虎算出的和比原来的和
少了30＋3=33，所以正确的和是241＋ 33=274。
练 习 一
1，小明在做一道加法时，把一个加数个位上的2看作了4 ，另一个加数个位上的7
看作9，结果计算的和为215。正确的和为多少？
2，小马虎在做 一道加法题时，把一个加数个位上的3看作了5，十位上的4看作7，
得到结果为376。正确的和是多 少？
3，小粗心在计算一道加法题时，把一个加数个位上的7看作1，十位上的3看作8，
结 果为342。正确的和是多少？
例题2 小马虎在做一道减法时，把减数十位上的2看作了5，结果得到的差是342，
正确的差是多少？ 思路导航：十位上的2表示2个十，十位上的5表示5个十，把十位上的2看作5，
就是把20看作 50，减数从20变为50，增加了30，所得的差减少了30，应在342中增
加30，才是正确的差 。340＋30=372
练 习 二
1，小马虎在做减法题时，把被减数十位上的3错 写成8，结果得到的差是284。正
确的差是多少？
2，在减法算式中，错把减数个位上的3写成了5，结果得到的差是254。正确的差
.

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是多少？
3，小丽在做一道减法时，错把被减数十位上的 2看作7，减数个位上的5看作8，
结果得到的差是592。正确的差是多少？
例题3 小 马虎在计算一道题目时，把某数乘3加20，误看成某数除以3减20，得
数是72。某数是多少？正确 的得数是多少？
思路导航：小马虎计算得到72，是先除再减得到的，我们可以根据逆运算的顺序把< br>72先加后乘，求出某数为（72＋20）×3=276，然后再按题目要求，按运算顺序求出正
确的数276×3＋20=848。
练 习 三
1，小丽在计算一道题时，把某数乘4 加20，误看成除以4减20，得数为35。某数
是多少？正确的结果是多少？
2，小粗心在 计算时，把一个数除以2减4，误看成乘2加上4，得数是36。正确结
果是多少？
3，小华 在计算一道题时，把一个数加上4乘2看作了乘2加上4，得数为40。正
确的得数是多少？
例题4 小马虎在做两位数乘两位数的题时，把乘数的个位上的5看作2，乘得的
结果是55 0，实际应为625。这两个两位数各是多少？
思路导航：我们可以用竖式来帮助分析：
×
5
624
×
2
5
5
0

乘数个位上的5看作2，结果比原来少了5－2=3个被乘数，实际的结果与错误的结
果相差625－ 550=75；75正好是被乘数的3倍，被乘数是75÷3=25，乘数是625÷25=25。
练 习 四
1，一位学生在做两位数乘法时，把乘数个位上的8错写成4，乘得的结果是1080，实际应为1260。这两个两位数分别为多少？
2，小华在做一道两位数乘法时，把乘数个位上的 3错写成5，乘得的结果是875，
正确的结果是805。这两个两位数分别是多少？
3，小芳在计算一道题时，把5×（△＋7）错写成5×△＋7，她得到的结果与正确
.

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答案相差多少？
例题5 小林在计算有余数除法时，把 被除数137当作173，结果商比正确结果大
了4，但余数恰好相同。正确的除法算式应是什么？ < br>思路导航：把被除数137当作173，被除数就多了173－137=36，因此商比正确结
果 大4，但余数相同，说明除数的4倍就是36。所以除数为36÷4=9，正确的除法算式
为137÷9 =15……2。
练 习 五
1，小红在计算有余数除法时，把被除数113错写成13 1，这样商比原来多2，但余
数恰好相同。正确的除数和余数是多少？
2，王刚在计算有余数 除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少9，但余
数恰好相同。正确的除法算式是怎样的 ？
3，小明在计算除法时，把被除数末尾的0漏写而成18，结果得到的商比正确的商
少54 。正确的除法算式是什么？





第二十二周 用对应法解
专题简析：
小朋友在解答应用题时，经常会碰到这样一类题，给定的数量和所对
应的数量关系是在变化的。为了使变化的数量看得更清楚，可以把已知条
件按照它们之间的对应 关系排列出来，进行观察和分析，从而找到答案。
这种解题的思维方法叫对应法。
在用对应法 解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式，并把这
些等式按顺序编号，然后认真观察，比较对应关 系的变化，以便寻找解题
的突破口。
例题1 奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔 枝，需花58元；
如果她买6千克梨和5千克荔枝，那么需花62元。问1千克梨和1千克荔
枝 各多少元？
.

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思路导航：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：
4千克梨＋5千克荔枝=58元 （1）
6千克梨＋5千克荔枝=62元 （2）
比较（1）和（2）式，发现两式中 荔枝的千克数相等，（2）式比（1）
式多了6－4=2千克梨，也就是多了62－58=4元，说明1 千克梨的价钱为4
÷2=2元，那么1千克荔枝的价钱就是（58－2×4）÷5=10元。
练 习 一
1，3筐苹果和5筐橘子共重270千克，3筐苹果和7筐橘子共重342< br>千克。一筐苹果和一筐橘子各重多少千克？
2，张老师为图书室买书，如果他买6本童话书和7 本故事书需要144
元；如果买9本童话书和7本故事书，需要174元。现在张老师买7本童
话书和6本故事书，共需多少元？
3，粮店运来一批粮食，4袋大米和5袋面粉共重600千克，2袋 大米
和3袋面粉共重340千克。一袋大米和一袋面粉各重多少千克？
例题2 学校买足球 和排球，买3个足球和4个排球共需要190元，
如果买6个足球和2个排球需要230元。一个足球和 一个排球各多少元？
思路导航：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：
3个足球＋4个排球=190元 （1）
6个足球＋2个排球=230元 （2）
我们把（1）、（2）两式进行比较，发现两组条件相加还是相减，都不
可能求出足球 和排球的单价，因为这里没有一个相同的条件可减去。再观
察我们可以发现：如果把（1）式同时扩大2 倍，得到6个足球和8个排球
共380元，然后再与（2）式进行比较，发现足球个数相同，而排球多了 6
个，也就多了380－230=150元，也就是6个排球是150元，一个排球为150
÷ 6=25元，那么一个足球是（190－25×4）÷3=30元。
练 习 二
1，5 筐番茄和2筐黄瓜共重330千克，3筐番茄和4筐黄瓜共重310
千克。一筐番茄和一筐黄瓜各重多少 千克？
2，4本练习本和5枝圆株笔共14元，2本练习本和4枝圆珠笔共10
元。一本练习 本和一枝圆珠笔各多少元？
.

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3，2件上衣和3条裤子 共480元，4件上衣和2条裤子共640地。一
件上衣和一条裤子各多少元？
例题3 商 店里有一些气球，其中红气球和蓝气球共21只，蓝气球和
黄气球共28只，黄气球和红气球共29只。 红气球、蓝气球和黄气球各有
多少只？
思路导航：根据题意，我们可以列出下列关系式：
红气球的个数＋蓝气球的个数=21 （1）
蓝气球的个数＋黄气球的个数=28 （2）
黄气球的个数＋红气球的个数=29 （3）
我们可将（1）＋（2）＋（3 ），即21＋28＋29=78只，这里包含有2
倍红气球的个数、2倍蓝气球的个数和2倍黄气球的个 数，由此，可得出三
种气球的总只数：78÷2=39只。然后再根据红气球和蓝气球共21只，可求< br>出黄气球的只数：39－21=18只；同理可求出红气球的个数是39×28=11只，
蓝气球 的个数是39－29=19只。
练 习 三
1，小明和小红共12岁，小红和小丽共17岁，小丽和小明共13岁。
三人各多少岁？ 2，新华书店有批书，故事书和连环画共70本，连环画和科技书共82
本，科技书和故事书共76 本。三种书各多少本？
3，公园开菊花展，白菊花和黄菊花共152盆，黄菊花和红菊花共128盆，红菊花和白菊花共168盆。三种菊花各几盆？
例题4 三年级三个班种了一片小树林，其 中72棵不是一班种的，75
棵不是二班种的，73棵不是三班种的。三个班各种了多少棵？
思路导航：“72棵不是一班种的”，说明二班和三班共种树72棵；“75
棵不是二班种的”，说明一 班和三班共种75棵，“73棵不是三班种的”，说
明一班和二班共种73棵。这样，我们就可以求出三 个班共种多少棵树：（72
＋75＋73）÷2=110棵。用110－72=38棵就是一班种的棵数 ，110－75=35
棵就是二班种的棵数，110－73=37棵就是三班种的棵数。
练 习 四
1，百货商店运来三种鞋子，其中37双不是皮鞋，54双不是运动鞋，
.

