延吉市一中-运动会入场解说词

小学四年级奥数思维训练全集
专题一 找规律（一）
专题简介：一般以下几个方面来找规律：
1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规
律，推断出所要填的数；
2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，
推断出所要填的数；
3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从
而很快找出规律；
4．数之间的联系往 往可以从不同的角度来理
解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为
是正确的。

例1：找出下面数列的规律，并在括号里填上
适当的数。1，4，7，10，（ ），16，19
分析：相邻的两个数的差都是3，所以：
应填：10+3=13或16－3=13
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做。
试一试1：先找出下面数列的规律，再填空。
（1）33，28，23，（ ），13，（ ），3
（2）2，6，18，（ ），162，（ ）
（3）128，64，32，（ ），8，（ ），2

例2：找出下列数排列的规律，再填空。
1，2，4，7，（ ），16，22
分析：前4个数每相邻的两个数的差递增1，
即依次是1、2、3„„。
应填的数为：7+4=11或16-5=11
试一试2：先找出下面数列的规律，再填空。
（1）1，4，9，16，25，（ ），49，64
（2）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8
上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名
数学家）数列，也叫做“兔子数列”。
试一试4：先找出规律，然后在括号里填上适
当的数。
（1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）
（2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ）
（3）1，3，6，8，16，18，（ ），（ ），76，78

例5：下面每个括号里的两个数都是按一定的
规律组合的，在□里填上适当的数。
（8，4） （5，7） （10，2） （□，9）
分析：每个括号里的两个数的和都是12。
□应为：12－9=3
试一试5：下面括号里的两个数是按一定的规
律组合的，在□里填上适当的数。
（1）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□）
（2）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5）
（3）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□）

专题二 找 规 律（二）
专题简析：对于较复杂的按规律填数的问题，
从以下几个方面来思考：
1 ，对于几列数组成的一组数变化规律，
没有一成不变的方法，一种方法不行，就要及
时调整思路 ，换一种方法再分析；
2，分布在图中的数，变化规律与数在图
形中的特殊位置有关，是解题的突破口。

例1：根据下表中的排列规律，在空格里填上
适当的数。


< br>分析：经仔细观察、分析表格中的数可以发现：
12+6=18，8+7=15，即每一横行中间 的数等于
两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的
数为：4+8=12。
试一试1：找规律，在空格里填上适当的数。




例2：根据前面图形中的数之间的关系，想一
想第三个图形的括号里应填什么数？

例3：
先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12
分析：第1、3、5„„个 数递减3；第2、4、
6„„个数递增2。8后面的一个数为：17-3=14，
11前面的数为：8+2=10。
试一试3：先找出规律，然后在括号里填上适
当的数。
（1）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ）
（2）4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14

例4：在数列1，1，2，3，5，8，13，（ ），
34，55……中，括号里应填什么数？
分析：从第三个数开始，每个数等于它前面两< br>个数的和。括号里：8+13=21或34－13=21

1

分析：前面两个圈中三个数之间有这样的关
系：5×12÷10=6 4×20÷10=8
第三个圈中右下角应填：8×30÷10=24
试一试2：根据前面图形中数之间的关系，想
一想第三个图形的空格里应填什么数。





例3：根据第1个算式直接写出后几个算式的
结果。
12345679×9=111111111
12345679×18=
12345679×54=
12345679×81=
分析：几个算式第1个因数相同。第二个因数
成倍数关系：18=9×2 54=9×6 81=9×9
所以：
12345679×18=12345679×9×2=222222222
12345679×54=12345679×9×6=666666666
12345679×81=12345679×9×9=999999999
试一试3：找规律，写得数。
1×1=1 11×11=121
111×111=
111111111×111111111=

例2：甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三
小的学生，在区运动会上他们分别获得跳高、
跳远 和垒球冠军。已知：二小的是跳远冠军；
一小的不是垒球冠军，甲不是跳高冠军；乙既
不是二小 的也不是跳高冠军。问：他们三个人
分别是哪个学校的？获得哪项冠军？
分析：由“二小的是 跳远冠军”可知垒球、跳
高冠军是一小或三小的；因为“一小的不是垒
球冠军”，所以一小一定 是跳高冠军，三小的
是垒球冠军；由“甲不是跳远冠军”，“乙既不
是二小的也不是跳高冠军” 可知，一小的甲是
跳高冠军，二小的丙是跳远冠军，三小的乙是
垒球冠军。
试一试2 ：有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参
加游园会。一个穿花的，一个穿白的，一个穿
红的。但不知 哪一个姓王、哪一个姓李、哪一
个姓刘。只知道姓刘的不喜欢穿红的，姓王的
既不是穿红裙子， 也不是穿花裙子。你能猜出
这三个女孩各姓什么吗？



专题四 应用题（一）
专题简析：解答应用题时，通过对条件进行比
较、转化、重新组合等多种手段， 找到解题的
突破口，从而使问题得以顺利解决。

例1：某玩具厂把630件玩具分 别装在5个塑
料箱和6个纸箱里，1个塑料箱与3个纸箱装
的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各 装多少件
玩具？

分析：如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸
专题三 简单推理
箱里，那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装
专题简析：解答推理问题，要从许多条 件中找多少件。因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样
出关键条件作为推理的突破口。推理要有条理多，所 以6个纸箱与2个塑料箱装的同样多。
地进行，要充分利用已经得出的结论，作为进这样，5个塑料箱装 的玩具件数和7个塑料箱
一步推理的依据。 装的就同样多。可求出一个塑料箱装多少件。
试一试1：王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂
例1：
根据下面两个算式，求○与△各代表多少？
圆， 共付款156元。已知5千克荔枝的价钱等
△－○=2 ① 于2千克桂圆的价钱。每千克荔枝和每千克桂
○＋○＋△＋△＋△=56 ② 圆各多少元？
分析：由①可知，△=○＋2；将②中的○都换
成△，那么5个△=56＋2×2，△=12，再由①
可知，○=12－2=10 例2：一 个木器厂要生产一批课桌。原计划每
试一试1：根据下面两个算式求□与○各代表天生产60张，实际每 天比原计划多生产4张，
多少？ □－○=8 结果提前一天完成任务。原计划要生产多少张
□＋□＋○＋○=20 课桌？

2

分析：“提前1天完成任务”，这一天的60张
要平均分到前面的几天去做。实 际比原计划每
天多生产4张，所以实际生产的天数是60÷
4=15天，原计划生产的天数是1 5＋1=16天。
所以原计划要生产60×16=960张。
试一试2：小明看一本故事书， 计划每天看12
页，实际每天多看8页，结果提前2天看完。
这本故事书有多少页？



专题六 算式谜（二）
:专题简析：1．利用列举和筛选相结合的方法，
逐步排除不合理的数字；
2．算式谜解出后，要验算一遍。
例1：在下面的方框中填上合适的数字。






分析：由积的末尾是0，推出第二个因数的个< br>位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第
一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第
一人个因数的百位是3；由第一个因数为376
与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上
是8。题中别的数字就容易填了。

试一试1：在□里填上适当的数。







例2：在下面方框中填上适合的数字。







分析：由“1□2”和“ 1□”可知商和除数的
十位都是1。那么被除数的十位只可能是7、8、
9。如果是7，除数的 个位是0，那么最后必有
余数；如果被除数是8，除数的个位就是1，
也不能除尽；只有当被除 数的十位是9时，除
数的个位是2时，商的个位为6，正好除尽。
完整的竖式是：







专题五 算式谜（一）
专 题简析：解答算式谜问题时，要先仔细审题，
分析数据之间的关系，找到突破口，逐步试验，
分 析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估值
法等。
例1：将0、1、2、3、4、5、6这七 个数字填
在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组
成一个整数算式。
○×○=□=○÷○
分析：用七个数字组成五个数（3个是一位数，
2是两位数）。而方格中 的数和被除数是两位
数，其他是一位数。
0和1不能作因数，也不能做除数。由于< br>2×6=12（2将出现两次），2×5=10（不合题
意），2×4=8（数字中没有8），2 ×3=6（不是
两位数）。因此，0、1、2只能用来组成两位
数。经试验可得：3×4=12 =60÷5
试一试1：将0、1、3、5、6、8、9这七个数
字填在圆圈和方筐里，每个数 字恰好出现一次
组成一个整数算式。
○×○=□=○÷○

例2：把“＋ 、－、×、÷”分别放在适当的
圆圈中（运算符号只能用一次），并在方框中
填上适当的数，使 下面的两个等式成立。
36○0○15=15 21○3○5=□
分析：先 从第一个等式入手，等式右边是15，
与等式左边最后一个数15相同，因为
0+15=15， 所以，只要使36与0的运算结果为
0就行。显然，36×0+15=15
因为“×”、“+ ”已用，第二个等式中只有
“－”、“÷”可以填。“方框中填整数”，而3
不能被5整除：2 1÷3－5=2
试一试2：将1 ~ 9这九个数字填入□中（每
个数字只能用一次），组成三个等式。
□＋□=□ □－□=□ □×□=□

3

试一试2：在
□内填 入适当
的数字，使右
面除法竖式成
立。



例3：下面算式中的a、b、c、d这四个字母各
代表什么数字？


分析：因为四位数abcd乘9的积是四位数，
可知a=1、d=9；因为9与b相 乘的积不能进
位，所以b只能是0（1已经用过）；再由b=0，
可推知c=8。
试一试3：右式中每个
汉字所代表的数字。
华= 罗=
庚= 金= 杯=

例4：在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个< br>数字中间加上“＋、－”两种运算符号，使其
结果等于100（数字的顺序不能改变）。
分析：先凑出与100比较接近的数，再根据需
要把相邻的几个数组成一个数。
（1 ）123与100比较接近，前三个数字组成
123，后面的数字凑出23就行。因为45与67
相差22，8与9相差1，所以：123＋45－67
＋8－9=100
（2）89与10 0比较接近，78与67正好相差
11，所此可得另一种解法：123＋45－67＋
89=1 00
试一试4：一个乘号和七个加号添在下面的算
式中合适的地方，使其结果等于100（数 字的
顺序不能改变）。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100

专题七 巧妙求和（一）
例1：有一个数列：4，10，16，22，„，52，
这个数列共有多少项？
分析 ：容易看出这是一个等差数列，公差为6，
首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入
项数 公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9
答：这个数列共有9项。
试一试1：有一个等差数列：2，5，8，11，„，
101，这个等差数列共有多少项？



