小学四年级奥数最新版
高考美术网-幼儿园教研工作总结
第一讲 数学是聪明孩子喜爱的学科
1、数学是中国聪明孩子喜爱的学科
据说在很多国家，特别是美国，孩子们害怕数学，把数学作为
“不受欢迎的学科” 。但在中国
，情况很不相同，很多少年儿童喜
爱数学，数学成绩也都很好。的确，数学是中国人擅长的学科，如果在美国的中小学，你见到几个中国学生，那么全班数学的前几名
就非他们莫属。
在数(shǔ)数(shù)阶段，中国儿童就显出优势 。
中国人能用一只手表示1～10，而很多国家非用两只手不可。
中国人早就有位数的概念，而且采用最方便的十进制(不少国家
至今还有12进制，60进制的残余)。
中国文字都是单音节，易于背诵，例如乘法表，学生很快就能
掌握，再“傻”的人也都
知道“不管三七二十一”．但外国人，一学
乘法，头就大了．不信，请你用英语背一下乘法表，真是佶屈
聱牙，
难以成诵．
圆周率π＝3.14159…．背到小数后五位，中国人花一两分
钟就
够了．可是俄国人为了背这几个数字，专门写了一首诗，第一句三
个单词，第二句一个，…
…要背π先背诗，我们看来简直自找麻烦，
可他们还作为记忆的妙法．
四则运算应用
题及其算术解法，也是中国数学的一大特色．从
很古的时候开始，中国人就编了很多应用题，或联系实际
，或饶有
兴趣，解法简洁优雅，机敏而又多种多样，有助于提高学生学习兴
趣，启迪学生智慧．
例如：
“一百个和尚一百个馒头，大和尚一个人吃三个，小和尚三个
人吃一个，问有
几个大和尚，几个小和尚?”
1
外国人多半只会列方程解．中国
却有多种算术解法，如将每个
大和尚“变”成9个小和尚，100个馒头表明小和尚是300个，多出<
br>200个和尚，是由于每个大和尚变小和尚，多变出8个，从而200÷
8＝25即是大和尚人数
．小和尚自然是75人。或将一个大和尚与3
个小和尚编成一组，平均每人吃一个馒头．恰好与总体的平
均数相
等．所以大和尚与小和尚这样编组后不多不少，即大和尚是
100÷(3＋1)＝25人．
中国人善于计算，尤其善于心算．古代还有人会用手
指计算(所
谓“掐指一算”)．同时，中国很早就有计算的器械，如算筹、算盘．后
者可以说是
计算机的雏形．
在数学的入门阶段——算术的学习中，我国的优势显然，所以
数学往往是我国聪明的孩子喜爱的学科．
几何推理，在我国古代并不发达(但关于几何图形的计算，我国
有不少论著)，比希腊
人稍逊一筹．但是，中国人善于向别人学习．目
前我国中学生的几何水平，在世界上遥遥领先．曾有一个
外国教育
代表团来到我国一个初中班，他们认为所教的几何内容太深，学生
不可能接受，但听课
之后，不得不承认这些内容中国的学生不但能
够理解，而且掌握得很好．
我国数学教
育成绩显著．在国际数学竞赛中，我国选手获得众
多奖牌，就是最有力的证明．从1986年我国正式派
队参加国际数学
奥林匹克以来，中国队已经获得了11次团体冠军．成绩骄人．当代
著名数学家
陈省身先生曾对此特别赞赏．他说“今年一件值得庆祝
的事，是中国在国际数学竞赛中获得第一．……去
年也是第一名．”
(陈省身1990年10月在台湾成功大学的讲演“怎样把中国建为数学
大国
”)陈省身先生还预言：“中国将在21世纪成为数学大国．”
成为数学大国，当然不是一件容易的事
，不可能一蹴而就，它
需要坚持不懈的努力．我们力争进一步普及数学知识，使数学为更
多的青
少年喜爱，帮助他们取得好的成绩，使喜爱数学的同学得到
更好的发展，学到更多的知识和方法．
2
2、数字磁铁
人们称495是三位数中
一个怪数，说它像磁铁：任意一个数字
不全相同的三位数，按照一定的规则减来减去，最多不超过六次运
算，都会被它“吸引”过去——变成495 ！
信不信由你，它真的这么怪。 给定一个三位数，例如784。把这个数中的各位数字(7、8、4)，
按照从大到小的顺序重新排
列，得到874。显然，它是用7、8、4
组成的所有三位数中最大的一个数。同样，可以排成最小的：
478。
“最大数”和“最小数”相减，有
874
－
478
396
继续对差数396作同样运算，又有
963
－
369
594
再对所得的结果作同样的运算，于是
954
－
459
495
至此，如果按照上面的规律继续算下去，结果总是495——出现
了一个不变的常数495。
这是自然数王国的又一件怪事!
其他多位数中是不是也有这样的怪数呢?除了495外，四位数中
也有类似的怪数6174。
3
请看下面的例子：
8730 8532
－
0378
－
2358
8352 6174
人们将495、6174称为“磁铁数”。把这个事实称为“磁铁数定
理”。
3、数学回文
一提到李白，人们都知道这是我国唐代的大诗人。如果把“李
白”两个
字颠倒一下，变成“白李”，这也可以是一个人的名字，此
人姓白名李。像这样，正着念、反着念都有意
义的诗词字句都叫做
回文。
文学史上，有许多与回文有关的故事。
清代，北京有个酒楼叫“天然居”。一次，乾隆皇帝触景生情，
以酒楼为题写对联，上联是：
客上天然居，居然天上客。
但是，这位博学多才的皇帝苦苦思索，却写不出下联。因为下联的后五个字，必须是前五个字的颠倒，又要语意通顺，还要平仄
协调，的确是很难的事。直到很久
以后，才有位读书人给出了下联：
僧游云隐寺，寺隐云游僧。
与此类似，数学里也有“回文式”。
我们借用上面的对联组成这样一个式子：
僧游×云隐寺＝寺隐云×游僧
现在要问：不同的汉字用不同的数字(0～9)代替，这个算式能成
立吗?能，而且不止一个：
12×231＝132×21， 12×462＝264×21
13×341＝143×3l， 13×682＝286×31
……
4
我们看到，这类等式不仅外形整齐、对称，“内部构造”也很巧
妙：每个等式中两位数的十位
数字和三位数的百位数字的乘积，正
好等于两位数的个位数字和三位数的个位数字的乘积；等式中三位<
br>数的十位数字恰好等于个位数字和百位数字的和。例如，在12×231
＝132×2l中，1×
2＝2×1，且3＝2＋1；在12×693＝396×21中，
1×6＝2×3，且9＝6＋3等。
掌握了这两个特点，就容易写出这类等式了，并且容易看出，
关键是找出满足第一个特点的四个
数字，从而三位数的十位数字也
就确定了。例如，3×6＝9×2，这时三位数的十位数字是6＋2＝8
，
可得等式
39×682＝286×93
当然，也可以由9×2＝3×6，又2＋6＝8，得
93×286＝682×39
这两种形式反映了同样四个数之间的关系，可以看作是一个等式的
两种形式。
那么这类等式共有多少个呢?
我们可以从1开始，依次取2，3，…，9进行组合，然后再从
2
开始，依次取3，4，…，9进行组合，……看能组合成多少不完全
相同的4个数字的乘积，
并且第2、第4个数字的和不大于9，就能
有多少个不同的等式。
1×2＝2×1，又2＋1＝3，于是有
12×231＝132×21；
1×3＝3×1，又3＋1＝4，于是有
13×341＝143×31；
1×4＝4×1，又4＋l＝5，于是有
14×451＝154×41；
1×4＝2×2，又4＋2＝6，于是有
12×462＝264×21；
依次类推，共可得到33个不同等式。
数学里还有“回文数”，其特征是：从左到右读与从右到左读完
5
全一样，例如，101，32123，9999等等。
两个相同位数的回文数
，如果各位相加时能够“就地消化”，不
发生进位情况，那么其和仍是一个回文数。同样，在两个回文数
相
减时(规定要用大数减小数)，如果不需要从上一位“借”，则其差也
是一个回文数。例如：
24642
24642
+ 12321
－
12321
36963
12321
有趣的是，某些回文数在相加时即使要发生“进位”，但其和数
却依然是个回文数。例如：
3333 7777
+
4444
+
8888
12221
12221
这样的回文数的模式是aa…a (共n个a)与bb…b(共n个b)，而
且a与b应满足关
系式a＋b＝1l，以及a＞1，b＜10。
假如你遇到一个不是回文数的普通数，怎样才能使它“变
”成
回文数呢?办法很简单，只要把这个数加上它的逆序数就行了，这称
为一次“操作”(或“
变换”)，把这种“操作”反复进行下去，到头
来你就可以得出一个回文数。
这就是有名的“
回文数猜想”。它至今仍然是个谜：说它正确，
却无法证明；说它不正确，又找不出一个反例。
可能成为说明“回文数猜想”不成立的反例是196，因为有人用
电子计算机对这个数进行了几十万步
计算，仍然没有出现回文数，
但是却没有人能证明这个数永远产生不了回文数。
数学家还对“回文质数”进行了大量研究，发现了另外一些“谜”。
101，131，353，919，这些自然数既是回文数，又是质数，叫
做“回文质数”。
第一个谜是：回文质数有无穷多个吗?数学家猜想它有无穷多
6
个，但也仅仅是猜想。
181和191，373和383，30103和30
203等等，它们都是回文质
数，并且每一对中间的数字是连续的，而其他数字都是相同的，这
样的两个数叫做“回文质数对”。
第二个谜是：回文质数对有无穷多个吗?至今也没有解决。
数学家还发现，在回文数中，平方数是非常多的，例如，
121＝1l
2
，
12321＝11l
2
，1234321＝111l
2
，…，65432l
＝111111111
2
。
立方数也有类似情况，例如，133l＝11
3
，1367631＝111
3
4、奇怪的无穷多
整数有多少个?
无穷个。
偶数有多少个?
无穷个。
这样的问答是正确的。如果我问你：
整数与偶数，哪一种数多?
恐怕不少同学都会说，当然整数比偶数多了。进一步，恐怕还
会有同学告诉我，“偶数的个数等于整数
个数的一半”。什么道理呢?
那是因为“奇数与偶数合起来就是整数。而奇数与偶数是相同排列
的，所以奇数与偶数一样多，大家都是整数的一半”。
整数包括偶数，偶数是整数的一部分，全体大于
部分，整数比
偶数多，这不是显而易见、再明白不过的事吗?
你认为这样回答有道理吗? <
br>16世纪意大利著名科学家伽利略的看法却与此相反，他曾提出
过一个著名的悖论，叫做“伽利略
悖论”，悖论的内容是：“整数和
偶数一样多。”这似乎违背常识。
不过，伽利略所说的，也
绝不是没有道理。首先，我们论述的
对象都是无穷个，而不是有限个，对于有限个来说，“全体大于部分
”
7
无可争议。从0到10的整数比从1到10的偶数就是多。但是，把<
br>这个用到无穷上就要重新考虑了。对于有限来说，说两堆物体数量
一样多，只要把各堆物体数一下
，看看两堆物体的数量是否相等就
可以。这个办法对“无穷”来说是不适用的，因为“无穷”本身就包<
br>括“数不完”的意思在内。看起来，我们得另想办法。
据说，居住在非洲的有些部族，数数最多
不超过3，但是他们却
知道自己放牧的牛羊是否有丢失。办法是，早上开圈放羊时，让羊
一只一
只往外出。每出一只羊，牧羊人就拾一块小石头。显然，羊
的个数和小石头的个数一样多。傍晚，放牧归
来，每进圈一只羊，
牧羊人从小石头堆中扔掉一块石头。如果羊全部进了圈，而小石头
一个没剩
，说明羊一只也没丢。非洲牧羊人实际上采取了“一对一”
的办法，两堆物体只要能建立起这种一对一的
关系，就可以说明两
堆物体的数量一样多。
这种办法同样可以用在无穷上，看看要比较的两部
分之间能否
建立起这种一对一的关系。伽利略在整数和偶数之间建立的对应关
系是．
0 l 2 3 4 …
↓ ↓ ↓
↓ ↓
2 4 6 8 10 …
按这
样的一种关系，给出一个整数，就可以找出一个偶数与之
对应，给出的整数不同，与之相对应的偶数也不
同；反过来，对于
每一个偶数，都可以找到一个自然数与之对应，偶数不同，所对应
的整数也不
同，由此我们称整数与偶数之间建立了一对一的关系，
所以我们说：“整数与偶数一样多”是正确的。
这告诉我们，“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的，许
多对“有限”成立的性质，对“
无穷”未必都成立。
5、难逃“如来佛的掌心”
《西游记》里的孙悟空是一个神通广大、本领高超的人物，他
8
能
七十二变，变虫、变树、变鬼怪；还会腾云驾雾，一个筋斗可翻
出十万八千里外。但不管他怎样变幻，一
蹦有多远，总还是落在如
来佛的掌心里，难以逃脱。当然，这只是一个神话故事。
但是数学家发现，这样的现象竟然也会在数学的变幻中出现。
任意取一个自然数，不论
这个数有多大，是奇数，还是偶数，它总
会跌进一个循环的怪圈“4—2—1”里去，或者说最终总能得
到1。
这些数字也像孙悟空的筋斗一样，翻不出如来佛的掌心。
这个特定的规则是什么呢?其
实很简单：一个自然数，如果是偶
数，那么用2去除它；如果是奇数，则将它乘以3并加1，如此反复<
br>计算，就会得到上述的结论。
让我们试一试。比如，3是奇数，乘以3再加1，得10，10是
偶数，除以2，得5，5是奇数，乘以3再加1，得16，如此继续计
算下去，最后变成1。
×3+1
÷2
×3+1
÷2
÷2
÷2
÷2
3 10 5 16 8 4
2 1。
再如，从7出发：
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→…→1。
如果从27
出发，你会发现，得数忽大忽小，七拐八变，经过一
百多步，最后也是回到1，你来试一试，好吗?
