澳大利亚语言-驾驶员年终总结

第4讲盈亏问题
教学目标
本讲主要学习三种类型的盈亏问题：
1. 理解掌握条件转型盈亏问题：
2. 理解掌握关系互换性盈亏问题;
3. 理解掌握其他类型的盈亏问题，
本节课要求老师首先上学生理解盈亏问题其本公式的含义，在通过例题 让学生掌握解答应困问题的其本技巧，培养
学生的思维分析能力。
经典精讲
盈亏问 题，故名思意有剩下就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产程这种盈亏现象。盈亏问题
的关键是专注两次分配时盈亏总量的变化。我们把盈亏问题分为三类：“一盈一亏”、“两盈”“两亏”。
1.“盈亏”型
例如：学而思学校四年级基础班的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如 果每人分5粒则少6粒，问：有多少
位同学分多少粒糖果？
【分析】由题目条件知道，同学的 人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种没人分4粒就多9粒，，第
二种每人分5粒则少6粒 ，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原理在于两种方案分配数不同，两次分配
数之差为 15
115
（位），糖果的粒数为：
415969
（粒）。
2.“盈盈”型
例如：老猴子给小猴子分桃，每只小猴10个桃，就多出9个桃，每只小猴分 11个桃则多出2个桃，那么一共有多
少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？
分析：老猴子 的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏综合是9-2=7（个），两次分配之差是11-10- 1
（个）有盈亏问题公式得，有小猴子：
717
（只），老猴子有7
1 0979
（个）桃子。
3.“亏亏”型
例如：学而思学校新近一批书，将它们 分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差9本，第
二次就只差2本了呢？因为两 次分配数量不一样，第一次分配时每人少发一本，也就是共有7
17
（人）书有
7 10961
（本）。
根据以上具体题目的分析，可以得出盈亏问题的基本关系式：
(盈+亏)

两次分得之差=人数或单位数
（盈-盈）

两次分得之差=人数或单位数
（亏-亏）

两次分得之差=人数或单位数
条件转化型的盈亏问题
这种类型的题目不能直接计算，要将其中的一个条件转化，使之成为普通盈亏问题。
【例1】 军队分配宿舍，如果每间住3人，则多出20人；如果每间住6人，余下2人可以每人住一个房间，现
在 每间住10人，可以空出多少个房间？
【分析】每间住6人，余下2人可以每人各住一个房间，说明多 出两个房间，同时多出两个人，也就是第二次分配
少6
2210
（人），那么两 次分配方案人数相差20+10=30（人），即可以空出10-50
105
（间）房间。
【铺垫】学校给一批新入学分配宿舍。如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每个房间住14 人，则空出4
个房间。求学生宿舍有多少间，住宿学生有多少人？

【分析】把“每 个房间住14人，则空出4个房间”转化为“每间住14人，则少14
456
（人）”这样 两种方案
就可以比较了。
第一种方案多出34人，第二种方案少56人，90
2 45
（间），学生数为：12
4534574
（人）
[例2]妈妈买 来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果其中一人分6
人， 其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个？全加共有多少人？
【分析】由“其中两人分 4个，其余每人分2个，则多出4个，”转化为全家每人都分2个，这分4个的两人每人
都拿出2个，共 拿出4个，结果就多了4+4=8个：由“一人分6个，其余每人分4个，则缺少12个”转化为全家
每 人都分4个，分6个的人拿出2个。结果就少了12-2=10个，转变成了盈亏问题的一半类型,则：

全家的人数：
[422(122)](42)1829
（人）
橘子的个数：
29826
（个）
【铺垫】实验小学的少先队员去植树 。如果每人种5棵还有3棵每人种；如果其中2人各种4棵。其余的人各种6
棵，这些树苗正好种完，问 有多少少先队员参加植树，一共iozhong多少课树苗？
【分析】这是一道较难的盈亏问题，主要 难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，其余的人各种
6棵，就恰好种完，这组条件中 包含着两种种树的情况——2人各种4棵，其余的人各种6棵。如果我们把他们统
一成一种情况，让每人 种六棵，那么，就可以多种树（6-4）
24
（棵）。因此，原问题就转化为：如果每人各 种
5棵树苗，还有3棵没人种;如果每人种6棵数树苗，还缺4棵。问有多少少先队员，一共种多少树苗 ？
人数：[3+(6-4)
2
]
(65)7
(人)，
棵树：
57338
（棵）或
67438
（棵）
【小结】盈亏问题必须是将一定数量的物体平均分给固定对象，而本题中两次分橘子均不是每人分别的橘子数相 同。
碰到此类似情况时，不需将其调整成两次都是平均分，然后解答。
【例2】 学校规定上 午8时到校，小明去上学，如果每分钟走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，
可提早8 分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？
【分析】小明每分钟走60 米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60
10600
米，如果每分钟走50米，可
提早8分钟到校，即到校后还可多走50

