高考填报志愿-圆锥的认识

第一讲 数的整除问题
一、 基本概念和知识：
1、

整除：
定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或 者说b
能整除a）。用符号“b| a”表示。
2、

因数和倍数：
如果a能被b整除，即a÷b=c
由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.
提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。
练习：
写出下面每个数的所有的因数：
1的因数：__________________； 7的因数：__________________；
2的因数：__________________； 8的因数：__________________；
3的因数：__________________； 9的因数：__________________；
4的因数：__________________； 10的因数：__________________；
5的因数：__________________； 11的因数：__________________；
6的因数：__________________； 12的因数：__________________；

公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。
如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________，

3、质数与合数：
在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个 因数，还有些数有很多因数。
根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。
（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。
（２） 合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
（３）0和１既不是质数，也不是合数。、
请写出20以内的所有质数：_________ ____________________________________________
注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。

4
、互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。
这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。 “公因数只有 1”，不能误说成“没
有公因数。”
例如，2与7、13与19、3与10、5与 26等等

1

4、质因数
每个合数都可以写 成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,它们叫
做这个合数的质因数
练习：
13×4=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？



分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数
练习--- 把下列各数分解质因数
（1）21 （2）42 （3）36



当数字比较大的时候，我们用短除法可以快速的分解质因数
例题--- 用短除法把下列各数分解质因数
（1）180 （2）630




练习
1、把下列各数分解质因数
（1）960 （2）2520




2、（第九届小学希望杯全国数学邀请赛）在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是


3、（2012年第十届希望杯试题）只能被1和他本身整除的自然数叫做质数, 如：2,3,5,7
等，那么，比40大并且比50小的质数是，小于100的最大的质数是。

4、（第七届希望杯试题）若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有 1、
2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G(36)+G(42)=.

5 、(2016年第十四届希望杯)已知a,b,c都是质数，若a×b+b×c=119，则
a+b+c = .
2

二、数的整除性：
1、能被2整除的数的特征：个位数一定是0，2，4，6或8。
偶数：能被2整除的整数称为偶数，如：0，2，4，6，8，10，12，14，„
奇数：不能被2整除的整数称为奇数。如：1，3，5，7，9，11，13，15，„
偶数和奇数有如下运算性质：
偶数±偶数=偶数， 奇数±奇数=偶数， 偶数±奇数=奇数，
偶数×偶数=偶数， 偶数×奇数=偶数， 奇数×奇数=奇数。
提醒：
（1）如果两个整数的和（或者差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；
（2）如果两个整数的和（或者差）是奇数数，那么这两个整数的奇偶性相反；
2、能被5整除的数的特征是：个位是0或5
3、能被3整除的数的特征是：各个数位数字之和能被3整除
如：27, 215等等
4、能被9整除的数的特征是：各个数位数字之和能被9整除
如：81, 216等等
5、能被4或25整除的数的特征是：末两位数能被4或25整除
如：264能被4整除，150能被25整除
6、能被8或125整除的数的特征是：末三位数能被8或125整除。
如：2168能被8整除，不能被125整除
7、能被7（11或13 ）整除的数的特征： 一个整数的末三位数与末三位以前的数字组成的
数之差，（大减小）能被7（11或13 ）整除
例如：判断1540是否是7的倍数？
解：把1540分成1和540两个数，因为540- 1=539，由539能被7整除，所以1540能被7
整除，因此1540是7的倍数

3

例题
1
、已知六位数能被3整除，数字a=？
解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，数字a只能是2，5或8。即符合 题意的a
是2，5或8。
例题2、五位数48A1B能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。


例题3、（2012年第十届希望杯决赛）如果六个连续奇数的乘积是13513 5，则这六个数的和
是 。
练习：
1、（第六届小学“希望杯”全国数学邀 请赛）若9位数2008□2008能够被3整除，则□里
的数是
2、（第十一届中环杯初赛）已知a24b8是一个五位数，且是8的倍数，则a24b8 最大是
__________，最小是________
3、四位数8A1B能同时被2,3,5整除，则这个四位数是______________. 4、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）在2013的质因数中，最大的质因数与
最 小的质因数的乘积是（ ）。
5、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）喜羊羊打开 一本书，发现左右两页的页
码数的乘积是420，则这两页的页码数的和是（ ）。
6、 （2014年第十二届希望杯初赛试题）自然数
a
是3的倍数，
a1
是4的 倍数，
a2
是5
的倍数，则
a
最小是57。
分析：从题 目中可以看出，这个数
a
是3的倍数，也是4的倍数余1，也是5的倍数余2.
可以 用枚举法，先从5的倍数余2考虑，末尾应该是2或者7.末尾是2，不符合4的倍数
余1，所以末尾肯 定是7.从小到大枚举：7,17,27,37,47,57.只有57符合。



