学习哪有那么难-节约粮食的名言

智合教育……暑期蓝天行动

目录
目录 ........... ............................................... - 1 -
（一） 找规律 ................................................. - 3 -
①
②
数列中的规律 .................................... - 3 -
图形中的规律 .................................... - 4 -
（二） 数字谜 ................................................. - 7 -
① 横式字谜 .................................... - 8 -
② 竖式字谜 ................................... - 10 -
（三） 定义新运算 ............................................ - 13 -
（四） 鸡兔同笼 .............................................. - 15 -
（五） 行程问题 .............................................. - 17 -
①
②
追击及遇问题 ................................... - 18 -
火车过桥 ................................... - 20 -
（六） 植树问题 .............................................. - 22 -
（七） 有趣的数阵图 .......................................... - 25 -
（八） 有趣的数阵图练习 ...................................... - 28 -
（九） 枚举法 ................................................ - 30 -
（十） 逻辑推理 .............................................. - 33 -
（十一） 抽屉原理 ............................................ - 35 -
（十二） 倒推法的妙用 ........................................ - 37 -
（十三） 火柴棍游戏 .......................................... - 40 -
① 摆图形游戏 ................................... - 40 -
② 移动火柴，变换图形游戏 ................................. - 41 -
③去掉火柴，变换图形游戏 .................................. - 42 -
（十四） 巧求面积习题 ........................................ - 43 -
（十五） 方程式解应用题 ...................................... - 44 -
（十六） 移多补少平均数 ...................................... - 46 -
（十七） 一笔画 .............................................. - 47 -


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（一） 找规律
观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物 的发展和变化规律，在
一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：
1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；
2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；
3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；
4．数之间的联系往往可以从 不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的
规律都可以认为是正确的。

① 数列中的规律

一、例题与方法指导

例1： 先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（ ），16，19
思路导航：
在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等 于后面的数。
根据这一规律，括号里应填的数为：
10+3=13或16－3=13
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。

例2： 先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
1，2，4，7，（ ），16，22
思路导航：
在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1，2，3。 由此可以推算
7比括号里的数少4，括号里应填：7+4=11。
经验证，所填的数是正确的。
应填的数为：7+4=11或16-5=11

例3： 先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12
思路导航：
在这列数中，第一个数减去3的差是第三个数， 第二个数加上2的和是第四
个数，第三个数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第六个数…… 依
此规律，8后面的一个数为：17-3=14，11前面的数为：8+2=10


二、巩固训练

1. 先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（ ），22，26
（2）3，6，9，12，（ ），18，21

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（3）33，28，23，（ ），13，（ ），3
（4）55，49，43，（ ），31，（ ），19
（5）3，6，12，（ ），48，（ ），192
（6）2，6，18，（ ），162，（ ）
（7）128，64，32，（ ），8，（ ），2
（8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，3

2. 先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）10，11，13，16，20，（ ），31
（2）1，4，9，16，25，（ ），49，64
（3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），11，2
（4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8
（5）81，64，49，36，（ ），16，（ ），4，1，0
（6）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），20，1
（7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），14，2
（8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，14

三、拓展提升
先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）
（2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ）
（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14
（4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ）
（5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12
（6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，486
（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ）
（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ）


② 图形中的规律

我们通常会碰到一些图形，它们在某一方面，比如颜 色，形状，大小，结构，
位置或繁难等有些共同的特征或变化规律，你能通过观察找规律，并根据规律推
断出结果吗？

一、例题与方法指导

例1. 下面哪个图形和其他几个不一样，你能找出来吗？

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A
思路导航：

B
C
D

题中几个图形的共同特征是：先连接各边中点，组成一个复 合图形。所不同
的是，B图形是一个三角形，而其他几个图形都是四边形，这样，只有B与其他
几个不一样。


例2. 找出下组图形中不同的项。
A
思路导航：

B
C
D
E

题中 只有D图形不是由A翻转过来的，其他图形都是在同一个平面内通过把
A图形旋转而得到的。故不同的选 项应该为D

例3. 在下面图形中找出一个与众不同的.





(1) (2) (3) (4) (5)


思路导航：
很容易看出题目图中( 1)逆时针旋转
90
就是(4),但是这样一来,(2)、
(3)、(5)都与它们 不同了.题目上要求找出一个.所以放弃这种想法.
图(2)顺时针旋转
90
,且 大、小两个矩形颜色互换一下就得到(5).而图(1)
与(3)的变化规律也是这样:顺时针旋转90
,大小两部分颜色互换.因此(1)与(3)
配对,(2)与(5)配对.
解:与众不同的是题目图中的(4).


例4.依照下面图中所给图形的变化规律,在空格中填图.



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思路导航：
我们分花盆、花茎、花叶、花朵四个部分逐步观察.
(1)花盆:花盆的形状每一行都是由同 样的三种形状组成,所以第三行所缺的形状
便是应填的图案中的花盆形状;花盆的颜色在同一行中都是由 黑、白、灰(画有
斜线)三色组成,图中第三行已有白、灰二色，所以应填的花盆为黑色(如下图
(1));
(2)花茎:如同上面一样的分析.花茎的形状为鱼钩状,方向向右(如下图(2));
(3)花叶:花叶数量为两朵,方向是向左、右平展(如下图(3));
(4)花朵:形状为圆形(如下图(4)).





(1) (2) (3) (4)
解:依照所给图形的变化规律,空格中应填的图形如图(4).


二、巩固训练
1. 按顺序观察图5—1与图5—2中图形的变化，想一想，按图形的变化规
律，在带“?” 的空格处应画什么样的图形?







2. 请观察右图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形。

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3. 按顺序观察下图中图形的变化规律，并在“?”处填上合适的图形.





4. 下图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“?”处填上适当
的图形.