例2：有一等差数列：3，7，11，15，„„，
这个等差数列的第100项是多少？ 分析：这个等差数列的首项是3，公差是4，
项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399
试一试2：求1，4，7，10„„这个等差数列
的第30项。



例3：有这样一个数列：1，2，3，4，„，99，
100。请求出这个数列所有项的和。
分析：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
1+2+3+„+99+100=（1+100）×100÷2=5050
试一试3：6+7+8+„+74+75



例4：求等差数列2，4，6，„，48，50的和。
分析：项数=（末项－首项）÷公差+1
=（50－2）÷2+1=25
首项=2，末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650
试一试4：9+18+27+36+„+261+270


专题简析：若 干个数排成一列称为数列。数列
中的每一个数称为一项。其中第一项称为首
项，最后一项称为末 项，数列中项的个数称为
项数。
相邻两项的差都相等的数列称为等差数
列，后项与前项的差称为公差。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
专题八 最优化问题
专题简析：做一件事情，合理安排用的时间最
少，效果最佳， 这类问题称为统筹问题。“费
用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，
这些问题往往 可以从极端情况去探讨它的最
大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。
以上的问题实际上 都是“最优化问题”。

4

例题1 贴烧饼的时候，第一面需要 烘3分钟，
第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次
最多只能放2个烧饼。要贴3个烧饼至 少需要
几分钟？
思路：锅中保持两张饼用时最少。
（1）1号饼正面、2号饼正面————3分钟
（2）1号饼反面、3号饼正面————2分钟
（3）2号饼反面、3号饼正面————1分钟
（4）2号饼反面、3号饼反面————1分钟
（5）3号饼反面————1分钟。
3＋2＋1＋1＋1=8分钟
试一试1 红太狼用一个平底锅烙饼，锅上
只能 同时放两个饼。烙第一面需要2分钟，烙
第二面需要1分钟。现在在烙三个饼，最少需
要多少分 钟？


例题2 在一条公路上每隔50千米有一个粮
库，共4个粮库。 甲粮库存有10吨粮食，乙
粮库存有20吨粮食，丁粮库存有50吨粮食，
还有一个粮库是空的 。现在想把所存的粮食集
中放在一个粮库中，如果每吨粮食运1千米要
1元的运费，那么最少要 花多少运费才行？



思路：移动的货物重量小路程近，花费的费用就少。在本题中，各粮库之间的距离相等都是
50千米，一般原则是“少往多处靠”。甲、乙
两仓库粮食合起来是30吨，还不如丁粮库的
粮食多，所以应将甲、乙粮库的粮食集中放在
丁 粮库。甲粮库需用1×10×50×3=1500元，
乙粮库需要1×20×50×20=2000元， 共用
1500＋2000=3500元。
试一试2：一条公路有四个储油站，它们之间
都相隔100千米。甲储油站有50吨油，乙储
油站储有10吨油，丙储油站有20吨油，丁储
油站是空的。现在如果想把所存的油集中于一
个储油站，每吨油运1千米要2元运费，那么
最 少要花多少运费？




例3：五（1）班赵明、孙勇、李佳三 位同学
同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打
针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李 佳
点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，
校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三< br>位同学留在卫生室的时间总和最短？
分析：校医应该给治疗时间最短的先治病，治
疗时 间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生
室的时间总和最短。李佳治病3人等：1×3=3
分钟 ；孙勇治病2人等：3×2=6分钟；，赵明
治病自己1人等：5×1=5分钟。时间总和是1
×3＋3×2＋5×1=14分钟。
:试一试3：甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙
头处用水 ，甲洗托把需要3分钟，乙洗抹布需
要2分钟，丙洗衣服需要10分钟，丁用桶注
水需要1分钟 。怎样安排四人用水的次序，使
他们所花的总时间最少？最少时间是多少？



例4：用18厘米长的铁丝围成各种长方形，
要求长和宽的长度都是整厘米数。围成 的长方
形的面积最大是多少？
分析：根据“长方形周长=（长＋宽）×2”，
得到长 ＋宽=18÷2=9cm。根据“两数和一定，
差越小积越大”，又已知长和宽的长度都是整
厘 米数，因此，当长是5cm，宽是4cm时，围
成的长方形的面积最大：5×4=20平方厘米。
试一试4：一个长方形的周长是20分米，它
的面积最大是多少？



例5：用3 ~ 6这四个数字分别组成两个两位
数，使这两个两位数的乘积最大。
分析：考虑两点：（1）把大数放在高位；即应
把6和5这两个数字放在十位。（2）“两个因
数的差越小，积越大”的规律，3应放在6的
后面，4应放在5的后面。63×54=3402
试一试5：用5 ~ 8这四个数字分别组成两个
两位数，使这两个两位数的乘积最大。




5

专题九 规律（一）
专题简析：在进行加、减、乘、除四则运算是
时一个数不变，另一个数发生改变，结果也会发生相应变化，抓住变化规律解题，会让我们
的计算更轻松。

例1：两个数相加，一个加数增加9，另一个
加数减少9，和是否发生变化？
分析： 一个加数增加9，假如另一个加数不变，
和就增加9；一个加数不变，另一个加数减少
9，和就 减少9。相当于和先增加9，又减少9，
所以和不发生变化。
试一试1：两个数相加，一个数减6，另一个
数减2，和起什么变化？



例2：两个数相加，如果一个加数增加10，要
使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？
分析：一个加数增加10，和就增加10。现在
“要使和增加6”，另一个加数应减少10－< br>6=4。
试一试2：两个数相加，如果一个加数增加8，
要使和减少15，另一个加数应有什么变化？



例3：两数相减，如果被减数增加8，减数也
增加8，差是否起变化？
分析：被减数 增加8，差就增加8；减数增加
8，差就减少8。差先增加8，接着又减少8，
所以不发生变化 。
试一试3：两数相减，被减数增加12，减数减
少12，差起什么变化？



例4：两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另
一个因数缩小2倍，积将有什么变化？
分析：一个因数扩大8倍，积将扩大8倍；另
一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。积先扩大
8倍 又缩小2倍，因此，积扩大：8÷2=4倍。
试一试4：两数相乘，如果一个因数扩大3倍，
另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？


例5：两数相除，如果被除数扩大4倍，除数
缩小2倍，商将怎样变化？
分析：被除数扩大4倍，商就扩大4倍；除数
缩小2倍，商就扩大2倍。商先扩大4倍，接着又扩大2倍，商将扩大4×2=8倍。
试一试5：两数相除，被除数缩小12倍，除
数缩小2倍，商将怎样变化？



专题十 变化规律（二）
专题简析：前面，我们学习了和、差、积 、商
的变化规律。现在，我们利用这些规律来解决
一些较简单的问题。

例1：两数相减，被减数减少8，要使差减少
12，减数应有什么变化？
分析：被减 数减少8，假如减数不变，差也减
少8；现在要使差减少12，减数应增加12－
8=4。
试一试1：两数相减，如果被减数增加6，要
使差增加15，减数应有什么变化？



例2：两个数相除，商是8，余数是20，如果
被除数和除数同时扩大1 0倍，商是多少？余
数是多少？
分析：两数相除，被除数和除数同时扩大相同
的倍数 ，商不变，余数扩大相同的倍数。所以
商是8，余数是20×10=200。
试一试2：两个 数相除，商是8，余数是600。
如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多
少？余数是多少 ？



例3：两数相乘，积是48。如果一个因数扩大
2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？
分析：一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一
个因数缩小3倍，积缩小3倍。所以最后的积是48×2÷3=32。
试一试3：两数相除，商是19。如果被除数扩
大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？


6

专题十一 错中求解
专题简析：在加 、减、乘、除式的计算中，如
果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄
错，就会导致计算结果 发生错误。现在我们就
来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。

例1：小玲在 计算除法时，把除数65写成56，
结果得到的商是13，还余52。正确的商是多
少？ 分析：要求出正确的商，必须先求出被除数是
多少。先抓住错误的得数，求出被除数：13
×56＋52=780。所以，正确的商是：780÷
65=12。
试一试1：小虎在计算除 法时，把被除数1250
写成1205，结果得到的商是48，余数是5。
正确的商应该是多少 ？
例2：小芳在计算除法时，把除数32错写成
320，结果得到商是48。正确的商应该是 多少？
分析：根据题意，把除数32改成320扩大到
原来的10倍，又因为被除数不变，根 据商的
变化规律，正确的商应该是错误商的10倍。
所以正确的商应该是48×10=480。
试一试2：小马在计算除法时，把被除数1280
误写成12800，得到的商是32。正确的 商应该
是多少？



例3：小冬在计算有余数的除法时，把被除 数
137错写成173，这样商比原来多了3，而余
数正好相同。正确的商和余数是多少？ < br>分析：因为被除数137被错写成了173，被除
数比原来多了173－137=36，又因为商 比原来
多了3，而且余数相同，所以除数是36÷3=12。
又由137÷12=11……5， 所以余数是5。
试一试3：刘强在计算有余数的除法时，把被
除数137错写成174，结果 商比原来多3，余
数比原来多1。求这道除法算式的除数和余数。


< br>例4：小龙在做两位数乘两位数的题时，把一
个因数的个位数字4错当作1，乘得的结果是
525，实际应为600。这两个两位数各是多少？
分析：一个因数的个位4错当作1，所得的结< br>果比原来少了（4－1）个另一个因数；实际的
结果与错误的结果相差600－525=75，
另一个因数=75÷3=25
一个因数=600÷25=24
试一试4：小菊做两 位数乘两位数的乘法时，
把一个因数的个位数字1误写成7，结果得
646，实际应为418。 这两个两位数各是多少？



例5：方方和圆圆做一道乘法式题，方方误 将
一个因数增加14，计算的积增加了84，圆圆
误将另一个因数增加14，积增加了168。 那么，
正确的积应是多少？
分析：由“一个因数增加14，计算结果增加
了84”可 知另一个因数是84÷14=6；又由“另
一个因数增加14，积增加了168”可知，这个
因 数是168÷14=12。所以正确的积应是12×
6=72。
试一试5：两个数相乘，如果 一个因数增加3，
另一个因数不变，那么积增加18；如果一个
因数不变，另一个因数减少4， 那么积减少
200。原来的积是多少？



专题十二 简单列举
专题简析：直接列式解答比较困难时，可采用
一一列举的方法解决。（根据题目的要 求，通
过一一列举各种情况最终达到解答整个问题
的方法叫做列举法。）