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51双不是布鞋。三种鞋各运来多少双？
2，一个班同学 在做作业，班主任问后得知：全班同学都只做完了语文、
数学英语作业其中的一种。有23人没有做完数 学作业，有19人没有做完
语文作业，有16人没有做完英语作业。做完三种作业的各多少人？
3，学校买四种颜色的气球，其中有93个不是红气球，有95个不是黄
气球，有98个不是蓝气球， 紫气球有10个。学校共买了多少个气球？
例题5 已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子 的重量，而4
个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量。问多少个李子的重量等于1
个桃子 的重量？
思路导航：根据题意列出等式：
13李=2苹＋1桃 （1）
4李＋1苹=1桃 （2）
把（2）式代入（1）式得：13李=2苹＋4李＋1苹
即9李=3苹，即3李=1苹 （3）
把（3）式代入（2）式得：4李＋3李=1桃
即：7李=1桃
练 习 五
1，3个菠萝的重量等于1个梨和1个西 瓜的重量，而1个菠萝和3个
梨的重量等于1个西瓜的重量。问多少个梨的重量等于1个西瓜的重量？
2，2个苹果的重量等于3个橘子和3个荔枝的重量，1个苹果和2个
荔枝的重量等于3个橘子 的重量。问3个橘子的重量等于多少个荔枝的重
量？
3，三个好朋友去文具店买东西，一人买 了4枝圆珠笔，一个买了2枝
钢笔，还有一个买了1枝钢笔1枝圆珠笔和4枝铅笔，三个人用掉的钱相< br>等。那么1枝钢笔的价钱相当于几枝铅笔的价钱？





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第24讲 简单推理
一、知识要点
数学课上，老师布置了一道题：
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
要 得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑
更灵活。数学上有许多重 大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。
解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中 几个图形之间的关系，
寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。
二、精讲精练
【例题1】下式中，□和△各代表几？
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
【思路导航 】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得到28=
△＋△＋△＋△，4个 △等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7
＋7＋7=21。
练习1：
1．☆＋○=18 ☆=○＋○ ☆=（ ） ○=（ ）
2．△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（ ） ○=（ ）
3．○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□ ○=（ ） □=（ ）
【例题2】下式中，□和△各代表几？
□×△=36 □÷△=4 □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□÷△=4可知△为一份，□是这样的4份，即□=4△；又根据□
×△ =36，可以得到4△×△=36，即△×△=9，进一步得到△=3，□=4△=4×3=12。
练习2：
1．○和□各表示几？
○×□=16 □÷○=4 ○=（ ） □=（ ）
2．想想，填填。
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○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△ ○=（ ） △=（ ）
3．□和○各代表几？
□=○＋○＋○＋○ ○×□=16 □=（ ） ○=（ ）
【例题3】下式中，□和△各代表几？
□＋□＋△=16 □＋△＋△=14 □=（ ） △=（ ）
【思路导航】16里面有2个□，1个△；14里面 有1个□，2个△，16减去14等
于2，即□－△=2，那么如果把△换成了□，则16需要加上2， 即□＋□＋□=16＋2，
那么□=（16＋2）÷3=6，△=16－6×2=4。
练习3：
1．□＋□＋○＋○=38 □＋□＋○=22 □=（ ） ○=（ ）
2．□＋□＋□＋△＋△=52 □＋□＋△＋△＋△=48
□=（ ） △=（ ）
3．○＋△＋□＋□=10 △＋□＋△＋□=12 △＋○＋□＋○=12
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
【例题4】下式中，□和○各代表几？
□＋□＋○＋○＋○=34 ○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48
□=（ ） ○=（ ）
【思路导航】34里面有2个□、3个○，48里面有3个□、4个○， 用48减去34
得到□＋○=14，34中有2个（□＋○）及1个○。所以，○=34－14×2=6 ，□=（34
－6×3）÷2=8。
练习4：
1．☆＋☆＋△＋△＋△=24 △＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36
☆=（ ） △=（ ）
2．○＋○＋○＋△＋△=54 △＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76
○=（ ） △=（ ）
3．□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96 △＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□
=123
□=（ ） △=（ ）
【例题5】下式中，□、☆和△各代表几？
☆＋☆=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△＋△＋△ ☆＋□＋△＋△=80
.

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☆=（ ） □=（ ） △=（ ）
【思路导航】因为2个☆ 等于3个□，3个□又等于4个△，所以2个☆等于4个
△，那么1个☆等于2个△。在☆＋□＋△＋△ =80中，2个△可以用1个☆替代，就
变为☆＋□＋☆=80，而2个☆又可以用3个□替代，也就是 □＋□＋□＋□=80，所以
□=20，☆=20×3÷2=30，△=20×3÷4=15。
练习5：
1．△＋△=○＋○＋○ ○＋○＋○=□＋□＋□ ○＋□＋△＋△=100
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
2．○＋○=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△ △＋□＋○=40
△=（ ） □=（ ） ○=（ ）
3．□＋□=○＋○＋○ ○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆
□＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320
○=（ ） □=（ ） ☆=（ ）




第二十五周 和倍问题
专题简析：
已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这 两个数分别是多少，像这样的应用题，
通常叫做和倍问题。要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是 根据题意，画出线段
图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。
解答和倍应用题，关键是 要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出1倍
数，再求出几倍数。数量关系可以这样表示：
两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数）
小数×倍数=大数（几倍数）
两数和－小数=大数
例题1 学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得 的本数是二年
级的2倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？
思路导航：将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是这样的2倍。
.

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如图所示：
二年级
1倍数
？本
共360本
三年级
？本

由图可知，二、三年级所得图书本数的和360本相当于二年级的（1＋2）倍，则二
年级所得图书本 数的360÷（1＋2）=120本，三年级为120×2=240本。
练 习 一
1 ，小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍。小红和小明各有压
岁钱多少元？
2，学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多
60本。二、三年 级各得图书多少本？
3，甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶 油
是乙桶的5倍？

例题2 小宁有圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯15枝，问 小青给小宁多少枝后，
小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍？
思路导航：我们把变化后小青的圆 珠笔芯枝数看作1倍数，那么小宁与小青圆珠笔
芯的枝数和相当于变化后小青枝数的9倍，所以变化后小 青的枝数为（30＋15）÷（1
＋8）=5枝，再用15－5=10枝，则表示小青给小宁的枝数。
练 习 二
1，红红有邮票80张，佳佳有邮票60张，要使红红的邮票张数是佳佳的4 倍，那
么佳佳必须给红红多少张邮票？
2，甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲水 池中的水以每分钟2吨的速度
流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍？
3 ，甲书架有图书18本，乙书架有图书8本，班图书管理员又买来图书16本，怎
样分配才能使甲书架图 书的本数是乙书架的2倍？

.

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例题3 被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是多少？
思路导航：由商是7可知，被除数是除 数的7倍，把除数看作1份数，被除数就有
这样的7份，一共7＋1=8份。
除数：320÷8=40
被除数：40×7=280

练 习 三
1，被除数和除数和为120，商是7，被除数和除数各是多少？
2，被除数、除数、商的和为79，商是4，被除数、除数各是多少？
3，两个整数相除商是 21，余数为1，已知被除数、除数、商、余数的和一共是441。
被除数、除数各是多少？

例题4 两数相除商为17余6，被除数、除数、商和余数的和是479。被除数和除
数分别为多少？
思路导航：被除数、除数、商和余数的和是479，减去商17和余数6，得到被除数
与除数的和为47 9－17－6=456；又因为被除数比除数的17倍多6，所以456－6=450就
相当于除数的（ 17＋1）倍，因此除数为450÷（17＋1）=25，被除数为25×17＋6=431。

练 习 四
1，两个整数相除商14余2，被除数、除数、商和余数的和是243，被除数比除数
大多少？
2，在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于240，而减数是差的5倍。差是
多少？
3，学校买来83本书，其中科技书是故事书的2倍，故事书比文艺书多5本，这三
种书各多少 本？

例题5 两个数之和是792，其中一个数的最后一位数数字是0，如果把0去掉， 就
与另一个数相同。这两个数分别是多少？
思路导航：把一个数的最后一位数字0去掉，就与 另一个数相同，说明这两个数中
大数是小数的10倍。又已知两个数之和是792，那我们就可以求出这 两个数分别是多少
.

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了。
小数：792÷（10＋1）=72
大数：72×10=720

练 习 五
1，两个数之和是253，其中一个数的最后一位数字是0，如果把0去掉，就与另一
个数相同。这两个数分别是多少？
2，师徒两人加工一批零件共693个，师傅加工零件个数的末位 数字是0，如果去掉
这个0，加工的个数就与徒弟一样多。师徒二人分别加工零件多少个？
3，甲、乙两数的和是209，甲数缩小10倍就和乙数同样大，甲、乙两数分别是多
少？





第二十六周 差倍问题（一）
专题简析：
前面我们已经初步掌握了“和倍问题”的特征和解题方法。如果知道了两个数的差
与两个数间的倍数关系，要求两个数各是多少，这一类题，我们则把它称为“差倍问题”。
小朋 友，你们有没有想到用解答和倍问题的类似方法解答差倍问题呢？
解答差倍问题与解答和倍问题相类似 ，要先找出差所对应的倍数，先求1倍数，再
求出几倍数。此外，还要充分利用线段图帮助分析数量关系 。
用关系式可以这样表示：
两数差÷（倍数－1）=较小的数（1倍数）
较小的数×倍数=较大的数（几倍数）
例题1 小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个。小
明买苹果和梨各多少个？
思路导航：将梨的个数看作1倍数，则苹果的个数是这样的3倍。如下图：
.