（二） 数字谜

小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏 ，例如“空中码头”（打一城市
名）。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天” 。这个地
名第1个字可能是天。“码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是
“天” 字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这
样谜底就出来了：天津。 算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了
无法辨认，需要运用四则 运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，
把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和竖式 算式谜，其中未知的数字常常
用□、△、☆等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸， 用文
字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数
字，相同的数 字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。

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在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。

① 横式字谜

一、例题与方法指导

例1 □，□8，□97在上面的3个 方框内分别填入恰当的数字，可以使得这
3个数的平均数是150。那么所填的3个数字之和是多少？
思路导航：
150*3-8-97-5=340
所以3个数之和为3+4+5=12。

例2 在下列算式的□中填上适当的数字，使得等式成立：
（1）6□□4÷56=□0□，
（2）7□□8÷37=□1□，
（3）3□□3÷2□=□17，
（4）8□□□÷58=□□6。
思路导航：
（1） 610456=109
（2）754837=204
（3） 339329=117
（4）846858=146

例3 在算式40796÷□□□=□99……98的各个 方框内填入适当的数字后，
就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。
思路导航：
40796102=399...98。


例4 我学数学乐×我学数学乐=数数数学数数学学数学
在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别 代表的4个不同的数字。如
果“乐”代表9，那么“我数学”代表的三位数是多少？

思路导航：
学=1，我=8，数=6 ，81619*81619=6661661161

例5 □÷（□÷□÷□）=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数，
使 左边的数比右边的数小，并且等式成立。
思路导航：
这样，我们可以先用字母代替数字，原 等式写成：
a(bcd)=a(bc*d)=a*c*db，(a 当a=1时，有6*82=24，8*93=24；
当a=2时，有4*93=12，6*84=12，8*96=12；
所以，满足要求的等式有：1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，

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2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4÷6÷8）=24，2÷（6÷8÷9）=24。

例6 ① □×□=5□；② 12+□－□=□，把1至9这9个数字分别填入上面
两个算式 的各个方框中，使等式成立，这里有3个数字已经填好。




二、训练巩固

1. 迎迎×春春=杯迎迎杯，数数×学学=数赛赛数，春春×春春=迎迎赛赛
在上面的3个算式中，相同的 汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的
数字。如果这3个等式都成立，那么，“迎+春+杯+数+ 学+赛”等于多少？



2. 迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯
在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数 字，不同的汉字代表不同的
数字。那么“迎+春+杯”等于多少？



三、拓展提升

1.在下列各式的□中分别填入相同的两位数：
(1)5×□=2□； (2)6×□＝3□。
2.将3～9中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：
(1)□÷□=□÷□； (2)□÷□＞□÷□。
3.在下列各式的□中填入合适的数字：
(1)448÷□□=□；
(3)13×□□= 4□6。
4.在下列各式的□中填入合适的数：
(2)2822÷□□=□□；

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(1) □÷32＝8……31；
(3)4837÷□＝74……27。


(2)573÷32＝□……29；
②竖式字谜
一、例题与方法指导

例1 在图4-1所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不
同的数字．那么 “喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？

分析： 首先看个位，可以得到“欢”是 0或5，但是“欢”是第二个数
的十位，所以“欢”不能是0，只能是5。 再看十位，“欢”是5，加 上个位有
进位1，那么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是
“人”，所 以“人”只能是2；由此可知，“喜”等于8。 所以，“喜欢”这两
个汉字所代表的两位数就是85。

例2 在图4-2所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示
不同 的数字．如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多
少？

分析：还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，
“谜”必定是5（0显 然可以排出）； 接着看十位，四个“字”相加再加上进位

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2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6； 再看百位，三个“数”相加
再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9； 再看千位，（ 1）如
果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明
“解”只能 是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，
不能； （2）如 果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，
那说明“解”只能是8；5+6+ 9+8=28，30-28=2，可以。 所以“数字谜”代表的
三位数是965。

例3在图4-3所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字
表示不同的数字．请把这 个竖式翻译成数字算式．


分析：首先万位上“华”=1； 再看千位，“ 香”只能是8或9，那么“人”
就相应的只能是0或1。但是“华”=1，所以，“人”就是0； 再看 百位，“人”=0，
那么，十位上必须有进位，否则“港”+“人”还是“港”。由此可知“回”比“港”大1，这样就说明“港”不是9，百位向千位也没有进位。于是可以确定
“香”等于9的； 再看十位，“回”+“爱”=“港”要有进位的，而“回”比
“港”大1，那么“爱”就等于8；同时， 个位必须有进位； 再看个位，两数相
加至少12，至多13，即只能是5+7或6+7，显然“港”= 5，“回”=6，“归”=7。
这样，整个算式就是：9567+1085=10652。

例4 图4-4是一个加法竖式，其中E，F，I，N，O，R S，T，X，Y分别表示
从0到9的不同数字，且F，S不等于零．那么这个算式的结果是多少？


分析：先看个位和十位，N应为0，E应为5；再看最高位上，S比F大1；
千位上O最少是8；但因为N等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位
向千位进位是 2，且X不能是0，因此决定了T、R只能是7、8这两个；如果T=7，
X=3，这是只剩下了2、4 、6三个数，无法满足S、F是两个连续数的要求。所以，
T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F =2，S=3，Y=6。所以，得到的算式结果是31486。


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二、训练巩固

1. 在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代
表不同的数字． 那么D+G等于多少？






2. 王老 师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成
的数相加得9063，把它前三位数组 成的数与后四位数组成的数相加得2529．求
王老师家的电话号码．





3. 将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比原数大7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？





三、拓展提升
1.已知图4-6所示的乘法竖式成立．那么ABCDE是多少？



2. 某个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成
的新数恰好是 原数的4倍．问原数最小是多少？
3. 在图4-7所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示

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不同的数字．则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少？





（三） 定义新运算
定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。它的符 号不同于课本
上明确定义或已经约定的符号，例如“+、-、×、÷、、>、<”等。表示运算意
义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如a☆b=3a-3b，新运算使用的符号
是☆，而等号右 边表示新运算意义的则是四则运算符号。
正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意 义，严格按照
规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的
数 字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。
值得注意的是：定义新运算一般是不满 足四则运算中的运算律和运算性质，
所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。

一、例题与方法指导

例1. 设 ab都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b 的3倍，即a△b=4
×a-3×b,试计算5△6，6△5。
解5△6-5×4-6×3=20-18=2
6△5=6×4-5×3=24-15=9
说明 例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。

例2. 对于两个数a、b,规定a☆b表示3×a+2×b,试计算（5☆6）☆7，5
☆（6☆7）。
思路导航：

先做括号内的运算。
解 （5☆6）☆7=（5×3+6×2）☆7=27☆7=27×3+7×2=95
5☆（6☆7）=5☆（6×3+7×2）=5☆32=5×3+32×2=79
说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。

例3. 已知2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，对自然数a、b，a△b 表
示a×(a+1)×…（a+b-1）.
计算（6△3）-（5△2）。
思路导航：


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原式=6×7--5×6
=336-30
规定：a△=a+(a+1)+(a+2)+…+（a+b-1）,其中a,b表示自然数。

例4. 求1△100的值。已知x△10=75,求x.
思路导航：

（1）原式=1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=5050
（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+…+（X+9）=75,
所以
10X+(1+2+3+…+9)=75
10x+45=75
10x=30
x=3

二、巩固训练

1. 若对所有b,a△b =a×x,x是一个与b无关的常数；a☆b=(a+b)÷2,且（1
△3）☆3=1△（3☆3）。
求（1△4）☆2的值。






2. 如果规定：③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……，⑨=8×9×10，求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。







