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重点
授课老师： 老师
小学三年级上奥数
第6讲 找几何图形的规律
薄弱点

题目设定总分
100
训练目标

本教程共30讲

第6讲 找几何图形的规律
找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需 要敏锐的观察力，又需要
严密的逻辑推理能力.为培养这方面的能力，本讲将从几何图形的问题入手，逐 步分析应从哪
些方面来观察思考。因此，学习本讲的知识有助于养成全面地、由浅入深、由简到繁观察思
考问题的良好习惯，可以逐步掌握通过观察发现规律并利用规律来解决问题的方法。
下面就来看几个例子。

例1 按顺序观察图5—1与图5—2中图形的变化，想一想，按图 形的变化规律，在带“？”
的空格处应画什么样的图形？
分析 观察中，注意到图5—1 中每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增多，
且三角形的个数按4、3、X、1的顺序变化 .显然X应等于2；图5—2中黑点的个数从左到右
逐次增多，且每一格（第一格除外）比前面的一格多 两个点.事实上，本题中几何图形的变化
仅表现在数量关系上，是一种较为基本的、简单的变化模式。

解：在图5—1的“？”处应是三角形△，在图5—2的“？”处应是

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例2 请观察右图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形。

分析 首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组
成的；其次，在所给出的图形中，我们发现各行、各列均没有重复的图形，而且所给出的图
形中 ，只有圆、三角形和正方形三种图形.由此，我们知道这个图的特点是：
① 仅由圆、三角形、正方形组成；
② 各行各列中，都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。
因此，根据不重不漏的原则，在第二行的空格中应填一个三角形，而第三行的空格中应
填一个正方形。
解略。
例3 按顺序观察下图中图形的变化规律，并在“？”处填上合适的图形.

分析 显然，图（a）、图（b）中都是圆，而图（c）中却不是圆；同时，图（a）、 （c）
中都有3个图形，而（b）中只有两个.由此可知：图（a）到（b）的变化规律对应于图（c）
到（d）的变化规律.再注意到图（a）到图（b）中图形在繁简、多少、位置几方面的变化，
就容易得到图（d）中的图形了。
解：在上图的“？”处应填如下图形.

例4 下图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形.

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分析 本题中，首先可以注意到每个图形都由大、小两部分组成，而且，大、小图形都是
由正方形、三角形和圆 形组成， 图中的任意两个图形均不相同.因此，我们不妨试着把大、
小图形分开来考虑，再一次观察后 我们可以发现：对于大图形来说，每行每列的图形决不重
复。因此，每行每列都只有一个大正方形，一个 大三角形和一个大圆，对于小图形也是如此，
这样，“？”处的图形就不难得出。
解：图中，（b）、（f）、（h）处的图形分别应填下面的图甲、图乙、图丙.

小结 ：对于较复杂的图形来说，有时候需要把图形分开几部分来单独考虑其变化规律，
从而把复杂问题简单化 。
例5 观察下列各组图的变化规律，并在“？”处画出相关的图形.


分析 我们先来看这样两个图：

（甲）图与（乙）图中，点A、B、C、 D的顺序和距离都没有改变，只是每个点的位置发
生了变化，如：甲图中，A在左方；而乙图中，A在上 方，„„我们把这样一种位置的变化称
为图形的旋转，乙图可以看作是甲图

90°（或一格）。
现在我们再回到题目上来，容易看出：例5题中按（a）、（b）、 （c）、（d）、（e）、
（f）、（g）、（h）、（i）顺序排列的9个图形，它们的变化规律是： 每一个图形（a除
外）都是由其前一个图形逆时针旋转90°而得到的.甲乙丙丁四个图形变化规律也类 似。
解：图（i）处的图形应是下面左图，丁图处的图形应是下面右图

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注意：因为图形是由旋转而得到的，所以其中三角形、菱形的方 向随旋转而变化，作图
的时候要注意到这一点。
旋转是数学中的重要概念，掌握好这个概 念，可以提高观察能力，加快解题速度，对于
许多问题的解决，也有事半而功倍的效果。
下面再来看几个例子：
例6 仔细观察下图中图形的变化规律，并在“？”处填入合适的图形.