例题1 从南通到上海有两条路可走，从上海
到南京有3条路可走。王叔叔从南通经过上海< br>到南京去，有几种走法？
分析：为了帮助理解，先画一个线路示意图。





从南通到上海有两条路，每条路经上海到南京
都有3条路；即有2个3条路：3×2=6（种）

7

试一试1：从甲地到乙地，有两条直达铁路，
从乙地到 丙地，有4条直达公路。那么，从甲
地到丙地有多少种不同的走法？


例 2：有三张数字卡片，分别为3、6、0。从
中挑出两张排成一个两位数，一共可以排成多
少个 两位数？
分析：排成时要注意“0”不能排在最高位。
十位上排6，个位有两种选择：60，63；
十位上排3，个位有两种选择：30，60。
一共可以排成2×2=4（个）两位数。
试一试2：用8、6、3、0这四个数字，可以组成多少个不同的三位数？最大的一个是多
少？


例3：用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，
可以组成多少种不同的信号？
分析： 要使信号不同，每一种信号颜色的顺
序就不同。把这些不同的信号一一列举如下：







红灯排在第一位置时，有两种不同的信号，
黄灯排在第一位置时，有两种不同的信号，
蓝灯排在第一位置时，有两种不同的信号。
因此，共有2×3=6种不同的排法。
试一试3：小红有3种不同颜色的上衣，4种
不同颜色的裙子，问她共有多少种不同的穿
法？



例4：在一 次足球比赛中，4个队进行循环赛，
需要比赛多少场？（两个队之间比赛一次称为
1场）
分析1：4个队进行循环赛，即每两个队都要
赛一场。设4个队分别为A、B、C、D则：
A队和其他3个队各比赛1次，要赛3场；
B队和其他两个队还要各比赛1次，要赛2场；
C队还要和D队比赛1次，要赛1场。
这样，一共需要比赛3＋2＋1=6（场）。
分析2：4个队进行循环赛，即每两个队都要
赛一场。则每个队都要赛3场，共赛4×3=12
场。这样就重复算了两次，因此实际共赛：12
÷2=6（场）
试一试4：在一次羽毛球赛中，8个队进行循
环赛，需要比赛多少场？



专题十三 和倍问题
专题简析：已知两个数的和与它们之间的倍数
关 系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍
问题。解答和倍应用题的基本数量关系是：
和÷（倍数＋1）=小数
小数×倍数=大数
（和－小数=大数）

例1：学校有科技书和故事书共480本，科技
书的本数是故事书的3倍。两种书各多少本？
分析：为了便于理解题意，我们画图来分析




把故 事书的本数看作一份，科技书的本数
就是这样的3份，两种书的总本数就是1＋3=4
份。把4 80本书平均分成4份，1份是故事书
的本数，3份是科技书的本数。
故事书：480÷（1＋3）=120（本）
科技书：120×3=360（本） 试一试1：一块长方形黑板的周长是96分米，
长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各是
多少分米？

例2：果园里有梨树、桃树和苹果树共1200
棵，其中梨树的棵数 是苹果树的3倍，桃树的
棵数是苹果树的4倍。求梨树、桃树和苹果树
各有多少棵？
分析：如果把苹果树的棵数看作1份，三种树
的总棵数是这样的1+3+4=8份。所以，
苹果树:1200÷8=150（棵）
梨树:150×3=450（棵）
桃树:150×4=600（棵）

8

试一试2：李大伯 养鸡、鸭、鹅共960只，养
鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。
鸡、鸭、鹅各养了 多少只？


例3：有三个书橱共放了330本书，第二个书
橱里的书是第 一个的2倍，第三个书橱里的书
是第二个的4倍。每个书橱里各放了多少本
书？
分析 ：把第一个书橱里的本数看作1份，第二
个书橱里的本数是这样的2份，第三个就是这
样的2× 4=8份，三个书橱里的总本数就是这
样的1+2+8=11份。所以，
第一个书橱：330÷11=30（本）
第二个书橱：30×2=60（本）
第三个书橱：60×4=240（本）
试一试3：甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的数
数是丙队的3倍。三个队各修了多少米？


例4：少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树
的棵数比柳树的3倍多20棵，两种 树各种了
多少棵？
分析：如果杨树少种20棵，杨树的棵数恰好
是柳树的3倍。柳树 1份和杨树3份的总棵数
是216－20=196（棵），
柳树棵数：196÷（1＋3）=49（棵）
杨树棵数：216－49=167（棵） 试一试4：小华和小明两人参加数学竞赛，两
人共得168分，小华的得分比小明的2倍少
42分。两人各得多少分？


例5：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米。三
个队各筑多少米？
分析：把乙队的米数看 作1份，甲队筑的米数
是这样的2份。假设丙队多筑240米，那么三
个队共筑了1360＋2 40=1600米，正好是乙队
的2＋1＋1=4倍。所以，乙队筑了1600÷4=400
米 ，甲队筑了400×2=800米，丙队筑了400
－240=160米。
试一试5：三个植 树队共植树1900棵，甲队
植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植
300棵。三个队各植 树多少棵？


第十四周 植树问题
专题简析：
1．线段上的植树问题可以分为以下三种情形：
（1）两端都要植树：棵数=段数＋1；
（2）一端植树：棵数=段数；
（3）两端都不植树：棵数=段数－1。
2．在封闭的路线上植数：棵数=段数。

例1：城中小学在一条大路边从头至尾栽树28
棵，每隔6米栽一棵。这条路长多少米？
分析： 28棵树之间有28－1=27段，每隔6
米为一段，所以这条大路长6×27=162米。
试一试1：一条路长200米，在路的一旁从头
至尾每隔5米植一棵树，一共要植多少棵？



例2：在一个周长是240米的游泳池周围栽树，
每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？
分析：游泳池是封闭线路，植树的棵数和段数
相等。240÷5=48（棵）
试一试2：在圆形的水池边，每隔3米种一棵
树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米？



例3：在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起
点和终点都挂 ，一共挂了202盏，相邻两盏之
间的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距
离。
分 析：大桥两边一共挂了202盏彩灯，每边各
挂202÷2=101盏，101盏彩灯把800米长的< br>大桥分成101－1=100段，所以，相邻两盏彩
灯之间的距离是800÷100=8米。 < br>试一试3：六年级学生参加广播操比赛，排了
5路纵队，队伍长20米，前后两排相距1米。六年级有学生多少人？

9

例4：一个木工锯一根19米的木 料，他先把
一头损坏部分锯下来1米，然后锯了5次，锯
成同样长的短木条。每根短木条长多少 米？
分析：把长19－1=18米的木条锯了5次，以
锯成5＋1=6段，每根短木条长18 ÷6=3米。
试一试4：有一个工人把长12米的圆钢锯成
了3米长的小段，锯断一次要5分 钟。共需要
多少分钟？



例5：有一幢10层的大楼，由于停 电电梯停
开。某人从1层走到3层需要30秒，照这样
计算，他从3层走到10需要多少秒？
分析：1层至3层有两个间隔，所以每个间隔
用去的时间是30÷（3－1）=15秒，3层到 10
层经过了10－3=7个时间间隔，所以，他从3
层到10层需要15×7=105秒。
试一试5：时钟4点敲4下，6秒钟敲完。那
么12点钟敲12下，多少秒钟敲完？



第十五周 图形问题
专题简析：解答“图形面积”问题时，应注意
以下几点：
1、根据题意，画出图形。
2、合理地进行切拼。
3、掌握图形本质，结合必要的分析推理和计
算，使隐蔽的数量关系明朗化。
例1：人民路小学操场长90米，宽45米。改
造后，长增加10米，宽增加5米。现在操场
面积比原来增加了多少平方米？
分析：用操场现在的面积减去操场原来的面
积，就得到增加的面积。
现在面积：（90+10）×（45+5）=5000平方米
原来面积：90×45=4050平方米
现在比原来增加：5000－4050=950平方米
试一试1：一块长方形铁板，长18分 米，宽
13分米。如果长和宽各减少2分米，面积比
原来减少多少平方分米？



例2：一个长方形，如果宽不变，长增加6米，
那么它的面积增加54平 方米；如果长不变，
宽减少3米，那么它的面积减少36平方米。
这个长方形原来的面积是多少 平方米？
分析：由“宽不变，长增加6米，面积增加
54平方米”可知，它的宽为54÷6= 9米；由
“长不变，宽减少3米，面积减少36平方米”
可知，它的长为36÷3=12米。所 以，这个长
方形原来的面积是12×9=108平方米。
试一试2：一个长方形，如果宽不变 ，长减少
3米，那么它的面积减少24平方米；如果长
不变，宽增加4米，那么它的面积增加6 0平
方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？




例3：一个养禽专业户用一段16米的篱笆围
成的一个长方形养鸡场（如下图），求养鸡场
的 占地面积。
分析：因为一面利
用着墙，所以两条
长加一条宽等于
16米。而 宽是4
米，那么长是（16
－4）÷2=6米，占地面积是6×4=24平方米。
试 一试3：下图是某个养禽专业户用一段长13
米的篱笆围成的一
个长方形养鸡场，
求养 鸡场的占地面
积。



例4：街心花园中一个正方形的花坛四周有1
米宽的水泥路，如果水
泥路的总面积是12平
方米，中间花 坛的面积
是多少平方米？

10

分析：把水泥路分成四< br>个同样大小的长方形
（如下图）。因此，一
个长方形的面积是12
÷4=3平方 米。因为水
泥路宽1米，所以小长
方形的长是3÷1=3
米。从图中可以看出正方形小 正方形的边长是
3－1=2米。中间花坛的面积是2×2=4平方米。
试一试4：有一个正方 形的水池，如下图的阴
影部分，在它的周围修一个宽8米的花池，花
池的面积是480平方米， 求水池的边长。





第十六周 巧妙求和（二）
专题简析：
某些问题，可以 转化为求若干个数的和。
先判断是否是求某个等差数列的和。如果是等
差数列求和，才可用等差 数列求和公式。

例1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30
页，从第二天起，他 每天读的页数都比前一天
多3页，第11天读了60页，正好读完。这本
书共有多少页？ 分析：根据“每天读的页数都比前一天多3页”
可知他每天读的页数是按一定规律排列的数，
即30、33、36、……57、60。这列数是一个
等差数列，首项=30，末项=60，项数=1 1带入
等差数列求和公式，得：
（30＋60）×11÷2=495（页）
试一试 1：丽丽学英语单词，第一天学会了6
个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天
学会了16 个。丽丽在这些天中学会了多少个
英语单词？