8=400（米），第一种情况比第二种情 况每分钟多走60-50=10（米），
就可以夺走600-400=200（米），从而可以求出小明 由家道校所需时间。
（1）10分钟走多少米？
6010600
（米），
（2）8分钟走多少米？
508400
（米）
（3）需要时间：（60 0-400）
(6050)20
（分钟），所以小明7时40分离家刚好8时到校。 < br>（4）由家到校的路程：
60(2010)600
（米）或
50(20 8)600
（米）.
【铺垫】童童从家到学校，如果每分钟走50 米，上课就要迟到3 分钟；如果每分钟60米，就可以比上课时间提前
2分钟夺走60-50=10（米），就可以夺走15 0+120=270（米），童童从家到学校所用时间是：270
1027
（分
钟 ），加到学校的距离是：50
(273)50301500
（米）。
【例 4】（第二届“华杯赛”试题）有一个半同学去划船。他们计算以下，如果增加一条船，正好每条船作6人；跑< br>如果减少一条船，正好每条船坐6人。如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少学生 < br>【分析】先增加一条船，那么正好每条船坐6人。然后去掉两条船，就会余下6
212
（名）同学。改为每条船9
人，也就是说，每条船增加9-6=3（人），正好可以把余下的12名同 学全部安排上去，所以现在还有12
34
（条）船，而全班同学的人数是9
4 36
（人）。
【巩固】增加两条船，正好每条船坐6人，然后去掉四条船，就会余下
6424
（人），改为每只船9人 ，即每
条船增加9-6=3（人），正好可以把余下的 24人全部安排上去，所以现在船数为24
38
（条），这个班的
人数为9
872
（人）。
【小结】这部分的题目不能直接运用公式计算，首先需要将一定的条件 转化，使之成为跟第一步分相似的题型，在
运用公式计算。
关系互换型的盈亏问题
这种题型中会出现两种物品，一半两者之间还存在数量关系，如和差关系、倍数关系等，我们应该先利用数量关系
将已知条件转化为一种物品的盈亏关系，再根据盈亏问题的 解法计算。

【例5】（2004“走进美妙的数学花园”数学邀请赛）
幼儿园老师把一袋糖果分给下朋友 。如果分给打扮的小朋友，每人5粒就缺6粒。如果分给小班的小朋友，每人4
粒。已知大班比小班少2 个小朋友这袋糖果共有多少粒？
【分析】如果大班增加2个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每 人5粒缺16粒，每人4粒多4粒”的盈亏
问题。小班有
(164)(54)20（人）。这袋糖果有
420484
（粒）。
【拓展】（2007年湖北省“创新杯”决赛）
四（2）班举行“六一”联欢晚会，辅导员老 师带着一笔钱取买糖果。如果买芒果13千克，还差4元;如果买奶糖
15千克，则还剩2元。已知每千 克芒果比奶糖贵2元，那么，，辅导员老师带了_____________元钱.
[分析]这笔钱买 了13千克芒果还差4元,若把13千克芒果换成奶糖就会多出13
226
元，所以这笔钱 买13千克
奶糖会多出26-4=22元。而这笔钱埋15千克奶糖会多出2元，所以每千克奶糖的价格 为：（22-2）
(1513)10
（元）。辅导老师共带了10
152 152
（元）
【例6】（2004南京市少年数学智力冬令营）
甲、 乙两人各买 了相同数量的信封与相同数量的信封与相同数量的信封，甲每封信用2张信纸信纸，乙每封信
用3张信纸 ，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩20张信封，乙用完所有信纸还剩下10个信封，则他们每
人各 买了多少张信纸？
【分析】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30张信纸。这是盈亏问题，盈亏 总额为（20+30）张信纸，两次
分配的差为（3-2）张信纸，所有的信封（20+30）
(32)50
（个），有信纸
25020120
）（张）
【巩 固】甲、乙两人的信纸一样多，信封也一样多，甲写一封信用一张信纸，乙写一封信用3张信纸。结果甲的信封用完时还剩50张信纸，乙的信纸用完时还剩50个信封，原来他们 各自有信封多少个？信纸多少张？
【分析】乙要想用完剩余的50个信封，还需再多50