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梨
1倍
？个
多18个
苹果

从线段图上可以看出， 苹果的个数比梨多了3－1=2倍，梨的2倍是18个，所以梨
有18÷2=9个，苹果有：9×3=2 7个。
练 习 一
1，学校合唱组，女同学人数是男同学的4倍，女同学比男同学多4 2人。合唱组有
男、女同学各多少人？
2，一件皮衣价钱是一件羽绒服价钱的5倍，又已知一 件皮衣比一件羽绒服贵960
元。皮衣与羽绒服各多少元？
3，甲筐苹果是乙筐苹果的3倍， 如果从甲筐取出60千克放入乙筐，那么两筐苹果
重量就相等。两筐原来各有苹果多少千克？
例题2 被除数比除数大252，商是7，被除数、除数各是多少？
思路导航：根据“商是 7”可知，被除数是除数的7倍，把除数看作1倍数，被除
数就是这样的7份，比除数多6份。
所以除数是：252÷（7－1）=42
被除数是：42＋252=294
练 习 二
1，被除数比除数大168，商是22，被除数、除数各是多少？
2，除数比被除数小212，商是5，被除数、除数各是多少？
3，被除数比商大144，除数是7，被除数、商各是多少？
例题3 水果店有两筐橘子， 第一筐橘子的重量是第二筐的5倍，如果从第一筐中
取出300个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二 筐多60个。原来两筐橘子各有多少
个？
思路导航：根据“如果从第一筐中取出300个放入 第二筐，那么第一筐橘子还比第
二筐多60个”，说明原来第一筐比第二筐橘子多300×2＋60=6 60个。把第二筐的橘子
重量看作1倍数，第一筐橘子是这样的5倍，比第二筐多4倍，第二筐橘子的4 倍正好
.
？个

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是660个，所以第二筐原有橘子 ：660÷4=165个，第一筐橘子原来有：165×5=825个。
练 习 三
1 ，同学们捐助残，六年级捐款钱数是三年级的3倍。如果从六年级捐款钱数中取
出160元放入三年级， 那么六年级捐款的钱数还比三年级多40元。两个年级分别捐款
多少元？
2，人民公园的杜鹃 花盆数是长春园的4倍，如果从人民公园搬出188盆杜鹃花放
入长春园，则人民公园的杜鹃花盆数就比 长春园的少25盆。原来两个公园各有杜鹃花
多少盆？
3，两堆煤重量相等，现从甲堆中运走 24吨到乙堆，而乙堆煤中又运入8吨，这时
乙堆煤的重量正好是甲堆煤重量的3倍。问两堆煤原来各有 多少吨？
例题4 甲、乙两个数，如果甲数加上280就等于乙数，如果乙数加上320就等于甲数的3倍。两个数各是多少？
思路导航：根据题意，画出线段图：
甲
？
乙

“甲数加上280就等于乙数”，说明乙数比甲数大280 ；如果乙数再加上320，甲、
乙就相差320+280=600，把甲数看作1倍数，从图上可以看出 ，600就相当于甲数的3
－1=2倍。所以，甲数为600÷2=300，乙数为300＋280=5 80。
练 习 四
1，甲、乙两人的存款相等，甲取出60元，乙存入20元后，乙的 存款是甲的3倍。
甲、乙两人原有存款各多少元？
2，小明和小华的连环画本数相等，若小明 借给小华6本，小华的本数是小明的4
倍。原来两人各有连环画多少本？
3，两筐千克数相同 的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐余下的苹
果是乙筐的3倍。两筐苹果原来各有多少 千克？
例题5 两个书架所存书的本数相等，如果从第一个书架里取出200本书，而第二
280
？
320
.

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个书架再放入40本 书，那么第二个书架的本数是第一个书架的3倍。问两个书架原来
各存书多少本？
思路导航：根据题意，画出线段图。
1倍数
第一个书架
？本
第二个 书架
？本
取出200本
40本

从线段图上可以看出，第一个书架取 出200本，第二个书架放进40本书后，两个
书架就相差200+40=240本，把变化后的第一个 书架看作1倍数，两个书架相差的240
本就相当于变化后第一个书架的（3－1）倍。所以，变化后第 一个书架有书：
（200＋40）÷（3－1）=120本
两个书架原来各有：120＋200=320本。
练 习 五
1，两个仓库所 存粮食重量相等，如果从第一个仓库里取出2000千克，而第二个仓
库再存入400千克，那么第二个 仓库的粮食重量就是第一个仓库的7倍。两个仓库原来
各存粮食多少千克？
2，小红和小明的 铅笔枝数相等，如果奶奶再给小红16枝铅笔，给小明2枝铅笔，
那么小红的铅笔枝数就是小明的3倍。 原来小红和小明各有铅笔多少枝？
3，商店有数量相等的英语本和算术本，英语本卖出160本，算术 本卖出420本后，
余下的英语本数是算术本的3倍。两种本子原来各有多少本？






.

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第二十七周 差倍问题（二）
专题简析：
有些差倍问题比较复杂，不能直接利用 公式进行解答，这时需要我们小朋友仔细审
题，尤其注意一些隐含条件，同时借助线段图帮助理解题意， 从而找到解题方法。
较复杂的差倍应用题，数量关系比较隐蔽。先依题意画出线段图，数量关系就会比
较清晰地展现出来，然后借助线段图找出两个数的差以及所对应的倍数，再利用公式进
行解答。
例题1 有两袋玉米，大袋比小袋多56千克，如果将小袋的玉米吃掉4千克，这时
大袋的玉 米重量是小袋的4倍。两袋玉米原来各重量多少千克？
思路导航：根据题意，画出线段图。
4千克
小袋玉米
？千克
大袋玉米
？千克
56千克

从图上可以看出，小袋玉为吃掉4千克后，大袋里的玉米就比小袋现有玉米重
4+56=60千 克；又根据“这时大袋的玉米重量是小袋的4倍”，可知把小袋现有的玉米重
量看作1倍数，大袋比小袋 多的60千克正好相当于现有小袋的4－1=3倍，所以小袋现
有玉米60÷3=20千克，原有重量2 0+4=24千克，大袋原有20×4=80千克。
练 习 一
1，有两箱玩具，第一 盒比第二盒多60只。如果从第二盒中取出3只，这时第一盒
的只数是第二盒的8倍。求两箱玩具原来各 有多少只？
2，一个书架上放着一些书，第二层比第一层多12本。如果从第一层中拿走6本，
这时第二层的本数是第一层的4倍。求第一、第二层原来各有多少本书？
3，甲、乙两桶油各有油若 干千克，甲桶的油比乙桶少20千克，如果从甲桶倒出5
千克放入5千克，这时乙桶内油的重量是甲桶的 4倍。甲、乙两桶原来各有油多少千克？
例题2 有甲、乙两桶色拉油，如果向甲桶中倒入8千克， 则两桶色拉油就一样重；
如果向乙桶中倒入12千克，乙桶的色拉油就是甲桶的5倍。甲、乙两桶原来各 有色拉
.

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油多少千克？
思路导航：根据题意，画出线段图。
1倍数
甲桶
？千克
乙桶
倒入8千克
倒入12千克
？千克

从线段图上可以看出：如果向甲桶倒入8 千克，两桶油重量相等，说明乙桶油比甲
桶油多8千克；如果向乙桶倒入12千克，乙桶油就比甲桶油多 8+12=20千克，与20千
克相对应的倍数差是5－1=4倍。所以，甲桶原有：（8+12）÷（ 5－1）=5千克，乙桶原
有5+8=13千克。
练 习 二
1，有甲、乙两 桶水，如果向甲桶中倒入10千克水，两桶水就一样多；如果向乙桶
中倒入4千克水，乙桶的水就是甲桶 的3倍。原来甲、乙两桶各有多少千克水？
2，三（1）班同学参加英语比赛，如果男生少去1人，男 、女参赛人数相等；如果
女生少去1人，男生参赛人数是女生的2倍。三（1）班参加英语比赛的男、女 生各几
人？
3，小敏和小文每人都有一些玻璃球，如果小敏给小文3粒，两人的玻璃球数就一
样多；如果小文给小敏1粒，小敏的玻璃球数就是小文的5倍。小敏、小文原有玻璃球
各几粒？
例题3 甲的钱数是乙的3倍，甲买一套180元的《百科大全》，乙买一套30元的
故事书 后，两人余下的钱一样多。甲原来有多少钱？
思路导航：根据题意，画出线段图。
.