有位数学家用计算机对7000亿以下的自然数逐一进行试算，结
果无一例外。
三十
多年前，日本数学家角谷静试图证明它，但几经挫折，失
败了。后来，又有许多数学家作尝试，也都没能
成功，现在，人们
只能把它叫做“角谷猜想”。
6、趣谈“反证法”
三
个古希腊哲学家，由于争论问题再加上天气炎热都感到十分
疲倦，于是在花园里的一棵大树下躺着休息，
不一会儿都睡着了。
这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额。三个人醒来以后，
9 <
/p>
彼此看了看，都笑了起来。因为每个人都以为是其他两人在互相取
笑。隔了一会儿
其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的脸也
被涂黑了。他是怎样觉察到的呢?
实际上，
发现自己脸被涂黑的人，并没有也不可能直接看到自
己的脸。而是据他观察另外两人的表情进行分析、思
考后，从反面
说明自己的脸被涂黑了。为了叙述方便用甲、乙、丙代表这三个哲
学家，并假设甲
已发觉自己的脸被涂黑了。那么甲这样想：我们三
个人都可以认为自己的脸没被涂黑。如果我的脸没给涂
黑，那么乙
能看到(当然对于丙也是一样的)，乙既然看到了我的脸没给涂黑，同
时他又认为他
的脸也没涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪。
因为在这种情况下(甲、乙的脸都是干净的)．丙
就没有发笑的理由了。
然而现在的事实是乙对丙发笑并不感到奇怪，可见乙是认为丙在笑
我。由
此可知，我的脸也被涂黑了。
像这样，为了说明某一结论是正确的．但不从正面直接说明．而
是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法，就
叫“反证法”。对于某些从正面难以解
答的数学题，采用反证法常常
能收到出奇制胜的效果。
例题
有10只鸽子飞进甲
、乙、丙三个洞，那么至少有一个
洞要飞进4只鸽子或者更多的鸽子。这结论正确吗?
解：假
设结论不正确，也就是说，假如一个洞里最多飞进了3
只鸽子，那么3个洞里的鸽子总数最多是9只，这
与原题的条件“有
10只鸽子飞进3个洞里”矛盾。因此，假设是错的，原题结论“至
少有一个
洞里飞进4只或更多的鸽子”是正确的。
你看，问题就这样轻松地解决了。反证法的思路是多么奇妙啊
!
难怪英国近代数学家哈代称赞“反证法”是“数学家最有力的一件
武器”．“比起象棋开局时
牺牲一子以取得优势的让棋法还要高明”。
象棋弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手
让给
对方。
10
第二讲 找规律
知识要点与学法指导：
一、观察是解决问题的根据
。通过观察，得以揭示出事物的发
展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：<
br>
1. 根据每相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的
2.
要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律。
3.
数据之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有
理，所得出的规律都可以认为是正确的。
二、对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方
面来思考：
1.
对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地
11
思考，没有
一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方
法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析。
2. 对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与
这些数在图形中的特殊位置有
关，这是我们解这类题的突破口。
3.
对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中
的所有算式。
例1
先找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填上适当
的数。
1、4、7、10、（ ）、16、19
【分析与解】
在这列数中,相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等
于后面的数。根据这一规律，括号里应
填的数为：
10＋3＝13或16－3=13
像上面这样按照一定的顺序排列的一串数叫做
数列。在例1这
个数列中，因为每相邻两个数的差都相等，所以叫做等差数列。
试一试1
先找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
2，5，8，（
），14，17
例2
先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
12
1、2、4、7、（ ）、16、22
【分析与解】
在这列数中，前4个数每相邻的两
个数的差依次是1、2、3。由
此可以推算7比括号里的数少4，括号里应填：7＋4＝11或：16－
5
＝11
试一试2
先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
3，4，6，9，13，（ ），24
例3
先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
23、4、20、6、17、8、（ ）、（
）、11、12
【分析与解】
在这列数中，可以分成两个数列，即第1、3、5、7、9的
数排
成一列；第2、4、6、8的数排成一列；这样就不难看出它们之间的
规律了，分成的两个
数列为23、20、17、（ ）、11；4、6、8、（
）
12，应填的两个数分别为14、10。
试一试3
先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（ ），21，2，18，4，15，6，（
），（ ）9，10
例4
在数列1、1、2、3、5、8、13、（
）、34、55……中，
括号里应填什么数？
【分析与解】
经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都
8＋13＝21，或34－13＝21
上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，
也叫做“兔子数列”。
试一试4
先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
13
3，3，6，9，15，24，（ ），63，（
），165……
例5
下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在
□里填上适当的数。
（8、4）、（5、7）、（10、2）、（□、9）
【分析与解】
经仔
细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和
都是12。根据这一规律，□里所填的数应为：
12－9＝3
试一试5
在□里填上适当的数
（4、10） （3、11）
（2、12） （□、9）
例6
12
8
4
18
15
6
7
8
【分析与解】
经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12＋6＝18，8＋7＝15，即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应
填的数为：4＋8＝12。
试一试6
根据下表中数的排列规律，在空格里填上适当的数。
12
8
14
6
1
14
6
7
8
例7
根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的
括号里应填什么数？
【分析与解】
经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的
÷10
6
×12
60 关系： 5
×20
80
÷
4
10
8
根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：
8
×
30
240
÷
10
24
括号里应填的数为：8×30÷10＝24
试一试7
找规律写图形中？所表示的数。
1 3 4 7 2 8
？
6
4
13
5
39
2
18
3
19
例8
找规律计算。
（1）81－18＝（8－1）×9＝7×9＝63
（2）72－27＝（7－2）×9＝5×9＝45
（3）63－36＝（□－□）×9＝□×9＝□
【分析与解】
经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个
15
位位置后得到的两位数相减，只要将十位与个位上两个数字的差乘
以9，所得的积就是这两个数的差。
63－36＝（6－3）×9＝3×9＝27
试一试8
（1）54－45＝（
）×9＝（ ）×（ ）＝（ ）
（2）52－25＝
（3）96－69＝
例9
用“格子乘法”计算1357×2468。
【分析与解】
1
3 5 7
1. 格子乘法：500多年前，意
1
0
0
1
大利的一本算术书中讲述了一种
2 0
4
6
“格子乘法”，后来传入中国，在
1 2
0 2
3
4
明朝的《算法统宗》中称为“铺地
8
0
2
锦”。
4
3
1
0
3
6
8
2
0
2. 例如：计算1357×2468
2 5
0
4
先画一个矩形，把它分成4×
4
8
6
4
0
4个小格，在小格的上方和右方依
2
4
6
8
9 0
7 6
次写上乘数和被乘数的各个数字，
再用对角线把小格一分为二，分别记录上述各位数字
相应乘积的十
位数与个位数，把这些乘积从右到左，沿斜线方向相加，满十进一。
最后得出：
1357×2468＝3349076
试一试9
用格子乘法计算46×78
357×46
练习二
1.
先找出下面各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）3、6、9、12、（
）、18、21
16
（2）33、28、23、（ ）、13、（
）、3
（3）3、6、12、（ ）、48、（ ）、192
（4）128、64、32、（ ）、8、（ ）、2
2.
先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）10、11、13、16、20、（
）、31
（2）3、2、5、2、7、2、（ ）、（ ）、11、2
（3）81、64、49、36、（ ）、16、（ ）、4、1、0
（4）30、2、26、2、22、2、（ ）、（ ）、14、2
3.
先找出规律，然后在括号里填上适当的数（先把这列数分成
两个数列，再找规律）。
（1）13、2、15、4、17、6、（ ）、（ ）
（2）3、29、4、28、6、26、9、23、（ ）、（ ）、18、14
（3）32、20、29、18、26、16、（ ）、（ ）、20、12
（4）2、9、6、10、18、11、54、（ ）、（ ）、13、486
4. 先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2、2、4、6、10、16、（
）、（ ）
（2）34、21、13、8、5、（ ）、2、（ ）
（3）3、7、15、31、63、（ ）、（ ）
（4）1、3、6、8、16、18、（ ）、（ ）、76、78
5.
下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适
当的数。
（1）（6、9）、（7、8）、（10、5）、（□、13）
（2）（1、24）、（2、12）、（3、8）、（4、□）
（3）（1、3）、（5、9）、（7、13）、（9、□）
（4）（64、62）、（48、46）、（29、27）、（15、□）
（5）（8、6）、（16、3）、（24、2）、（12、□）
6.
找规律，在空格里填上适当的数。
17
24
（4）
36
7
12
14
5
6
16
7. 根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的括号里
应填什么数。
24
18
7
8
（3）
13
17
6 7
5 6
？
3
5 3 8 8
7 4
4
？
4 6 3
（4）
27
22 34 60
8. 利用规律计算。
（1）53－35
（2）82－28 （3）92－29
（4）61－16 （5）95－59
（6）75－57
9. 找规律计算
18
（1）62＋26＝（6＋2）×11＝8×11＝88
（2）87＋78＝（8＋7）×11＝15×11＝165
（3）54＋45＝（□＋□）×11＝□×11＝□
（4）96＋69＝（□＋□）×11＝□×11＝□
（5）74＋47＝（□＋□）×11＝□×11＝□
10. 用格子乘法计算下面各题。
52×38 69×721 346×273 1463×3276
75×36 1253×318 205×42
11．找规律填数。
（1）
6
18
14
4
（2）
1
20
5
6
15
11
3
2
36
6
7
24
5
3
2
8
7
56
8
（3）
6 4
9
5 8
7
4
9
4
7
2
8
14
4
19
16
18
13
6
32
24
20
6 7
8
（4）
11 9
5 4
4
8
16
13 8
3
9
4
3
（5）
5
10
第三讲 速算与巧算（一）
知识要点与学法指导：
速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧
算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。这一讲我们学
习加、减法的巧算方法，这些方法主要
根据加法、减法的运算定律
20
和运算性质，通过对算式适当变形从而使计算简便。
在巧算方法里，蕴含着一
种重要的解决问题的策略：转化问题
法。即把所给的算式，根据运算定律和运算性质，或改变它的运算<
br>顺序，或凑整从而变成一个易于算出结果的算式。
例1
计算9＋99＋999＋9999
【分析与解】
这四个加数分别接近10、100、100
0、10000。在计算这类题目
时，常使用凑数法，例如将99转化为100－1，这是小学数学计算
中
常用的一种技巧。
9＋99＋999＋9999
＝（10－1）＋（100－1）＋（1000－1）＋（10000－1）
＝10＋100＋1000＋10000－4
＝11106
试一试1
计算：8＋98＋998＋9998
例2
计算：489＋487＋483＋485＋484＋486＋488
【分析与解】
认真观察每个加数，发现它们都和整数490接近，所以选490
为基准数。
489＋487＋483＋485＋484＋486＋488
＝490×7－1－3－7－5－6－4－2
＝3430－28
＝3402
21
试一试2
如果选480为基准数，可以怎样计算？
例3
计算下面各题。
（1）632－136－232
（2）128＋186＋72－86
【分析与解】
在一个没有括号的算式中，如果
只有第一级运算，计算时可以
根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。
（1）632－136－232 （2）128＋186＋72－86
＝632－232－136 ＝128＋72＋186－86
＝400－136 ＝（128＋72）＋（186－86）
＝264 ＝200＋100
＝300
试一试3
计算下面各题。
（1）969－258－369
（2）368＋266＋32－66
例4
计算下面各题。
（1）248＋（152－127） 2）283＋（358－183）
（3）324－（124－97） （4）384－（184＋97）
【分析与解】
在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去
括号，如
果括号前面是“＋”号，去括号时，括号内的符号不变。
如果括号前面是“－”号，去括号时，括号内的
加号就要变成减号，
减号就要变成加号。本例中的四道题都可以利用去括号的方法使计
算简便。
（1）248＋（152－127） （2）283＋（358－183）
＝248＋152－127 ＝283＋358－183
＝400－127 ＝283－183＋358
＝273 ＝458
22
（3） 324－（124－97） （4）
384－（184＋97）
＝324－124＋97 ＝384－184－97
＝200＋97 ＝200－97
＝297
＝103
我们可以把上面的计算有括号的加减混合运算的方法概括为：
括号前面
是加号，去掉括号不改号，括号前面是减号，去掉括号要
改号。
试一试4
计算下面各题。
（1）336＋（264－168） （2）682－（382－56）
（3）263－（163＋39） （4）436＋（385－236）
练习三
一、计算下列各题
（1）99999＋9999＋999＋99＋9
（2）9＋98＋996＋9997
（3）19999＋2998＋396＋497
（4）198＋297＋396＋495
（5）1998＋2997＋4995＋5994
（6）19998＋39996＋49995＋69996
（7）50＋52＋53＋54＋51
（8）262＋266＋270＋268＋264
（9）89＋94＋92＋95＋93＋94＋88＋96＋87
（10）381＋378＋382＋383＋379
（11）1032＋1028＋1033＋1029＋1031＋1030
（12）2451＋2452＋2446＋2453
23
（13）1208－569－208
（14）283＋69－183
（15）132－85＋68
（16）2318＋625－1318＋375
（17）348＋（252－166）
（18）629＋（320－129）
（19）462－（262－129）
（20）662－（315－238）
（21）5623－（623－289）＋452－（352－211）
（22）736＋678＋2386－（336＋278）－186
二、简便计算。
（1）9999＋998＋97＋9
（2）9＋96＋996＋9996
（3）88＋79＋82＋75＋85＋81
（4）845－（45＋130）
（5）324－（124－196）
第四讲 速算与巧算（二）
24
知识要点与学法指导：
这一讲我们就来研究乘法中的一些巧算，主要使用以下几种方
法：
乘法运算定律的使
用。使用乘法中的交换律、结合律、分配律
等，最主要的目的是为了“凑整”，要记住：2×5＝10，
4×25＝100，8
×125＝1000，16×625＝10000，同时还要注意这些运算定律的
推广
使用。
例1
计算：（1）4×16×25
（2）25×32×125
【分析与解】
同学们都知道2×5＝10
25×4＝100 125×8＝1000
625×16＝10000，在连乘算式中，要尽
量运用乘法交换律和结合律，
把上面这些数调到一起先乘。如（1）中将25和4结合起来先乘；（2）
中可以把32拆成4×8再把25和4，125和8分别结合起来乘。
（1）4×16×25 （2）25×32×125
＝4×25×16 ＝25×（4×8）×125
＝100×16 ＝（25×4）×（8×125）
＝1600 ＝100×1000
＝100000
试一试1
计算：（1）25×12×125×4×8 （2）25×5×64×125
25
（3）125×16
例2
计算：（1）125×（20＋8） （2）25×396
（3）45×99
【分析与解】
乘法分配律是（a＋b）×c＝a×c＋b×c，但乘法分
配律也可推
广为（a－b）×c＝a×c－b×c，当两个数相乘时，有时可以把一个
因数变为
两个数的和与另一个因数相乘；也可以把一个因数变为两
个数的差与另一个因数相乘。如（2）中可将3
96变为（400－4）再
与25相乘。
（1）125×（20＋8）
（2）25×396
＝125×20＋125×8 ＝25×（400－4）
＝2500＋1000 ＝25×400－25×4
＝3500 ＝10000－100
＝9900
（3）45×99
＝45×（100－1）
＝45×100－45×1
＝4500－45
＝4455
试一试2
计算：（1）2004×25 （2）（800－8）×125
（3）125×72 （4）36×999
例3
计算：
（1）49×55＋55×51
（2）79×85＋35×79－20×79
【分析与解】
乘法分配律还可以推广为a×c±b×c＝（a±b）×c，几个数与
26
一个数相乘，再把积相加减。关键是找准那个相同的因数，（1）式
中相同因数为55，（2）
式中相同因数为79。
（1）49×55＋55×51 （2）79
×85＋35×79－20×79
＝（49＋51）×55
＝79×（85＋35－20）
＝100×55
＝79×100
＝5500 ＝7900
试一试3
计算：64×177－77×64
325×14＋88×325－325×2
例4
计算：（1）63×67
（2）35×35
【分析与解】
观察这两道算式可知：十位上的数字相同，个位上数字和为
“10”，这就是“头同尾合十”的乘法。解题时可把尾数相乘的积作
为积的后两位数，把十位
上数字先加1再乘十位数，把乘得的积作
为积的前两位数。
（1）因为3×7＝21
（6＋1）×6＝42
所以63×67＝4221
（2）因为5×5＝25
（3＋1）×3＝12
所以35×35＝1225
试一试4
计算：（1）72×78 （2）55×55
例5
计算。
（1）2 6×11 （2）38×11
（3）447×11
【分析与解】
解法一：一个数和11相乘，只要把这个数的两
边一拉，中间相
加（和是十几的只写个位数字，同时向前一位进“1”），就是所求的
积。
百 十 个
位 位 位
27
（1）26×11＝ 2 （2＋6）6＝286
百 十 个
位 位 位
（2）38×11＝ 3（3＋8） 8＝418
千 百
十 个
位 位 位 位
（3）447×11＝ 4（4＋4）（4＋7）
7＝4917
解法二： 错位相加法。
一个数与11相乘，只要把这个数按照加法列出竖式，相加即可，
在列竖式时，需把数位错开。
如：
26×11＝
列竖式： 2 6
＋ 2 6
2 8 6
26×11＝286
38×11＝418
列竖式： 3 8
＋ 3
8
4 1 8
447×11＝4917
列竖式：
4 4 7
＋ 4 4 7
4 9 1 7
28
试一试5
计算：（1）78×11 （2）298×11
（3）22×111
想一想：这种算法的道理。
练习四
1.