三、能力提升

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（四） 鸡兔同笼

鸡兔同笼问题是指鸡与兔同在 一个笼中，已知鸡与兔的总头数以及鸡与兔的
总足数，求鸡和兔各是多少只的应用题。这种类型题是古代 趣题，在现实生活和
生产中应用广泛，有着十分重要的使用价值。
鸡兔问题，也叫简换问题。 解答时，一般采用假设法，即假定全部的只数都
是鸡或者是兔，算出假定情况下的足数和实际上的足数和 、足数差，然后推算出
鸡和兔的只数。

计算时的主要数量关系是：
1.如果假定全部是兔，则
鸡的只数=（每只兔的足数×总头数－总足数）÷（每一只鸡与兔足数的差）
简单理解就是：
鸡的只数=（4 ×总头数－总足数）÷2
兔的只数=总头数－鸡的只数
2.如果假定全部是鸡，则
兔的只数=（总足数－每只鸡的足数×总头数） ÷（每一只鸡与兔足数的差）
简单写就是

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兔的只数=（总足数－2 ×总头数） ÷2
鸡的只数=总头数－兔的只数

一、例题与方法指导
例1. 鸡兔同笼，共有100个头，320只脚，问鸡和兔各是多少只？
思路导航：
鸡有2只脚， 兔有4只脚，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，当成一只
脚，两只后脚也用绳子捆起来，当成一只脚 ，那么兔子和鸡一样，都是2只脚。
鸡和兔的总脚数就是100×2=200（只），但比实际320只 脚要少320－200=120
（只），为什么会少了120只脚呢？是因为每只兔子只算一只前脚，一 只后脚，
而少算了一只前脚和一只后脚。也就是说每只兔子都少算了两只脚，一共少算了
120 只脚，所以兔子应该有120÷2=60（只）。
解法一： 解法二：
2×100=200（只） 4×100=400（只）
320－200=120（只） 400－320=80（只）
120÷2=60（只） 80÷2=40（只）
100－60=40（只） 100－40=60（只）
答：鸡有40只，兔有60只。

例2. 5元纸币和2元纸币总张数是200张，已知它们的总面值是940元，
这两种纸币各多少张？
思路导航：

（1）假设200张纸币完全是2元，共值：
2×200=400（元）
（2）比实际少：
940－400=540（元）
（3）2元换成5元，每张增加：
5－2=3（元）
（4）5元纸币有：
540÷3=180（张）
（5）2元纸币有：
200－180=20（张）
答：有180张5元、20张2元纸币。

例3. 鸡兔同笼，鸡比兔多25只，脚数共176只，鸡、兔各多少只？
思路导航：

假设 去掉多的25只鸡，则一共去掉2×25=50（只）脚，那么176－50=126
（只）脚是鸡和兔 一样多的脚的总数量，而一对鸡兔共有2＋4=6（只）脚，可
以求出去掉25只鸡以后一共多少对鸡和 兔，然后再加上去掉的25只鸡。
2×25=50（只）
176－50=126（只）
2＋4=6（只）
126÷6=21（对）‥‥‥鸡、兔各21只
21+25=46（只） ‥‥‥鸡的只数

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答：鸡有46只，兔有21只。

二、巩固训练

1.鸡兔同笼，共有头90只，脚252只。鸡兔各多少只？






2.鸡兔同笼，共有头80只，鸡的脚数比兔的脚数多40只，鸡兔各多少只？







3.30枚硬币由2分和5分组成，共值9角9分，两种硬币各多少枚？







三、拓展提升

1.鸡兔共100只，鸡的脚数比兔少40只，鸡兔各多少只？
2.46人去划船，一共乘坐10条船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各
多少条？
3.某车棚共停放三轮车和自行车共39辆，两种车轮总和96个，三轮车和自行车
各多少辆？





（五） 行程问题
行程问题是小学奥 数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小
升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。 行程问题中包括：火车过桥、流
水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。每一类问题 都有自

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己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三
个量，三个关系”：
这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)

三个关系：1. 简单行程： 路程 = 速度 × 时间

2. 相遇问题： 路程和 = 速度和 × 时间

3. 追击问题： 路程差 = 速度差 × 时间

牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是
有很多方法可循的。
① 追击及遇问题

一、例题与方法指导
例1. 有甲、乙、丙三人同时同 地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同
方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟 走38米，丙每分
钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多
少米？
思路导航：
这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有 三
个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。
第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）
第一个追击： 这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的
速度差造成的，是逆向的追击过程，可求 出甲、乙相遇的时间为228÷ （38-36）
=114（分钟）
第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程
所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）
我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更
加清晰。

例2. 东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度
从东到西地 ，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。
乙车每小时行多少千米？
思路导航：

从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千 米，关键要知道乙车已经行
了多少路程和行这段路程所用的时间。
解：（1）甲车一共行多少小时？1.5+3=4.5（小时）
（2）甲车一共行多少千米路程？25×4.5=112.5（千米）
（3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）
（4）乙车每小时行多少千米？ (105-15)÷3=30（千米）

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答：乙车每小时行30千米。

例3. 兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与学校相距1400米。哥哥骑
自 行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米。哥哥刚到学校就立即返回来在途
中与妹妹相遇。从出发到 相遇，妹妹走了几分钟？相遇处离学校有多少米？
思路导航：

从图中可以看出 ，哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的
2倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相 距2800米，两人同时出发，相向而行，
哥哥每分钟行200米，妹妹每分钟行80米，经过几分钟相 遇？”的问题，解答就
容易了。
解：（1）从家到学校的距离的2倍：1400×2=2800（米）
（2）从出发到相遇所需的时间：2800÷（200+80）=10（分）
（3）相遇处到学校的距离：1400-80×10=600（米）
答：从出发到相遇，妹妹走了10分钟，相遇处离学校有600米。

二、巩固训练
1. 两城市相距328千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。
甲每小时行 28千米，乙每小时行22千米，乙在中途修车耽误1小时，然后继续
行驶，与甲相遇，求出发到相遇经 过多少时间？





2. 快车和慢车同时从甲乙两 地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过
3小时快车已过中点12千米与慢车相遇，慢车每小时行 多少千米？





3. 小华和小明同时从甲、乙两 城相向而行，在离甲城85千米处相遇，到达
对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离甲城35千米处 相遇，两城相距多少
千米？








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三、拓展提升
1. 客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每
小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返
回，货车到达甲 站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米。
求甲乙两站相距多少千米？
2. 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车速度分别为每
小时60千米和4 8千米，有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小
时、8小时先后与甲、乙、丙三车相遇。 求丙车的速度。
3. 两列火车从某站相背而行，甲车每小时行58千米，先开出2小时后，车
以每小时62千米才开出，乙车开出5小时后，两列火车相距多少千米？