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30元
乙
180元
甲
？元

把乙原有的钱看作1份 ，甲原有的钱不是3份；甲买书用去180元，乙买书用去30
元，甲比乙多用去180－30=150 元。从图上可以看出，这多出的150元正好相当于乙原
有钱数的3－1=2倍，所以乙原有钱：150 ÷2=75元，甲原有钱75×3=225元。
练 习 三
1，甲的钱数是乙的4倍， 甲买了一只30元的书包，乙买了一枝6元的钢笔后，两
人余下的钱一样多。甲原来有多少钱？
2，丹丹的钱数是小敏的5倍，丹丹买了一套115元的衣服，小敏买了一双15元的
鞋子后，两人余 下的钱一样多。丹丹原来有多少钱？
3，云云的钱是小月的4倍，云云买了一套水彩笔用了19元钱， 小月买了一块1元
钱的橡皮后，两人剩下的钱一样多。云云原来有多少钱？
例题4 学校里 白粉笔的盒数是彩色粉笔的4倍，如果白粉笔和彩色粉笔各购进12
盒，那么白粉笔的盒数是彩色粉笔的 3倍。原来白粉笔和彩色粉笔各有多少盒？
思路导航：根据题意，如果彩色粉笔购进12盒，而白粉笔 购进12×4=48盒，那么
现在白粉笔的盒数仍是彩色粉笔的4倍，可见48－12=36盒就是彩色 粉笔现有盒数的4
－3=1倍，所以彩色粉笔现有36÷1=36盒，原来有36－12=24盒，白粉 笔原有24×4=96
盒。
练 习 四
1，有甲、乙两筐苹果，甲筐苹果的千 克数是乙筐的3倍，如果两筐苹果各增加8
千克，那么甲筐苹果的千克数就是乙筐的2倍。甲、乙两筐原 来各有多少千克苹果？
2，小明和聪聪各有一些彩色笔，小明彩色笔的枝数是聪聪的5倍。如果每人再 买4
枝彩色笔，那么小明的枝数就是聪聪的4倍。小明和聪聪原来各有彩色笔多少枝？
3，有 甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油的5倍。如果每桶分别倒入8千克的
油，那么甲桶油的重量是乙桶 油的3倍。甲、乙两桶原来各有多少千克油？
.

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例题5 天天小学买来了一批篮球和足球，篮球的个数比足球的4倍多5个，篮球
比足球多26个。篮球和足球各 多少个？
思路导航：根据题意，画出线段图。
?个
足球
多26个
篮球
多5个
?个

从图 上可以看出，如果把足球的个数看作1倍数，那么篮球减少5个就是足球个数
的4倍，所以足球有（26 －5）÷（4－1）=7个，篮球有7×4＋5=33个。
练 习 五
1，商店里有一 些红皮球和白皮球，红皮球的个数比白皮球的3倍多2个，红皮球
比白皮球多24个。红、白皮球各有多 少个？
2，有两袋面粉，甲袋面粉比乙袋面粉的5倍多12千克，乙袋比甲袋少132千克。
甲、乙两袋面粉各多少千克？
3，图书室里有一些故事书和连环画，故事书的本数比连环画的4倍少8 本，故事
书比连环画多28本。图书室里有故事书和连环画各多少本？





第二十八周 和差问题
专题简析：
已知大小两个数的和及 它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为和差问
题。掌握了和差问题的特征和规律，我们解答 起来就很方便了。
解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数增加到与大
.

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数同样多，先求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，再
求大数。
用数量关系表示：
（和＋差）÷2=大数
（和－差）÷2=小数
例题1 期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分。两人
各考了多少分？
思路导航：根据题意画出线段图。
王平
?分
李杨
?分
< br>188分
我们可以用假设法来分析。假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加4分，变
为188+4=192分，这就表示王平的2倍，所以王平考了：192÷2=96分，李杨考了96－
4=92分。
练 习 一
1，两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克。两筐水果各重多少千克？
2，小宁与小慧的身高总和是264厘米，又已知小宁比小慧矮8厘米。两人分别高
多少厘米？
3，三（1）班和三（2）班共有学生124人，如果从三（2）班调2人到三（1）班，
两班 学生同样多。三（1）班、三（2）班原来各有学生多少人？
例题2 某机床厂第一、二两个车间共 有车床96部，如果第一车间拨给第二车间8
部，那么两个车间车床数相等。两个车间各有车床多少部？
思路导航：用线段图表示题意。
.

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8部
第一车间
?部
第二车间

已知第一、二两个车间共有车 床96部，又根据“如果第一车间拨给第二车间8部，
两个车间车床数相等”，从线段图上我们可以看出 第一车间原来比第二车间多8×2=16
部车床。所以，第一车间原有：（96+8×2）÷2=56部 ，第二车间原有56－8×2=40部。
练 习 二
1，红星小学一年级新108人， 分成甲、乙两个班。如果从甲班转3个学生到乙班
去，两班学生就一样多。甲、乙两班各有学生多少人？
2，甲、乙两筐共有水果80千克，若从甲箱取出6千克放到乙箱中，这时两箱水果
同样多。两 箱原来各有水果多少千克？
3，有三只船共运木板9800块，第一只船比其余两船共运的少1400 块，第二只船
比第三只船少运200块。三只船各运木板多少块？
例题3 哥弟俩共有邮票 70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2
张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？ 思路导航：我们可以这样想，哥弟俩共有邮票70张，根据“如果哥哥给弟弟4张，
还比弟弟多2张 ”，说明原来哥哥比弟弟多4×2＋2=10张邮票。所以，弟弟有邮票：（70
－10）÷2=30张 ，哥哥有邮票30+10=40张。
练 习 三
1，一只两层书架共放书72本，若从 上层中拿出9本给下层，上层比下层多4本。
上、下层各放书多少本？
2，姐姐和妹妹共有糖 果39块，如果姐姐给妹妹7块，就比妹妹少3块。那么姐姐
和妹妹原来各有糖果多少块？
3 ，两笼兔子共16只，若甲笼再放入4只，乙笼取出2只，这时两笼兔子只数就同
样多。甲、乙两笼原来 各有兔子多少只？
例题4 把一条100米长的绳子剪成三段，要求第二段比第一段多16米，第三 段比
第一段少18米。三段绳子各长多少米？
.
96部
?部
8部

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思路导航：用线段图来表示题意。
第一段
？米
第二段
？米
第三段

可以这样想：把第 一段绳子的长度当作标准，假设第二、第三段绳子都和第一段同
样长，那么总长就变为100－16＋1 8=102米。
第一段绳子长：102÷3=34米
第二段绳子长：34+16=50米
第三段绳子长：34－18=16米
练 习 四
1，某工厂第一、二、三车间 共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二
车间比第三车间多15人。三个车间各有工人多 少人？
2，某工厂将857元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250
元，第二名比第三名多得125元。三名优秀工人各得多少元？
3，小明期终考试的语文、数学和英 语的平均分是95分，数学比语文多6分，英语
比语文多9分。小明期终考试三门功课各多少分？
例题5 四个人年龄之和是88岁，最小的3岁，他与最大的年龄之和比另外两个人
年龄之和 大8岁。最大的年龄是多少岁？
思路导航：我们可以这样思考，将最大、最小两个人年龄的和与另外两 人年龄和分
别看作大数与小数，根据四个人的年龄和是88岁，年龄差是8岁，即可求出大数与小
数。
大数：（88+8）÷2=48岁
最大的年龄：48－3=45岁
练 习 五
1，小军一家四口年龄之和是129岁，小军7岁，妈妈30岁，小军与爷爷年龄这和
16米
100米
？米
18米
.

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比他父母年龄之和大5岁。爷爷和爸爸的年龄各是多少岁？
2，某校四个年龄共有438名学 生，其中一年级119人，四年级101人，一、二年
级的总人数比三、四年级的总人数多52人。二、 三年级各有多少人？
3，某校四个年级共有138名学生参加数学竞赛，其中一、二年级共70名，一 、三
年级共65名，二、三年级共59名。四年级有多少名？





第二十九周 年龄问题
专题简析：
年龄问题可以说是前面 所讲的和差问题及差倍问题的综合，要正确解答这类题，首
先要弄清：两个不同年龄的人，年龄之差始终 不变，但两个人年龄的倍数关系却在不断
地变化。
年龄问题的主要特征是：大小年龄差是一个 不变的量。我们可以抓住差不变这个特
点，利用和差、差倍等知识来分析解答这类应用题。
例题1 三年前爸爸年龄是女儿的4倍，爸爸今年43岁，女儿今年多少岁？
思路导航：由 题意可知爸爸今年43岁，则三年前爸爸的年龄是43－3=40岁，40
岁正好是女儿年龄的4倍，女 儿三年前的年龄是40÷4=10岁，今年女儿的年龄是10＋
3=13岁。
练 习 一
1，四年前小林年龄是小丽的2倍，小林今年12岁，小丽今年多少岁？
2，五年前爷爷年龄是孙子的7倍，孙子今年14岁，爷爷今年多少岁？
3，儿子今年10岁，爸爸今年34岁。几年前，爸爸的年龄是儿子的4倍？
例题2 明明4岁时，妈妈年龄是明明的8倍。今年明明12岁，妈妈今年多少岁？
思路导航：妈妈的年龄是明 明的8倍，那么妈妈与明明的年龄相差4×8－4=28岁。
妈妈与明明的年龄差是不变的，今年明明1 2岁，那么妈妈的年龄是12＋28=40岁。
练 习 二
1，玲玲7岁时，爸爸年龄是玲玲的5倍。今年爸爸40岁，玲玲今年多少岁？
.