例2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都
配上自己的钥匙，至多要试几次？
分 析：开第一把锁时，如果不凑巧，试了29
把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打
开，即 开第一把锁至多需要试29次；同理，
开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多
需试27次 ……等打开第29把锁，剩下的最后
一把不用试，一定能打开。所以，至多需试
29＋28＋2 7＋„＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435
（次）。
试一试2：有10只盒子，44 只羽毛球。能不
能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子
里的羽毛球只数不相等？





例3：某班有51个同学，毕业时每人都和其
他的每个人握一次手。那么共握了多少次手？ < br>分析1：假设51个同学排成一排，第一个人
依次和其他人握手，一共握了50次，第二个
依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个
人握了48次。依次类推，第50个人和剩下的
一人握了1次手，这样，他们握手的次数和为：
50＋49＋48＋„＋2＋1=（50＋1）×50
÷2=1275（次）
分析2 ：每个同学都要握手51－1=50次。而
每两人就重复算了1次。所以实际握手次数：
51× 50÷2=1275（次）
试一试3：学校进行乒乓球赛，每个选手都要
和其他所有选手各赛 一场。如果有21人参加
比赛，一共要进行多少场比赛？



专题十七 数数图形
专题简析：当线段、角、三角形、长方形等图
形重重叠叠地交错 在一起时就构成了复杂的
几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含
的某一种基本图形的个数 ，必须注意以下几
点： 1，弄清被数图形的特征和变化规律。
2，要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。


11

例1：数一数下图中共有多少个三角形。






分析：以AD上的线段为底边的三角形也是
1+2+3=6个；以EF上 的线段为底边的三角形
也是1+2+3=6个。所以图中共有6×2=12个
三角形。
试一试1：数一数下面各图中各有多少个三角
形。




（ ）个三角形 （ ）个三角形


例2：数一数下图中有多少个长方形。
·




分析：数长方形与数线段的方法类似。可以这
样思考，图中的长方形的个数取决于A B或
CD边上的线段，AB边上的线段条数是
1+2+3=6条，所以图中有6个长方形。
试一试2：
数一数下面各图中分别有多少个长方形。



（ ）个长方形




例1：数一数下图中有多少个长方形？



分析：AB边上有线 段1+2+3=6条，把AB边
上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线
段作为宽，每一个 长配一个宽，就组成一个长
方形，所以，图中共有6×3=18个长方形。
即：长边线段数×宽边线段数=长方形的个数
试一试1：数一数，下图中有( )个长方形。





例2：数一数，下图中有多少个正方形？（每
个小方格是边长为1的正方形）
分析： 图中边长为1个长度单位
的正方形有3×3=9个，边长为2
个长度单位的正方形有2×2=4
个，边长为3个长度单位的正方
形有1×1=1个。所以图中的正方形总数为：
1+4 +9=14个。
经进一步分析可以发现，由相同的n×n
个小方格组成的几行几列的正方形其 中所含
的正方形总数为：1×1＋2×2＋„＋n×n。
试一试2：数一数下图中有（ ）个正方形。
（每个小方格为边长是1的小正方形）




例3：数一数右图中有多少个正
方形？(其中每个小方格都是边
长为1个长度单位的正方形)
分析：边长是1个长度单位的正方形有6×
4=24个 ；边长是2个长度单位的正方形有（6
－1）×（4－1）=15个；边长是3个长度单
位的正 方形有（6－2）×（4－2）=8个；边
专题十八 数数图形（二）
长是4个长度单位 的正方形有（6－3）×（4
专题简析：“数图形”时，既可以逐个计数，
－3）=3个；共有 ：24＋15＋8＋3=50个.
如果一个长方形的长被分成m等份，宽
也可以把图形分成若 干个部分，先对每部分按
照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们
被分成n等份（长和宽的 每一份都是相等的）
那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m
的个数合起来。
－2)(n－2)＋„＋(m－n＋1)·1


12

试一试3：数一数下图中有( )个正方形。




专题十九 应用题（二）
专题简析：解答复合应用题时一般有如下四个
步骤：
1，弄清题意，找出已知条件和所求问题；
2，分析已知条件和所求问题之间的关
系，找出解题的途径；
3，拟定解答计划，列出算式，算出得数；
4，检验解答方法是否合理，结果是否正
确，最后写出答案。
例1：某发电厂有10 200吨煤，前10天每天
烧煤300吨，后来改进炉灶，每天烧煤240吨。
这堆煤还能烧多 少天？
分析：条件摘录


思路：要求“还能烧多少天”，就要知道“还
剩下多少吨煤”。剩下的=总量－已烧的。
已烧：300×10=3000吨
剩下：10200－3000=7200吨
天数：7200÷240=30天。
试一试1：某工厂计划生产36500套轴承，前
5天平均每天生产2100套，后来改进操作方
法，平均每天可以生产2600套。这样完成这
批轴承生产任务共需多少天？




例2：师傅和徒弟同时开 始加工200个零件，
师傅每小时加工25个，完成任务时，徒弟还
要做2小时才能完成任务。 徒弟每小时加工多
少个？
分析：由条件可知，师傅完成任务用了200÷
25=8小 时，徒弟完成任务用了8+2=10小时。
所以，徒弟每小时加工200÷10=20个。
试 一试2：小华和小明同时开始写192个大字，
小华每天写24个，完成任务时，小明还要写
4 天才能完成。小明每天写多少个字？



例3：甲、乙两地相距200千 米，汽车行完全
程要5小时，步行要40小时。张强从甲地出
发，先步行8小时后改乘汽车，还 需要几小时
到达乙地？
分析：根据题意，汽车5小时行200千米，每
小时行200 ÷5=40千米；步行200千米要40
小时，平均每小时行200÷40=5千米，8小时
行 了5×8=40千米；全程有200千米，乘汽车
行了200－40=160千米，所以，还需160÷ 40=4
小时到达乙地。
试一试3：甲、乙两地相距200千米，汽车行
完全程要5 小时，步行要40小时。张强从甲
地出发，先乘汽车4小时，后改步行，他从甲
地到乙地共用了 多少小时？




例4：某筑路队修一条长4200米的公路， 原
计划每人每天修4米，派21人来完成；实际
修筑时增加了4人，可以提前几天完成任务？
分析：要求可以提前几天完成任务，要知道原
计划多少天完成和实际多少天完成。原计划
21人每天修4×21=84米，修4200米需要4200
÷84=50天。实际增加了4人，每天 修4×
（21+4）=100米，修同样长的公路需要4200
÷100=42天。可提前50 －42=8天完成任务。
试一试4：某筑路队修一条长8400米的公路，
原计划每人每天修 4米，派42人来完成。如
果每人的工作效率不变，要提前8天完成任
务，需要多少人参加？


例5：自行车厂计划每天生产自行车100辆，
可按期完成任务，实际每 天生产120辆，结果
提前8天完成任务。这批自行车有多少辆？
分析：假如以计划生产的时 间为准，那么实际
完成任务后，再生产8天可多生产120×8=960
辆。实际每天多生产1 20－100=20辆，可以求
出多生产960辆所用的时间，这个时间就是原
计划所需要的时 间，960÷20=48天。所以，
这批自行车有100×48=4800辆。
试一试5：一 辆汽车运一堆黄沙，计划每天运
15吨，可以在预定时间内完成任务。实际每
天运20吨，结果 提前3天运完。这批黄沙有
多少吨？


13

专题二十 速算与巧算
专题简析：乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化
规律，通过对算式适当变形，将其中的数转化
成整十、整百、整千„的数，或者使这道题计
算中的一些数变得易于口算，使计算简便。

例1：计算325÷25
分析：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩
小相同的倍数 ，商不变。利用这一性质，可以
使这道计算题简便。
325÷25=(325×4)÷(25×4)=1300÷100=13
试一试1：计算下面各题。
450÷25 3500÷125



例2：计算25×125×4×8
分析：先把25与4相乘 ，可以得到100；同
时把125与8相乘，可以得到1000；再把100
与1000相乘就 简便了。这就启发我们运用乘
法交换律和结合律使计算简便。
25×125×4×8
=（25×4）×（125×8）
=100×1000
=100000
试一试：计算下面各题。
125×25×32 75×16



例3：计算
（360+108）÷36 （450－75）÷15
分析：两个数的和（或差）除以一个数，可以
用这个数分别去除这两 个数，再求出两个商的
和（或差）。利用这一性质，可以使这道题计
算简便。
（360+108）÷36 （450－75）÷15
=360÷36+108÷36 =450÷15－75÷15
=10+3 =30－5
=13 =25
试一试3：计算下面各题。
（720+96）÷24 （4500－90）÷45




例4：计算158×61÷79×3
分析：在乘除法混合运算中，如果算式中没有
括 号，计算时可以根据运算定律和性质调换因
数或除数的位置。
158×61÷79×3
=158÷79×61×3
=2×61×3
=366
试一试4：计算下面各题。
624×48÷312÷8 406×312÷104÷203




专题二十一 平均数问题
专题简析： 求平均数问题的基本数量关系是：
总数量÷总份数=平均数
解答平均数问题的关键是要确定“总数
量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，< br>然后用总数量除以总份数求出平均数。

例1：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身
高。其中两个同学身高153厘米，一个同学身
高152厘米，有两个同学身高149厘米，还 有
两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同
学的平均身高。
分析1：这道题可以按照一般思路解，即用身
高总和除以总人数。
（153×2＋152＋149×2＋147×2）÷（2＋1
＋2＋2）=150厘米 分析2：假设平均身高为150厘米，把它当作
基准数，用“基数+各数与基数的差之和÷份
数=平均数”。
150＋（3×2＋2－1×2－3×2）÷（2＋1＋2
＋2）=150厘米
试一 试1：敬老院有8个老人，他们的年龄分
别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78
岁、76岁、80岁。求这8个老人的平均年龄。




例2：从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽
车上山，需要4小时到达山顶，下山沿原路返
回，只用2小时到达山脚。求这辆汽车往返的
平均速度。

14

< br>分析：求往返的平均速度，要用往返的路程除
以往返的时间，往返的路程是36×2=72千米，
往返的时间是4+2=6小时。所以，这辆汽车往
返的平均速度是每小时行72÷6=12千米 。
试一试2：小亮上山时的速度是每小时走2千
米，下山时的速度是每小时走6千米。那么，
他在上、下山全过程中的平均速度是多少千
米？




例3：李华参加体育达标测试，五项平均成绩
是85分，如果投掷成绩不算在内，平均成绩是83分。李华投掷得了多少他？
分析：先求出五项的总得分：85×5=425分，
再 算出四项的总分：83×4=332分，最后用五
项总分减去四项总分，就等于李华投掷的成
绩 ：425－332=93分。
试一试3：小丽在期末考试时，数学成绩公布
前她四门功课的平 均分数是92分；数学成绩
公布后，她的平均成绩下降了1分。小丽的数
学考了多少分？