② 火车过桥
过桥问题也是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥
到车尾离桥。列车过桥的 < br>总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。过桥问题也要用到一般行程问
题的基本数量关系 ：
过桥问题的一般数量关系是：
因为： 过桥的路程 = 桥长 + 车长
所以有：通过桥的时间 =（桥长 + 车长）÷车速
车速 = （桥长 + 车长）÷过桥时间
公式的变形：
桥长 = 车速×过桥时间 — 车长
车长 = 车速×过桥时间 — 桥长
后三个都是根据第二个关系式逆推出的。
火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的，也要通过上面的数量关系来解
决。

一、例题与方法指导
例1. 一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列客车长1 00米，
火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？
思路导航：

从火车头上桥，到火车尾离桥，这之间是火车通过这座大桥的过程，也就是
过桥的路程是桥长 + 车长。通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过
桥的时间。
（1）过桥路程：6700 + 100 = 6800（米）

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（2）过桥时间：6800÷400 = 17（分）
答：这列客车通过南京长江大桥需要17分钟。

例2. 一列火车长160米，全车通过440米的桥需要30秒钟，这列火车每
秒行多少米？
思路导航：
要想求火车过桥的速度，就要知道“过桥的路程”和过桥的时间。
（1）过桥的路程：160 + 440 = 600（米）
（2）火车的速度：600÷30 = 20（米）
答：这列火车每秒行20米。

例3. 某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟，接着通过第二个长
216米的隧道 用了16秒钟，求这列火车的长度？
思路导航：
火车通过第一个隧道比通过第二个 隧道多用了8秒，为什么多用8秒呢？原
因是第一个隧道比第二个隧道长360—216 = 144（ 米），这144米正好和8秒相
对应，这样可以求出车速。火车24秒行进的路程包括隧道长和火车长， 减去已
知的隧道长，就是火车长。
（1）第一个隧道比第二个长多少米？
360—216 = 144（米）
（2）火车通过第一个隧道比第二个多用几秒？
24—16 = 8（秒）
（3）火车每秒行多少米？
144÷8 = 18（米）
（4）火车24秒行多少米？
18×24 = 432（米）
（5）火车长多少米？
432—360 = 72（米）
答：这列火车长72米。


二、巩固训练
1. 某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17
秒，这列火车与另一 列长88米，速度为每秒22米的列车错车而过，问需要几秒
钟？





2. 一列火车全长265米，每秒行驶25米，全车要通过一座985米长的大桥，
问需要多少秒钟？



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3. 一列长50米的火车，穿过200米长的山洞用了25秒钟，这列火车每秒
行多少米？





三、拓展提升
1. 一列长240米的火车以 每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离
桥用了1分钟，求这座桥长多少米？
2. 一列货车全长240米，每秒行驶15米，全车连续通过一条隧道和一座桥，
共用40秒钟，桥长150 米，问这条隧道长多少米？
3. 一列火车开过一座长1200米的大桥，需要75秒钟，火车以同 样的速度
开过路旁的电线杆只需15秒钟，求火车长多少米？
4. 在上下行轨道上，两列 火车相对开来，一列火车长182米，每秒行18
米，另一列火车每秒行17米，两列火车错车而过用了 10秒钟，求另一列火车长
多少米？




（六） 植树问题
只要我们稍加留意，都会看到在马路两旁一般都种有树木。细心观察，这些
树木的间 距一般都是等距离种植的。路长、间距、棵数之间存在着确定的关系，
我们把这种关系叫做“植树问题” 。而植树问题，一般又可分为封闭型的和不封
闭型的（开放型的）。
封闭型的和不封闭型的植树问题，区别在于间隔数（段数）与棵数的关系：
1、不封闭型的（ 多为直线上），一般情况为两端植树，如下图所示，其路长、
间距、棵数的关系是：
但如果只在一端植树，如右图所示，这时路长、间距、棵数的关系就是：

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如果两端都不植树，那么棵数比一端植树还要再少一棵，其路长、间距、棵
数的关系就是：
2、封闭型的情况（多为圆周形），如下图所示，那么：


植树问题的三要素：
总路线长、间距(棵距)长、棵数．
只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．
植树问题的分类：
⑴直线型的植树问题 ⑵封闭型植树问题 ⑶特殊类型的植树问题

一、例题与方法指导

例1 有一条公路长1000米，在公路的一侧每隔5米栽一棵垂柳，可种植垂
柳多少棵?
思路导航：

每隔5米栽一棵垂柳，即以两棵垂柳之间的距离5米为一段。公路的全长 1000
米，分成5米一段，那么里包含有1000÷5=200段。由于公路的两端都要求种树，所以要种植的棵数比分成的段数多1，所以，可种植垂柳200+1=201棵。

例2 某一淡水湖的周长1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树
中间种植2株夹枝桃，可栽柳树 多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距
多少米?
思路导航：

在 圆周上植树时，由于可栽的株数等于分成的段数，所以，可栽柳树
=1350÷9=150株；由于两株 柳树之间等距离地栽株夹枝桃，而间隔数（段数）
为150，所以栽夹枝桃的株数=2×150=300 株；每隔9米种柳树一株，在两株夹
枝桃之间等距地栽2株夹枝桃，这就变成两端都不植树的情形，即2 株等距离栽
在9米的直线上，不含两端，所以，每两株之间的距离=9÷(2+1)=3(米)。

例3 一条街上，一旁每隔8米有一个广告牌，从头到尾有16个广告牌，现
在要进 行调整，变成每12米有一个广告牌。那么除了两端的广告牌外，中间还
有几个牌不需要移动？

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思路导航：
16个广告牌，每相邻的两个广告牌的间隔为8米，则共有16-1=15 个间 隔，
这条街的总长度为8×15＝120（米）；现在要调整为每12米一个广告牌，那么
不移 动的牌离端点的距离一定既是8的倍数，同时也是12的倍数；
8×3=12×2=24，也就是说，每 24米及其倍数处的广告牌可以不需要移动；
120÷24＝5，即段数为5个，但要扣除两端的2个， 所以，中间不需要移动的有
5-1=4个。
事实上，所谓植树问题只是我们对这一种类型问题 的总称，并不单指植树问
题。例如，与之类似的还有爬楼（梯）问题、队列问题、敲钟问题、锯木头问题
的等。所以，植树问题又称上楼梯问题。

二、巩固训练

1 某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开。如果他从1层
走到4层需要48秒，请问以同 样的速度走到八层，还需要多少秒？





2 光华 路小学三年级学生有125人参加运动会入场式，他们每5人一行，前
后每行间隔为2米，主席台长42 米，他们以每分钟45米的速度通过主席台需要
多少分钟?