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2，爷爷63岁时，他的年龄是小青的9倍。今年小青12岁，爷爷今年多少岁？
3，两年前妈妈年龄是儿子的5倍，儿子今年9岁，妈妈今年多少岁？
例题3 女儿今年3岁，妈妈今年33岁。几年后，妈妈的年龄是女儿的7倍？
思路导航：女儿今年3岁，妈妈 今年33岁，她们的年龄差是33－3=30岁。她们年
龄差不变，几年后，妈妈的年龄是女儿的3倍， 把女儿的年龄看作1份，妈妈的年龄就
有7份，相差7－1=6份，6份是30岁，所以几年后女儿的年 龄是30÷6=5岁。也就是
说，5－3=2年后，妈妈的年龄是女儿的7倍。
练 习 三
1，小明今年7岁，爷爷今年62岁。几年前，爷爷的年龄是小明的12倍？
2，儿子今年2岁，爸爸今年的年龄是儿子的16倍。几年后，爸爸的年龄是儿子的
7倍？
3，妈妈今年26岁，是小玲年龄的13倍。几年后，妈妈的年龄是小玲的7倍？
例题4 4年前，妈妈的年龄是女儿的3倍，4年后，母女年龄和是56岁。妈妈今
年多少岁？
思路导 航：4年后，母子的年龄和是56岁，可求出今年母子年龄和是56－4×2=48
岁。4年前母子年龄 和是48－4×2=40岁。又根据4年前，妈妈年龄是女儿的3倍，把
女儿年龄看作1份，妈妈的年龄 就有这样的3份，共有3＋1=4份。所以4年前女儿的
年龄是40÷4=10岁，妈妈今年的年龄是1 0×3＋4=34岁。
练 习 四
1，3年前，哥哥的年龄是弟弟的2倍。3年后，哥弟俩的年龄和是30岁。哥哥今
年多少岁？
2，5年前，小明的年龄是小红的3倍。5年后，小明和小红年龄和是44岁。今年
小明多少岁 ？
3，7年前，姐姐的年龄是妹妹的4倍。7年后，姐妹俩的年龄和是48岁。姐姐今
年多少岁？
例题5 明明今年12岁，强强今年7岁，当两人的年龄和是45岁时，两人各多少
岁？ < br>思路导航：明明和强强的年龄差为12－7=5岁，这是一个不变量。当两人的年龄和
是45岁时 ，明明比强强还是大5岁，如果从两人的年龄和45岁里减去两人的年龄差5
岁，得到的就是两个强强的 年龄。所以，强强的年龄是（45－5）÷2=20岁，明明的年
.

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龄是20＋5=25岁。
练 习 五
1，小红今年4岁，小平今年10岁，当两人的年龄和是30岁时，两人各多少岁？
2，聪聪今年2岁，妈妈今年28岁。当母子俩的年龄和是42岁时，两人各多少岁？
3，兰兰今年12岁，婷婷今年14岁，当两人的年龄和是40岁时，两人各多少岁？





第三十周 用还原法解题
专题简析：
“一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几？”像这
样已知一个数的变 化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做“还原问题”。
解答还原问题，一般采用倒推法， 简单说，就是倒过来想。
解答还原问题，我们可以根据题意，从结果出发，按它变化的相反方向一步步 倒着
推想，直到问题解决。同时，可利用线段图表格帮助理解题意。
例题1 一个减24加上15，再乘8得432，求这个数。
思路导航：我们可以从最后的结果432出发倒着 推想。最后是乘8得432，如果不
乘8，那应该是432÷8=54；如果不加上15，应该是54－ 15=39；如果不减去24，那应
该是39＋24=63。
因此，这个数是63。
练 习 一
1，一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3。这个数是几？
2，一个数的4倍加上6减去10，再乘2得88，求这个数。
3，一个数缩小2倍，再缩小2倍得80，求这个数。
例题2 一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，还剩8米。这段布
原来长多少米？
思路导航：根据题意，画出线段图。
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全长的一半
余下的一半
8米
？米

从上面的线段图可以看出 ：剩下的8米和余下的一半同样多，那么原长的一半是：
8×2=16米，原来长：16×2=32米。
练 习 二
1，某水果店卖西瓜，第一次卖掉总数的一半，第二次卖掉剩下的一半，这时 还剩
10只西瓜。原有西瓜多少只？
2，某人乘船从甲地到乙地，行了全程的一半时开始睡觉 ，当他睡醒时发现船又行
了睡前剩下的一半，这时离乙地还有40千米。甲、乙两地相距多少千米？ < br>3，有一箱苹果，第一次取出全部的一半多1个，第二次取出余下的一半多1个，
箱里还剩下10 个。箱里原有多少个苹果？
例题3 甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本，乙给丙5本后， 三人的本
数同样多。乙原来比丙多多少本？
思路导航：因为乙给丙5本后，两人同样多，可知 乙比丙多5×2=10本，而这10
本中又有3本是甲给的，所以原来乙比丙多10－3=7本。
练 习 三
1，小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松给小明10个，小明给小 航6个
后，三人的个数同样多。
2，甲、乙、丙三个组各有一些图书，如果甲组借给乙组13 本后，乙组又送给丙组
6本，这时三个组的图书本数同样多。原来乙组和丙组哪组的图书多，多几本？
3，甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡若干张，如果甲给乙13张，乙给丙23张，
丙给甲3张 ，那么他们每人各有30张。原来3人各有年历卡多少张？
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例题4 李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多10个，下午又卖出剩下的一半多
10个， 最后还剩65个鸡蛋没有卖出。李奶奶原来有多少个鸡蛋？
思路导航：根据题意，画出线段图。
总数的一半
余下的一半
多10个
多10个
剩下65个
从图上可以看出，最后剩下的65个鸡蛋加上10个正好是余下的一半，余下的一半
为65+10= 75个，所以上午卖出后余下75×2=150个；150个加上10个就是总数的一半，
所以总数的一 半是150+10=160个，总数为：160×2=320个。
练习四
1，竹篮内有若干 个李子，取它的一半又1枚给第一人，再取余下的一半又2枚给
第二人，还剩6枚。竹篮内原有李子多少 枚？
2，王叔叔拿工资若干元，从工资中拿出一半多10元存入银行，又拿出余下的一半
多5 元买米、米，剩下80元买菜。王叔叔拿工资多少元？
3，妈妈买来一些橘子，小明第一天吃了一半多 2个，第二天吃了剩下的一半少2
个，还剩下5个。妈妈买了多少个橘子？
例题5 小红、 小青、小宁都喜爱画片，如果小红给小青11张画片，小青给小宁
20张画片，小宁给小红5张画片，那 么他们三人的画片张数同样多。已知他们共有画片
150张，他们三人原来各有画片多少张？
思路导航：三人画片进行交换，其总张数是不会改变的。交换以后三人张数相等，
那每人应有：150÷ 3=50张。再对照题中条件，把各人的画片还原，便可得到他们三人
原来画片的张数。
小红：50＋11=61张；
小青：50－11＋20=59张；
小宁：50－20＋5=35张。
练 习 五
1，三筐苹果共放90千克，如 果从甲筐取出15千克放入乙筐，从乙筐取出20千克
放入丙筐，从丙筐取出17千克放入甲筐，这时三 筐苹果就同样重。甲、乙、丙筐原来
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各有苹果多少千克？
2，三年级三个班共有学生156人，若从一班调5人到二班，从二班调 8人到三班，
从三班调4人到一班，这时每个班的人数正好相同。三个班原来各有学生多少人？
3，小林、小方、军军、小敏四个好朋友都爱看书，如果小林给小方10本书，小方
给军军12本书， 军军给小敏20本，小敏再给小林14本，四个人书的本数同样多。已
知他们共有112本书，他们4人 原来各有多少本书？