计算下面各题。
（1）625×17×4×4 （2）25×64×125
（3）19×125×8 （4）4×2×125
（5）15×4×25 （6）125×（17×8）
（7）25×12×7
（8）25×48×125×2
2. 利用乘法分配律计算下面各题。
（1）25×（30＋4） （2）125×（80＋8）
（3）87×64＋36×87 （4）78×99
（5）47×101
（6）68×99＋68
（7）702×101－702
（8）73×57＋45×73－2×73
（9）23×999 （10）99×34
3．巧算下面各题。
（1）78×99 （2）25×99
（3）35×999 （4）125×88
（5）125×808
（6）125×792
（7）101×101－101 （8）9999＋9999×9999
4．巧算下面各题。
（1）43×47 （2）82×88
（3）95×95 （4）38×32
5. 计算下面各题。
（1）27×11
（2）32×11 （3）39×11
（4）46×11 （5）92×11
（6）98×11
（7）55×111 （8）36×1111 （9）352×11
（10）149×11 （11）376×11 （12）235×11
6．试试下面两题。
29
（1）27×8＋9×76
（2）24×32＋12×36
第五讲 简单的数列求和
知识要点与学法指导：
若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为一项，
其中第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中数的个数称为项
数。
从第二项开始，后项与
其相邻的前项之差都相等的数列称为等
差数列，后项与前项的差称为公差。例如：3，6，9……96，
这是一
个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的等差数列。
这一讲，我们将学习“等差数列求和”。为了更好地掌握此类问题，
我们需要记住三个公式：
通项公式：第n项=首项＋（n－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
求和公式：总和=（首项＋末项）×项数÷2
30
在等差数列中
，只要知道首项、末项、项数、公差这些量中的
三个，就可以利用通项公式或项数公式及求和公式求和。
例1
有这样的一列数，1、2、3、4……99、100。请你求出这
列数各项相加的和。
【分析与解】
如果我们把数列1、2、3、4……99、100与数列100、99、98、
97……2、1相加：
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋……＋ 99 ＋ 100
＋ 100 ＋ 99＋ 98 ＋ 97 ＋……＋ 2 ＋ 1
＝（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋（4＋97）＋…＋（99＋
2）＋（10
0＋1）
其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101
相加，所得的和
就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列
的和。
1＋2＋3＋4＋……＋99＋100
＝（1＋100）×100÷2
＝5050
想一想：这道题还可以怎样计算？
上面的数列是公差为1的特殊等差数列，经过进一步研究可
以
发现，求任何一个等差数列的和，都可以用下面的公式计算：总和
＝（首项＋末项）×项数÷
2。其中项数和末项的求法可以根据项数
公式或通项公式来求。
试一试1
求等差数列1，2，3，4……8，9，10的和。
例2
求等差数列2、4、6……48、50的和。
【分析与解】
31
这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
项数＝（末项－首项）÷公差＋1＝（50－2）÷2＋1＝25。
首项＝2，末项＝50，项数＝25
（2＋50）×25÷2＝650
所以，这个等差数列的和是650。
试一试2
求等差数列1，3，5……45，47，49的和。
例3
下面一列数是按一定的规律排列的：
3、12、21、30、39、48、57、66……
（1）第12个数是多少？ （2）912是第几个数？
【分析与解】
仔细读
题不难发现，这个数列每相邻两项的差是9，即是个公差
为9的等差数列，求第12项是多少，就要利用
通项公式：第n项＝
首项＋（n－1）×公差。因此，第12项是：
3＋（12－1）×9＝102
求912是第几个数，就是求这个数列3、12、21……
912中的项数是多少，就要利用项数公式：
项数＝（末项－首项）÷公差＋1 即：
（912－3）÷9＋1＝102
试一试3
等差数列5、8、11、14……的第15项是多少？62是第几项？
例4
计算（2＋4＋6＋……＋100）－（1＋3＋5＋……＋99）
【分析与解】
容易发现，被减数和减数都是等差数列的和，因此，可以先分
别求出它们各自的和，然后相减。
在等差数列2、4、6…100中，首项＝2，末项＝100，项数＝（100
－2）÷2＋1
＝50；
32
在等差数列1、3、5……99中，首项＝1，末项＝99
，项数＝（99
－1）÷2＋1＝50。
（2＋4＋6＋……＋100）－（1＋3＋5＋……＋99）
＝（2＋100）×50÷2－（1＋99）×50÷2
＝ 2550－2500
＝ 50
想一想：还可以怎样算？
试一试4
（2＋4＋6＋……＋200）－（1＋3＋5＋……＋199）
练习五
1. 计算下面各题。
（1）1＋2＋3＋4＋……＋49＋50
（2）6＋7＋8＋9＋……＋75
（3）100＋99＋98＋……＋61＋60
2. 计算下面各题。
（1）2＋6＋10＋14＋18＋22
（2）5＋10＋15＋20＋……＋195＋200
（3）9＋18＋27＋36＋……＋261＋270
3. 用简便方法计算下面各题。 <
br>（1）（2001＋1999＋1997＋1995）－（2000＋1998＋1996＋
19
94）
33
（2）（2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999）
（3）1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋58＋59－60
4．计算下面各题。
（1）等差数列4、7、10……298共有几项？
（2）首项是5，末项是95，公差是5的等差数列的和是多少？
（3）等差数列6、13、20、27……，第几个数是1994？
（4）有一列数：3、7、11、15、19……，问第86项是几？799
是第几项？
5．用简便方法计算。
（1）2＋5＋8＋11＋……＋89
（2）1＋2＋3＋……＋200
（3）4＋7＋10＋……＋46
6．计算下面各题。
（1）1991－1988＋1985－1982＋……＋11－8＋5－2
（2）1＋2＋3＋4＋……＋50＋49＋48＋47
（3）（3＋5＋7＋……＋101）－（2＋4＋6＋……＋100）
第六讲
幻方和数阵
知识要点与学法指导：
传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水
。有一天，从河
里浮出一只大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书”。书上有一幅奇特的
34
这
幅图用现在的数字表示，即为1～9这九个数字,填在九个格
子里，每一纵列、每一横行以及两条对角线
上的三个数字之和都是
15（见上右图）。我国古代数学家称它为“纵横图”或“九宫图”，国外称
幻方曾使不少的爱好者入迷，目前世界上最大的幻方—“1256
阶泛对角幻方”就是1
990年11月22日由无锡一位中学教师发明的，
这个数字方阵纵、横排成1256行，任何一条线以
及对角线各数和都
是990693236
数阵图就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定
图形的规
定位置上，这种图形，我们称之为数阵图。由于它既有数字之间的
35
运算，又要结合图形，因此对开发学生综合思考和形象思维很有益
处。数阵图的种类很多， 这里我们将主要介绍封闭式的数阵图。幻
方和数阵图的填写不能只采取试的办法，而要根据题目的要求， 所
给的数字的特征进行合理的分析思考，并在计算的基础上，先填写
关键位置的数，再填其他位 置的数。
例1
把1、2、3、4、5、6填在图中，使每条边上的三个数之
和都等于9。
【分析与解】
同学们，首先用你敏锐的眼光观察 一下，三角形三个顶点的数
在求和时各使用了几次呢？如图（2）所示，很容易看出，位于三角
形顶点的三个数a，b，c各被使用了两次。
36
因此三条边上的总和表示为：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋a＋b＋c＝27
又因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，与总和相差27－21＝6，也就
是说
a＋
b＋c＝6，所以三个顶点应选作1，2，3，其他数字也就可以依次
填入空位了［如图（3）所示］。
通过例1我们不难发现，填数的过程是有规律的。我们首先需
要找到关键数（即在数阵中重复使
用的数字），然后通过总和找到关
键数的和，并以此确定关键数。关键数找到了，就可以根据每边的数字和将其他数字填写完整。聪明的同学们，这个方法你掌握了吗？
试一试1
把1，2，3，4，5，6这6个数，分别填在图中三角形三条边的
六个圆圈中。
（1）使每条边上的三个数之和等于10；
（2）使每条边上的三个数之和等于11；
（3）使每条边上的三个数之和等于12。
例2
把1～10十个数填入下图中的小圆中，使每个大圆上六
个数的和是30。
【分析与解】
每个大圆上都有六个数，由于中间两个小圆内的数是公用
的，
我们设这两个数为a和b。根据题意可知：1＋2＋3＋……＋10＋a
＋b的和除以2是
30，即a＋b＝5。在1～10中，只有1＋4和2＋3
37
的和是5，
因此，当a、b分别是1和4时，另外四个数的和是30－
5＝25，应该是2，6，8，9和3，5，
7，10；当a、b分别是2和3
时，另外四个数应该是1，5，9，10和4，6，7，8。
试一试2
将1～8八个数分别填入下图的○里，使每个大圆上五个○内的
数的和都是22。
例3
将1～9九个数字填在右图内九个方格里
,每格填一个数
字，使每一横行、每一纵行和两条对角线上三个数之和相等。
【分析与解】
因为三个横行或三个纵行数字总和是1＋2＋
3＋……＋8＋9＝45，所以，每一横行或每一
纵行
三个数字之和等于45÷3＝15。
1～9九个数字中，其中三个不同的数字相加
等于15，共有八种：9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，
8＋5＋2，8＋4＋3，7＋6＋2
，7＋5＋3，6＋5＋4。
图中每一横行、每一纵行和每条对角线的三个数必须是八个算
式
中的某三个加数。中心数有4条线经过，要求此数在四个算式中
出现，必定是5。而2，4，6，8各出
现在三个算式中，所以这四个
数应填在四个角上。这样每一格应填哪一个数字就可以确定了。可
以排出下列八种不同的填法，即八个三阶幻方：
38
9
2
有一种简便易行的编排幻方的方法—罗伯法。概括如下：
小数上行正中央，依次右上切莫忘；
上出框时最下填，右出框时最左放；
排重便在下格填，右上排重一个样。
右上无法再填时，紧挨该数填下方。
2
2
1
1
1
3
3
2
2
(1)
(2)
(3)
7
9
1
3
5
4
6
2
1
3
5
4
(6)
6
7
8
8
1
3
5
4
9
(7)
6
8
7
2
2
(4)
3 试一试
1
3
4
(5)
（1）用11—19这9个数字构制一个三阶幻方。
（2）用1，3，5，7，9，11，13，15，17这九个奇数构制一个
三阶幻方。
39
例4
把1～16这16个数分别填入右上图中
的16个方格内，
使横行、竖行、两条对角线上的四个数的和都相等。
【分析与解】
这道题我们可以采用“对称交换”的方法进行编排。
（1）将1～16分别填在这四阶幻方的
小格内［下图（a）］，这
时两条对角线上四个数的和都是34，而其他横行、竖行四个数的和
都不等于34。
（2）两条对角线上的数不动，仍做四阶幻方的两条对角线。一、
四竖行与二
、三竖行中的其他数对称交换［下图（b）］。
（3）再
将一、四与二、三横行非对角线上的数对称交换，即制
成了一个四阶幻方［前图（c）］
试一试4
把5～20这16个数分别填入右图的16个方
格内，使横、竖、斜行上的四个数的和都相等。
练习六
（试一试4图）
1.