3 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形，它的长度是多少？十个这样
的铁环连在一起有多长？





4 一个木工把一根长24米的木条锯成了3米长的小段，每锯断一次要用5
分钟，共需多少分钟?





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三、巩固训练
1. 一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成。已知
从每个小三角形 的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花。问大三角形边上栽
有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？
2. 时钟4点敲4下，用12秒敲完。那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？
3. 铁路旁 每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车速度，测量出从
经过第1根电线杆起到经过第37根电线 杆止共用了2分。火车的速度是多少？




（七） 有趣的数阵图
把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数
阵是 一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种
数阵图，即封闭型数阵图、辐 射型数阵图和复合型数阵图.为了让同学们学会解
数阵图的分析思考方法，我们举例说明.

一、例题与方法指导
例1. 在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（ 其中
已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

思路导航：

由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任 一行、
任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。

因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，
即4 ≤x≤10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，
当x＝6或8时，九 个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4或10时可得两
个解（见下图）。这两个解实际上一样，只 是方向不同而已。

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例2. 将九个数填入下图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三
个数之和都相等，则一定有

证明：
思路导航：

设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角 线上的三个数之和都等
于3d。由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为2d-c（见下 图）。

根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到
3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c），
3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c，
d——c＋b＝d——a＋c，
2c＝a＋b，
a＋b
c＝2。
值得注意的是，这个结论对于a和 b并没有什么限制，可以是自然数，
也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。
例3. 在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每
一条对角线上的三个数之和都等于90 。

思路导航：


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由上一讲例4知，中心数为90÷3＝ 30；由本讲例2知，右上角的数为（23
＋57）÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下 图）。

例4. 在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对
角线上的三个数之和都相等。

思路导航：

由例2知，右下角的数为

（8＋1 0）÷2=9；由上一讲例4知，中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图），
且每行、每列、每条对角 线上的三数之和都等于7×3=21。由此可得如图的填法。

二、巩固训练
1. 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和相等.





2. 把1~8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等.






3. 把1~9个数分别填入○中,使每条边上四个数的和相等.




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4. 把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.






5. 将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,21,22.










（八） 有趣的数阵图练习
1. 把1~7填入下图中,使每条线段上三个○内的数的和相等.








2. 把1~16填入下图中,使每条边上4个数的和相等,两个八边形上8个数的
和也相等.









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3. 把4~9填入下图中,使每条线上三个数的和相等,都是18.





4. 把1~8这8个数填入下图,使每边上的加、减、乘、除成立.





-
÷
=
=
+
=
- 29 -
× =
5. 把0~9填入10个小三角形中,使每4个小三角形组成的大三角形的和相
等.





6. 把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等.








7. 把1~8,填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等.




8. 把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等.






9. 把17,23,25,31,46,53,58,6 6,72,88,94,100十二个数填入下图,使任意
三个相邻的数相加的和除以7的余数相等.

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（九） 枚举法
一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，
把问题分为 不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最
终达到解决整个问题的目的。这种分 析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。
枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题， 那就是容易遗漏掉
一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。

一、例题与方法指导

例1. 一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？
思路导航：
解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。
个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。
总共10+10=20（个）
答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。

例2. 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到
C市有几种走法？（适于三年级程度 ）
思路导航：
解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。

第一种走法：A ① B ④ C

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第二种走法：A ① B ⑤ C
第三种走法：A ② B ④ C
第四种走法：A ② B ⑤ C
第五种走法：A ③ B ④ C
第六种走法：A ③ B ⑤ C
答：从A市经过B市到C市共有6种走法。

例3. 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？
思路导航：
（1） 数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页
码是一位数的页有9页，用数 码9个。
（2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是
两位数的页有90页，用数码：
2×90=180（个）
（3）还剩下的数码：
1890-9-180=1701（个）
（4）因为页码是三位数的页，每页用3个数码，1 00页到999页，999-99=900，
而剩下的1701个数码除以3时，商不足600，即商小 于900。所以页码最高是3
位数，不必考虑是4位数了。往下要看1701个数码可以排多少页。
1701÷3=567（页）
（5）这本书的页数：
9+90+567=666（页）


二、巩固训练
1. 如图 9-10，有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。从中取出3张，要
使这3张卡片上的数字之和为9 。问有多少种不同的取法？

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2 .从1至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大
于10，共有多少种不同的取 法？



3. 现在1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些 硬币支付2角3分钱，
一共有多少种不同的支付方法？



4. 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？


5.有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101
份。问一 共有多少种不同的订法？




三、能力提升


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1. 甲、乙、丙、丁4名同学排成一行。从左到右数，如果甲不排在第一个位
置上，乙不排在 第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，
那么不同的排法共有多少种？
2. abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为1，2，3，4中的某个数字，
但 彼此不同，例如2134。请写出所有满足关系a＜b，b＞c，c＜d的四位数abcd
来。
3. 一个两位数乘以5，所得的积的结果是一个三位数，且这个三位数的个位
与百位数字的和 恰好等于十位上的数字。问一共有多少个这样的数？
4. 3件运动衣上的号码分别是1，2，3， 甲、乙、丙3人各穿一件。现在25
个小球，首先发给甲1个球，乙2个球，丙3个球。规定3人从余下 的球中各取
球一次，其中穿1号衣的人取他手中球数的1倍，穿2号衣的人取他手中球数的
3倍 ，穿3号衣的人取他手中球数的4倍，取走之后还剩下两个球。那么，甲穿
的运动衣的号码是多少？
5. 甲、乙两人打乒乓球，谁先胜两局谁赢；如果没有人连胜两局，则谁先胜
三局谁赢，打到 决出输赢为止。那么一共有多少种可能的情况？





（十） 逻辑推理
曾经爱因斯坦出过一道测试题, 他说世界上有98%的人回答不出!!让我们一
起来看看是什么题呢。
在一条街上有5座颜色 不同的房子，住着5个不同国家的人，他们抽着5种
不同的烟，喝着5种不同的饮料，养着5种不同的宠 物。有下面15个已知条件，
求解。
1、英国人住红色房子。
2、瑞典人养狗。
3、丹麦人喝茶。
4、绿色房子在白色房子左面。
5、绿色房子主人喝咖啡。
6、抽Pall Mall香烟的人养鸟。
7、黄色房子主人抽Dunhill香烟。
8、住在中间房子的人喝牛奶。
9、挪威人住第一间房。
10、抽Blends香烟的人住在养猫的人隔壁。
11、养马的人住抽Dunhill香烟的人隔壁。
12、抽Blue Master的人喝啤酒。
13、德国人抽Prince香烟。
14、挪威人住蓝色房子隔壁。
15、抽Blends香烟的人有一个喝水的邻居。