第三十一周 用假设法解题
专题简析：
假设是数学中思考问题的一常见的方法，有些应用题乍看很难求出 答案，但是如果
我们合理地进行假设，往往会使问题得到解决。所谓假设法就是依照已知条件进行推算，
根据数量上出现的矛盾，作适当的调整，从而找到正确答案。我国古代趣题“鸡兔同笼”
就是运 用假设法解决问题的一个范例。
解答“鸡兔同笼”问题的基本关系式是：
兔数=（总脚数－每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数－每只鸡脚数）
用假设法解答类 似“鸡兔同笼”的问题时，可以根据题意假设几个量相同，然后进
行推算，所得结果与题中对应的数量不 符合时，要能够正确地运用别的量加以调整，从
而找到正确的答案。
例题1 鸡、兔共30只，共有脚84只。鸡、兔各有多少只？
思路导航：
假设全是鸡，共有脚：30×2=60只；
比实际少：84－60=24只；
这是因为把4只脚的兔子都按2只脚的鸡计算了。
每把一只兔子算作一只鸡，少算：4－2= 2只脚，现在共少算了24只脚，说明把：
24÷2=12只兔子按鸡算了。
所以，共有兔子12只，有鸡30－12=18只。
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练 习 一
1，鸡、兔共100只，共有脚280只。鸡、兔各多少只？
2，鸡、兔共50只，共有脚160只。鸡、兔各几只？
3，鸡、兔共45只，鸡的脚比兔的脚多60只。鸡、兔各多少只？
例题2 鸡、兔共笼，鸡比兔多30只，一共有脚168只，鸡、兔各多少只？
思路导航：因为鸡比兔多30只 ，则可以把30只鸡的脚从总数中去掉，剩下的鸡兔
就同样多了。每一对鸡和兔共4＋2=6只脚，用6 去除剩下的鸡兔总脚数，就可求出兔
的只数。
兔的只数：（168－2×30）÷（4＋2）=18只；
鸡的只数：18＋30=48只。
练 习 二
1，鸡兔共笼，鸡比兔多25只，一共有脚170只。鸡、兔各几只？ 2，买甲、乙两种戏票，甲种票每张4元，乙种票每张3元，乙种票比甲种票多买
了9张，一共用去 97元。两种票各买了几张？
3，鸡兔共有脚48只，如果将鸡的只数与兔的只数互换则共有脚42只。鸡、兔各
几只？
例题3 某学校举行数学竞赛，每做对一题得9分，做错一题倒扣3分。共有12
道题，王刚 得了84分。王刚做错了几题？
思路导航：这类题实与鸡兔同笼同类，还用假设法进行思考。
若全做对，应得9×12=108分，现在少了108－84=24分。为什么会少24分，因为
做错 一题，不但得不到9分，反而需要倒扣3分，里外少了12分，所以错了24÷12=2
题。
练 习 三
1，某小学进行英语竞赛，每答对一题得10分，答错一题倒扣4分，共15 题，小
华得了102分。小华答对几题？
2，运输衬衫400箱，规定每箱运费30元，若损 失一箱，不但不给运费，并要赔偿
100元。运后运费为8880元，损失了几箱？
3，某车 间生产一批服装共250件，生产1件可得25元，如果有1件不符合要求，
则倒扣20元。生产后得到 费用5350元，有几件不符合要求？
例题4 水果糖的块数是巧克力糖的3倍，如果小红每天吃2块水果糖，1块巧克
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力糖，若干天后，水果糖还剩下7块，巧克力糖正好吃完。原来水果糖有几块？
思路导航：水 果糖的块数是巧克力糖的3倍，如果小红每天吃1块巧克力糖，3块
水果糖，那若干天后，两种糖正好同 时吃完。现在小红每天吃2块水果糖，少吃3－2=1
块，结果若干天后水果糖还剩下7块。所以共吃了 7÷1=7天，水果糖有2×7＋7=21块。
练 习 四
1，小英家有些梨和苹果， 苹果的个数是梨的3倍，爸爸和小英每天各吃1个苹果，
妈妈每天吃1个梨。若干天后，苹果还剩9个， 而梨恰巧吃完。原来苹果有多少个？
2，某商店有些红气球和黄气球，红气球的只数是黄气球的4倍。 每天卖出2只红
气球和1只黄气球，若干天后，红气球剩下12只，黄气球刚好卖完。红气球原来有多< br>少只？
3，四（3）班有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔是彩色粉笔的7倍。每天用去2盒白粉笔和1盒彩色粉笔，当彩色粉笔全部用完时，白色粉笔还剩10盒。原来白色粉
笔有多少盒？
例题5 学校买来8张办公桌和6把椅子，共花去1650元。每张办公桌的价钱是每
把椅子 的2倍，每张办公桌和每把椅子各多少元？
思路导航：假设学校买的全部是办公桌，根据“每张办公桌 的价钱是每把椅子的2
倍”，则买6把椅子的价钱只能买6÷2=3张办公桌，那么1650元就相当于 8＋3=11张
办公桌的价钱。
所以，每张办公桌：1650÷11=150元
每把椅子：150÷2=75元。
练 习 五
1，买4张办公桌9把椅子共用 252元，1张桌子和3把椅子的价钱正好相等。桌、
椅单价各多少元？
2，学校买来4个篮 球和5个排球，共用了185元。已知1个篮球比1个排球贵8
元，那么篮球每个多少元？排球每个多少 元？
3，小明买2个乒乓球和4个皮球共用去52元，6个乒乓球的价钱相当于1个皮球
的价 钱。乒乓球、皮球的单位各多少元？



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第三十二周 平均数问题
专题简析： 在日常生活中，我们会遇到下面的问题：有几个杯子，里面的水有多有少，为了使
杯中水一样多，就 将水多的杯子里的水倒进水少的杯子里，反复几次，直到几个杯子里
的水一样多。这就是我们所讲的“移 多补少”，通常称之为平均数问题。
解答平均数应用题关键是要求出总数量和总份数，然后再根据“总 数量÷总份数=
平均数”这个数量关系式来解答。
例题1 用4个同样的杯了装水，水面的 高度分别是8厘米、5厘米、4厘米、3厘
米。这4个杯子里水面的平均高度是多少厘米？
思 路导航：根据已知条件，先求出4个杯子里水的总厘米数，再用总厘米数除以杯
子的个数就可以求出平均 每个杯子里水面的高度。
（8＋5＋4＋3）÷3=5厘米
练 习 一
1， 小华期末测试语文、数学、英语、社会分别得了90分、96分、92分、98分，
这四门的平均分是多 少？
2，某校1——4年级分别有260人、300人、280人、312人，平均每个年级有多少< br>人？
3，甲筐有梨32千克，乙筐有梨38千克，丙、丁筐共有梨50千克，平均每筐多少
千克？
例题2 幼儿园小朋友做红花，小华做了7朵，小方做了9朵，小林和小宁合做了
12朵。平 均每个小朋友做了多少朵？
思路导航：根据已知条件，先求出做花的总朵数，再用花的总朵数除以人数 就可求
出平均每人做花的朵数。
（7＋9＋12）÷4=7朵

练 习 二
1，一个书架上第一层放书52本，第二层和第三层共放70本，第四层放了46本，
平均 每层放书多少本？
2，某工厂第一、二车间共有工人180人，第三车间有103人，第四车间有81人。
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平均每个车间多少人？
3，商店有蓝色气球和红色气球共 43只，黄气球有20只，绿气球有33只。平均每
种气球多少只？
例题3 植树小组植一 批树，3天完成。前2天共植113棵，第3天植了55棵。植
树小组平均每天植树多少棵？
思路导航：要求植树小组平均每天植树的棵数，必须知道植树的总棵数和植树的天
数，植树的总棵数用前 2天植的113棵加上第3天植的55棵：113＋55=168棵，植树的
天数为3天。所以，平均每 天植树：168÷3=56棵。
练 习 三
1，小佳期中考试语文、数学总分为197 分，外语考了91分，小佳三门功课的平均
成绩是多少分？
2，小红、小青的平均身高是10 3厘米，小军的身高是115厘米，三个人的平均身
高是多少厘米？
3，一个同学读一本故事 书，前4天每天读25页，以后每天读40页，又读了6天
正好读完。这个同学平均每天读多少页？
例题4 一辆摩托车从甲地开往乙地，前2小时每小时行驶60千米，后3小时每小
时行驶7 0千米。平均每小时行驶多少千米？
思路导航：根据已知条件，先求这辆摩托车行驶的总路程：60× 2＋70×3=330千米，
再求行驶的总时间：2＋3=5小时。所以，平均每小时行驶：330÷5 =66千米。
练 习 四
1，小华家先后买了两批小鸡，第一批的20只每只重60克 ，第二批的30只每只重
70克。小华家的小鸡平均多重？
2，少先队员为饲养场割草，第一 组7人，平均每人割草13千克，第二组5人，平
均每人割25千克。平均每人割草多少千克？
3，一小组同学量身高，其中2人都是124厘米，另外4人都是130厘米。这组同
学的平均身高是 多少？
例题5 数学测试中，一组学生的最高分是98分，最低分是86分，其余5名学生
的平均分为92分。这一组学生的平均分是多少分？
思路导航：要求平均分，应用总分数÷总人数=平 均分，依题意，总分数为：98＋
86＋92×5=644分，总人数为：1＋1＋5=7人。
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所以，这组学生的平均分为：644÷7=92分。
练 习 五
1，一组同学进行立定跳远，最远的跳了152厘米，最近的跳了144厘米 ，其余6
名同学都跳了148厘米。这一组同学的平均跳远成绩是多少？
2，一组学生测量身 高，最高的是150厘米，最矮的是136厘米，其余4名同学都
是143厘米。这组同学的平均身高是 多少？
3，音乐考试中，一组学生中有2人得了最高分90分，1人得了最低分70分，其余
5名同学都得了78分。这组学生的平均成绩是多少?