分析 显然，图（a）、（b）的变化规律对应于图（c）的变化规律；图（ d）、（e）的
变化规律也对应于图（f）的变化规律，我们先来观察（a）、（b）两组图形，发现在 形状、
位置方面都发生了变化，即把圆变为它的一半——半圆，把三角形也变为它的一半——直角
三角形；同时，变化后图形的位置相当于把原图形沿顺时针方向旋转90°而得到.因此，我
们很容易 地就把图（c）中的直角梯形还原为等腰梯形并通过逆时针旋转而得到图（c）“？”
处的图形。
当我们从左到右来观察图（d）、（e）的变化规律时，我们发现，图（d）、（e）的变
化规律有与图（a）、（b）相同的一面，即都是把一个图形变为自身的一半，但也有与图（a）、
（b ）不同的一面，即图（d）、（e）中右半部分的图形无法通过旋转原图来得到，只能通过
上下翻转而获 得.这样，我们就得到了这些图形的变化规律。
解：图（c）中“？”处的图形应是下面甲图，图（f）中“？”处的图形应是乙图.

小结：本题是一道较为复杂的题，观察的出发点主要有3点：① 形状变化；② 位置变
化；③ 颜色变化。
例7 四个小动物排座位，一开始，小鼠坐在第1号位子上，小猴坐在第2号，小兔坐在第 3
号，小猫坐在第4号.以后它们不停地交换位子，第一次上下两排交换.第二次是在第一次交
换后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换„这样一直换下去.问：
第十次交换 位子后，小兔坐在第几号位子上？（参看下图）

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分析 这是“华罗庚金杯”第二届初赛的一道试题，如果有充裕的时间，我们当然 可以把
十次变化的图都画出来，从而得到答案.10并不是一个很大的数字，因此这样的方法虽然麻烦，却也是行之有效的.然而，在初赛中，本题的思考时间只有30秒，不可能一步步把图画
出来， 这就要求我们仔细观察，认真思考，找出规律再做题。
方法1：因为题目中问的只是第十次交换位 子后，小兔的位子是几.因此，我们只需考虑
小兔的位子变化规律，小兔刚开始时在3号位子，记为③， 则
次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一格，每四次交换座位后，小兔又回到原处，
知道了这个规律，就不难得出答案.即10次后，小兔到了第2号位子。
方法2：受方法一的启 示，我们可以思考，其他小动物的变化规律怎样？四个小动物的
整体变化规律又怎样呢？事实上，当我们 仔细观察示意图时会发现，开始的图沿顺时针方向
旋转两格（即180°）时，恰得到第二次交换位子后 的图，由此可以知道，每一次上下交换
后再一次左右交换的结果就相当于把原图沿顺时针方向旋转180 °，第十次交换位子后，相
当于是这些小动物沿顺时针方向转了4圈半，这样，我们就得到了小兔的位子 及它们的整体
变化规律.但其中需注意一点的是：单独一次上下（或左右）的交换与旋转90°得到的结 果
是不同的.小猫、小鼠的位子变化规律是沿逆时针方向，而小猴的位子变化规律与小兔相似。
解：第十次交换位子后，小兔到了2号位子。
例8 将A、B、C、D、E、F六个字母 分别写在正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中判
断这个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上。

分析 本题所给的是一组立体几何图形.但是，我们注意到：由于图（a）、（b）、（ c）
都是同一个正方体的不同摆法，所以，（a）、（b）、（c）可以通过旋转来互相转化，这三个图形中，字母C所在的一面始终不改变位置.因此，这三个图形的转化只能是前后转动.把
图（a ）向后翻转一次（90°）得图（b），由此可知，字母A的对面是D，把图（a）向前翻
转一次（90 °）得图（c），所以，字母B的对面是字母E，最后得出只有字母C、F相对。
解：正方体中，相对的字母分别是A—D、B—E、C—F。
总结：一般地说，在观察图形变化的规律时，应抓住以下几点来考虑问题：
1.图形数量的变化；
2.图形形状的变化；
3.图形大小的变化；

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4.图形颜色的变化；
5.图形位置的变化；
6.图形繁简的变化等。
对较复杂的图形，也可分成几部分来分别考虑.总而言之，只要全面观察 ，勤于思考，就
一定能抓住规律、解决问题。


习题五
1.顺序观察下面图形，并按其变化规律在“？”处填上合适的图形。




2.一个正方体的小木块，1与6、2与5、3与4分别是相对面，如照下图那样放置， 并
按图中箭头指示的方向翻动，则木块翻动到第5格时，木块正上方那一面的数字是多少？

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习题五解答

1.解：①图（a）到（b）的规律也就是图（c）到（d）的规律，所以①中“？”处应填
的是下图。

②图（a）和（c）的规律就是图（b）到（d）的规律，也即把原图沿逆时针方向旋转 180°.
因此②中“？”处的图形是下图.

③图（c）处的图形应是下图。

④把图形分为顶部、中部和底部分别考虑，④中“？”处的图形应是下图.

2.答.是3.

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