三、整除的性质：
1、如果a、b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除.
例如：9能被3整除，81也能被3整除，那么81+9=90,81-9=72都能被3整除。
4

2、（***）如果a能被b整除，a也能被c整除，并且b、 c互质（除1以外，没有其它公共
因数），那么，a就能被b和c的乘积整除。
例如：24能被3整除，24也能被4整除，由于3和4互质，所以24也能被3×4=12整除。 < br>例题4、在3□2□的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？（山东省小学生数学竞赛初赛试题）
解：因为15=3×5，且3和5互质。所以，只需分别考察能被3和5整除的情形。
由能被5整除的数的特征知，组成的四位数的个位上是5或0。
再据能被3整除的数的特征试算， 若个位上是5，则有3＋2＋5=10。可推知，百位上最大可填入
8。即组成的四位数是3825；若 个位上是0，则有3＋2＋0=5。可推知，百位上最大可填入7。即组成
的四位数是3720。 故知，这个数是3825。
例题5、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）
一< br>个数除以3余2，除以4余3，
除以5余4，则这样的数中最小的是（ ）。



例题6、(2012年第十届希望杯试题)有一筐桃子，4个4个地数 ，多2个；6个6个地数，
多4个；8个8个地数，少2个。已知这筐桃子的个数不少于120，也不多 于150，则这筐
桃子共有个。



练习：
b
能被12整除，则这样的六位数
1、(2016年第十四届希望杯)
若六位数
a20 16
有 个。

2、（
第十一届2013年“希望杯”全 国数学邀请赛决赛试题）如果一个小于100的自然数除
以3，除以4，除以5都余2，那么这个数最小 是________，最大是________


巩固练习：
1、36的因数有（1,2,3,4，6,9,12,18,36），它的质因数有（2,3）。 2、有三个小朋友，他们的年龄正好是三个连续的自然数，且他们年龄的积是210，这三个
小朋友 的年龄分别是（5）岁、（6）岁、（7）岁。
解：用短除法分解质因数：210=2×3×5×7=5×6×7
5

3、 有一个长方形，长和宽都是整厘米数，面积是231平方厘米。这个长方形的长和宽分别
是（）、（）
解：用短除法分解质因数：231=3×7×11
则此长方形的长和宽有以下几种情况: 1、长3×7=21cm，宽11cm； 2、长3×11=33cm，
宽7cm； 3、长7×11=77cm，宽3cm。
4、 若9位数2016□2016能够被9整除，则□里的数是9
解：个位数字之和是9的倍数，可以得出，方框内应填“9”
5、某个自然数，被3除余2，被5除余4，被7除余6，这个自然数最小是___________。
6、已知五位数A329B能同时被8和9整除，则A=_5___，B=_6____。
分析：根据能被8整除的数的特征，后三位应该能被8整除，29B 除以8，列
竖式，可以 推算出B=6。然后根据能被9整除的数的特征，各位数字之和能被9
整除，所以A=5.
7．五位数能被12整除，这个五位数是____________。
8、一位采购员买了7 2个微波炉，在记账本上记下这笔账。由于他不小心，火星落在账本上把这笔账
的总数烧掉了两个数字。 账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），
请你帮忙把这笔账补上。 应是__________元。（注：微波炉单价为整数元）。
解：72只桶共用去a67.9b 元，把它改写成a679b分后，应能被72整除。72=8×9，8和9互质，
若8能整除它，9能整 除它，72就一定能整除它。
由能被8整除的数的特征（末三位数能被8整除）知，79b能被8 整除，则b＝2；由能被9整除
的数的特征知，a＋6＋7＋9＋2＝a＋24能被9整除，则a=3。
故这笔账应是36792元。
9、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？
分析 与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9
整除。六位数能被4 整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。
要使所得的商最小，就要使这个六位数 尽可能小。因此首先是A尽量小，其次
的各位数字之和为12＋B＋C。是B尽量小，最后是C尽量小。 先试取A=0。六位数
它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因为B，C应尽量小，所以B ＋C＝6，而C只
能取1，3，5，7，9，所以要使尽可能小，应取B＝1，C＝5。
当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156÷36＝4171。
6