第三十三周 平均数问题（二）
专题简析：
前面我们已经向同学们介绍了用基本 数量关系式来求平均数的方法了，如果题目中
没有直接告诉我们总数量以及总份数，那又该怎么办呢？这 类题可以拓宽同学们的解题
思路，从而提高解题的能力。
解答平均数问题的关键是要找准问题 与条件，条件与条件之间相对应的关系，通常
要先确定总数量以及与总数量相对应的总份数，再求平均数 。
例题1 华华3次数学测验的平均成绩是89分，4次数学测验的平均成绩是90分。
第4次测验多少分？ 思路导航：根据3次数学测验平均成绩是89分，可求出3次测验的总成绩是89×
3=267分； 根据4次数学测验平均成绩是90分，可以求出4次测验的总成绩是90×4=360
分，最后求出第4 次测验成绩是：360－267=93分。
也可以这样想：4次测验的平均成绩比3次的平均成绩多了 90－89=1分，4次共多
出了1×4=4分，那么第4次的测验成绩就是89＋4=93分。
练 习 一
1，有4个采茶小队，甲、乙、丙三个小队平均每队采20千克，甲、乙、丙 、丁四
个队平均每队采22千克。丁队采了多少千克？
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2，期中考试后，王英的语文、数学平均成绩是92分，加上英语后，三门的平均成
绩是93分 。英语考了多少分？
3，明明、红红两人的平均体重是32千克，加上英英的体重后，他们的平均体重 就
上升了1千克。英英重多少千克？
例题2 宁宁期中考试语文、数学、自然的平均分是9 1分，英语成绩公布后，他的
平均分提高了2分。宁宁英语考了多少分？
思路导航：宁宁语文 、数学、自然的平均分是91分，可以求出三门功课的总分为
91×3=273分；英语成绩公布后，四 门功课的平均分为91＋2=93分，总分为93×4=372
分，所以，英语成绩为372－273= 99分。
练 习 二
1，小英4次数学测验的平均分是92分，5次数学测验的平均分 比4次的平均分提
高1分。小英第5次测验得多少分？
2，小王、小张、小刘三人体育测试平 均成绩是82分，如果加上小顾，四人平均成
绩就提高了4分。小顾体育测试分数是多少？
3 ，一个同学读一本书，共10天读完，平均每天读8页。前5天他平均每天读6页，
后4天这个同学平均 每天读多少页？
例题3 有7个数的平均数为8，如果把其中一个数改为1，这时7个数的平均数是
7。这个被改动的数原来是几？
思路导航：改动前，7个数的平均数为8，这7个数的总和是 8×7=56；改动后7
个数的平均数是7，这时7个数的总和是7×7=49，改动前后总和相差了5 6＋49=7，这
说明原数比1多了7，因而原数为1＋7=8。
练 习 三
1，有5个数的平均数是5，如果把其中一个数改为2，这5个数的平均数是4。这
个被改动的数原来是 几？
2，期中考试中小明4门功课的平均分是94分，由于老师批改的错误，其中有一门
功课 的成绩被改为87分，这时4门功课的平均分是92分。这个被改动的成绩原来是多
少？
3， 有3个数的平均数是3，如果把其中一个数改为10，那么这3个数的平均数是5。
这个被改动的数原来 是多少？
例题4 有4个数，这4个数的平均数是21，其中前两个数的平均数是15，后3
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个数的平均数是26。第二个数是多少？
思路导航：根据 “4个数的平均数是15”可以得出4个数的总数就是21×4=84；又
根据“前2个数的平均数是1 5，后3个数的平均数是26”可以得出它们的总数为15×2
＋26×3=108，其中第二个数被重 复算了一次，所以总数就多出了108－84=24，这多出
的24就是第二个数。
练 习 四: 1，有4个数，它们的平均数是34，其中前3个数的平均数是30，后
2个数的平均数是36。 第三个数是多少？
2，有4个数，平均数是100，前两个数的平均数是95，后3个数的平均数是9 8。
第二个数是多少？
3，小林的语文、数学、英语、社会4门测试的平均分是89，前3门 的平均分为92，
后两门的平均分为88。小林英语测试多少分？
例题5 甲地到乙地相距 30千米，爸爸骑自行车从甲地到乙地每小时行15千米，
从乙地到甲地每小时行10千米。求爸爸往返 的平均速度。
思路导航：求爸爸往返的平均速度，必须知道总路程和总时间，总路程是两个全程，即30×2=60千米；总时间是去的时间与返回的时间的和，即30÷15＋30÷10=5小时。
所以，爸爸往返的平均速度是：60÷5=12（千米小时）。
练 习 五: 1，摩托车驾驶 员以每小时20千米的速度行了60千米，返回时每小
时行30千米。往返全程的平均速度是多少千米？
2，一辆汽车以每小时20千米的速度上坡，行了120千米，然后用每小时30千米
的速度返 回。求这辆汽车全程的平均速度。
3，某生产小组一天的工作任务都是生产300个零件。第一天以每 小时30个的速度
完成任务，第二天以每小时生产60个的速度完成任务。在这两天的工作时间内，平均
每小时生产多少个？





第三十四周 简单推理（二）
专题简析：
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小文比小林高 ，小林比小佳高，那我们可以推断，小文一定比小佳长得高，这也是
一种推理。与前面推理题不同的是， 这种推理解答时不需要或很少用到计算，而要求我
们根据题目中给出的已知条件，通过分析和判断，得出 正确合理的结论。
做推理题时，要根据已知条件认真分析，为了找到突破口，有时先假设一个结论是< br>正确的，然后验证它是不是符合所给的一切条件，若没有矛盾，说明推理正确，否则再
换个结论来 验证。
例题1 红红、聪聪和颖颖都戴着太阳帽去参加野炊活动，她们戴的帽子一个是红
的 ，一个是黄的，一个蓝的。只知道红红没有戴黄帽子，聪聪既不载黄帽子，也不戴蓝
帽子。请你判断红红 、聪聪和颖颖分别戴的是什么颜色的帽子？
思路导航：从已知条件中可知，“聪聪既不戴黄帽子，也不 载蓝帽子”是个关键条
件，因为3个人戴的帽子只有红、黄、蓝三种颜色，因此排除黄、蓝两种颜色，聪 聪只
能戴红帽子；又根据“红红没戴黄帽子”可知红红戴蓝帽子，因此颖颖只能戴黄帽子。
练 习 一
1，爸爸买回3双袜子，其中2双是花袜子，1双是红袜子，爸爸塞了一双花袜子给
妹妹，又塞了一双红袜子给哥哥，把剩下的1双藏在自己手中，让兄妹俩猜是什么颜色
的，谁猜对就把袜 子给谁。你们说，谁肯定会猜对？
2，黄颖、李红和马娜都穿着新衣服，她们穿的衣服一个是花的，一 个是粉红的，
一个是蓝的。已知黄颖穿的不是花衣服，李红既不穿蓝衣服，也不穿花衣服。她们分别穿什么颜色的衣服？
3，某班学生中，如果有红色铅笔的人就没有黄色铅笔，没有红色铅笔的人有 蓝色
铅笔，那有黄色铅笔的人，一定有蓝铅笔吗？
例题2 一个正方体有六个面，每个面分 别涂有红、绿、黄、白、蓝、黑六种颜色，
你能根据这个正方体的三种不同的摆法，判断出这个正方体每 一种颜色对面各是什么颜
色吗？
黑
红
白
绿
黄
红
蓝
白
黄

思路导航：如果直接思考某种颜色对面是什么颜色比较困难，可以换一种思维方式，
想想某种颜 色对面不应该是哪种颜色。
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从图（1）中可看出红色 的对面肯定不是黑色和白色；从图（2）可看出红色对面肯
定不是黄色和绿色，所以红色的对面是蓝色。
从图（2）可看出黄色对面肯定不是绿色和红色；从图（3）可以看出黄色对面肯定
不是蓝色和 白色，所以黄色对面是黑色。剩下的白色的对面肯定是绿色。
练 习 二
1，有一个正 方体，每个面上分别写着1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度
观察，结果如下：
1
3
4
1
2
6
5
2
3

这个正方体每个数的对面是什么数？
2，一个正方体，每个面上分别写有A、B、C、D、E 、F，根据它三种不同的摆法，
判断这个正方体每个字母的对面是什么？
C
B
A
D
E
B
A
F
E

3，把一个正方体的六个面分别编上1——6六个数字，现在用这样的四个小正方体
拼成一个长 方体，相对两个面分别是几和几？
1
5
1
3
2
2
4
1
4

例题3 已知某月中，星期二的天数比星期一的天数多，而星期三的天数比星期
四的天 数多。那么这个月最后一天是星期几？
思路导航：我们可以这样想：一周有7天，一个月最多有31天 ，31÷7=4周……3
天，这说明一个月中，无论是星期几，最少有4个，最多有5个。这样问题可以 转化为：
.

