福建高考数学-三年级观察日记

四年级奥数教程答案
【篇一：四年级奥数教程】



>例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分
数）如下：

解：选基准数为450，则

- 1 -

累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，

答：平均每块麦田的产量为455千克。

求一位数的平方，在乘法口诀的小学奥数基础教程（四年级）

第1讲 速算与巧算（一）86，78，77，83，91，74，92，第2讲
速算与巧算（二） 69，84，75。

第3讲 高斯求和 求这10名同学的总分。 第4讲 4，8，9整除的
数的特征 分析与解：通常的做法是将这10个数第5讲 弃九法 直接
相加，但这些数杂乱无章，直接第6讲 数的整除性（二）相加既繁
且易错。观察这些数不难发第7讲 找规律（一） 第8讲 找规律（二）
第9讲 数字谜（一） 第10讲 数字谜（二） 第11讲 归一问题与归
总问题 第12讲 年龄问题

第13讲 鸡兔同笼问题与假设法 第14讲 盈亏问题与比较法（一）
第15讲 盈亏问题与比较法（二） 第16讲 数阵图（一） 第17讲
数阵图（二） 第18讲 数阵图（三） 第19将 乘法原理 第20讲 加
法原理（一） 第21讲 加法原理（二） 第22讲 还原问题（一） 第
23讲 还原问题（二） 第24讲 页码问题 第25讲 智取火柴 第26讲
逻辑问题（一） 第27讲 逻辑问题（二） 第28讲 最不利原则 第29
讲 抽屉原理（一） 第30讲 抽屉原理（二）

第1讲 速算与巧算（一）

计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提
高计算效率、节省计算时间，更可 以锻炼记忆力，提高分析、判断
能力，促进思维和智力的发展。

我们在三年级已经 讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和
下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算 法。

现，这些数虽然大小不等，但相差不 大。我们可以选择一个适当的
数作 “基准”，比如以“ 80”作基准，这10个数与80的差如下：

6，- 2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比
80小。于是得到< br>
实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，
将这一过程表示如下：

在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样
才容易计算累计差。同时考 虑到基准数与加数个数的乘法能够方便
地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。

例2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：

462，480 ，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均
每块麦田的产量。
例3 求292

和822

的值。 解：292

由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。因为是两
个相同数相乘，所以对其 中一个数“移多补少”后，还需要在另一个
数上“找齐”。本例中，给一个29补1，就要给另一个29 减1；给一
个82减了2，就要给另一个82加上2。最后，还要加上“移多补少”
的数的平方 。由凑整补零法计算352

这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多
位数的平方值。

例4 求9932

和20042

的值。 解：9932

王梓梦：奥数基础教程

用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。
练习1

1. 求下面10个数的总和：165，152，168，171，148，156，169，
161，157 ，149。

2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为
（单位：厘米）：

26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求这批麦
苗 的平均高度。

3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：68，
91，84，75，78，81，83，72，79。

他们共加工了多少个零件？4.计算：

13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。5.计算下列各题：

（1）372

； （2）532

； （3）912；（4）682

： （5）1082

； （6）3972

1.1596。 2.26厘米。

3.711个。 4.147。

5.（1）1369； （2）2809； （3）8281；

（4）4624； （5）11664； （6）157609。

6.（1）2156； （2）3630； （3）627；

（4）3608； （5）1221； （6）4554。

第2讲 速算与巧算（二）

- 2 -

分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。

（2）与（1）类似可得到下面的速算式：

分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。

（2）与（1）类似可得到下面的速算式：

例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补” 或“补同”形式的速算
法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？

我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10，100，1000，?
时，这两个数互为补数，简 称互补。如43与57互补，99与1互补，
555与445互补。

王梓梦：奥数基础教程

在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几< br>位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。例

如

， 因为被乘数与乘

数的前两位数相同，都是70，后两位数互补，77＋23＝100，所以
是“同补”型

。

又

如，

等都是“同补”型。

当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同 时，这个乘
法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。例如，

等都是

“补同”型。

1792＝？ 解：（1）

（2）

注意：互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补
“0”。 在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与
“尾”的位数相同，那么例2的方 法仍然适用（见例4）；如果“补”与
“同”的位数不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实 用
的方法，所以就不再讨论了。

- 3 -

练习2

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了
一道题让同学们计算：

1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计
算，小高斯却很 快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？
原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2 ＋99＝3＋98＝?＝49＋
52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50

对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为

小高斯使用的这种求和方法，真是 聪明极了，简单快捷，并且广泛
地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成 一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第
一项称为首项，最后一项称为末项。后