例4：如果四个人的平均年龄是23岁，四个
人中 没有小于18岁的。那么年龄最大的人可
能是多少岁？
分析：因为四个人的平均年龄是23岁 ，那么
四个人的年龄和是23×4=92岁；“四个人中没
有小于18岁的”，假设有3个人的 年龄都是
18岁，则年龄最大的一个：92－18×3=38岁。
试一试4：如果四个人的平 均年龄是28岁，
且没有大于30岁的。那么最小的人的年龄可
能是多少岁？




专题二十二 差倍问题
专题简析：一般需画图分析
解答差倍应用题的基本数量关系是：
差÷（倍数－1）=小数
小数×倍数=大数 或：小数+差=大数

例1：光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳
比赛的人数是踺 子人数的3倍，比踢踺子的多
36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？
分析：把踢踺子 的人数看作1份，跳绳的人数
是这样的3份。36人是这样的3－1=2份。1
份就是踢踺子的 人数：36÷2=18人，跳绳的
有18×3=54人。
（相差人数÷相差倍数=1份数）
试一试1：一种钢笔的价钱是一种圆珠笔的4
倍，这种钢笔比圆珠笔贵12元。这种钢笔和圆珠笔的单价各是多少元？




例2：仓库里存放大米和 面粉两种粮食，面粉
比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的
2倍还多100千克。仓库 有大米和面粉各多少
千克？
分析：如果面粉减少100千克，那么面粉的千
克数就是 大米的2倍，3900－100=3800千克，
就是大米的2－1=1倍。
大米：3800÷1=3800千克
面粉：3800＋3900=7700千克
试 一试2：学校今年参加科技兴趣小组的人数
比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少
35人 。今年有多少人参加？
例3：育红小学买了一些足球、排球和篮球，
已知足球比排球多7只， 排球比篮球多11只，
足球的只数是篮球的3倍。足球、排球和篮球
各买了多少只？
分析：由题意可知，足球比篮球多买7+11=18
只，它是篮球的3－1=2倍。所以，买篮球18< br>÷2=9只，买排球9+11=20只，买足球20+7=27
只。
试一试3：三个小 朋友们折纸飞机，小晶比小
亮多折12架，小强比小亮少折8架，小晶折
的是小强的3倍。三个 人各折纸飞机多少架？





例4：商店运来一批白 糖和红糖，红糖的重量
是白糖的3倍，卖出红糖380千克，白糖110
千克后，红糖和白糖重 量相等。商店原有红糖
和白商各多少千克？

15

分析： 根据题意：红糖比白糖多380－110=270
千克，它是白糖的3－1=2倍。所以，白糖原
有270÷2=135千克，红糖原有135×3=405
千克。
试一试4：有两筐橘子， 第二筐中橘子的个数
是第一筐中的2倍。如果第一筐中再放入48
个，第二筐中再放入18个， 那么两筐的橘子
个数相等。原来两筐各有橘子多少个？



例5 ：甲、乙两个书架原有图书本数相等，如
果从甲书架取出240本，从乙书架取出60本
后，乙 书架的本数是甲书架的3倍。原来两个
书架各有图书多少本？
分析：根据题意可知乙书架余下 的书比甲书架
多240－60=180本，它是甲书架余下的2倍，
所以甲书架余下180÷2 =90本。甲书架原有
90＋240=330本。
试一试5：甲、乙两个书架原有图书本数相 等，
如果从甲书架取出120本放到乙书架，乙书架
的本数是甲书架的4倍。原来两个书架各有 图
书多少本？



例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a
＋b，试计算6⊕2。
分析：这道题规定的运算本质是：用运算符号
前后两个数的积加上这两个数。
6⊕2=6×2＋6＋2=20
试一试2：对于两个数A与B，规定：A☆B=A
×B÷2。试算6☆4。



例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，
按此规律计算3△5。
分析：这道题规定的运算本质是：从运算符号
前的数加起，每次加的数都比前面的一个数多
1， 加数的个数为运算符号后面的数。所以，3
△5=3＋4＋5＋6＋7=25
试一试3：如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36
÷（3＋6），计算8▽4。




专题二十四 和差问题
专题简析：已知两个数 的和与差，求出这两个
数各是多少的应用题，叫和差应用题。解答和
差应用题的基本数量关系是 ：
（和－差）÷2=小数
（和＋差）÷2=大数

例1：两筐梨子共 有120个，如果从第一筐中
拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数
相等。两筐原来各有 多少个梨？
分析：第一筐减少10个，第二筐增加10个后，
则两筐梨子个数相等，可知原来 第一筐比第二
筐多10×2=20个。假如从120个中减去20个，
那么得到的差就是第二筐 梨子个数的2倍，所
以，第二筐原来有（120－20）÷2=50个，第
一筐原来有50＋2 0=70个。
试一试1：某汽车公司两个车队共有汽车80
辆，如果从第一车队调10辆到第 二车队，两
个车队的汽车辆数就相等。两个车队原来各有
汽车多少辆？




专题二十三 定义新运算
专题简析：这一讲，我们将定义一些新的 运算
形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算
是不相同的。

例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a
的3倍减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。
试计算：（1）5△6；（2）6△5。
分析：解这类题的关键是抓住定义 的本质。这
道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的
3倍减去符号后面的数的2倍。
（1） 5△6=5×3－6×2=3
（2） 6△5=6×3－5×2=8
显然，本例定义的运算不满足交换律，计算中
不能将△前后的数交换。
试一试1：设a、b都表示数，规定：a*b=3×a
＋2×b。试计算：
（1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）

16

例2：今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，
3年前，小勇比妈妈小26岁。今年妈妈和小
勇各多少岁？
分析：3年前，小勇比妈妈小26岁，这个年
龄差是不变的，即今年小勇也比 妈妈小26岁。
显然，这属于和差问题。所以妈妈今年（38+26）
÷2=32岁，小勇（3 8－26）÷2=6岁。
试一试2：黄茜和胡敏两人今年的年龄和是23
岁，4年后，黄茜将 比胡敏大3岁。黄茜和胡
敏今年各多少岁？



例3：甲乙两个 仓库共有大米800袋，如果从
甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库
比乙仓库还多8袋 。两个仓库原来各有多少袋
大米？
分析：先求甲、乙两仓库大米的袋数差，由“从
甲 仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库
比乙仓库还多8袋”可知甲仓库原来比乙仓库
多25 ×2＋8=58袋。由此可求出甲仓库原来有
（800＋58）÷2=429袋，乙仓库原来有800< br>－429=371袋。
试一试3：甲、乙两筐香蕉共重60千克，从
甲筐中取5千克放 到乙筐，结果甲筐比乙筐还
多2千克。两筐原来各有多少千克香蕉？



例4：把长108厘米的铁丝围成一个长方形，
使长比宽多12厘米，长和宽各是多少厘米？
分析：根据题意可知围成的长方形的周长是
108厘米，因此，这个长方形长与宽的和是108
÷2=54厘米，由此可以求出长方形的长为
（54+12）÷2=33厘米，宽为54－33 =21厘米。
试一试4：赵叔叔沿长和宽相差30米的游泳
池跑6圈，做下水前的准备活动， 共跑1080
米。游泳池的长和宽各是多少米？



例4：小英 一家由小英和她的父母组成。小英
的父亲比母亲大3岁，今年全家年龄总和是
71岁，8年前这 个家的年龄总和是49岁。今
年三人各多少岁？
分析： 8年前这个家的年龄总和应该是71 －
（1+1+1）×8=47岁，但这与题中所给的条件
49不一致。为什么呢？这说明8年前 小英还
没有出生。是49－47=2年后生的。所以小英
今年8－2=6岁。今年父母的年龄和 为71－
6=65岁。“父亲比母亲大3岁”，所以今年父
亲（65+3）÷2=34岁，母亲 34－3=31岁。
试一试4：吴琪一家由吴琪和他的孪生姐姐吴
林还有他们的父母组成，其 中父亲比母亲大2
岁。今年全家的年龄和是64岁，5年前全家
的年龄和是52岁。求今年每人 的年龄。



专题二十五
较复杂的和差倍问题
专题简析：解答较复杂的和差倍问题，需要我
们从整体上把握住问题的本质，将题目进行合
理的 转化，从而将较复杂的问题转化为一般和
倍、差倍、和差应用题来解决。
例1：两箱茶叶共重 96千克，如果从甲箱取
出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲
箱的3倍。两箱原来各有 茶叶多少千克？
分析：根据“两箱茶叶共重96千克”和“乙
箱是甲箱的3倍”，则甲箱现在 有茶叶96÷（1
＋3）=24千克。再根据“从甲箱取出12千克
放入乙箱”， 求出甲箱原来有茶叶24＋12=36
千克，乙箱原来有茶叶96－36=60千克。
试一试 1：甲、乙两人共储蓄2000元，甲取
出160元，乙又存入240元，这时甲储蓄的钱
数比 乙的2倍少20元。甲、乙两人原来各储
蓄多少元？（倍数和（2+1）对应的储蓄和：
甲增加 20、减取出加存入）



例2：甲、乙、丙三个同学做数学题，已知甲
比乙多做5道，丙做的是甲的2倍，比乙多做
20道。他们一共做了多少道数学题？
分析：以“乙”为标准：“甲比乙多5道，丙
比乙多20道”则丙比甲多做20－5=15道。又
因为“丙做的是甲的2倍”，则甲做了15÷（2
－1）=15道。丙做了15×2=30道，乙做了 15
－5=10道。他们共做了：15＋30＋10=55道。
试一试2：甲、乙、丙三个人 合做一批零件，
甲比乙多做12个，丙做的比甲的2倍少20个，
比乙做的多38个。这批零件 共有多少个？

17

例3：某工厂一、二、三车间共有工人280 人，
第一车间比第二车间多10人，第二车间比第
三车间多15人。三个车间各有工人多少人？
分析：先任意确定一个车间的人数做的标准。
如果以第二车间的人数为标准，第一车间减少10人，第三车间增加15人，那么280－10＋
15=285人是第二车间人数的3倍，由此可 以
求出第二车间有285÷3=95人，第一车间有
95＋10=105人，第三车间有95－ 15=80人。
试一试3：四个数的和是152，第一个数比第
二个数多16，比第三个数多 20，比第四个数
少12。第一个数和第四个数是多少？