将4—9这6个数填在下面的空格里，使每条线段的三个数的
和都是18。
（1题图）
40
2. 将4—9这6个数填在下面的空格里，使每条线段的三个数的
和都是21。
3．把5—1
0这六个数分别填入图中三角形三条边的六个圆圈内，
使每条边上三个圆圈内数的和都是24。
（3题图）
4.
将1—9填入图中，使三角形每条边上的四个数之和都等于
17。
（4题图）
5.
把1～10这十个数分别填入下面图的○内，使每个大圆上五
41
个数的和是36。
6．把1—10这十个数分别填入下图中的○内，使每个大圆圈上
五个数的和是33。
7．把1—8这八个数分别填入图中的八个圆圈中，使每个圆圈
上五个数的和都等于21。
（7题图）
8.
将1～8八个数分别填入下图中，使每条边上三个数的和等于
12。
（8题图）
9.
把3，4，5，6，7，8，9，10，11九个数填入下面图（1）的
42
空格内，使每一行、每一列和两条对角线上的数的和都相等。
（9题图）
10.
把4～19这十六个数填入下面图（2）的空格内，使每一行、
每一列和两条对角线上的数的和都相等。
（10题图）
11．用2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个偶数编别一个
三阶幻方。
12．把4—12这九个数填入下图中的空格内，使每一行、每一
列和每
条对角线上的数的和都相等。
（12题图）
13. 在下图的空格里填上合适的数，使横、竖、斜行中三个数的
和都是27。
6
43
5
（13题图）
14．在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一
个三阶幻方。
A
B
16
12
15
C
D
20
11
（14题图）
15.
用“罗伯法”编制一个五阶幻方。
第七讲 平均数问题
知识要点与学法指导：
平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高
问题，求某天的平均气温等。
求平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总份数＝平均数
解答平均数问题的关键是要确定“
总数量”以及与“总数量”相对
应的“总份数”，然后用总数量除以总份数求平均数。也可用移多补少<
br> 44
的方法，或找一个基准数，用基数＋各数与基数的差之和÷份数＝平
均数。
例1
王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同
学身高15
3厘米，一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘
米，还有两个同学身高147厘米。求四年
级羽毛球队同学的平均身
高。
【分析与解】
这道题可以按照一般思路解，即用身高
总和除以总人数。这道
题还可以采用假设平均数的方法求解，容易发现，同学的身高都在
150
厘米左右。可以假设平均身高为150厘米，把它当作基准数，用
基数＋各数与基数的差之和÷份数＝平
均数。
（153×2＋152＋149×2＋147×2）÷（2＋1＋2＋2）
＝150（厘米）
或：
150＋（3×2＋2－1×2－3×2）÷（2＋1＋2＋2）
＝150（厘米）
答：四年级羽毛球队的同学平均身高是150厘米。
试一试1
某小学选出7名同
学参加数学竞赛，其中两人得了99分，还有
三人得96分，另外两人得了93分，这7个同学的平均成
绩是多少？
例2
从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽车上山，需要4小
时到达
山顶，下山沿原路返回，只用2小时到达山脚。求这辆汽车
往返的平均速度。
【分析与解】
求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往返的
路程是36×2＝72（千米）；
往返的时间是4＋2＝6（小时）。所以，
这辆汽车往返的平均速度是每小时行72÷6＝12（千米）
。
（36×2）÷（4＋2）＝12（千米）
45
答：这辆汽车往返的平均速度是每小时12千米。
试一试2
一条
山路从山脚到山顶的路长24千米，一人骑车上山，需要6
小时到山顶，然后沿原路下山，只用2小时就
到达山脚。求骑车往
返的平均速度。
例3
李华参加体育达标测试，五
项平均成绩是85分，如果投
掷成绩不算在内，平均成绩是83分，李华投掷得了多少分？
【分析与解】
先求出五项成绩的总得分：85×5＝425（分）。再算出四项成绩
的总分：83×4＝332（分），最后用五项成绩的总分减去四项成绩的
总分，就等于李华投掷的成绩
，即：425－332＝93（分）
85×5－83×4＝93（分）
答：李华投掷得了93分。
试一试3
李华参加数学竞赛，前3次的平均成绩为85分，已知前两次的
平均分是83分，他第3次得了多少分？
例4
如果四个人的平均年龄是23岁，四个人中没有小于18
岁的，那么年龄最大的人可能是多少岁？
【分析与解】
因为四个人的平均年龄是23岁，那么四个人的和是23×4＝92
（
岁），又知道四个人中没有小于18岁的，如果四个人中三个人的
年龄都是18岁，就可去求另一个人的
年龄最大可能是92－18×3＝
38（岁）。
23×4－18×3＝38（岁）
答：年龄最大的人可能是38岁。
试一试4
三名学生和一名教师的平均年龄是1
8岁，学生的年龄没有小于
11岁的，那么老师的年龄可能是多少岁？
46
练习七
1．一组同学的身高，其中2人都是124厘米，另外4人
都是130
厘米。这一小组同学的平均身高是多少厘米？
2. 小明参加数学考试，前两次的
平均分是85分，后三次的总分
是270分，求小明这五次考试的平均分数是多少？
3. 二
（1）班学生分三组植树，第一组有8人，平均每人植树
10棵，第二组有6人，平均每人植树11棵，
第三组有6人，平均每
人植树9棵，二（1）班平均每人植树多少棵？
4. 敬老院有8个老
人，他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、
81岁、78岁、78岁、76岁、80岁。求这8个
老人的平均年龄。
5. 小强家离学校有1200米，早上上学，他从家到学校用了15
分钟
，中午放学，从学校到家用了10分钟，求小强往返的平均速度。
6. 李大伯上山采药，上山时他每
分钟走50米，18分钟到达山
顶，下山时，他沿原路返回，每分钟走75米，求李大伯上下山的平均速度。
7. 小军参加
了3次数学竞赛，平均分是84分，已知前两次平
均分是82分，求他第三次得了多少分？
8
．小红期末考试一共考了三门科目，其中语文、数学两门的平
均分是88分，加上英语，三门的平均分是
90分，英语考了多少分？
9．小明在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分是
9
2分，数学成绩公布后，五门功课的平均分是91分。小明的数学考
了多少分？
10.
如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的，那么
最大的人的年龄可能是多少岁？
11.
如果四个人的平均年龄是28岁，且没有大于30岁的，那么
最小的人年龄可能是多少岁？
12. 刘刚五次考试平均分为92分（满分100分），那么他每次考
47
试的分数不得低于多少分？
13. 小亮上山时的速度是每小时走2千米，下
山时的速度是每小
时走6千米，那么，他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米？
14．
五个同学期末考试的数学平均成绩是94分，而其中有3个
同学的平均成绩是92分，另两个同学的平均
成绩是多少分？
15．甲地到乙地的全程是60千米，小红骑车从甲地到乙地时每
小时行15
千米，返回时每小时行10千米。求小红往返的平均速度。
第八讲 图形问题
知识要点与学法指导：
同学们都已经认识了长方形、正方形，知道围成长方形、正方
48
形的边的长度总和，叫做它们的周长，长方形的周长＝（长＋宽）×
2，如果用C表示长方形的周长，a
表示长方形的长、b表示长方形
的宽，则长方形的周长公式便可写成C＝（a＋b）×2；正方形的周<
br>长＝边长×4，用C表示正方形的周长，用a表示正方形的边长，正
方形的周长公式可以写成C＝
a×4。
这一讲，我们将要帮助同学们学会运用长方形和正方形的周长
公式巧求一些复杂图形
的周长。解决这类问题主要从两方面入手思
考：
解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点：
1.
细心观察，把握图形特点，合理的进行切拼，从而使问题得
以顺利地解答。
2.
从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推
理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。
3. 对于一些运用拼和剪来构造新图形的问题，我们常常要画图
帮助理解，仔细分析，思考怎
样从已知条件中找到求周长所要的条
49
件或者找到新图形周长与原图形周长间的关系，再求出它的周长。
4. 对于
一些不规则的比较复杂的图形，求它们的周长，往往要
运用“平移”、“转化”等方法把问题转化成为长
方形或正方形的周长问
题。在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分，而且不能遗漏掉某
些线段的长度。
例1
用3个周长是15厘米的正方形拼成一个长方形，求所拼
成的长方形的周长。
【分析与解】
为了帮助理解，我们可以作图：
仔细观察就能发现，原来3个正方形
拼成一个大长方形后，由
于4条边两两重合，因此在计算长方形周长时，应从3个周长和里
减去
4条边的长度，也就是减去1个小正方形的周长。
15×3－15＝30（厘米）
答：拼成的长方形的周长是30厘米。
想一想：拼成的长方形周长还可以怎么求？
试一试1
用3个周长是17厘米的正方形拼成一个长方形，求所拼成的长
方形周长。
例2
一张长方形纸长是32厘米，宽20厘米，先剪下一个最
50
大的正方形纸片，再从余下的纸片中又剪下一个最大的正方形，最
后剩下的长方形纸片的周 长是多少厘米？
【分析与解】
为了帮助解题，我们可以作图如下：
20厘米
第1次剪下
第2次剪下
32厘米
观察图示不难看出，第一次剪下的是以宽20厘米为边长的正方
形，这时余下部分的一边长为32－20＝12（厘米），另一边长是20
厘米，第2次从余下的部分剪 下最大正方形的边长为12厘米，（想
一想：为什么？）只要找到第2次剪后余下图形的长、宽就能求出
它的周长。
（1）最后剩下长方形的长是32－20＝12（厘米）
（2）最后剩下长方形的宽是20－12＝8（厘米）
（3）最后剩下长方形的周长是（12＋8）×2＝40（厘米）
答：最后剩下长方形纸片的周长是40厘米。
试一试2
在一个长是24 厘米，宽是15厘米的长方形纸中，先剪下一个
最大的正方形纸片，再从余下的纸片中又剪下一个最大正 方形，最
后剩下的长方形纸片周长是多少厘米？
例3
下图是一个楼梯 的侧剖面图。已知每步台阶宽3分米，
高2分米。问这个楼梯侧面的周长是多少米？
51
【分析与解】
如果把每层台阶的宽度向上移到和最上层台阶同样高的地方，
把每层台阶的高度向右移到和最下层台阶一
致的地方。（如下图）这
样原图就转化为一个长方形了。这个长方形的周长与原楼梯剖面图
的周
长相等，所以求出长方形的周长，就是楼梯的侧面图的周长。
（3×7＋2×7）×2
＝35×2
＝70（分米） 70分米＝7米
答：楼梯侧面周长是7米。
试一试3
下图是由3个长方形组成的，求这个组合图形的周长。
例4
人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增
加10
米，宽增加5米。现在操场面积比原来增加了多少平方米？
【分析与解】
52
用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，
操场现在的
面积是（90＋10）×（45＋5）＝5000（平方米），操场
原来的面积是：90×45＝405
0（平方米）。所以，现在的面积比原来
增加5000－4050＝950（平方米）。
（90＋10）×（45＋5）－90×45＝950（平方米）。
答：现在的操场的面积比原来增加了950平方米。
试一试4
一个长方形花池，长
8米，宽6米，改造后，长宽各增加5米，
现在花池面积增加了多少平方米？
例5
一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积
增加54平方米，如果
长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36
平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？
【分析与解】
由：“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，可
知它的
宽为54÷6＝9（米）”；又由“长不变，宽减少3米，那么它
们的面积减少了36平方米，可知它的
长为36÷3＝12（米），所以，
这个长方形原来的面积是12×9＝108（平方米）。
（36÷3）×（54÷6）＝108（平方米）
答：这个长方形原来的面积是108平方米。
试一试5
一个长方形，如果宽不变，
长增加2米，面积就增加10平方米，
如果长不变，宽减少2米，那么它的面积就要减少16平方米。这
个
长方形原来的长和宽各是多少米？
例6
右图是一个养禽专业户用一段长16
米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求占地面积
有多大。
【分析与解】
53
根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长加
一条宽等于16米。
而宽是4米，那么长是（16－4）÷2＝6（米）。因此，占地面积是6
×4＝24（平方米）
（16－4）÷2×4＝24（平方米）
答：养鸡场的占地总面积是24平方米。
试一试6
如果例6中的宽是6米，其它条件不变，它的面积又是多少？
比例6面积大多少平方米？
练习八
1.