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问:哪个国家的人养鱼?
这道题为什么会难倒这么多人呢，首先，我们就来研究一下关于他的最基本
的逻辑问题吧。

一、例题与方法指导

例1. 某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别：
甲判断：不是铁，也不是铜。
乙判断：不是铁，而是锡。
丙判断：不是锡，而是铁。
经化验证明：有一个人的判断完 全正确，有一个人说对了一半，而另一个人
完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一 半的吗？
思路导航：
丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。先设甲全对，推出矛盾后， 再设
乙全对，又推出矛盾，则说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。

例2. 数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，
一人得银牌，一人得铜牌。老师猜测 ：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不得
铜牌。”结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌， 谁得铜牌？
思路导航：
小华得金牌，小强得银牌，小明得铜牌。
（1）若小明得金牌，小华一定“不得金牌”，这与“老师只猜对了一个”相矛盾，
不合题意。
（2）若小华得金牌，那么“小明得金牌”与“小华不得金牌”这两句都是错的，
那么“小强不 得铜牌”应是正确的，那么小强得银牌，小明得铜牌。

例3. 一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、
丁进行了审问。四人分别供述如下：
甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中。”
乙说：“我没有做案，是丙偷的。”
丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯。”
丁说：“乙说的是事实。”
经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话。
同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？
思路导航：
乙和丁是盗 窃犯。如果甲说的是假话，那么剩下三人中有一人说的也是假话，
另外两人说的是真话。可是乙和丁两人 的观点一致，所以在剩下的三人中只能是
丙说了假话，乙和丁说的都是真话。即“丙是盗窃犯”。这样一 来，甲说的也是
对的，不是假话。这样，前后就产生了矛盾。所以甲说的不可能是假话，只能是
真话。同理，剩下的三人中只能是丙说真话。乙和丁说的是假话，即丙不是罪犯，
乙是罪犯。又由甲所述 为真话，即甲不是罪犯。再由丙所述为真话，即丁是罪犯。


二、巩固训练

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智合教育……暑期蓝天行动


1. 小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是战士，一位是
大学生。现在知道 ：小李比战士年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年
龄小。那么三人各是什么职业?



2. 甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友。甲不会英文，乙不< br>懂日语却与英国小朋友热烈交谈。问：甲、乙、丙分别是哪国的小朋友？



3. 徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们
都是象棋迷。
（1）车工只和电工下棋；
（2）王、陈两位师傅经常与木工下棋；
（3）徐师傅与电工下棋互有胜负；
（4）陈师傅比钳工下得好。
问：徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种？



（十一） 抽屉原理
如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放
的苹果不少于2 个。道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1
个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总 数将少于或等于3，这与有5个苹果的
已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。
同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽
子。
以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。
抽屉原理1：将多于n 件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的
物品不少于2件。
说明这个原理 是不难的。假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2
件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件， 或者没有。这样，n个抽屉中所放物
品的总数就不会超过n件，这与有多于n件物品的假设相矛盾，所以 前面假定“这
n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立，从而抽屉原理1成立。
从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中的物品不少于2件，最
不利的情况就是n个抽屉中 每个都放入1件物品，共放入n件物品，此时再放入
1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有1个抽屉不 少于2件物品。这就说明了
抽屉原理1。

一、例题与方法指导
例1. 某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋

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友？
思路导航：
1996年是闰年，这年应有366天。把366天看作366个抽屉，将367名小朋
友看作367个 物品。这样，把367个物品放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里
不止放一个物品。因此至少有2名 小朋友的生日相同。

例2. 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整
除？
思路导航：
因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。我们将余数的这
三种情形看成是三个“抽屉 ”。一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整
数放在那个“抽屉”里。
将四个自然数放 入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说
至少有两个数除以3的余数相同。这两个数的 差必能被3整除。

例3. 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？
思路导航：
根据例2的讨论，任何整数除以3的余数只能是0，1，2。现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是
可分下面两种情形来 加以讨论。
第一种情形。有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以3后具有相同的余
数 。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍，故能被3整除，所以这三
个数之和能被3整除。
第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每
个抽屉里各取一 个数，这三个数被3除的余数分别为0，1，2。因此这三个数之
和能被3整除。
综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数。

二、巩固训练
1. 有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总
数与桔子的总数都是偶数？




2. 用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随 意涂色（见右图），
每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？




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3. 在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之
间的距离不大于1厘米？





三、拓展提升

1. 有 5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋
子.请你证明，这5个人中至少有两 个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
2. 一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌 ，至少有多少人才能保
证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？
3. 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个
数之和是34。



（十二） 倒推法的妙用



师说：“这 里有10张纸牌，依次写着1-10，我闭上眼睛，你任意抽一张出来。”“好，
已抽好了。”乙回答道 。“嗯，把你的那张纸牌上的数乘上6再加9，然后除以3再加上2。
算好后告诉我得数是几。（可任意 找学生抽卡片）
乙又说：“得数是23。”
那她抽的那一张是几呢？
这个数是9，我们怎么知道？同学们，你们都知道其中的奥秘吗？
让这节课来告诉大家吧，
利用倒推法，倒推法是根据加法与减法、乘法与除法互相逆运算的关系，从最后的得
数出发。因 为23是加上2后得到的，就要减去2，得21；21除以3后得到的，就要乘上
3，得63；63是加 上9后得到的，就就要减去9得54；54是乘上6后得到的，就要除以
6，得9。所以乙抽到的那一张 一定是9。一些游戏，只要你知道其中的奥秘后，你就不
会大惊小怪了。

一、例题与方法指导


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例1. 喜迎奥运，猜年龄:刘翔的年龄除以4再减去2,乘25正好是100.你知道刘翔
今几岁吗 ？
思路导航：

① 100÷25+2×4 ② 100÷(25+2×4) ③ (100÷25+2)×4到底是哪个呢？
倒推法的方法：从结果出发，从后向前运算，并且每个运算变成它的逆运算。正确答
案③

例2. 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？
思路导航：

依题意，画图进行分析.

解：列综合算式：
｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2
＝22（个）
答：篮子里原有梨22个.

例3. 菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原 有大白菜的一半.第二
天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3倍 是
1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？
思路导航：

解题时用倒推 法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量
关系清晰的展现出来.