项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公
差。例如：

（1）1，2，3，4，5，?，100； （2）1，3，5，7，9，?，99；
（3） 8，15，22，29，36，?，71。其中（1）是首项为1，末项为
100，公差为1的等差数列 ；（2）是首项为1，末项为99，公差为
2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的 等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数
是否构成等差数列。

例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是
1根火 柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整
个图形由多少根火柴棍摆成？

分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目
及所用火柴数目如下表：

王梓梦：奥数基础教程

加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。综合列式
为：

1.计算下列各题：（1）2＋4＋6＋?＋200； （2）17＋19＋21＋?
＋39；

（3）5＋8＋11＋14＋?＋50； （4）3＋10＋17＋24＋?＋101。2.
求首项是5，末项是93，公差

是4的等差数列的和。

3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

- 4 -

4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲
一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求100以内除以3余2的所
有数的和。

6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？ 第四讲

我们在三 年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我
们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9 整除的数的特征。

数的整除具有如下性质： 性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被< br>丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，
16能被8整除，那么48一 定能被8整除。 性质2 如果两个数都能
被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自 然数
整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被
3整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的 整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除
的数字特征列出来：

（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这
个数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上 的数字之和如果能被3整除，那么这个数就
能被3整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就
能被4（或25）整除。

（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就
能被8（或125）整 除。

（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就
能被9整除。

其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本
讲要学习的内容。

利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：
（4‘）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相
同。 例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些
能被9整除？

234，789，7756，8865，3728.8064。 解：能被4整除的数有
7756，3728，8064；

能被8整除的数有3728，8064； 能被9整除的数有234，8865，
8064。 例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这
个四位数分别能被9，8，4整除？

解：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□

王梓梦：奥数基础教程

应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整 除；
如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3
或7，即四位数是 5632或5672时能被8整除；

例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能 同时被2，5，3
整除的数，并将这些数从小到大进行排列。 解：因为组成的三位数
能同时被 2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的
特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被 3整除，因此所求的这些
数为270，570，720，750。 例4 五位数

能被72整除，

问：a与b各代表什么数字？ 分析与解：已知

能被72整

既能被8整除，又能被

9整除。根据能被8整除的数的特征，要求

能被8整除，由此可确定

b＝6。再根据能被9

整除的数的特征，

的各位数字之和为

a＋3＋2＋9＋b＝a＋3－f－2＋9＋6＝a＋20，

- 5 -

因为l≤a≤9，所以21≤a＋20≤29。在这个范围内只有2 7能被9整除，
所以a＝7。

是6的倍数，

这样的六位数有多少个？

能被36整

除，而且所得的商最小，问a，b，c各代表什么数字？

能被4整除，就要

能被4整除，

因此c可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要

使

这个六位数尽可能小。因此

首先是a尽量小，其次是b尽量小，最后是c尽量小。先试取a=0。

六位数

的各位数字之和为12＋b

＋c。它应能被9整除，因此b＋c＝6或b＋c＝ 15。因为b，c应
尽量小，所以b＋c＝6，而c只能取1，3，5，7，9，所以要使尽
可 能小，应

取b＝1，c＝5。

【篇二：四年级奥数教程第1、2讲(含测试题及答案)】


s=txt> 在千姿百态的数学计算百花园中饭，巧算是其最为艳丽的一朵
奇葩，要想算得又快又准，关键在于掌握运 算技巧，了解题目的特
点，善于运用运算定律与性质（包括正用、逆用、连用等）。实际
计算时 ，要敏于观察、善于思考，选用合理、灵活的计算方法，使
计算简便易行，这就是我们今天所要讲的“巧 算”。

例1：计算：（1）823 + 92 - 23（2）823 -92 + 177

随堂练习1：计算：937 + 115 - 37 + 85

随堂练习2：计算：19 + 199 + 1999 + 19 999 +199 999

例3：计算：（1）528 - （196 + 328） （2）1308 -（308 -49）

随堂练习3：计算：354 + （646 - 198）

例4：计算：（1）（4256 + 125 + 875）-256（2）847 - 578 +
398 - 222

随堂练习4：计算：3842 - 1567 - 433 - 842

例5：计算：

（1）701 + 697 + 703 + 704 + 696 （2）72 + 66 + 75 + 63 + 69

随堂练习5：计算：9.7 + 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10.2 + 10.3

例6：计算：

100 + 99 - 98 -97 + 96 + 95 - 94 - 93 +… + 8 + 7 - 6 - 5 + 4 + 3 - 2 -
1

随堂练习6：计算：100 - 99 + 98 - 97 + 96 - 95 + … + 4 - 3 + 2 - 1

提高练习

计算下列各题：

(1)69 + 18 + 31 + 82 (2) 516 - 56 - 44 - 16

(3) 713 -(513 - 229)(4) 2356 -(356 + 199)