用3个边长是3厘米的正方形拼成一个长方形，求所拼成的
长方形的周长。
2.
一个长方形长60厘米，宽20厘米，将它剪成3个正方形，
每个正方形的周长是多少？
3.
四个周长为17厘米的长方形拼成一个大长方形（如图），求
大长方形的周长。
4.
下图是一公园的平面图，王奶奶每天早晨绕它跑3圈，王奶
奶每天跑多少米？
5. 用5个周长是9厘米的正方形拼成一个长方形，求所拼成的
54
长方形的周长。
6. 一块长50米、宽40米的地划去一个最大的正方形种
土豆，
剩下的准备挖一个鱼塘，现在鱼塘周围围一圈篱笆，共需篱笆多少
米？
7．
如下图所示，小明和小玲同时从学校到少儿书店，小明沿A
路线行走，小玲沿B路线行走，如果两人速度
一样，谁先到少儿书
店，为什么？
学校
B
◎
110米
A
◎
少儿书店
200米
8．下图是一个花圃，求花圃的周长。（单位：米）
10 10
30
50
9. 有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分
别减少10分米、3分米，
面积比原来减少多少平方分米？
10.
一块长方形地，长是80米，宽是45米，如果把宽增加5
米，要使面积不变，长应减少多少米？ 11.一块长方形铁板，长18分米，宽13分米，如果长和宽各减
少2分米，面积比原来减少多少
平方分米？
12. 一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少
24平方米，
如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，
这个长方形原来的面积是多少平方米？
13. 一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那
55
么它的面积都减少36
14.
右图是某个养禽专业户用一段长13
5米
米的篱笆围成一个长方形的养鸡场，求养鸡场
的占地面积有多大？
墙
15. 用56米长的木栏围成长或宽是20米
的长方形，其中一边利用围墙，怎样才能使围<
br>成的面积最大？
（15题图）
16. 用15米长的栅栏沿着围墙围一个种
植花草的长方形苗圃，其中一面利用着墙。如
果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大？
第九讲 年龄问题
知识要点与学法指导：
年龄问题是一类与计算有关的问题，它通常以和倍、差倍、或
和差等问题的形式出现，有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题
的综合，需要灵活的加以解决。
解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：
1. 无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的。
56
2.
随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增
加相等的数量；
3.
随着时间的变化，两人年龄之间的倍数关系也会发生变化。
例1
爸爸今年43岁，儿子今年11岁，几年后爸爸的年龄是
儿子的3倍？
【分析与解】
儿子出生后，无论在哪一年，爸爸和儿子的年龄差总是不变的，
这个年龄差是43－11＝32（岁）
。所以，当爸爸的年龄是儿子的3
倍时，儿子是32÷（3－1）＝16（岁），因此，16－11＝5
（年）后，
爸爸的年龄是儿子的3倍。
（43－11）÷（3－1）＝16（岁）
16－11＝5（年）
答：5年后爸爸的年龄是儿子的3倍。
试一试1
老师今年x岁，学生今年y岁，几年后老师的年龄是学生的3
倍？（注意：x，y要用任课教师和学生的
真实年龄。）
例2
妈妈今年的年龄是女儿的4倍，3年前，妈妈和女儿的
年龄和是39岁。问妈妈、女儿今年各是多少岁？
【分析与解】
从3年前到今年，妈妈女儿都长了3岁，他们今年的年龄和为：
39＋
3×2＝45（岁）。于是，这个问题可转化成为和倍问题来解决，
所以，今年女儿是45÷（1＋4）
＝9（岁），妈妈今年是9×4＝36（岁）。
（39＋3×2）÷（1＋4）＝9（岁）
9×4＝36（岁）
答：女儿今年9岁，妈妈今年36岁。
57
试一试2
妈妈今年的年龄是儿子的3倍，2年前妈妈和儿子的年龄和是
48岁，妈妈、儿子今年各多少岁？
例3
甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁，再过多少年，
她的爸爸和妈妈的年龄之和为80岁？
【分析与解】
两人的年龄和每年增加2岁，先求今年爸爸和妈妈的年龄和：
28＋2
6＝54（岁）。再求80比54多80－54＝26（岁）。26里面包含
多少个2就是经过的年数。
所以，再过26÷2＝13（年）爸爸和妈妈
的年龄之和为80岁。
［80－（28＋26）］÷2＝13（年）
答：再过13年爸爸和妈妈的年龄之和为80岁。
试一试3
8岁，小娟今年14岁，再过多少年，小玲和小娟的
年龄之和为48岁？
例4
今年小红的年龄是小梅的5倍，3年后小红的年龄是小
梅的2倍，小红和小梅今年各是多少岁？
【分析与解】
3年后，小红和小梅各长3岁，假如小红年龄还是小梅的5倍，
小红要
增长5×3＝15（岁），但只长了3岁，少12岁，就少5－2＝
3倍，所以3年后小梅是12÷3＝
4（岁），今年是4－3＝1岁。
（3×5－3）÷（5－2）＝4（岁）
4－3＝1（岁）
1×5＝5（岁）
答：小红今年5岁，小梅今年1岁。
试一试4
今年表哥的年龄是弟弟的5倍，2年后表哥的年龄是弟弟的3
倍，表哥和弟弟今年各是多少岁？
58
练习九
1.
妈妈今年36岁，儿子今年12岁，问几年后妈妈年龄是儿子
的2倍？
2.
小强今年15岁，小亮今年9岁，问几年前小强的年龄是小亮
的3倍？
3.
爷爷今年60岁，孙子今年6岁，再过多少年爷爷的年龄比孙
子大两倍？
4.
今年爸爸的年龄是儿子的4倍，3年前，爸爸和儿子的年龄
和是44岁。问爸爸、儿子今年各是多少岁？
5. 今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁，4年前爸爸的年龄恰好
是小丽的10倍
，小丽和爸爸今年各是多少岁？
6．今年小芳和她妈妈的年龄和是32岁，5年
后妈妈的年龄是小
芳的5倍。小芳和妈妈今年各多少岁？
7.
今年小明的年龄是小娟的3倍，3年后小明的年龄是小娟2
倍。小明和小娟今年各多少岁？
8.
今年小亮的年龄是小英的2倍，6年前小亮的年龄是小英的5
倍，小英和小亮今年各多少岁？
59
9.
瑞瑞的爸爸今年27岁。她的妈妈今年26岁，再过多少年，
她的爸爸和妈妈的年龄之和为73岁？
10.
今年爸爸56岁，儿子30岁，当父子年龄和为46岁时，爸
爸和儿子各是多少岁？
11. 今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁、23岁、16
岁，经过多
少年后爷爷的年龄等于三个孙子的年龄和？
12．父亲今年比儿子大30岁，3年后，父亲的年龄是儿子的4
倍，儿子今年几岁？
13．哥哥今年的年龄是妹妹的4倍，4年后，哥哥的年龄是妹妹
的2倍
。哥哥和妹妹今年各多少岁？
第十讲
相遇问题
知识要点与学法指导：
相遇问题是行程问题中的一种情况。两个运动着的物体，从两
60
个地方出发，相向运动，越行越近，到一定的时候两者可以相遇。
两个运动的物体同时出发时，相遇时所
用的时间相同。
我们已经学习过速度、时间和路程这一组数量关系，在相遇问
题中也存在着这
样的数量关系，两个运动着的物体都各自有速度、
时间和所行驶的路程。在研究相向运动时，两个物体一
小时一共所
行驶路程又叫做速度和。
解答相遇问题的基本数量关系是：
速度和×相遇时间＝总路程
总路程÷相遇时间＝速度和
总路程÷速度和＝相遇时间
两人同时从两地对面走来，小王每分钟走70米，小张每分钟走
60米，两人每分钟
一共走多少米？走了3分钟，两人一共走了多少
米？
要求两人每分钟一共走多少米，就是求两人的速度和。
70＋60＝130（米）
61
要求走了3分钟两人一共多少米，我们可以在前面速度和，也
就是每分钟
两人所走的路程的基础上解决。即：
70＋60＝130（米）
130×3＝390（米）
我们还可以这样理解，两人走了3分钟，每一个人都走了3分
钟，可以先分别计算每一个人3分
钟所走的路程，最后再求和。
70×3＝210（米）
60×3＝180（米）
210＋180＝390（米）
答：两人每分钟一共走130
390米。
例1
两人同时从两地对面走来，小王每分钟走70米，小张每
分钟走60米，9分
钟后两人相遇，求两地距离。
【分析与解】
观察下面的图：
62
两地距离就是两个人相遇的时候所走的路程和。
两人同时出发，
所以所行的时间相同。我们可以这样解决：
70＋60＝130（米）
130×9＝1170（米）
也可以这样解决：
70×9＝630（米）
60×9＝540（米）
630＋540＝1170（米）
答：两地路程相距1170米。
通过问题的解决，我们可以得到：
速度和×相遇时间＝总路程
试一试1
两人同时从两地对面走来，甲每分钟走60
米，乙每分钟走50
米，走了5分钟后两人相遇，求两地相距多少米？
例2
两地之间的海上距离是400千米。两艘轮船同时从两地
相向开出。一艘轮船每小时行30千
米，另一艘轮船每小时行20千
米。两艘轮船开出后几小时相遇？
【分析与解】
两
艘轮船相遇时，所行的总路程就是两地距离。可以先计算出
两艘轮船一小时一共行驶多少千米。
30＋20＝50（千米）
两艘轮船一小时一共行驶50千米，几小时可以行驶400千米，
就是求400千米里面包含几个50千米，就是需要几小时，也就是相
遇时间。
400÷50＝8（时）
答：两艘轮船开出后8小时相遇。
通过问题的解决，我们可以知道：
总路程÷速度和＝相遇时间
试一试2
63
东西两镇相距54千米，甲乙二人骑自行车，分别从两镇同时出
发相向
而行，甲每小时走10千米，乙每小时走8千米，问几小时两
人相遇？
例3
甲、乙两地相距810千米，一辆客车和一辆货车同时从
两地相向而行，9小
时相遇。已知客车每小时行50千米，货车每小
时行多少千米？
【分析与解】
两辆
车同时从两地相向而行，9小时相遇时一共行驶了810千
米。我们可以先求出两辆车一小时行多少千米
，再从一小时一共行
驶的路程中减去客车行驶的，就是货车每小时行的。
810÷9＝90（千米）
90－50＝40（千米）
我们还可以这样理解，两辆
车同时从两地相向而行，9小时相遇
时一共行驶了810千米。从总路程中减去客车9小时行驶的路程，
就是货车9小时行驶的路程，再计算出货车速度。
50×9＝450（千米）
810－450＝360（千米）
360÷9＝40（千米）
答：货车每小时行40千米。
通过问题的解决，我们可以知道：
总路程÷相遇时间＝速度和
试一试3
甲、乙两地相距1200千米，一辆客车和
一辆货车同时从两地相
向而行，12小时相遇，已知客车从甲地到乙地需20小时，问货车每
小
时行多少千米？
例4
甲、乙两辆货车从相距820千米的两地相向而行，甲车
每小时行50千米，乙车每小时行40千米。甲车出发2小时后乙车
才出发，乙车行几小时后与
甲车相遇？
64
【分析与解】
观察题目，我们发现这道题与
前面例题不同的是两车不是同时
出发。甲车先开出了2小时，先行了50×2＝100千米，这时还剩下
820－100＝720千米，这720千米的路程就是两车共同行驶的路程。
根据总路程÷速
度和＝相遇时间，乙车还要行720÷（50＋40）＝8
小时后与甲车相遇。
50×2＝100（千米）
820－100＝720（千米）
720÷（50＋40）＝8（小时）
答：乙车行8小时后与甲车相遇。
试一试4
甲、乙两车从相距570千米的东西两站相向而行，甲车每小时
行45千米，开出2小时后，
乙车才以每小时35千米的速度开出，
乙车开出几小时后与甲车相遇？
练习十
1. 甲、乙两车同时从两地相向而行，甲车每小时行50千米，乙
车每小时
行60千米，4小时后两车在途中相遇。求两地的距离。
2. 明明、刚刚两人从操场的东
、西两端同时出发，相向而行。
明明每分钟走70米，刚刚每分钟走65米，6分钟后两人在途中相遇。
学校操场长多少米？
3．两列火车从郑州和北京同时相对开出，从郑州开出的火车每
65
小时行79千米，从北京出发的火车每小时行60千米，经过5小时
两车相遇。郑州到北京的铁路长多
少千米？
4．有两辆汽车同时从甲城出发背向开出，快车每小时行54千
米，慢车
每小时行40千米，经过4小时它们相距多少千米？
5. 东西两城相距210千米，甲骑
车每小时行14千米，乙骑车每
小时行16千米，两人同时从两地出发相向而行，几小时后相遇？
6．甲、乙两车分别从相距2400千米的A、B两城同时出发，
相向而行，已知甲
车到达B城需40小时，乙车到达A城需60小时，
两车同时出发相向而行，需要多长时间相遇？
7．甲乙两车分别从相距540千米的A、B两城同时出发，相向
而行，甲车每小时
行30千米，乙车的速度是甲车的2倍，两车出发
后多少小时相遇？
8. A、B
两城相距2590千米，两架飞机同时从两城起飞，相对
开出，经过两小时相遇。从A城起飞的飞机每小
时飞行645千米，
从B城出发的飞机每小时飞行多少千米？
9. 东西两个车站相距900
米，方方和玲玲从两站同时出发相向
而行，6分钟相遇。方方每分钟走78米，玲玲每分钟走多少米？
10．甲乙两车同时从相距480千米的两地相对开出，甲车每小
时行4
5千米，5小时后两车相遇，乙车每小时行多少千米？
11．王师傅和徒弟共同
加工384个零件，3小时加工完，已知王
师傅每小时加工80个零件，比徒弟每小时多加工多少个？
66
12. 两地相距1120千米，两列火车相向
而行。第一辆火车每小
时行60千米，开出后2小时，第二辆火车才以每小时40千米的速
度开
出，再过几小时后两车相遇。
13．A、B两地相距680千米，甲车从A地开
往B地每小时行
60千米，2小时后乙车从B地开往A地，每小时行80千米，乙车
开出几小时
后两车相遇？
14．甲乙两地相距340千米，一辆客车从甲地开往乙地，每小
时行42千米，行了100千米。这时一辆货车从乙地开往甲地，每小
时行38千米，货车开出
几小时后与客车相遇？
15．甲乙二人同时从相距38千米的两地相向行走，甲
每小时行
3千米，乙每小时行5千米，几小时后两人相距6千米？
第十一讲 周期问题
知识要点与学法指导：
在日常生活中，
有一些现象按照一定的规律不断重复出现，例
如，人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡
、狗、
67
猪都是按顺序重复出现的；每周有七天，从星期一开始，到星期
日
结束，总是以七天为一个循环不断重复出现的。我们把这种特殊的
规律性问题称为周期问题。
解答周期问题的关键是找规律，找出周期。确定周期后，用总
量除以周期，如果正好有个整数周
期，结果为周期里的最后一个；
如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是
从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续
算。
例1
有一列数，5、6、2、4、5、6、2、4……①第129个数
是多少?②
这129个数相加的和是多少?