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解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600（千克）
②第二天运进200千克后的一半是多少千克？
600＋30＝630（千克）
③第二天运进200千克后有白菜多少千克？
630×2＝1260（千克）
④原来的一半是多少千克？1260—200＝1060（千克）
⑤原有贮存多少千克？1060×2＝2120（千克）
答：菜站原来贮存大白菜2120千克.
综合算式：
［（1800÷3＋30）×2—200］×2
＝2120（千克）
答：菜站原有冬贮大白菜2120千克.

通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：
①从结果出发，逐步向前一步一步推理.
②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.
③列式时注意运算顺序，正确使用括号


二、
巩固训练


1. 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数
减 去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分
吗？




2. 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数 十位上的
7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？



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3. 树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵
树上；从第二 棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：
原来每棵树上各落多少只鸟？




三、拓展提升
1. 一次数学考试后，李军问于 昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分
数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小 朋友，你知道于昆得多少
分吗？
2. 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7 ，把减数十位上
的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？
3. 树林中的三棵 树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二
棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树 上，这时三棵树上鸟的只数相等.
问：原来每棵树上各落多少只鸟？
4. 篮子里有一些梨. 小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1
个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时 篮子里还剩梨1个.问：篮子里
原有梨多少个？
5. 甲乙两个油桶各装了15千克油.售货 员卖了14千克.后来，售货员从剩
下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一 部分给甲
桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个
桶里各 卖了多少千克油？





（十三） 火柴棍游戏
① 摆图形游戏


例1. 用8根火柴棍可以摆成一个正方形。现添两根，即用10根火柴能摆
出与这个正方形同样大小的图形吗？
思路导航：

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8根火柴摆一个正方形，每边必是两根火柴。它可以分成四个小正方形(如右
图)。 因此，只要用10根火柴摆出有四个同样大小的小正方形的图形即可。下面
的四个图形都符合题意。




例2. 用8根火柴棍摆出八个大小一样的三角形和两个一样大小的正方形。








② 移动火柴，变换图形游戏


例1. 右图是用10根火柴棍摆成的一座房子。请移动2根火柴，使房子改
变方向。

思路导航：
如左下图所示，除虚线表示的2根火柴外，其余火柴是左、右对称的， 所以
改变房子的方向与这些火柴无关，应移动虚线表示的2根火柴(见右下图)。




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例2. 在左下图中移动4根火柴棍，使图形成为只有三个正方形的图形。

思路导航：
因为只能移动4根火柴，所以图中较长的边(3根或4根火柴的边)都不能动。< br>把图中最里面的4根火柴移补到右上图的相关位置上即可。



例3. 在左下图中移动4根火柴棍，使它变成3个三角形，并且这3个三
角形的面积之和与原来的六边 形面积相同。






③ 去掉火柴，变换图形游戏

例1. 在左下图中去掉尽量少的火柴棍，使得图中不存在任何正方形。


思路导航： < br>拿掉的火柴应能尽量多的“破坏”正方形。如右上图，拿掉虚线处的4根火
柴即可。拿法不唯一。

例2. 在左下图中，去掉4根火柴棍，使它变成两个完全相同的图形组合。


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（十四） 巧求面积习题
例1. 把一张长14厘米，宽6厘米的长方形纸，剪成边长是2厘米
的小正方形，能剪多少个？
思路导航：
方法一：长方形的长是14厘米，剪成的正方形边长是2厘米，
则一行可剪14÷2=7个，如图，长方形的宽是6厘米，则可剪
6÷2=3行，这样共剪7×3=21个。
方法二：长方形的面积是14×6=84平方厘米 ，剪成的小正方形的面积是2×2=4
平方厘米，长方形；面积是正方形面积的84÷4=21倍。所以 可以剪21个。
想一想：如果长方形长15厘米，宽8厘米，剪成边长为2厘米的小正方形，能
剪多少个？应怎样求？ 能用第二种方法么？为什么？

例2. 求下面图形的面积（单位：厘米）
3

4

5
思路导航：

这个图形较复杂，没有现成的公式可以求出面积。我们可以把
这个图形进行分割或填补，把它转化成几个我们已经学过的图形
如下图，用一条线段把原来的图形分成一个正方形和一个长方形，
先分别求出正方形和长方形的面积，再把两部分面积相加，就可

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以求出原图形的面积了。
正方形面积：3×3=9平方厘米
长方形面积：（3+4）×2=14平方厘米
组合图形的面积：9+14=23平方厘米。
想一想：这题还有别的方法吗？（补成一个大长方形）
小结：有时，可采用“割”或“补”的方法，把不规则图形转化成我们学过的图
形。

例3. 用一根长20厘米的铁丝围成一个长方形，长和宽都是整厘米数，可
以围成多少个不 同的长方形？面积分别是多少平方米？




例4. 一个长 方形若长增加3厘米，面积就增加15平方厘米；若宽减少2
厘米，面积就减少20平方厘米。求原来长 方形的面积。




例5. 两张边长是6厘米的正方形纸，一 部分叠在一起放在桌上（如图），
重叠部分是个边长为3厘米的正方形。桌子被盖住的面积是多少？






（十五） 方程式解应用题

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一、例题与方法指导

例1 买来一批苹果,分给幼儿园大班的小朋友,如果每人分 3个,那么还剩32
个.如果每人分8个,还有5个小朋友分不到苹果.这批苹果的个数是多少个?
苹果数不变(抓不变量)、间接设未知数




例2 一条鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长再加上半个
身长，这条鱼全长多少米？
间接设未知数
设鲨鱼身长x米。 身长=头长+尾长，
尾长= x÷2＋3 身长＝3＋x÷2＋3，

例3 鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只。问：鸡、兔各多少只?
解答：假设60只都是鸡，没有兔，那 么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零。
这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多60只，这说明假设 的鸡脚比兔脚多的
数比实际上多120-60=60(只)。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只， 兔脚
增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只)，而60÷6=10，因此有
兔子10只，鸡60-10=50(只)。

二、巩固训练
1. 有一些糖，每 人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5倍，
那么每人4块就少2块.问这些糖共有多 少块?
解，等量关系为两种分法的糖总数不变
设开始共有x人，
5x+10=4×1.5x-2，
解得x=12，
所以这些糖共有12×5+10=70块．

2.
甲、乙、丙、丁四人今年 分别是16、12、11、9岁。问：多少年前，甲、乙的年龄
和是丙、丁年龄和的2倍？
解 答：这是一道年龄问题，也可以用方程来解决。等量关系为：多少年前，甲、乙的
年龄和是丙、丁年龄和 的2倍。关键：在相同的时间内，每个人增加或减少的年龄是
相同的。
设x年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.
16+12-2x=2×(11+9-2x),
解得x=6.
所以，6年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.