7

第一讲 数的整除问题
一、 基本概念和知识：
1、

整除：
定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或 者说b
能整除a）。用符号“b| a”表示。
2、

因数和倍数：
如果a能被b整除，即a÷b=c
由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.
提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。
练习：
写出下面每个数的所有的因数：
1的因数：__________________； 7的因数：__________________；
2的因数：__________________； 8的因数：__________________；
3的因数：__________________； 9的因数：__________________；
4的因数：__________________； 10的因数：__________________；
5的因数：__________________； 11的因数：__________________；
6的因数：__________________； 12的因数：__________________；

公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。
如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________，

3、质数与合数：
在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个 因数，还有些数有很多因数。
根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。
（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。
（２） 合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
（３）0和１既不是质数，也不是合数。、
请写出20以内的所有质数：_________ ____________________________________________
注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。

4
、互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。
这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。 “公因数只有 1”，不能误说成“没
有公因数。”
例如，2与7、13与19、3与10、5与 26等等

1

4、质因数
每个合数都可以写 成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,它们叫
做这个合数的质因数
练习：
13×4=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？



分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数
练习--- 把下列各数分解质因数
（1）21 （2）42 （3）36



当数字比较大的时候，我们用短除法可以快速的分解质因数
例题--- 用短除法把下列各数分解质因数
（1）180 （2）630




练习
1、把下列各数分解质因数
（1）960 （2）2520




2、（第九届小学希望杯全国数学邀请赛）在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是


3、（2012年第十届希望杯试题）只能被1和他本身整除的自然数叫做质数, 如：2,3,5,7
等，那么，比40大并且比50小的质数是，小于100的最大的质数是。

4、（第七届希望杯试题）若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有 1、
2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G(36)+G(42)=.

5 、(2016年第十四届希望杯)已知a,b,c都是质数，若a×b+b×c=119，则
a+b+c = .
2

二、数的整除性：
1、能被2整除的数的特征：个位数一定是0，2，4，6或8。
偶数：能被2整除的整数称为偶数，如：0，2，4，6，8，10，12，14，„
奇数：不能被2整除的整数称为奇数。如：1，3，5，7，9，11，13，15，„
偶数和奇数有如下运算性质：
偶数±偶数=偶数， 奇数±奇数=偶数， 偶数±奇数=奇数，
偶数×偶数=偶数， 偶数×奇数=偶数， 奇数×奇数=奇数。
提醒：
（1）如果两个整数的和（或者差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；
（2）如果两个整数的和（或者差）是奇数数，那么这两个整数的奇偶性相反；
2、能被5整除的数的特征是：个位是0或5
3、能被3整除的数的特征是：各个数位数字之和能被3整除
如：27, 215等等
4、能被9整除的数的特征是：各个数位数字之和能被9整除
如：81, 216等等
5、能被4或25整除的数的特征是：末两位数能被4或25整除
如：264能被4整除，150能被25整除
6、能被8或125整除的数的特征是：末三位数能被8或125整除。
如：2168能被8整除，不能被125整除
7、能被7（11或13 ）整除的数的特征： 一个整数的末三位数与末三位以前的数字组成的
数之差，（大减小）能被7（11或13 ）整除
例如：判断1540是否是7的倍数？
解：把1540分成1和540两个数，因为540- 1=539，由539能被7整除，所以1540能被7
整除，因此1540是7的倍数

3

例题
1
、已知六位数能被3整除，数字a=？
解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，数字a只能是2，5或8。即符合 题意的a
是2，5或8。
例题2、五位数48A1B能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。


例题3、（2012年第十届希望杯决赛）如果六个连续奇数的乘积是13513 5，则这六个数的和
是 。
练习：
1、（第六届小学“希望杯”全国数学邀 请赛）若9位数2008□2008能够被3整除，则□里
的数是
2、（第十一届中环杯初赛）已知a24b8是一个五位数，且是8的倍数，则a24b8 最大是
__________，最小是________
3、四位数8A1B能同时被2,3,5整除，则这个四位数是______________. 4、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）在2013的质因数中，最大的质因数与
最 小的质因数的乘积是（ ）。
5、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）喜羊羊打开 一本书，发现左右两页的页
码数的乘积是420，则这两页的页码数的和是（ ）。
6、 （2014年第十二届希望杯初赛试题）自然数
a
是3的倍数，
a1
是4的 倍数，
a2
是5
的倍数，则
a
最小是57。
分析：从题 目中可以看出，这个数
a
是3的倍数，也是4的倍数余1，也是5的倍数余2.
可以 用枚举法，先从5的倍数余2考虑，末尾应该是2或者7.末尾是2，不符合4的倍数
余1，所以末尾肯 定是7.从小到大枚举：7,17,27,37,47,57.只有57符合。