【分析与解】
①从排列可以看出，这组数是按5、6、2、
4一个循环依次不断
重复出现排列，那么一个循环就是4个数，由129÷4＝32……1可
知
有32个（5、6、2、4）还剩一个数。所以第129个数是5
②每个循环各数之和是5＋6＋2＋
4＝17。所以，这129个数相
加应是17×32＋5＝549。
（1）129÷4＝32……1，第129个数是5。
（2）（5＋6＋4＋2）×32＋5＝549，这129个数之和是549。
试一试1
有一列数是1，4，2，5，8，7，1，4，2，5，8，7……这样的
规律排列的。（1
）求出第78个数是多少？（2）前61个数相加的和
68
是多少？
例2
2003年1月1日是星期三，（1）该月的22号是星期几？
（2）200
3年4月5日是星期几？（3）2008年1月1日是星期几？
【分析与解】
（1）
一星期7天，为一个周期。这类题在计算天数时，可采用
“算头不算尾”或“算尾不算头”的方法。（2
2－1）÷7＝3没有余
数，该月22号仍为星期三。
（2）首先要能正确算出天数，要考虑平年或闰年的二月份天数。
31－1＋28＋31＋5＝94（天）
94÷7＝13（周）……3（天）
从周三往后数3天，4月5日是星期六。
（3）2003年、2005年、2006年、20
07年是平年，2004年是闰
年，从2003年1月1日到2008年1月1日共1826天，182
6÷7＝
260（周）……6（天）
从周三开始往后数6天，2008年1月1日是星期二。
再介绍另
一种思考方法：365÷7＝52（周）……1（天）
366÷7＝52（周）……
2（天）。从2003年1月1日到2008年1
月1日要经过4个365天，1个366天就会余下4
个1天、1个2天，
合起来共6天。所以从周三往后数6天，也是星期二。想一想为什
么？
答：该月22号是星期三，4月5日是星期六，2008年1月1日
是星期二。
试一试2
2008年的1月1日是星期二，2008年的6月1日是星期几？2008
年的8月8日是星期几？
例3
假设所有的自然数排列起来，如下所示，39应该排在哪
个字母下面？88应该排在哪个字母下面？
69
A B C
D
1 2 3 4
5 6 7
8
… … … …
【分析与解】
从排列情况可以知道，这
些自然数是按从小到大4个数一个循
环，我们可以根据这些数除以4所得的余数来分析、判断。
39 ÷4＝9……3 88÷4＝22
所以，39应排在第10个循环的第3
个字母C下面，88应排在
第22个循环的第4个字母D下面。
试一试3
把自然数按如下的方式排列。
1 2 5 10 17 ……
4 3 6 11 18 ……
9 8
7 12 19 ……
16 15 14 13 20
……
25 24 23 22 21 ……
… …
… … …
问第10行第10列的那个数是多少？
[提示] 根据观察，可
以得到这样的规律，第10行第1列的数是
10×10＝100，且第10行前10个数逐次减少1，即
100，99，98……。
用100－9＝91，所以第10行第10列的那个数是91。
例4
用1、2、3、4这四张卡片可以组成不同的四位数，如把
它们从小到大依次
排列出来，第1个是1234，第二个是1243，第15
个是多少？
【分析与解】
一共可以组成24个不同四位数，每个数字在千位上都出现6次，
以6次为一周期。
15÷6＝2……3
70
应是第3个周期中的第三个数，千位上是3的数有3124 3142
3214等数，所以第15个数是3214。
试一试4
用5，6，7，0这四张
卡片可以组成多少个不同的四位数？如果
把它们从小到大依次排列出来，第12个是多少？
[提示] 0不能出现在千位上。
练习十一
1.
有一列数，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7……
①第58
②这58个数相加的和是多少？
2.
小青把积存下来的硬币按先四个1分，再三个2分，最后两
个5分这样的顺序一直往下排。
①他排到第111个是几分硬币？
②这111个硬币和起来是多少元钱。
3. 河
岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃、再后面两棵是水蜜
桃，再后面三棵是大青桃。接下去总是一棵是
蟠桃、2棵是水蜜桃，
3棵大青桃这样种下去。问第100棵是什么桃树？三种树各有多少
棵？
4．有一排彩灯，从第一盏开始，按照2盏红灯，1盏绿灯，1
盏黄灯这样的规律串起来，第5
9盏灯是什么颜色？第2009盏呢？
5. 2003年3月19日是星期三，8月1日是星期几？
6. 1996年8月1日是星期四，1997年的元旦是星期几？
7.
1989年12月5日是期二，那么再过10年的12月5日是星期
几？
8．鼠、牛、虎、
兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这几种
动物依次代表各年的年号，公元2009年是牛年，公元2
058年是什
么年？
9.
假设所有自然数排列起来，如下图所示，36、43、78、2000
71
应分别排在哪个字母下面？
A B C D
1 2 3 4
8 7 6 5
9 10 11 12
16 15 14
13
17 18 ……
10．把1到500的自然数分成A、B、C三组：
A B C
1 2
3
4 5 6
7 8 9
… … …
根据分组的规律回答：
（1）A组中一共有多少个自然数？
（2）B组中第15个数是多少？ （3）100排在哪一组的下面？
11．200个同学按下列方法编号排成五列：
一 二 三 四 五
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11
12 13
17 16 15 14
… … … …
… … … …
最后一个同学应该在第几例？
12.
用2、3、4、5四个数字组成不同的四位数，把它们从小到
大排列，第16个是多少？
13
．用1、2、4、7四个数字组成不同的四位数，把它们从大到
小排列，第20个数是多少？
14．用1—5这个五个不同数字可以组成120个不同的五位数，
72
把它们从小到大排列，第25个数是多少？
第十二讲
乘除法巧算
知识要点与学法指导：
对于一些较复杂的计算题，我们要善于从整
体上把握特征，用
凑数法和分解等方法进行的乘除的巧算。通过对已知数适当的分解
和变形，找
出数据及算式间的联系，灵活的运用相关的运算定律和
性质，从而使复杂的计算过程简化。
例1
计算333×334＋999×222
【分析与解】
表面上，这
题不能用乘除法的运算定律、性质进行简便计算，
但只要对数据作适当变形即可简算。
333×334＋999×222
＝333×334＋333×(3×222)
＝333×(334＋666)
＝333000
试一试1
计算：999×778＋333×666
例2
不用笔算，请你指出下面哪个得数大。
163×167
164×166
【分析与解】
73
仔细观察可以发现，第二个
算式中的两个因数分别与第一个算
式中的两个因数相差1，根据这个特点，可以把题中的数据作适当的<
br>变形，再利用乘法分配律，然后再进行比较就方便了。
因为 163×167
164×166
＝163×(166＋1) ＝(163＋1)
×166
＝163×166＋163 ＝163×166＋166
所以，163×167＜164×166。
另外，当两个数的和都为330时，这两个数的差
越小，则积越
大。163和167差4，164和166差2。所以，163×167＜164×166
。
试一试2
不计算，比较下面哪个得数大。
593×597
594×596
例3
A、B都是自然数，且A＋B＝10，那么A×B的积可能是
多少?其中最大的值是多少?
【分析与解】
由条件“A、B都是自然数，且A＋B＝10”，可知A的取值范围
是
0至10，对应B的取值范围是10至0。不妨将符合题意的情形一
一列举出来。
0×10＝0 l×9＝9 2×8＝16
3×7＝2l 4×6＝24
5×5＝25
A×B的积可能是O、9、16、2l、24、25。当A＝B＝5时，A
B的积的最大值是25。
从例2、例3中可以发现，当两个数的和一定时，两个数的差越
小，积越大。
试一试3
用一条16厘米长的绳子，围成一个长和宽是整厘米数的长方形，
可以围
成几个不同的长方形？什么情况下长方形的面积最大？
例4
巧算下列各题：
74
(1)625÷25
(2)58500÷900
(3)9÷13＋13÷9＋11÷13＋14÷9＋6÷13
【分析与解】
解：(1)原式＝(625×4)÷(25×4)
＝2500÷100
＝25
(2)原式＝(58500÷100)÷(900÷100)
＝585÷9
＝65
(3)原式＝（9＋11＋6）÷13＋（13＋14）÷9
＝26÷13＋27÷9
＝2＋3
＝5
通过观察可得到在5个除法算式中，除数是13的有3个，除数
是9的有2个，可以分别相除。
试一试4
巧算下面各题：
（1）24000÷125
（3）5÷7＋5÷9＋9÷7＋13÷9
（2）51000÷1700
例5
巧算下列各题：
(1)75000÷125÷15
(2)7800÷25÷4
(3)4800000÷125÷25÷32
解：(1)原式 ＝75000÷15÷125
＝5000÷125
＝40
(2)原式
＝7800÷(25×4)
＝7800÷100
＝78
(3)原式 ＝4800000÷（125×25×32）
75
＝4800000÷（125×8×25×4）
＝4800000÷100000
＝48
试一试5
巧算下面各题：
（1）1200000÷25÷4
（2）81000÷45÷900
（3）50000÷125÷8÷5÷2
在乘除法混合运算中，有这样的性质：
两个数的积除以第三个数，等于用任意一个乘数除以第三个数，
再与另一个乘数相乘，即
a×b÷c＝a÷c×b
＝a×(b÷c)；
一个数除以两个数的积，等于这个数连续除以另两个数，即
a÷(b×c)＝a÷b÷c；
两个数的商乘第三个数，等于被除数除以另两个数的商，即
a÷b×c＝a÷(b÷c)。
根据以上性质，在乘、除法混合运算中，可以根据需要添、去
括号使运算简便。
练习十二
一、简便计算。
（1）9999×2222＋3333×3334
（2）66×22＋44×67
（3）99×22＋33×34
（4）2666×222－444×333
76
（5）6666×2222＋4444×6667
二、不用笔算，比较下面每道题中两个积的大小。
1． (1) 242×248
243×247
(2) A＝98765432l×123456789
B＝987654322×123456788
(3) 357×125
356×126
(4) 234×192 236×190
2．(1)
甲、乙两数都是自然数，且甲＋乙＝32，那么，甲×乙
积的最大值是多少?
(2)
A和B两个自然数的积是24，当A和B各等于多少时，
它们的和最小?
三、计算。
(1)8353×363－8354×362
(2)1÷6＋2÷6＋3÷6＋4÷6＋5÷6＋6÷6＋7÷6＋8÷6
(3)875000÷（1000÷8）
(4)666×666÷999
(5)58500÷25÷4
(6)125÷25
(7)781000÷8÷125
(8)11700÷300
四、巧算下列各题：
(1)56000÷(14000÷16)
(2)45000÷(25×90)
(3)37500÷4÷25
五、计算下列各题
(1)500÷(25÷4)
77
(2)1000÷4÷125
(3)9999×7＋1111×37
(4)12÷5＋9÷5－6÷5
(5)1÷2＋3÷2＋5÷2＋7÷2
(6)13÷2＋8÷5＋15÷2＋7÷5
第十三讲
用等量代换法解应用题
知识要点与学法指导：
1.
能在对照比较中，运用等量代换的方法解决问题。
2. 提高学生分析推理的能力。
在日常
生活中，经常遇到几个量和一个量相等，或者是几个量
和几个量相等的情况。在比较时，相等量可以互相
代换，善于代换
相等的量可以帮助我们更灵活的转化数量之间的关系，从而提高解
决问题的能力
。同学们，让我们一起来试试吧。
(1)
○＝△＋△＋△ (2)
求： △＝? ○＝?
【分析与解】
观察第(2)个算式，看出1个○可以用3个△代替，所以第(1)个
78
例1
已知：△＋○＝24
算式可以写成：
△＋3个△＝24
即△＋△＋△＋△＝24
每个△是24÷4＝6
又因为△＋○＝24
所以每个○是24－6＝18
答：△等于6，○等于18。
试一试1
已知：△＝□□□
○＝△△
求： ○＝（ ）□
例2
用一个杯子向空瓶里倒水，如果倒进3杯
水，连瓶共重
440克；如果倒进5杯水，连瓶共重600克。那么，一杯水与一个空
瓶共重多
少克?