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某月星期二和星期三都是5个，而星期一和星 期四都是4个。根据转化的条件，我们可
画出下面的月历表：
日
一二三四五
六

不难看出，这个月是小月，最后一天是星期三。
练 习 三
1，某年二月，星期日的天数最多，那么这个月最后一天是星期几？
2，某月中，星期日的天数比星期六的天数多，而星期四的天数比星期三的天数多。
那么这个月最后一 天是星期几？
3，某月中，星期四的天数比星期五的天数多，星期二的天数比星期一的天数多。
这个月的第一天是星期几？
例题4 王帆、李昊、吴一凡三人中，有一人看了《地球奥秘》这部科 技片。当老
师问他们三个谁看了这部科技片时：
王帆说：“李昊看了。”
李昊说：“我没有看。”
吴一凡说：“我没有看。”
如果知道他们三人中有两人说了假话，有一人说的是真话，你能判断谁看了这部影
片吗？ 思路导航：我们可以这样想：假设是王帆看了这部影片，那么王帆说的是假话，李
昊和吴一凡说的是 真话，这样与三人中有两人说了假话、一人说了真话不符，因而王帆
没看这部影片；
假设是李 昊看了这部影片，那么王帆和吴一凡说了真话，李昊说了假话，这与两人
说了假话、一人说了真话不符， 因而李昊没看这部影片；
假设吴一凡看了这部影片，那么王帆和吴一凡说了假话，只有李昊一人说了真话，
.

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因而我们可以断定是吴一凡看了这部影片。
练 习 四
1，王峰、朱红、王艺三人中，有一人打碎了玻璃，当老师问谁打碎玻璃时：
王峰说：“朱红打碎的。”
朱红说：“我没打碎。”
王艺说：“我没打碎。”
他们三人中有两人说了假话，有一人说的是真话。你能判断是谁打碎了玻璃吗？
2，小张、小 王、小李三人参加宴会，他们分别喝了一杯酒、两杯酒、三杯酒，当
小吴问他们各喝了几杯时：
小张说：“我喝了两杯。”
小李说：“我喝得最少。”
小王说：“我喝的杯数不是偶数。”
他们三人只有一人讲得不对，他们各喝了几杯？
3，运动场上，有1、2、3、4四个班正在进行接力赛对于比赛胜负，在一旁的张明、
王浩、李哲进 行猜测。
张明说：“我看一班只能得第三，冠军肯定是三班。”
王浩说：“三班只能得第二，至于第三名，我看是二班。”
李哲说：“肯定四班第二，一班第一。”
而真正的结果，他们每人的预测只对了一半。请你根据他们的猜测，推出比赛结果。
例题5 张老师、王老师和李老师三位老师，其中一位老师教美术，一位老师教音
乐，一位老师教书法。已知：
（1）张老师比教音乐的老师年龄大；
（2）王老师比教美术的老师年龄小；
（3）教美术的老师比李老师年龄小。
问：三位老师各教什么课？
思路导航：我们可画出一张空白表，用“√”表示是，用“×”表示不是：
.

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美术
张老师
王老师
李老师
音乐书法

根据（2）王 老师比教美术的老师年龄小，（3）教美术的老师比李老师年龄小，我
们可以判断：
美术张老师
王老师
李老师
音乐书法
√
×
×
×
×

再根据张老师（教美术的）比教音乐的老师年龄大，和教美术的老师比李老师年龄
小，可以得到李老师不教音乐。
美术
张老师
王老师
李老师
音乐书 法
√
×
×
×
√
×
×
√

×
可以得到的结果是：张老师教美术，王老师教音乐，李老师教书法。
练 习 五
1，小王、小李和小徐三人中，一位是教师，一位是工人，一位是工程师。现在知
道：
（1）小徐比工人年龄大；
（2）小王和教师不同岁；
（3）教师比小李年龄小。
请问：小王、小李和小徐各自做什么工作？
2，刘艺、王天、张明三个男孩都有一个妹妹，六 个人在一起打羽毛球，举行男女
混合双打。事先规定：兄妹俩不可搭伴；第一盘由刘艺和小红对张明和小 英；第二盘中
由张明和小平对王天和刘艺的妹妹。小红、小英、小平各是谁的妹妹？
.

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3，甲、乙、丙三位老师分别教语文、数学、英语课。
（1）甲上课全用汉语；
（2）英语老师是一位学生的哥哥；
（3）丙是一位女教师，她比数学老师泼。
请问：三位老师各教什么课？





第三十五周 巧求周长（一）
专题简析： < br>一个图形的周长是指围成它的所有线段的长度和。我们已经学会了求长方形、正方
形这些标准图形 的周长，那么怎样运用长方形、正方形的周长计算公式，巧妙地求一些
复杂图形的周长呢？
对 于一些不规则的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用平移的方
法，把它转化为标准的长 方形或正方形，然后再利用周长公式进行计算。
将一个大长方形或正方形分割成若干个长方形和正方形 ，那么图形周长就会增加几
个长或宽；反之，将若干个小长方形或正方形合成一个大长方形或正方形，图 形周长就
会减少几个长或宽。
例题1 下图是一个楼梯的侧面图，求此图形的周长。
2米

思路导航：如果把每层台阶的宽度向上移到和最上层台阶同样高的地方，把每层 台
阶的高度向右移到和最下层的台阶长度一致的地方（如下图），这样楼梯侧面图就转化
为一个 长方形，然后我们利用长方形周长计算公式求出此图形的周长。
3米
.

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2米
3米

（2＋3）×2=10米。

练 习 一
1，下图是一个楼梯的侧面，如果在阶梯上铺地毯，要计算地毯的长度，可以怎样
测量？

2，如下图所示，小明和小玲同时从学校到少儿书店，小明沿A路线行走，小玲沿B
路线行走。如果两人速度一样，谁先到少儿书店？为什么？
学校
A
B

3，下图是一个“凹”字形的花园，求花园的周长。（单位：米）
12
12
30

例题2 下图是由6个边长2厘米的正方形拼成的，这个图形的周长是多少厘米？
60

思路导航：这题我们可以用平移的方法将它转化为一个长方形，如下图：
.

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这个长方形的长含有4个小正方形的边长，长为2×4= 8厘米；宽含有2个小正方
形的边长，宽为2×2=4厘米。这个长方形的周长为：（2×4＋2×2） ×2=24厘米。
练 习 二
1，下图是由5个边长为3厘为的正方形组成的图形，求此图形的周长。

2，下图是由6个边长为2厘米的正方形组成的，求此图形的周长。

3，用24个边长是1厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少厘米？

例题3 两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形周长的
和减少了6 厘米。原来一个正方形的周长是多少厘米？
思路导航：根据题意，画出下图。

当 两个正方形拼成一个长方形时，组成两个正方形的8条边就减少了2条，而已知
两条边的和是6厘米，那 么一条边长就是6÷2=3厘米。所以，原来正方形的周长是：3
×4=12厘米。
练 习 三
1，把两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形的周
长和 减少10厘米。原来一个正方形的周长是多少？
.

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2， 把一个正方形剪成两个大小相同的长方形后，两个长方形的周长和比原来正方
形的周长增加28分米。原 来正方形的周长是多少？
3，把边长是48厘米的正方形剪成三个同样大小的长方形，算一算，每个长 方形的
周长是多少厘米？
例题4 一个正方形，边长是5厘为，将9个这样的正方形如下图 一样拼成一个大
正方形，问：拼成的大正方形的周长是多少？

思路导航：从图上可 以看出，9个小正方形拼成的大正方形共有3排，每排由3个
小正方形组成。已知小正方形的边长是5厘 米，所以大正方形的边长就是5×3=15厘米，
大正方形的周长就是15×4=60厘米。
练 习 四
1，把16个边长为3厘米的小正方形拼成一个大正方形，这个大正方形的周长是多
少厘米？
2，把6个边长为4厘米的小正方形如下图拼成一个长方形，这个长方形的周长为
多少厘米？

3，把6个长为3厘米、宽为2厘米的小长方形如下图拼成一个大长方形，这个大
长 方形的周长是多少？

例题5 将一张边长为36厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小 正方形纸片，这
4个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了多少厘米？
.

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思路导航：将边长36厘米的正方形，沿竖直方向剪一刀 ，周长的和就比原来大正
方形周长增加2个边长；再沿水平方向剪一刀，又增加2个边长，一共增加2× 2个边
长。所以这4个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了36×4=144厘米。
练 习 五
1，将一张边长为12厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小正方形，那么 这4个
小正方形周长之和比原来的大正方形的周长增加了多少厘米？
2，把一个边长为20厘 米的正方形，如下图剪成6个完全一样的小长方形，这6个
小长方形周长的和与原来的正方形相比，增加 了多少厘米？


3，将一个长为8分米，宽为6分米的长方形如下图剪成6个完全 一样的小长方形，
这6个小长方形周长之和比原来的正方形周长增加了多少分米？





第三十六周 巧求周长（二）
专题简析：
在解答比较复杂的关于长方形、正方形周长计算的问题时，生搬硬套公式往往行不
.