例4：两个数相除，商是4，被除数、除数、
商的和是124。被除数和除数各是多少？ 分析：“商是4”说明被除数是除数的4倍。
124减去商就得到被除数与除数的和：124－4=120，除数是120÷5（4＋1）=24，被除数
是24×4=94。
试一试4：两数相除，商是5，余数是7，被
除数、除数、商、余数的和是187，求被除数。




专题二十六 周期问题
专题简析：在日常生 活中，有一些现象按照一
定的规律不断重复出现，如人的生肖、每周的
七天等等。这种规律性问 题称为周期问题。
解答时先找出周期，看一个周期里包含几
个对象。用总量除以周期 内对象数：没有余数
结果为周期里的最后一个对象；有余数，余几
就是周期里第几个对象。

例1：你能找出下面每组图形的排列规律吗？
根据发现的规律，算出每组第20个图 形分别
是什么。
（1）□△□△□△□△„„
（2）□△△□△△□△△„„ < br>分析：第（1）题排列周期里包含两个对象：
“□△”。20÷2=10，没有余数，所以第20 个
图形是△。第（2）题排列周期里包含三个对
象“□△△”。20÷3=6„2，余2第20 个图形
是周期里的第二个对象“△”。
试一试1：盼望祖国早日统一盼望祖国早日统
一盼望祖国早日统一„第2013个字是什么？



例2：有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4„
排列 。（1）第129个数是多少？（2）这129
个数相加的和是多少？
分析：（1）一个周期 里包含“5、6、4、2”四
个对象。129÷4=32„„1，余1是周期里的第
1个对象“ 5”。（2）一个周期的和是
5+6+4+2=17，共有32个周期和1个“5”。所
以，这 129个数相加的和是17×32＋5=549。
试一试2：河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃，后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青
桃。接下去一直这样排列。问：第100棵是什
么桃树？三种树各有多少棵？




例3：假设所有的自然数 排列起来，如下所示
39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个
字母下面？
A B C D
1 2 3 4
5 6 7 8
9„
分析：一个周期里有4个对象。39÷4=9„3，
余3所以在第3个对象 字母C下面；88÷4=22，
没有余数，所以在最后一个对象字母D下面。
试一试3：假设所有自然数如下图排列起来，
78、2000应分别排在哪个字母下面？
A B C D
1 2 3 4
8 7 6 5
9 10 11 12
„„


18

例4：1991年1月1日是星期二，（1）该月的
22日是星期几？该月28日是星期几？（2）
1994年1月1日是星期几？
分析：“一个 星期是7天”所以一个周期里有
7个对象。“（止日－起日＋星期几）÷7”余
几就是星期几。
（止日－起日＋星期几）÷7
（1）（22－1＋2）÷7=3„„2（是星期二）
（2）（28－1＋2）÷7=3„„1（是星期一）
（3）1991年、1993年是平年 ，1992年是闰
年，从1991年1月1日到1994年1月1日共
365＋366＋365 ＋1=1097天。
（1097－1＋2）÷7=3„„6（是星期六）
试一试4：1996年8月1日是星期四，1996
年的元旦是星期几？




专题二十七 行程问题（一）
专题简析：解答行程问题时，要理清路程 、速
度和时间之间的关系，紧扣基本数关系“路程
=速度×时间”来思考，对具体问题要作仔细
分析，弄清出发地点、时间和运动结果。

例1：甲乙两人分别从相距20千米的两 地同
时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小
时走4千米。两人几小时后相遇？
分析：这是一道相遇问题。两人每小时共走6
＋4=10千米（这是他们的速度和）。求两人几
小时相遇，就是求20千米里面有几个1 0千
米。因此，两人20÷（6＋4）=2小时后相遇。 < br>试一试1：一辆汽车和一辆摩托车同时分别从
相距900千米的甲、乙两地出发，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行50千米。8小时
后两车相距多少千米？




例2：王欣和陆亮两人同时从相距2000米的
两地相向而行，王欣每分 钟行110米，陆亮每
分钟行90米。如果一只狗与王欣同时同向而
行，每分钟行500米，遇 到陆亮后，立即回头
向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去。
这样不断来回，直到王欣和陆 亮相遇为止，狗
共行了多少米？
分析：“人走狗跑，人相遇狗停”两人相遇的
时间就是狗跑的时间。
相遇时间=2000÷（110＋90）=10分钟
狗共行：500×10=5000米。
试一试2：甲、乙两个车队同时从相隔330千
米的两地相向而行，甲队每小时行60千米，< br>乙队每小时行50千米。一个人骑摩托车以每
小时行80千米的速度在两车队中间往返联络.两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米？




例3：甲每 小时行7千米，乙每小时行5千米，
两人于相隔18千米的两地同时相背而行，几
小时后两人相 隔54千米？
分析：这是一道相背问题。解答相背问题同相
遇问题一样。甲乙两人共行54－ 18=36千米，
每小时共行7＋5=12千米。要求几小时能行完
36千米，就是求36千米 里面有几个12千米。
所以，36÷12=3小时。
试一试3：东西两镇相距20千米，甲、 乙两
人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时的
路程是乙的2倍，3小时后两人相距56千米 。
两人的速度各是多少？



例4：甲乙两人分别从相距24千 米的两地同
时向东而行，甲骑自行车每小时行13千米，
乙步行每小时走5千米。几小时后甲可 以追上
乙？
分析：这是一道追及问题。甲追上乙时，比乙
多行了24千米（路程差） 。甲每小时比乙多行
13－5=8千米（速度差），即每小时两人间的
路程缩短8千米，所以要 求追上乙所用的时
间，就是求24千米里面有几个8千米。因此，
24÷8=3小时甲可以追上 乙。
试一试4：小华和小亮的家相距380米，两人
同时从家中出发，在同一条笔直的路上行 走，
小华每分钟走65米，小亮每分钟走55米。3
分钟后两人相距多少米？（从相遇、背向、 追
及三种情况思考）




例5：甲、乙两沿运动场的 跑道跑步，甲每分
钟跑290米，乙每分钟跑270米，跑道一圈长
400米。如果两人同时从 起跑线上同方向跑，
那么甲经过多长时间才能第一次追上乙？

19

分析：这是一道封闭线路上的追及问题。甲和
乙同时同地起跑，方向一致。因此，当甲第一< br>次追上乙时，比乙多跑了一圈，也就是甲与乙
的路程差是400米。根据“路程差÷速度差=追及时间”即可求出甲追上乙所需的时间：400
÷（290－270）=20分钟。
试 一试5：光明小学有一条长200米的环形跑
道，亮亮和晶晶同时从起跑线起跑。亮亮每秒
跑6 米，晶晶每秒跑4米，问：亮亮第一次追
上晶晶时两人各跑了多少米？





例3：甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁。
再过多少年，爸爸和妈妈的年龄和为80岁？
分析：两人的年龄和每年增加2岁，先求今年
爸爸和妈妈的年龄和：28＋26=54岁，再求 80
比54多80－54=26岁。26里面包含多少个2，
就是经过的年数。所以，再过26 ÷2=13年爸
爸和妈妈的年龄和为80岁。
试一试3：林星今年8岁，爸爸今年34岁。< br>当他们的年龄和为72岁时，爸爸和林星各多
少岁？


专题二十九 用假设法解题
专题简析：运用假设法的思路解应用题，先要
根据题意假设未知的两个量是同一 种量，或者
假设要求的两个未知量相等；其次，要根据所
作的假设，注意到数量关系发生了什么 变化并
作出适当的调整。

例1：今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头
共 35个，鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有
多少只？
分析：鸡兔同笼问题往往用假设法来解 答，即
假设全是鸡或全是兔，脚的总数与实际数量不
符。假设全是鸡，脚就比实际少；假设全是 兔，
脚就比实际多。
假设全是鸡，脚的总数是2×35=70只。与实
际相比，减少 94－70=24只。减少的原因是把
一只兔当作一只鸡时，要减少4－2=2只脚。
所以兔有 24÷2=12只，鸡有35－12=23只。
试一试1：鸡与兔共有20只，共有脚50只。
鸡与兔各有多少只？



例2：面值2元、5元的人民币共27张，全计
99元。面值2元、5元的人民币各有多少张？
分析：这道题类似于“鸡兔同笼”问题。
假设全是2元的人民币，钱总数是2×27=54< br>元，与实际相比减少了99－54=45元，减少的
原因是把每2元的人民币当作5元的人民币，
每张要减少5－2=3元，所以，面值是5元的
人民币有45÷3=15张，面值2元的人民币 有
27－15=12张。
专题二十八 巧算年龄
专题简析：解答年龄问题，要灵活运用以下三
条规律：1、两人的年龄差总是不变的；
2、随着时间的向前或向后推移，几个人的年
龄总是在减少或增加相等的数量；
3、随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数
关系也会发生变化。

例1：爸爸今年43岁，儿子今年11岁。几年
后爸爸的年龄是儿子的3倍？
分析： 儿子出生后，无论在哪一年，爸爸和儿
子的年龄差总是不变的，这个年龄差是43－
11=32 岁。所以，当爸爸的年龄是儿子3倍时，
儿子是32÷（3－1）=16岁，因此16－11=5
年后，爸爸的年龄是儿子的3倍。
试一试1：小强今年15岁，小亮今年9岁。
几年前小强的年龄是小亮的3倍？




例2：妈妈今年的年龄是女儿的4倍，3年前，
妈妈和女儿的 年龄和是39岁。妈妈和女儿今
年各多少岁？
分析：从3年前到今年，妈妈和女儿都长了3< br>岁，她们今年的年龄和是：39+3×2=45岁。
于是，这个问题可转化为和倍问题来解决。所
以，今年女儿的年龄是45÷（1+4）=9岁，妈
妈今年是9×4=36岁。
试一 试2：今年小丽和她爸爸的年龄和是41
岁，4年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍。
小丽和爸 爸今年各是多少岁？




20

试一 试2：小明参加猜谜比赛，共20道题，
规定猜对一道得5分，猜错一道倒扣3分（不
猜按错算 ）。小明共得60分，他猜对了几道？



例3：某场乒乓球比赛售出3 0元、40元、50
元的门票共200张，收入7800元。其中40元
和50元的张数相等， 每种票各售出多少张？
分析：因为“40元和50元的张数相等”，所
以可以把40元和50 元的门票都看作45元的
门票，假设这200张门票都是45元的，应收
入45×200=90 00元，比实际多收入9000－
7800=1200元，这是因为把30元的门票都当
作45 元来计算了。因此30元的门票有1200
÷（45－30）=80张，40元和50元的门票各
有（200－80）÷2=60张。
试一试3：某场球赛售出40元、30元、50元
的门 票共400张，收入15600元。其中40元
和50元的张数相等，每种门票各售出多少
张？