(5) 378 + 475 + 99 - 675 (6) 537 -(543 -163) - 57

(7) 19 + 299 + 3999 + 49 999

(8) 200 - 198 + 196 - 194 + … + 8 - 6 + 4 - 2

(9) 2000 +1999 -1998 -1997 +1996 +1995 -1994 -1993 + … +8 +7
-6 -5 + 4 + 3 - 2 -1

四年级奥数教程第2讲：巧算乘除法

利用乘法、除法的这些性质，先凑整得10、100、1000……会使计
算更简便。

例2：计算：

随堂练习2：计算：

随堂练习3：计算：

例4：不用计算结果，请你指出下面哪道题得数大：

【篇三：四年级奥数教程】


txt>第1讲 速算与巧算（一）

第2讲 速算与巧算（二）

第3讲 高斯求和

第4讲 4，8，9整除的数的特征

第5讲 弃九法

第6讲 数的整除性（二）

第7讲 找规律（一）

第8讲 找规律（二）

第9讲 数字谜（一）

第10讲 数字谜（二）

第11讲 归一问题与归总问题

第12讲 年龄问题

第13讲 鸡兔同笼问题与假设法

第14讲 盈亏问题与比较法（一）

第15讲 盈亏问题与比较法（二）

第16讲 数阵图（一）

第17讲 数阵图（二）

第18讲 数阵图（三）

第19将 乘法原理

第20讲 加法原理（一）

第21讲 加法原理（二）

第22讲 还原问题（一）

第23讲 还原问题（二）

第24讲 页码问题

第25讲 智取火柴

第26讲 逻辑问题（一）

第27讲 逻辑问题（二）

第28讲 最不利原则

第29讲 抽屉原理（一）

第30讲 抽屉原理（二）

第1讲 速算与巧算（一）

计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提
高计算效率、节省计算时间，更可 以锻炼记忆力，提高分析、判断
能力，促进思维和智力的发展。

我们在三年级已经 讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和
下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算 法。

例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）
如下：

86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

求这10名同学的总分。

分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无 章，
直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，
但相差不大。我们可以 选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作

基准，这10个数与80的差如下：6 ，-2，-3，3，11，-6，12，-11，
4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得 到

＝800＋9＝809。

实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，
将这一过程表示如下：

例1所用的方法叫做加法的基准数法。这种方法适用于加数较多，
而且所有的加数相差不大的 情况。作为“基准”的数（如例1的80）
叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。由例1得到 ：

在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样
才容易计算累 计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便
地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数 。

例2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：

4 62，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均
每块麦田 的产量。

解：选基准数为450，则

累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11

＝50，

答：平均每块麦田的产量为455千克。

例3 求29和82的值。

＝840+1

＝841。

＝6720+4

＝6724。

由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“ 补少”；
因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。因为是两
个相同数相 乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个
数上“找齐”。本例中，给一个29补1，就要 给另一个29减1；给一
个82减了2，就要给另一个82加上2。最后，还要加上“移多补少”
的数的平方。由凑整补零法计算35，得

这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多
位数的平方值。

例4 求993和2004的值。

＝986000＋49

＝986049。

＝4016000＋16

＝4016016。

下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。

请看下面的算式：

分析与解：由乘法分配律和结合律，得到

于是，我们得到下面的速算式：

解：由例3的解法得到

用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。

练习1

1.求下面10个数的总和：

165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。

2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为
（单位：厘米）：

26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求这批麦
苗 的平均高度。

3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：

68，91，84，75，78，81，83，72，79。

他们共加工了多少个零件？

4.计算：

13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。

5.计算下列各题：

（1）37； （2）53； （3）91；

（4）68： （5）108； （6）397。

6.计算下列各题：

练习1 答案

1.1596。 2.26厘米。

3.711个。 4.147。

5.（1）1369； （2）2809； （3）8281；

（4）4624； （5）11664； （6）157609。

6.（1）2156； （2）3630； （3）627；

（4）3608； （5）1221； （6）4554。

第2讲 速算与巧算（二）

分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。

（1）由乘法分配律和结合律，得到

于是，我们得到下面的速算式：

（2）与（1）类似可得到下面的速算式：

分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。

（1）由乘法分配律和结合律，得到

于是，我们得到下面的速算式：

（2）与（1）类似可得到下面的速算式：

例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补” 或“补同”形式的速算
法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？

我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10，100，1000，?
时，这两个数互为补数，简 称互补。如43与57互补，99与1互补，
555与445互补。

在一个乘法算 式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几
位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同 ，

尾互补”型。例如

是“同补”型。又如

等都是“同补”型。

当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。

例如，

等都是“补同”型。 ， 因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70，
后两位数互补，77＋23＝100，所以

，

在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。

解：（1）

（2）