三、整除的性质：
1、如果a、b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除.
例如：9能被3整除，81也能被3整除，那么81+9=90,81-9=72都能被3整除。
4

2、（***）如果a能被b整除，a也能被c整除，并且b、 c互质（除1以外，没有其它公共
因数），那么，a就能被b和c的乘积整除。
例如：24能被3整除，24也能被4整除，由于3和4互质，所以24也能被3×4=12整除。 < br>例题4、在3□2□的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？（山东省小学生数学竞赛初赛试题）
解：因为15=3×5，且3和5互质。所以，只需分别考察能被3和5整除的情形。
由能被5整除的数的特征知，组成的四位数的个位上是5或0。
再据能被3整除的数的特征试算， 若个位上是5，则有3＋2＋5=10。可推知，百位上最大可填入
8。即组成的四位数是3825；若 个位上是0，则有3＋2＋0=5。可推知，百位上最大可填入7。即组成
的四位数是3720。 故知，这个数是3825。
例题5、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）
一< br>个数除以3余2，除以4余3，
除以5余4，则这样的数中最小的是（ ）。



例题6、(2012年第十届希望杯试题)有一筐桃子，4个4个地数 ，多2个；6个6个地数，
多4个；8个8个地数，少2个。已知这筐桃子的个数不少于120，也不多 于150，则这筐
桃子共有个。



练习：
b
能被12整除，则这样的六位数
1、(2016年第十四届希望杯)
若六位数
a20 16
有 个。

2、（
第十一届2013年“希望杯”全 国数学邀请赛决赛试题）如果一个小于100的自然数除
以3，除以4，除以5都余2，那么这个数最小 是________，最大是________


巩固练习：
1、36的因数有（1,2,3,4，6,9,12,18,36），它的质因数有（2,3）。 2、有三个小朋友，他们的年龄正好是三个连续的自然数，且他们年龄的积是210，这三个
小朋友 的年龄分别是（5）岁、（6）岁、（7）岁。
解：用短除法分解质因数：210=2×3×5×7=5×6×7
5

3、 有一个长方形，长和宽都是整厘米数，面积是231平方厘米。这个长方形的长和宽分别
是（）、（）
解：用短除法分解质因数：231=3×7×11
则此长方形的长和宽有以下几种情况: 1、长3×7=21cm，宽11cm； 2、长3×11=33cm，
宽7cm； 3、长7×11=77cm，宽3cm。
4、 若9位数2016□2016能够被9整除，则□里的数是9
解：个位数字之和是9的倍数，可以得出，方框内应填“9”
5、某个自然数，被3除余2，被5除余4，被7除余6，这个自然数最小是___________。
6、已知五位数A329B能同时被8和9整除，则A=_5___，B=_6____。
分析：根据能被8整除的数的特征，后三位应该能被8整除，29B 除以8，列
竖式，可以 推算出B=6。然后根据能被9整除的数的特征，各位数字之和能被9
整除，所以A=5.
7．五位数能被12整除，这个五位数是____________。
8、一位采购员买了7 2个微波炉，在记账本上记下这笔账。由于他不小心，火星落在账本上把这笔账
的总数烧掉了两个数字。 账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），
请你帮忙把这笔账补上。 应是__________元。（注：微波炉单价为整数元）。
解：72只桶共用去a67.9b 元，把它改写成a679b分后，应能被72整除。72=8×9，8和9互质，
若8能整除它，9能整 除它，72就一定能整除它。
由能被8整除的数的特征（末三位数能被8整除）知，79b能被8 整除，则b＝2；由能被9整除
的数的特征知，a＋6＋7＋9＋2＝a＋24能被9整除，则a=3。
故这笔账应是36792元。
9、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？
分析 与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9
整除。六位数能被4 整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。
要使所得的商最小，就要使这个六位数 尽可能小。因此首先是A尽量小，其次
的各位数字之和为12＋B＋C。是B尽量小，最后是C尽量小。 先试取A=0。六位数
它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因为B，C应尽量小，所以B ＋C＝6，而C只
能取1，3，5，7，9，所以要使尽可能小，应取B＝1，C＝5。
当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156÷36＝4171。
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