专题三十 还原问题
专题简析：还原问题又叫逆运算问题。解决这
类问题通常运用倒推法。
遇到比较复杂的还原问题，可以借助画
图和列表来解决这些问题。

例1： 某商场出售洗衣机，上午售出总数的一
半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还
剩95台 。这个商场原来有洗衣机多少台？
分析：售出“剩下的”一半则余下“剩下的”
另一半。剩下 的另一半：20＋95=115台，向
前倒推，上午售后剩下：115×2=230台。而
23 0台和10台合起来，即230＋10=240台又
正好是总数的一半。那么，240×2=480台就
是原有洗衣机的台数。
试一试1：爸爸买了一些橘子，全家人第一天
吃了这些橘子的 一半多1个，第二天吃了剩下
的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多
1个，还剩下1个。 爸爸买了多少个橘子？
例2：小明、小强和小勇三个人共有故事书60
本。如果小强向小明借 3本后，又借给小勇5
本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。
这三个人原来各有故事书多 少本？
分析：根据“三个人的书的本数正好相等”则
最后三个人每人都有故事书60÷3=2 0本。然
后还原：给别人的加回来，别人给的减出去。
平均每人：60÷3=20本
小明：20＋3=23本
小强：20－3＋5=22本
小勇：20－5=15本
试一试2：小红、小丽、小敏三个人各有年历
片若干张。如果小红给小丽13张，小丽给小敏23张，小敏给小红3张，那么他们每人各
有40张。原来三个人各有年历片多少张？




例3：甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲
桶中倒出和乙桶 同样多的油放入乙桶，再从乙
桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶
油恰好都是36千克 。问两桶油原来各有多少
千克？
分析：列表解答：



试一试3：书架上分上、中、下三层，共放192
本书。现从上层出与中层同样多的书放到中
层，再从中层取出与下层同样多的书放到下
层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书
放到上 层，这时三书架所放的书本数相等。这
个书架上中下各层原来各放多少本书？



例4：两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，
抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去 一半；
甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，
甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多 2个。
问甲猴最初准备拿几个？

21

分析：列表解答：




试一试4：学校运来36棵树苗，小强和小萍
两人 争着去栽。小强先拿了树苗若干棵，小萍
看到小强拿太多了就抢了10棵，小强不肯，
又从小萍 那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是
小萍的2倍。问最初小强准备拿多少棵？




专题三十一 逻辑推理
专题简析：解答推理问题常用的方法有：排除
法、假设法、反证法。
1、选准突破口 ；2、不断排除不可能的情况，
从而得出要求的结论；3、对可能出现的情况
作出假设，然后再 根据条件推理，如果得到的
结论和条件不矛盾，说明假设是正确的；4、
遇到比较复杂的推理问 题，可以借助图表进行
分析。

例1：有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。
冬冬说：“兰兰做的比静静多。”兰兰说：“冬
冬做的比静静多。”静静说：“兰兰做的比冬冬
少。”这三位小朋友中，谁做的好事最多？谁
做的好事最少？
分析：我们用“＞”来表示每个小朋友之间做
好事多少的关系。
因为“兰兰＞静静” 、“冬冬＞静静”和“冬冬
＞兰兰”。所以，冬冬＞兰兰＞静静，冬冬做
的好事最多，静静做的 最少。
试一试1：江波、刘晓、吴萌三个老师，其中
一位教语文，一位教数学，一位教英语。已知：
江波和语文老师是邻居；吴萌和语文老师
不是邻居；吴萌和数学老师是同学。请问：三
个老师分别教什么科目？



例2：有一个正方体，每个面分别写上汉字 ：
数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果
如下图所示。这个正方体的每个汉字的对面各< br>是什么字？


分析：正方形有6个面，每个面有4个相邻的
面、1 个相对的面，找到与它相邻的4个面剩
下的1个面就是它的对面。
与“奥”相邻的是“林”、“匹”、“学”、“数”
剩下一个“克”在“奥的对面”。
同理“数”的对面是“匹”。则剩下“学”的
对面一定是“林”。
试一试2：下面 三块正方体的六个面都是按相
同的规律涂有红、黄、蓝、白、绿、黑六种颜
色。请判断黄色的对 面是什么颜色？白色的对
面是什么颜色？红色的对面是什么颜色？





例3：甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃，
甲说：“是丙打碎的。”乙 说：“我没有打碎破
璃。”丙说：“是乙打碎的。”他们当中有一个
人说了谎话，到底是谁打碎 了玻璃？
分析：先假设，看结论和条件是否矛盾。
如果是甲打碎的，那么甲说谎话，乙说的
是真话，丙说的是谎话。这样两人说的是谎话，
与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是甲打< br>碎的。
如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙
说的是谎话，丙说的是真话，与他们中 只有一
人说谎相矛盾，所以不是乙打碎的。
如果是丙打碎的，那么甲说的是真话，乙
说的是真话，而丙说的是谎话。这样有两个说
的是真话，符合条件中只有一个人说的是谎
话，所 以玻璃是丙打碎的。
试一试3：已知甲、乙、丙三人中，只有一人
会开汽车。甲说：“我会开 汽车。”乙说：“我
不会开。”丙说：“甲不会开汽车。”如果三人
中只有一人讲的是真话，那 么谁会开汽车？


22

例4：A、B、C、D与小强五 个同学一起参加
象棋比赛，每两人都赛一盘，比赛一段时间后
统计：A赛了4盘，B赛了3盘， C赛了2盘，
D赛了一盘。问小强已经赛了几盘？
分析：用五个点表示这5个人，用线连接两 点
表示他们间进行了比赛。现在A赛4盘，所以
A应该与其余4个点都连线。B赛了3盘，由< br>于D只赛了1盘，是和A赛的，所以B应该
与C连。（B、A已连线）C已连了2条线，小
强也连了2条线，所以小强已赛了2盘。





< br>试一试4：明明、冬冬、兰兰、静静、思思和
毛毛六人参加一次会议，见面时每两个人都要
握一次手。明明已握了5次手，冬冬握了4次
手，兰兰握了5次手，静静握了2次，思思握
了 1次手。问毛毛握了几次手？





例2：计算333×334＋999×222
解析：333×334＋999×222
=333×334＋333×（3×222）
=333×（334＋666）
=333×1000
=333000
试一试2：计算下面各题：
9999×2222＋3333×3334 46×28＋24×63





例3：计算20012001×2002－20022002×2001
分析：大数化小：2 0012001=2001×10001，
20022002=2002×10001：
20012001×2002－20022002×2001
=2001×10001×2002－2002×10001×2001
=0
试一试3：计算
19931993×1994－19941994×1993



例4：不用笔算，请你指出下面哪个得数大。
专题三十二 速算与巧算（三）
163×167 164×166
专题简析：有些题看似不能巧算 ，如果把已知分析1：两个因数和相等，差越小积越大，所
数适当分解或转化就可以使计算简便。 以163×167＜164×166

分析2：把题中的数据作适当变形，再利用乘
例1：计算236×37×27 法分配律，再比较就方便了。
分析：将27变为“3×9”，将37乘3得111，163×167 164×166
这是一个特殊的数，这样就便于计算了。 =163×（166＋1） =（163＋1）×166
236×37×27 =163×166＋163 =163×166＋166
=236×（37×3×9） 所以，163×167＜164×166
=236×（111×9） 试一试4：计算：8353×363－8354×362

=236×999

=236×（1000－1）
=236000－236
专题三十三 行程问题（二）
=235764
试一试1：计算下面各题：
专题简析：顺水速度=船速＋水速
逆水速度=船速－水速
315×77×13 6666×6666
（顺水速度＋逆水速度）÷2=船速

（顺水速度－逆水速度）÷2=水速


23

例1：货车和客车同时从东西两地相向而行，货车每小时行48千米，客车每小时行42千米，
两车在距中点18千米处相遇。东西两地相距多少千米？
分析：“距中点18千米处相遇”则货车比客车
多行18×2=36km，货 车每小时比客车多行48
－42=6km，两车行了36÷6=6小时。路程=速
度和×相遇时 间=（48＋42）×6=540km。
试一试1：甲、乙两辆汽车同时从东西两城相
向开出 ，甲车每小时行60千米，乙车每小时
行56千米，两车在距中点16千米处相遇。东
西两城相 距多少千米？



例2：甲、乙两港间的水路长286千米，一只
船从甲港开往乙港顺水11小时到达；从乙港
返回甲港，逆水13小时到达。求船在静水中
的 速度（即船速）和水流速度（即水速）。
分析：路程÷顺水时间=顺水速度，路程÷逆
水时间 =逆水速度。因此，顺水速度是286÷
11=26千米，逆水速度是286÷13=22千米。
船在静水中每小时行（26＋22）÷2=24千米，
水流速度是每小时（26－22）÷2=2千米 。
试一试2：甲、乙两港间水路长432千米，一
只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小
时，从乙港返回甲港，需要24小时到达。求
船在静水中的速度和水流速度。



例3：一只轮船从上海港开往武汉港，顺流而
下每小时行25千米，返回 时逆流而上用了75
小时。已知这段航道的水流是每小时5千米，
求上海港与武汉港相距多少千 米？
分析：先根据顺水速度和水速，可求船速为每
小时25－5=20千米；再根据船速和水 速，可
求出逆水速度为每小时行20－5=15千米。又
已知“逆流而上用了75小时”，所以 ，上海港
与武汉港相距15×75=1125千米。
试一试3：一只轮船从甲码头开往乙码头 ，逆
流每小时行15千米，返回时顺流而下用了18
小时。已知这段航道的水流是每小时3千米 ，
求甲、乙两个码头间水路长多少千米？
例4：A、B两个码头之间的水路长80千米，甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10
小时。如果乙船顺流而行需要5小时，那么乙
船在静水中的速度是多少？
分析：甲、乙两船都在同一条水路上行驶，所
以水速相同。根据题 意，甲船顺水每小时行
80÷4=20千米，逆水每小时行80÷10=8千米，
因此，水速为 每小时（20－8）÷2=6千米。
又由“乙船顺流而行80千米需要5小时”，可
求乙船在顺 水中每小时行80÷5=16千米。所
以，乙船在静水中每小时行16－6=10千米。
试一 试4：A、B两个码头间的水路全长80千
米，甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要
10小 时。如果乙船逆流而上需要20小时，那
么乙船在静水中的速度是多少？