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（十六） 移多补少平均数

在日常生活中，我们经常遇到这样的情况：有几个杯 子，里面的水有多有少。
要想使杯中的水一样多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。反复
几次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们经常驻遇到的“移多补少”……
也就是求平均数 问题。

一、例题与方法指导

例1.小刚有5个抽屉，分别有图书33 本，42本，20本，53本和32本，平
均每个抽屉里有图书多少本？
思路导航：
分析：如果要求平均每个抽屉里的图书，就是把5个抽屉的总数除以
5。

（33+42+20+53+32）÷5=36（本）
或取较为中间的一个数，如35作为基 数，再把每个抽屉中的书本与35的差算出
来。将这些差相加减，多出的为加数，不足的为减数，所得的 数除以5，再加上
基准数35，得出的就是要求的平均数。
提出总数，份数，平均数
5个抽屉书本书的总合就是“总数”，5个抽屉式“份数”。得到关系式：
平均数=总数÷份数 由此关系式可得出
总数=份数×平均数
份数=总数÷平均数

例2. 小名参加了四次语文测验，平均成绩是68分，他想通过一次语文测验，
讲 5次的平均成绩提高最少70分，那么在下次测验中，他至少要得多少分？
分析1：知道前四次的语文 平均成绩后可以求出前四次的总成绩题目中要求是五
次的平均成绩提高到70分，那么可以求出5次的总 成绩，再用五次的总成绩减
去四次的成绩，得到的就是第五次最少应考多少分。

思路导航：
68×4－70×5=78（分）
前四次平均为68分，要求平均分为 70分，前四次一共差了（70－68）×4=8（分）
那么第五次至少要考70+8=78（分）

例3.甲、乙两人带着同样多的钱，用他们全部的钱买了香皂，甲拿走了12
块乙拿 走了8块，回家后甲补给乙4元，每块香皂多少元？


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思路导航：
因为甲乙两人带 的是同样多的钱，两人的钱也已经全部用完，甲乙两人平均
买了（8+12）÷2=10（块）香皂，而 实际甲多拿了12－10=2（块）香皂，2块香
皂是4元，则一块香皂是4÷2=2（元）

二、巩固训练
1.如果4个人的平均年龄是18岁，4个人中没有小于14岁的，那么年龄最
大的人可能是多少岁？




2. 有甲、乙、丙三个数，甲数和乙数的平均数是42， 乙数和丙数的平均数
是47，甲数和丙数的平均数是46，求甲、乙、丙这三个数各是多少？





3. 某人沿一条长为12千米的路上山，又从原路下山。 上山时的速度是每小
时2千米，下山时的速度是每小时6千米。那么他在上、下山全过程中的平均速度是每小时多少千米？




三、拓展提升
1. 一位小朋友的语文成绩是96分，数学成绩是90分，英语成绩是84分，求他三门
的平均分。
2.甲、乙、丙三个数的平均数是150，甲数是48，乙数与丙数相同，求乙数。
3.小明 和小红一起带着同样多的钱去学校旁边的文具店买铅笔，他们用全部的钱买了
铅笔，小明买了12只，小 红买了8只，回去后小明给了小红4元，每支铅笔多少元？
4.
如果4个人的平均年龄是18 岁，4个人中没有小于14岁的，那么年龄最大的人可
能是多少岁？

5.
有 甲、乙、丙三个数，甲数和乙数的平均数是42，乙数和丙数的平均数是47，甲
数和丙数的平均数是4 6，求甲、乙、丙这三个数各是多少？



（十七） 一笔画

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有 一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡是立陶宛共和国的
一座城市，布勒格尔河从城中穿 过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥
连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。

所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎
样走才能成功？
当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。后来，这个问题引起
了大数学家欧拉(1707- 1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问
题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经 过认真研究，欧拉终于在1736年圆
满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。欧拉是怎样解决七桥 问题的呢？因
为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点
表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。


一、例题与方法指导

例1 下图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿 过每一扇门？如
果不能，请说明理由。如果能，应从哪开始走？

思路导航：
我们将每个展室看成一个点，室外看成点E，将每扇门看成一条线段，两个
展室间有门相通表示 两个点间有线段相连，于是得到右图。能否不重复地穿过每
扇门的问题，变为右图是否一笔画问题。

例1的关键是如何把一个实际问题变为判断是否一笔画问题，就像欧拉在解
决哥 尼斯堡七桥问题时做的那样。

例2 一个邮递员投递信件要走的街道如下页左上图所示，图中的数字表

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智合教育……暑期蓝天行动

示各条街道的千米数，他从邮局出发， 要走遍各街道，最后回到邮局。怎样走才
能使所走的行程最短？全程多少千米？

思路导航：
图中共有8个奇点，必须在8 个奇点间添加4条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画。在距离最近的两个奇点间添加一条连
线，如左上图中虚线所 示，共添加4条连线，这4条连线表示要重复走的路，显
然，这样重复走的路程最短，全程30千米。走 法参考右上图(走法不唯一)。

例3 右图中每个小正方形的边长都是100米。小明 沿线段从A点到B点，
不许走重复路，他最多能走多少米？

思路导航： 这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解。首先，
图中有8个奇点，在8 个奇点之间至少要去掉4条线段，才能使这8个奇点变成
偶点；其次，从A点出发到B点，A，B两点必 须是奇点，现在A，B都是偶点，
必须在与A，B连接的线段中各去掉1条线段，使A，B成为奇点。所 以至少要去
掉6条线段，也就是最多能走1800米，走法如下页上图。或

例 2与例3的图中各有8个奇点，都是通过减少奇点个数，将多笔画变成一笔画
的问题，但它们采用的方法 却完全不同。因为例2中只要求走遍所有的线段，没
有要求不能重复，所以通过添加线段的方法(实际是 重复走添加线段的这段路)，
将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画。而在例3中，要求不能走重复的路 ，所
以不能添加线段，只能通过减少线段的方法，将奇点变为偶点，使多笔画变成一
笔画。区别 就在于能否重复走！能“重复”就“添线”，不能“重复”就“减线”。

例4 在六面 体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能
爬过所有的棱线，最终到达终点D。已知它 们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？

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思路导航：
许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答
这道题。这道题只要求爬过所 有的棱，没要求不能重复。可是两只蚂蚁爬速相同，
如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复 爬某些棱，那么前一只蚂蚁
爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜。问题变为从B到D与从E到D哪个 是
一笔画问题。图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到
D 却不能，因此E点的蚂蚁获胜。


二、巩固提高

1.邮递 员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，
怎样走路程最短？全程多少千 米？





2.有一个邮局，负责21个村庄的投 递工作，右上图中的点表示村庄，线段
表示道路。邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄 ，最后回到邮
局？


3.一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘 米(见右图)，有一只甲虫从A
点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行 多少厘
米？




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