3=150张信纸，也就是要 用完同样多的信封，甲多50张信纸，
乙少150张信纸。
信封的个数：
(50350)(31)100
（个）
信纸的张数：100+50=150（张）
【小结】不同的人，相同的物品，假设都用完同样 多的信封，这就是“盈亏”的关联点，问题便于解决了。
【例7】体育中心将一些乒乓球分给若干人， 每人5个还多余10个乒乓球，如果人数增加到3倍，那么每人分2
个乒乓球还缺少8个，问有乒乓球多 少个？
【分析】考虑人数增加3倍后，相当于按原人数每人给
236
（个），每 人给5个与给6个，总数相差10+8=18
（个），所以原有人数18
(65)18< br>（人），乒乓球总数是
51810100
（个）
【拓展】卧龙自然保护 区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如果大熊猫
数增加到3倍 还少5只大熊猫，那么每只大熊猫分2个还缺8棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多少课？

【注意】以上题型中会出现两种物品，一般两者之间还存在数量关 系，如和差关系、倍数关系等，我们应该先利用
数量关系将已知条件转化为一种物品的盈亏关系，再根据 普通盈亏问题的解法计算。
【例8】幼儿园阿姨拿来水果糖和奶糖分给小朋友，且水果糖的个数是奶糖 的2倍。如果每个小朋友分2个奶糖，
就多余4个奶糖；如果每个小朋友分5个水果糖，则少2个水果糖 。阿姨拿来了水果糖和奶糖个多少个？
【分析】水果糖和奶糖的个数不相等，不能将两者直接比较，如 果本题中水果糖和奶糖一样多就好了。所以，我们
可以假设水果糖和奶糖一样多，也就是假设奶糖是实际 数量的2倍，那么，分给同样多的小朋友后，每个小朋友可
以分到2

2=4个，而多 余的奶糖是
428
（个）、分到太奶糖和水果糖相差8+2=10个，原因是每个小朋友多 分
了5-4=1个，这样就可以求出小朋友的人数，然后根据太烫和水果糖的实际分配情况，分别求出奶 糖和水果糖的个
数，然后根据奶糖和水果糖的实际分配情况，分别求出奶糖和水果糖的个数，即：
(422)(522)10110
（个）小朋友的人数
10
2424
(个) 奶糖的个数
10
5248
（个）水果糖的个数
【注意】本题的解题关键在于通过假设，使两种糖的个数变得同样多在解答。
其他类型的盈亏问题
盈亏问题有的题型不想普通的盈亏问题那么标准，它是经过普通盈亏问题 的变形和拓展，解答这类问题也要利用其
本盈亏问题解答方法，根据不同的题型作出相应的应对。 【例9】幼儿园老师给小朋友分糖果。若每人分8快，还剩10快；若没人分9块，左后一人分不到9块，但 至少可
分到一块。那么糖果最多有多少块？
【分析】最后一人分不到9块，那么最多可以分到 8块，即若每人分9块，还差1块。根据盈亏计算公式，人数有
（1+10）

（9- 8）=11 （人），糖果最多有9
11198
（块）；最后一人分不到9块，但至少可 分到一块，即最
少是最后一人差8块，根据盈亏计算公式，人数有（8+10）
(98) 18
（人），糖果最多有9
188154
（块）；
所以，这批糖果最多 有154块。
【拓展】有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多。把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一 盒，每人均至少可得7张，
但若都分8张则缺少5张。现在把所有卡片都分完，每人都分到60张，而且 还多出4张。问共有小朋友多少人？
【分析】60
78…4，
60
8 7…4
，说明卡片的盒数是8盒，“若都分8张则还缺少5张”，即如果我们每盒中加
5张（ 8盒共加40张），每人就可以得到8
864
（张），现在时机每人得到60张，即每人需 要退4张，其中要有
4张式每人60张后多下来的，还有40张我们一开始借来的要还出去，即要退出4 4张，44
411
（人），说明有
11人。
【例10 】妈妈给了红红 一些钱去买贺年卡，有甲、乙、丙三种贺年卡，，甲种卡每张1元，丙种卡片每张2元。用
完这些钱买甲 种卡要比乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张。妈妈给了红红多少钱？乙种卡每张多少
钱？
【分析】“用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种要比买丙种卡多买6张”所以盈亏总额是：
182620
（元），单价相加2-1=1（元），所以工可以买衣种卡
20 120
（张），妈妈给红红的钱数是：