【分析与解】
把题目中的两个条件列举一下,
3杯水＋瓶子＝440克
(1)
5杯水＋瓶子＝600克 (2)
比较这两个条件中，都有1个瓶子的质量，说明
600克比440
克多的是(5－3)杯水的质量，所以由(2)式一(1)式，得
2杯水＝160克
1杯水＝80克
这时可以求出瓶子的质量：
440－3×80＝200(克)或600－5×80＝200(克)
所以一杯水与一个空瓶共重200＋80＝280(克)
`答：一杯水与一个空瓶共重280克。
试一试2
一只油桶里有一些油，如果把
油加到原来的2倍，油桶连油重
38千克；如果把油加到原来的4倍，这时油和桶共重46千克。原来<
br> 79
桶里有油多少千克？
例3
有5盒茶叶
，如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下
的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等，原来每盒茶叶有多
少克？
【分析与解】
把题中的条件列举一下。
剩下的茶叶：5盒茶叶重量－200×5＝4盒茶叶的重量
4盒茶叶重量＋200×5＝5盒茶叶的重量
从而可以推出：200×5克等于1盒茶叶的重量。
200×5÷（5－4）＝1000（克）
答：原来每盒有茶叶1000克。
试一试3
有6筐梨子，每筐装的梨子个数相等，如果从每筐拿出40个，
6筐梨子
剩下的总数正好和原来两筐梨子的个数相等，原来每筐有梨
多少个？
例4
有四个整数，三个三个求和分别得到217、206、185和
196。求这四个整数是多少?
【分析与解】
为了研究方便，我们用A、B、C、D来代表要求的四个整数。
根据条件有
A＋B＋C ＝ 217 (1)
B＋C＋D ＝
206 (2)
A ＋C＋D ＝ 185 (3)
A＋B
＋D ＝ 196 (4)
把(1)式、(2)式、(3)式和(4)式相加后整理，有
A×3＋B× 3＋C×3＋D
×3＝804
(A＋B＋C＋D)×3＝804
A＋B＋C＋D ＝268 (5)
用(5)式与(1)式比较，有D＝268－217＝5l
80
用(5)式与(2)式比较，有A＝268－206＝62
用(5)式与(3)式比较，有B＝268－185＝83
用(5)式与(4)式比较，有C＝268－196＝72
答：这四个整数分别是51、62、83、72。
试一试4
有四个整数，三个三个求和分别得到78、81、80、79，求这四
个整数分别是多少？
练习十三
1. ○○△△△＝○○○○△△
1个○＝30克 1个△＝( )克
2. 1只大象可以换4头牛。
1头牛可以换3匹马。
l匹马可以换4头猪。
l头猪可以换5只兔。
1只大象可以换几只兔?
3. 有三堆水果，每堆水果同样重。
第一堆：1个西瓜、1个菠萝、5个苹果；
第二堆：3个菠萝、11个苹果；
第三堆：1个西瓜、8个苹果；
每个苹果150克，每个西瓜多少克?
4.
一桶油，连桶重180千克，用去一半油后，连桶还有100千
克，问油和桶各重多少千克？
81
5.
一筐梨，连筐重38千克，吃了一半后，连筐还重20千克，
问：梨和筐各重多少千克？
6. 一筐苹果，连筐共重35千克，先拿一半送给幼儿园的小朋友，
再拿剩下的
一半送给一年级小朋友，这时余下的苹果连筐重11千克，
这筐苹果重多少千克？
7.一个水桶里有一些水，如果把水增加到原来的5倍，这时水和
桶共重57千克；如果把水增
加到原来的7倍，这时水和桶共重79
千克。原来的桶里有水多少千克？
8．四年
级有六个班，每班人数相等。从每班选16人参加植树
活动，剩下的同学相当于原来4个班的人数，原来
每班多少人？
9. 在5个箱子里放着同样多的桔子，如果从每个箱子中拿出
60
个桔子，那么5个箱子中剩下的桔子个数总和等于原来两个箱子中
桔子个数的和，原来每个
箱子中有多少个桔子？
10. 有5箱饼干，如果从每个箱子里取出20千克
，那么5个箱
子里剩下的饼干正好是原来3箱饼干的重量，原来每个箱子里装多
少千克饼干？
11. 已知A－B＝48 A－C＝42 B＋C＝44
求A、B、C各是多少?
82
12. 有3个箱子，
每两个箱子合称一次，称得的重量分别是63
千克、65千克、66千克。那么最重的箱子比最轻的箱子
重多少千克?
13. 有甲、乙、丙、丁四个数。甲乙和为686，乙丙和为3
97，
甲丙和为715，乙丁和为400。求这四个数分别是多少?
1
4．某厂有甲、乙、丙、丁四个车间。已知甲、乙、丙三车间
共有113名工人，乙、丙、丁三车间共有
117名工人，甲、丙、丁
三车间共有115名工人，甲、乙、丁三车间共有120名工人，求每
个车间各有多少名工人？
第十四讲 添运算符号
知识要点与学法指导：
根据问题中一定的数字和特定要求，添上各种运算符号和括号，
以保证等式成立，这种练习与四则运算的思维方式正好相反，对计
算能力及逆向思维的培养是大有裨益的。
解这类问题，没有一定的法则，因此要进行试添，当然，也不
能盲目试添，必须有一定的分析推理，有的还要进行分段试添。试
添可以从前往后顺推，也可以从后往前逆推，使问题逐步由繁变简，
83
由难变易。
例1
把“＋、－、×、÷”分别
填入下面的圆圈中，（每种运
算符号只能用一次）并在方框中填入适当的数，使下列算式等号两
边相等。
36○0○15＝15 21○3○5＝□
【分析与解】
先从第一个等式入手，等式右边是15，与等式左边的最后一个
数相同，因为0＋15＝15，所以只要
36与0之间添上一个运算符号
后，所得算式计算结果为0即可。
显然，36和0之间应填“
＋、－、×、÷”中的“×”，才得出
36×0＝0，后面的圆圈内应填“＋”，就可以得出0＋15＝
15。第二
个等式中只能选“－、÷”来填，3不能被5整除，所以除号只能填
在21和3之间
。
即：36×0＋15＝15 21÷3－5＝2
试一试1
把“＋、－、×、÷”填在适当的圆圈内，（每种运算符号只能
用一次）使下面的算式等号两边相等。
（1）9○13○7＝100 14○2○5＝□
（2）17○6○2＝100 5○14○7＝□
例2
在下面五个5之间，添上适当的运算符号＋、－、×、
÷和( )，使得下面等式成立：
5 5 5 5 5＝10 ①
84
【分析与解】
本问题我们
可以通过硬凑来做，不过这样会感到非常吃力，对
成功没有把握，即使偶然成功，以后见到类似的问题也
只能是似曾
相识而无章可循。因此探讨它的一般方法是非常有必要的。
我们从①式的后面逐步向前考虑，最后一个5的前面如果添运
算符号的话，只可能是＋、－、×、÷四种之一。
如果添的是“＋”号，则①式变成下面形式：
5 5 5 5＋5＝10
②
这样只要②式中的前面四个数通过添加运算符号得到5就可以
了，也就是
5 5
5 5＝5 ③
再重复上面的想法，如果③式左边最后一个5前面又添上“
＋”
号，那么③式就变成下面的形式：
5 5 5＋5＝5 ④
要使④式成立，只须让④式中的前面三个5通过添适当的运算
符号让结果为0便可以了，也就是
5 5 5＝0 ⑤
我们知道0与任何的乘积都为0，因此⑤的填法可有三种
(5－5) ×5＝0
(5－5)÷5＝O
5×(5－5)＝O
这样我们就已找到了三种添法。
如果③式左边最后一个5前面添的是“－”号，也就是
5 5 5－5＝5
这就要求前面三个5之间添上适当的符号。使
5 5 5＝10
⑥
经过验算，不管怎样添，⑥式都不可能成立，因此③式最后一
个5前面添“－”号，找不到
合适的添法。
以上我们分析的是①式最后一个5数前面添“＋”号的情况，
85
有下面三种添法：
(5－5)×5＋5＋5＝10
(5－5)÷5＋5＋5＝10
5×(5－5)＋5＋5＝10
如果①式最后一个5前面是减号、乘号或除号，可采用上面的
方法同样的分析。
解：(5－5)×5＋5＋5＝10
(5－5)÷5＋5＋5＝10
5×(5－5)＋5＋5＝10
(5×5＋5×5)÷5＝10
(5÷5＋5÷5)×5＝10
上面的分
析方法是从最后面一个数字开始，然后逐步向前推想，
这种方法称为逆推，当题目中给定的数字不多，且
结果数字不大，
用这种方法非常奏效。
试一试2
在○里填上适当的运算符号，使等号两边相等。
3○3○3○3＝1 3○3○3○3＝7
3○3○3○3＝2
3○3○3○3＝8
3○3○3○3＝3 3○3○3○3＝9
例3
在下面等式的合适的地方，添上适当的运算符号＋、－、
×、÷和(
)，使得等式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 9＝1 ①
【分析与解】
86
我们不妨先采用逆推试试：在①式前面可以添
上“－’’或“÷”
号(若添“×”或“＋”行不行，为什么?)
如果先添“－”号，则①式变为：
1 2 3 4 5
6 7 8－9＝1
因为10－9＝1，所以只须让
1 2
3 4 5 6 7 8＝10
便可以了。
其实很容易得到：
1＋2＋3＋4＋5－6－7＋8＝10
如果添“÷”，则①式变为：
1 2 3 4 5 6 7 8÷9＝1
因为9÷9＝1，所以只须让
1 2 3 4 5 6 7 8＝9
便可以了。
也容易得到
1×2＋3＋4＋5－6－7＋8＝9
另外，我们也可以试试逐步调整法，先找到一个比较接近的数，
如：
1×23－4×5＝3
现只须把6，7，8，9凑成2即可。
9－8＋7－6＝2
这样又找到一个答案
1×23－4×5＋6－7＋8－9＝1
解：符合题目要求的一些答案有：
1＋2＋3＋4＋5－6－7＋8－9＝1
(1×2＋3＋4＋5－6－7＋8)÷9＝1
l×23－4×5＋6－7＋8－9＝1
1＋23－(4＋5＋6＋7)＋8－9＝1
(1＋2)÷3×45÷(6＋7－8)÷9＝1
(1×2＋3＋4－5＋6＋7)÷(8＋9)＝1
87
从上面三个例子
可以看出，考虑这类问题时，可以从头开始采
用逐步调整法，但这种方法需要非常强的观察能力和技巧；
也可以
从后面往前推，采用逆推法，不过这种方法也有遗憾之处，就是分
析头绪过多，计算量过大，但还是不失为解决问题的一种好方法。
除了给出的几个答案以外，还有其他许多答案：
1＋2＋3＋4－5＋6＋7－8－9＝1
(1×2＋3＋4－5＋6＋7－8)÷9＝1
……
试一试3
加上适当的运算符号和括号，使等号的两边相等。
1 2 3 4 5＝100
例4
在下面式子中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。
9
8 7 6 5 4 3 2 1＝21
【分析与解】
这道题也要从头开始采用逐步调整法。
9＋8＋7－6＋5－4＋3－2＋1＝21
答案不是唯一的。
还可以用：9＋8－7＋6＋5＋4－3－2＋1＝21
你还能得出其它不同的答案吗？
试一试4
在下面算式中适当的地方添“＋”“－”号，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2
1＝23
练习十四
1．在下面圆圈中适当的填上
“＋”“－”“×”“÷”等运算符
号（每个运算符号只能用一次），使算式成立。
（1）16○12○7＝100
88
（2）20○63○9＝13
（3）15○5○25＝100
（4）99○90○10＝90
（5）85○5○83＝100
（6）100○2○2＝96
2. 从＋、－、×、÷、(
)中，选出合适的符号，添入下列算
式合适的地方，使结果等于已知数。
(1)9 9 9 9 9＝17
(2)2 2 2 2 2＝3
(3)5 5 5 5＝1
(4)4 4 4 4＝2
(5)3
3 3 3 3 3＝1
(6)6 6 6 6 6 6＝5
3．在下面各题中添上＋、－、×、÷、( )，使等式成立。
（1）1 2 3
4 5＝10
（2）3 4 5 6 8＝8
（3）4 1
2 5＝10
4. 只添一些加号或减号，使下面算式成立。
(1)1
2 3 4 5 6 7 8 9＝15
(2)9 8 7 6 5 4
3 2 1＝21
(3)1 2 3 4 5 6 7 8＝1
(4)1 2 3 4 5 6 7 8＝14
(5)9 8 7 6
5 4 3 2 1＝104
5.
把一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使等
号两边相等（数的顺序不能改变）。
1 2 3 4 5 6 7 8 9＝100
6. 在下面算式中加上括号，使它们都成立：
(1)
7×9＋12÷3－2＝75
89
(2)
7×9＋12÷3－2＝47
(3)88＋33－11÷11×2＝5
7．添上适当的运算符号和括号使式子成立。
（1）5 5 5 5＝3
（2）3 3 3 3 3 3＝3
（3）2 2 2
2＝5
（4）8 8 8 8 8＝5
第十五讲 鸡兔同笼问题
知识要点与学法指导：
在我国古代的数学著作《孙子算经》里，有一道著名的趣题：
今有雉(zh，野鸡)兔同笼，上
有三十五头，下有九十四足，问雉兔各ì
90
几何?
