四年级奥数+容斥问题
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容斥原理
基础篇：
【例1】
一个班有48人，班主任在
班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：
“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”
没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
思路：
完成语文作业的有37人，完
成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人
数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统
计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都
完成的有：79－48=31人，即多出来的那部分。
变式练习：
1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优
秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？
2、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中
两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？
【例2】
某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有
23人，两题都答
对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？
思路：
已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10
人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到
至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
变式练习：
1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，
有19人两个小组都参加
了。那么，有多少人两个小组都没有参加？
2、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛
都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？
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【例3】
某班有56人
，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的
有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
思路：
要求两科竞赛同时参加的
人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两
科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
变式练习：
1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会
的有多少人？
2、三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈
队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。
这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人？
*提高篇：
【例】
1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
思路：
从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中，5的倍数有
100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4）
，其中既是5的倍数又是6的倍数（即
5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍数的个数是16＋
20－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个。
变式练习：
1、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
2、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？
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**智力闯关
【例】
光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24
幅不
是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展
的书法作品共有多少幅？
思路：
由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的
总数，22幅是一、二、三、四、
五年级参展作品的总数。24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展
的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级
参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。（24＋22－10）÷2=18幅。
变式练习：
1、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110
件不是一年级的，有
100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共
有多少件？
2、六（1
）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级
的，有19幅
画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？
3、实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展
出每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级
的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书
法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、
四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的
书法作品共有多少幅？
课后作业
1、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学<
br>生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？
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2、一个
班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报
纸都订阅
的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？
3、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有5
2人，这两种棋都不会
下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？
4、五（1）班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等
。小华排的位置是：从前面数第5个，从后
面数第8个。这个班共有多少个学生？
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