（20+8）1=28
（元），乙种卡每张：28
20
=1元4角。 < br>【拓展】乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个;按钱数算，5分币比2分币 多4角；
另外，还有36个1分币。乐乐共花了多少钱？
【分析】假设去掉22个2分币，那 么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个二分币多3分，所
（5-2）=28
个 以5分币有：84

2分币有：28+22=50（个）
所以乐乐共存钱：5
2825013614010036276
（分）。
巩固精炼
1. 小明读一本书，如果每天读6页，还剩20页没有读完，如果每天读10也，书还少24页，这本 书共有多少页，
小明打算几天读完？
【分析】在两种方法中，数的页数和打算读的天数没有改 变，而第一种读法，书没读完，还剩20页；第二种读法，
不仅可将余下的29页读完，如果书还有24 页也能恰好读完。两种不同读法总页数相差20+24=44页，造成这个差
异的原因就是每天多读天了 10-6=4页。每天多读4页就要多读44页，因此打算毒的天数是44
411
天，即：
（20+24）（10-6）=444=11
（天）
61142086
（页）
2. 阳光小学学生乘汽车到香山春游。如果每车坐 65人，则有5人不能乘上车；如果没车多坐5人，恰好多于一辆
车，问一共有几辆汽车，有多少学生?
[分析]每车多坐5人，实际是每车可坐5+65=70（人），恰好多余一辆车，也就是还差一辆汽车 的人，即70人，因
而原因问题转化为：如果没车坐65人，则多出5人无人乘坐；如果每车坐70人， 还少70人，求有多少人和多少
辆车？车数是（5+5+65）
515
（辆）人数 是65
155980
（人）或（5+65）
(151)980
（ 人）
3. 王老师由家里到学校，如果骑车每分钟每分钟500米，上课就要迟到3分钟；如果骑车每 分钟600米，就可以
比上课时间提前2分钟到校。王老师家到学校的路程是多少米？
【分析 】迟到3分钟转化成米数：500

3=1500（米），提前两分钟到校转化成米数：600

2=1200（米），（1500+1200）

（600-500）=2 7（分钟）500
(273)15000
（米）
4. 王阿姨去买水果。如果 买5千克橙子，就差10元钱；如果买6千克葡萄，则余2元钱。已知每千克橙子比每千
克葡萄贵4元， 每千克橙子和每千克葡萄个多少元？
【分析】本题涉及到两种水果，较难入手。但题中告诉我们每千克 橙子比每千克葡萄贵4元，所以可以设法把两种
水果转化为一种水果。
因为每千克橙子比每千 克葡萄贵4元，所以将买5千克橙子换成买5千克葡萄，就要少用4

5=20（元），于是， “买
5千克橙子差10元钱”就可以变成“买5千克葡萄余20-10=10元”，则题目乘为：王阿姨 买水果，如果买5千克葡
萄，就余下10元钱；如果买6千克葡萄就余2元钱，而每千克橙子比每千克葡 萄贵4元，求每千克橙子和葡萄各
多少元？解答这个问题就不难了。

每千克葡萄的价钱：
(54102)(65)818
（元）
每千克橙子的价钱：8+4=12（元）
5. 妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别 为8元和10元，妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买
3袋，并且没有剩余的钱。问：妈妈带 了多少钱？
【分析】（法一）“多买3袋，”这三袋洗衣粉多花
8324
（元） 又因为花的钱总数一样多多，所以在买碧浪洗衣
粉的时候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌每袋贵2元，所 以要买碧浪洗衣粉袋数
24212
（袋。）这样妈妈带的
钱数是10
1 2120
（元）。
（法2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩 3
824
（元），买碧浪洗衣粉的数量是：
24(108)24212
（袋）所以妈妈带的钱数是
1210120
（元）

盈亏问题


知识点说明：
盈亏问题的特点是问题中每一同类量都 要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为
“盈”；还有些实际问题，是把一 定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，
如果每人多分，则 物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．
可以得出盈亏问题的基本关系式：
(盈

亏)

两次分得之差

人数或单位数
(盈

盈)

两次分得之差

人数或单位数
(亏

亏)

两次分得之差

人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种
情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.
注意1.条件转换 2.关系互换