这是一道“鸡兔同笼”问题，解决这类问题通常用假设法。
假设法是解答应用题时经常用
到的一种方法。所谓“假设法”就是
依据题目中的已知条件或结论作出某种设想，然后按照已知条件进<
br>行推算，根据数量上出现的矛盾，再适当调整，从而找到正确答案。
其一般关系式可表示为：
结果差÷产生不同结果的原因差＝与假设相反的量
例1
笼中装有25只鸡，75只兔。
（1）他们共有多少只脚？
（2）如果笼中全都是鸡，共有多少只脚？比鸡兔同笼时少了几
只脚？
（3）如果笼中全都是兔，共有多少只脚，比鸡兔同笼时多了多
少只脚？
【分析与解】
很显然，题中要求的几个问题都比较好解决，这也是鸡兔同笼
问题的基
本数量关系，弄清楚了这些基本数量关系，在解鸡兔同笼
的问题时，就容易了。
(1)25×2＋75×4＝350（只）……共有脚的只数。
(2)（25＋75）×2＝200（只）……若全都是鸡时脚的只数。
350－200＝150（只）……比共有只数少的只数。
(3)（25＋75）×4＝400（只）……若全是兔时脚的只数。
400－350＝50（只）……比共有只数多的只数。
91
答：它们共
有350只脚；如果全是鸡时只有200只脚，比鸡兔
同笼时少了150只脚；如果笼中全是兔时，就有
400只脚，比鸡兔
同笼时多了50只脚。
试一试1
笼中装有鸡59只，兔29只。
（1）它们共有多少只脚？
（2）如果笼中全部是鸡或者全部是兔时，它们各有多少只脚？
例2
鸡兔同在一个笼子中，共有100个头，350只足，鸡兔各
多少只?
【分析与解】
(1)假设全为兔，则应有4×100=400只脚，比题中给的条件多
了400－350=50只足
，把一只兔换成一只鸡，可减少4－2=2只脚，
要减少5O只脚，要换成50÷2=25只鸡，有兔1
00－25=75只。
解： (4×100－350)÷(4－2)
=(400－350) ÷2
=150÷2
=25(只)……鸡
100－25=75(只)……兔
(2)假设全为鸡
，则有脚2×100=200只，比题中给的条件少了
350－200=150只脚，以鸡换兔，一只鸡
换一只兔可增加4－2=2只脚，
需要150÷2=75只鸡换成兔才能增加150只脚。
(350－2×100) ÷(4－2)
=(350－200) ÷2
=150÷2
=75(只)……兔
100－75=25(只)……鸡
答：有兔75只，有鸡25只。
注意：在解答这类问题时，关键是要把一只鸡假设成兔就多算
了4－2＝2（只）脚；或者把一只兔假设成鸡，就少算了4－2＝2（只）
92
脚。
试一试2
一笼中装有鸡和兔，数数头有88个，脚有230只，鸡兔各有多
少只？（可以假设笼中全部是兔）
例3
买来4角和8角的邮票共100张，总值68元，买的4角邮
票和8角邮票各有多少张？
【分析与解】
这也是一道类似鸡兔同笼的应用题。解题思路和鸡兔同笼的思
路是一样的。
假设100张全是
4角的邮票，总值就是4×100＝400（角），比
实际的少68×10－400＝280（角），为
什么少了280角呢？就是把8
角的当成4角的了，所以每张就减少了8－4＝4（角），看280角中
有多少个8－4＝4（角）就是多少张8角邮票，从而得出：
（68×10－4×100）÷（8－4）
＝280÷4
＝70（张）……8角邮票
100－70＝30（张）……4角邮票
答：4角的邮票有30张，8角的邮票有70张。
试一试3
在例3中，按假设100张邮
票全是8角的思路，求出两种邮票
各有多少张？并跟同位的同学互相说一说你的解题思路。
例4
一次数学竞赛中，试题共有10道，每做对一道得8分，
每做错一道倒扣5分。张华最后得了41分，他做对了多少道题？
【分析与解】
这种类
型的题目，是鸡兔同笼类题目的拓展题。思路与鸡兔同
笼的相同；但关键是要清楚解答错的或不答时倒扣
分的情况，题中
告诉我们每做错一道倒扣5分，其实是做错1道题，不仅没有了那8
分，还要倒
扣5分，即做错1道题少得8＋5＝13（分），这个问题解
93
决了，下面的解答就容易了。
假设张华做对10题，那么他应得8×10＝
80（分），而实际他只
得了41分，就少得了80－41＝39（分），为什么少得分呢？就是错题了，39分中有几个13分，就错了几题。
（8×10－41）÷（8＋5）
＝39÷13
＝3（道）……错的题数
10－3＝7（道）……对的题数
答：他对了7道题。
试一试4
一张试卷25题，答对一题得4分，答错一题或不答题倒扣1分。
小红得了60分，她答对了多少题？
[提示] 要先清楚答错或不答时一题少得多少分，再按鸡兔同笼
的思路去做。
练习十五
1．试用今天学的方法，解答本讲提出的《孙子算经》里的一道
趣
题：现在有一笼鸡和兔，数头有35个，数脚有94只，鸡和兔各
有多少只？
2.
鸡兔共l00只，共有脚276只，鸡兔各有多少只?
3.
王芳有2分、5分的硬币共40枚，一共是1元2角5分，两
种硬币各有多少枚?
4. 王老师带了51名同学去公园划船，共租了11条船，每条大
船坐6人，每条小船坐4人
。请你算一算，他们租了大船、小船各
几条?
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5. 某次
知识竞赛共20道题，每答对一题得8分，答错或不答
要倒扣3分。某选手在这次比赛中共得116分，
那么他答错几道题?
6. 学校买来100张电影票，一共用去220元，票价有2元和2
.5
元两种。问2元的有多少张？2.5元的有多少张？
7. 山鸡和野兔同在一
笼，共有眼睛60只，脚100只，山鸡和
野兔各有多少只？（提示：无论山鸡和野兔，它们的眼睛都是
2只，
山鸡和野兔的只数要比眼睛数少一只）
8.
动物园内有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有30只眼睛和44只
脚，鸵鸟和长颈鹿各有多少只？
9. 一个停车场共停了24辆车，其中有三轮车，也有四轮车，
这些车共有86个轮子，三轮
车和四轮车各有多少辆？
10．一个饲养小组，养了鸡和兔共40只，已知鸡、兔足数共110
只，鸡、兔各多少只？
11．某校组织数学竞赛共有20道题，规定答对一题得5分，答
错或不答要倒扣3分。小明在
这次竞赛中共得60分，他答对了几道
题？
12．有5元和10元的人民币共38张，共290元，5元和10元
的人民币各有多少张？
13．现有大小的油桶共50个，共装油140千克，每个大桶可装
油4千克，每个小桶可装油
2千克，问大小桶各有多少个？
14．小明用1元钱买了4分和8分的两种邮票共20张，那么他
两种邮票各买了多少张？ <
br>15．工人运送一批瓷器共250个，规定完整运一个到目的地给
运费20元，损坏一个要倒赔1
00元。运完这批瓷器后，工人共得运
费4400元，问损坏了多少个瓷器？
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第十六讲 用消去法解应用题
知识要点与学法指导：
1. 掌握消去问题的解法，体会消去法的思想，能够解决简单的
消去问题。
2.
培养学生观察、比较和灵活运用已有知识的能力。
3.
使学生体会到数学知识间的逻辑性，感受逻辑美。
有的应用题由两种数量关系组成，包含这两个要求的数，解答
这类应用题，必须想方设法消去一个要求数，然后再求出被消去的
要求数。根据解法的不同，消去法大致可以分为加减消去法，比较
消去法和代入消去法。下面就让我们一起来学习这种巧妙的方法吧!
例1
小明去买水果，如果买4千克苹果，6千克梨，就要付
62元；如果买4千克苹果，9千克梨
，就要付77元，请你算一算，
苹果和梨每千克各多少元?
【分析与解】
通过题目
中情景的描述我们可以发现，购买的方法共两种：一
种是“4千克苹果，6千克梨，要付62元”，另一
种是“4千克苹果，
9千克梨，要付77元”。
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由于题目中
出现的是两个未知量，因此，要想解决题目中的问
题，我们就需要消去一个量。通过比较我们发现在两种
购买方法中，
苹果购买的总数是相同的，也就是说购买苹果的金额都是相等的，
总金额的差也就
是购买梨的金额的差。所以77－62＝15(元)，是9
－6＝3(千克)梨的价格，所以每千克梨的
价格是15÷3＝5(元)。那
么苹果的价格是(62－6×5)÷4＝8(元)。
答：苹果每千克8元，梨每千克5元。
试一试1
小明买2枝铅笔，3本作业本用
去了8元钱，小虎买了同样的铅
笔1枝，作业本3本用去了7元钱。铅笔、作业本的单价是多少元？
例2
开学时，学校第一次买来8张课桌和5把椅子，共付330
元；第二次又买来4张课桌和20把椅子，共付480元。问每张课
桌和每把椅子各多少元?
【分析与解】
同学们，通过题目中情景的描述我们同样不难发现，购买方法
共有两种
，但却存在着不同的情况：
“第一次买来8张课桌和5把椅子，共付330元”；
“第二次买来4张课桌和20把椅子，共付480元”。
通过对两种情况的比较，我们很容易
发现两种情况中都存在着
两个不同的未知量——课桌和椅子。而且课桌的数量第一次是第二
次的
两倍。
8张课桌 5把椅子 共付330元
4张课桌 20把椅子
共付480元
现在我们都能想到，要想解题就需要消去两个未知量中的一个，
可是怎样才能消
去一个未知量呢?这需要将条件进行转化，即将第二
组条件中的每个量同时扩大2倍，那么总量(钱数)
也就会扩大两倍。
因此可以将条件转化为：
8张课桌 5把椅子
共付330元
4×2张课桌 20×2把椅子 共付480×2元
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(即8张课桌 40把椅子 共付960元)
这时再比较，我们
就可以清楚的发现买课桌的数量同样多，椅
子从5把增加到40把，总价也由330元增加到960元，
这样就可以
求出：
一把椅子的价钱：(480×2－330)÷(20×2－5)＝18(元)
一张课桌的价钱：(330－18×5)÷8＝30(元)
答：每张课桌30元，每把椅子18元。
当然这种方法只是众多解法中的一种，它消去的是课
桌的价钱，
那么消去椅子的价钱能做吗?聪明的同学们，请你自己试一试。
试一试2
学校买了4个足球，5个篮球共花了230元钱，第二次买了同样
的足球2个，篮球3个共花
了130元钱，每个足球和每个篮球各多
少元？
例3
李明买了3千克
苹果、5千克梨，共花19元，王超买了
5千克苹果、3千克梨，共花21元，求苹果和梨每千克各多少
元?
【分析与解】
这道例题和前面的例题非常相似，只不过在数据上出现了问题，
我们不能通过将其中一种购买方案扩大倍数从而产生相同的量，那
么这种情况我们应该怎样解决呢? <
br>聪明的同学们，想想看，你有什么方法吗?是的，既然变一个不
行，那我们可以两个都变吗?具体
变化过程如下：
3千克苹果、5千克梨，共花19元
3×5千克苹果、5×5千克梨，共花19×5元即：
15千克苹果、25千克梨，共花95元……(1)
5千克苹果、3千克梨，共花2l元
5×3千克苹果、3×3千克梨，共花2l×3元即：
15千克苹果、9千克梨，共花63元……(2)
(1)－(2)得：16千克梨，花32元
所以每千克梨为32÷16＝2(元)
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每千克苹果为(19－5×2)÷3＝3(元)
答：苹果每千克3元，梨每千克2元。
试一试3
买3本故事书和4本连环画共花
了25元钱，买同样的故事书5
本和连环画6本用了39元钱，一本故事书和一本连环画各是多少元钱？
通过以上三道例题，同学们，关于消去问题的思路你清楚了吗?
是的，当我们在解多
种未知量的题目时，消去相同的未知量，使未
知量的个数减少，最终只剩下一个未知量，题目就可以轻易
的进行
解答了。当然并不是所有的消去问题的解法都是一成不变的，要具
体问题，具体分析。下
面我们将看几个比较特殊的消去问题。
例4
买一枝自动铅
笔和2本练习本用l元l角，如果买一本
练习本2枝自动铅笔要用1元3角，问每枝自动铅笔和每本练习
本
各多少角?
【分析与解】
通过题目我们同样清楚地发现，题目中一共提
出了两种购物情
况：一是“一枝自动铅笔和2本练习本用l元l角”；二是“买一个
练习本和2
枝自动铅笔要用1元3角”。这两种情况既有相同点又有
不同点，相同点为都买两种商品，不同点是两种
商品购买的数量都
不同，而且正好相反，因此我们就要利用这个特点消去其中的一个
未知量，如
果做到的话那么题目也就迎刃而解了。因此除了前三道
例题的解法外，我们还可以根据具体数据的不同采
用下面的解法：
l枝自动铅笔＋2本练习本＝11(角)……(1)
l本练习本＋2枝自动铅笔＝13(角)……(2)
(1)＋(2)得：3枝自动铅笔＋3本练习本＝24(角)
所以：1枝自动铅笔＋l本练习本＝8(角)……(3)
(1)
－(3)得：1本练习本＝3(角)
所以1枝自动铅笔＝5(角)
答：每枝自动铅笔5角，每本练习本3角。
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试一试4
买1枚邮票和2张首日封共花了13元，买同样的邮票2枚，首
日封1张用了14元，邮票和
首日封的单价各是多少元？
练习十六
1. 妈
妈买来6米白布，8米花布用去64元，王大妈买同样的白
布6米，同样的花布6米，用去54元钱，问
每米白布和每米花布各
多少钱?
2.李阿姨买4千克苹果,2千克香蕉共用去14
元；王阿姨买同样
价格的苹果4千克和香蕉6千克共用去26元，每千克香蕉和苹果各
多少元？
3．学校第一次买来3个篮球和5个足球共用190元；第二次买
来同样的8个篮球
和5个足球共用340元。求每个篮球和足球各多
少元？
4.
3袋大米和4袋黄豆共重425千克，6袋大米和3袋黄豆共
重600千克，每袋大米重多少千克?
5．王老师为学校买体育用品，他算了一下，如果买3个足球和
5个篮球要付275
元；如果买6个足球和8个篮球要付470元。请你
算一算，足球和篮球的单价各是多少元？
100