专题三十四 容斥原理
专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理 ——
包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计
数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从
它们的和中排除重复部分。

例1：某班有36个同学在一项测试中，答对
第一题的有25人，答对第二题的有23人，两
题都答对的有15人。问多少个同学两题都答
得 不对？
分析：只答对第一题的有25－15=10人。至少
有一题答对的人数：10＋23= 33人。所以，两
题都答得不对的有36－33=3人。
试一试1：一个班有55名学生，订 阅《小学
生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》
的有29人，两种报纸都订阅的有25人 。两种
报纸都没有订阅的有多少人？




例2：某班 有56人，参加语文竞赛的有28人，
参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参
加的有25 人，那么同时参加语文、数学两科
竞赛的有多少人？

24

分析：至少参加一科竞赛的人数：56－25=31
人，两科竞赛都参加：28＋27－31=24人 。
试一试2：一个俱乐部有103人，其中会下中
国象棋的有69人，会下国际象棋的有52 人，
这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都
会下的有多少人？



例3：在1到100的自然数中，既不是5的倍
数也不是6的倍数的数有多少个？
分析：从1到100的自然数中，5的倍数有100
÷5=20个，6的倍数有16个（100 ÷6=16„„
4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和
6的公倍数）的数有3个（10 0÷30=3„„10）。
因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33
个，既不是5 的倍数又不是6的倍数的数的个
数是：100－33=67个。
试一试3：在1到200的全部自然数中，既不
是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？





专题三十五 应用题（三）
专题 简析：较复杂的典型问题，如平均数问题、
和倍问题、差倍问题等。这些问题的数量关系
比较隐 蔽，往往需要通过适当的转化，使数量
关系明朗化，从而找到解题思路。
例1：甲、乙、丙三 个公司到汽车制造厂订购
了18辆汽车，按合同三个公司平均分配，付
款时丙没有带钱，甲公司 付出10辆的钱，乙
公司付出8辆的钱，丙公司应付款90万元。
甲、乙两公司应收回多少万元 ？
分析：每个公司应得18÷3=6辆。每辆汽车应
是90÷6=15万元。因为甲公司多付 出10－6=4
辆的钱，所以，甲公司应收回15×4=60万元；
乙公司多付8－6=2辆的 钱，应收回15×2=30
万元。
试一试1：小华、小明和小强三人合用一些练
习本 ，小华带来8本，小明带来7本，小强没
有练习本，他付出了10元。小华应得几元钱？
< br>例2：两个数的和是94，有人计算时将其中一
个加数个位上的0漏掉了，结果算出的和是
31。求这两个数。
分析：一个数看作1倍数，在它的后面填上0
就扩大10倍。所以一个 数漏掉个位的0，正
确的数比错误的数多9倍。而两个结果相差
94－31=63，因此，误加 上的数是63÷9=7，
应该加的数是7×10=70，另一个加数为94－
70=24，所以 ，这两个数分别是24和70。
试一试2：小龙和小虎同算两数之和。小龙得
2467，计算 正确；小虎得388，计算错误。小
虎算错的原因是将其中一个加数十位和个位
上的两个0漏掉 了。两个加数各是多少？



例3：学校三个兴趣小组共有学生180人 ，数
学兴趣小组的人数比科技兴趣小组和美术兴
趣小组人数的总和还多12人，科技兴趣小组< br>的人数比美术兴趣小组多4人。三个兴趣小组
各有多少人？
分析：可求数学兴趣小组有 （180＋12）÷2=96
人，科技兴趣小组和美术兴趣小组的人数的和
是180－96=8 4人；又由“科技兴趣小组和美
术兴趣小组的人数的和是84人”和“科技兴
趣小组的人数比美 术兴趣小组多4人”，可求
科技兴趣小组有（84＋4）÷2=44人，美术兴
趣小组有84－ 44=40人。
试一试3：红花、绿花和黄花共有78朵，红
花和绿花的总朵数比黄花多6朵 ，红花比绿花
少6朵。三种花各有多少朵？




例4 ：小龙有故事书的本数是小虎的6倍，如
果两人再各买2本，那么小龙有故事书的本数
是小虎的 4倍。两人原来各有故事书多少本？
分析：如果小虎再买2本，小龙再买2×
6=12本，那 么现在小龙的本数仍是小虎的6
倍，而现在小龙的本数是小虎的4倍，因此，
2×6－2=10 本就是小虎现有本数的6－2=4
倍。所以，小虎现在有10÷2=5本，小虎原来
有5－3= 2本，小龙原来有3×6=18本。

25

试一试4：学校有彩色 粉笔和白粉笔若干盒，
白粉笔的盒数是彩色粉笔的3倍，后来，白粉
笔和彩色粉笔各用去12盒 ，现在白粉笔的盒
数是彩色粉笔的7倍。学校原来有彩色粉笔和
白粉笔各多少盒？




袋混在一起，你能用秤称一次，就把装49克
重的零件的那一袋找出来吗？
分析：将 8袋零件依次编上序号：1、2、3、4、
5、6、7、8。从第1袋中取出1个零件，从第
2 袋中取出2个零件，„，从第8袋中取出8
个零件。共取出1＋2＋3＋„＋8=36个零件，
总重量应少于50×36=1800克。将这些零件放
在秤上称一下，总重量比1800克少几克，第< br>几号袋中装的零件就是49克的。
专题三十六 应用题（四）
试一试3：60 只橘子分装6袋，每袋装10只，
专题简析：一些需要较高解题技巧的应用题，其中5袋里装的橘子的重 量都是50克，另一
它们的解题思路往往比较独特，并且容易做袋装的每只的重量都是40克。这6袋橘 子混
错。如：书本的页码问题，较复杂的植树问题，在一起，你能用秤称一次，就把装40克重的
以及其他智巧问题。这 那一袋找出来吗？

例1：第七册数学课本共153页，编印这本书
的页码共要用多少个数字？
分析：从1到153按数的位数分，可以分为：
专题三十七 盈亏问题
一位数、 两位数、三位数，它们分别由1个、专题简析：一定数量的物品分给一定数量的
2个、3个数字组成。从 第1页到第9页，要人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，
用9个数字；从第10页到第99页， 要用2×物品就有余。不足部分叫做“亏”，多余部分
90=180个数字；从第100页到153页， 要用3叫做“盈”。
×54=162个数字，所以，一共要用9＋180＋盈亏问题的数量关系是：
162=351个数字。 （1）（盈＋亏）÷两次分配差=份数
试一试1：一本小说共320页，数字0在页码（多盈－少盈）÷两次分配差=份数
中共出现了多少次？ （多亏－少亏）÷两次分配差=份数
（2）每次分得的数量×份数＋盈=总数量
每次分得的数量×份数－亏=总数量
例2：排 一本辞典的页码共用了2886个数字，例1：一个植树小组植树。如果每人栽5棵，
这本辞典共有多少 页？ 还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。这
分析：第1-9页的页码，要用9个数字；排第个植 树小组有多少人？一共有多少棵树？
10-99页的页码，要用2×90=180个数字；这分析：两种分配方法如下：
样，剩下的页码要用2886－9－180=2697个数①：每人栽5棵，还剩14棵（盈）
字。2697÷3=899页，即页码是三位数的排了②：每人栽7棵，就缺4棵（亏）
899页。这本辞典共有9＋90＋899=998页。 （盈＋亏）÷两次分配差=份数
试一试2：排一本学生词典的页码，共用了人数=（14＋4）÷（7－5）=9（人）
3829个数字。这本词典共有多少页？ 棵树=5×9＋14=59（棵）
试一试1：某校安排宿舍，如果每间6人，则
16人没有床位；如果每间8人，则多出10个
床位。问宿舍多少间？学生多少人？

例3：有80个零件，分装成8袋，每袋装10
个。在其中的7袋里面装的零件每个都是50
克，有一袋里面的每个零件都是49克。这8

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例2：学校将一批铅笔奖给三好学生。如果每
人奖9 支，则缺45支；如果每人奖7支，则
缺7支。三好学生有多少人？铅笔有多少支？
分析：两种分配方法如下：
①：每人奖9支，缺45支（多亏）
②：每人奖7支，缺7支（少亏）
（多亏－少亏）÷两次分配差=份数
人数：（45－7）÷（9－7）=19（人）
铅笔：9×19－45=126（支） 试一试2：将月季花插入一些花瓶中。如果每
瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶改为插6
朵，则缺少1朵。求花瓶的只数和月季花的朵
数。



例3：有 一些少先队员到山上去种一批树。如
果每人种16棵，还有24棵没种；如果每人种
19棵，还 有6棵没有种。问有多少名少先队
员？有多少棵树？
分析：两种分配方法如下：
①：每人种16棵，还有24棵没有种（多盈）
②：每人种19棵，还有6棵没有种（少盈）
（多盈－少盈）÷两次分配差=份数
人数：（24－6）÷（19－16）=6（人）
数：16×6＋24=120（棵）
试一试3：小虎在敌人窗外听里边在分子弹：
一 人说每人背45发还多260发；另一人说每
人背50发还多200发。有多少敌人？多少发
子 弹？




例4：学校给一批新入学的学生分配宿舍。如
果每个房间住12人，则34人没有位置；如果
每个房间住14人，则空出4个房间。求学生
宿舍有多少间？住宿学生有多少人？
分析：“34人没有位置”多出34人（盈）；“空
出4 个房间”，则少14×4=56人（亏）。
房间数：（34＋56）÷（14－12）=45（间）
学生人数：12×45＋34=574（人）
试一试4：育才小学学生乘汽车去春游。如果< br>每车坐65人，则有15人不能乘车；如果每车
多坐5人，恰好多余了一辆车。问一共有几辆汽车？有多少学生？




例5：少先队员去植树，如果每 人挖5个树坑，
还有3个坑没人挖；如果其中2人各挖4个，
其余的人各挖6个树坑，就恰好挖 完所有树
坑。少先队员一共挖多少树坑？
分析：“有3个坑没人挖”（盈）。“其中2人各< br>挖4个，其余的人各挖6个树坑”，即每人挖
6个，少（6－4）×2=4个树坑（亏）。
人数：[3＋（6－4）×2）]÷（6－5）=7（人）
一共挖：5×7＋3=38（个树坑）
试一试5：老师给幼儿园的小朋友分苹果。如
果每个小朋友分2个，还多30个；如果其中
的12个小朋友每人分3个，剩下的每人分4
个， 则正好分完。一共有多少个苹果？



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