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空间中的垂直关系
1．线面垂直
直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直
线垂直于这个平面。
推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直
线 。
2．面面垂直
两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直

面面垂直）
如果 ，那么这两个平面互相垂直。
推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直

线面垂直）
若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另
一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂 直来分析解决，其关系
判定判定

线面垂直

< br>面面垂直．这三者之间的关系非常密切，为：线线垂直

性质性质
可以 互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同
学们应当学会灵活应用这些定 理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中
蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．
例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的 两侧，试写出图中所有互
相垂直的各对平面．
2、如图，棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的侧面
BCC
1
B
1< br>是菱形，
B
1
CA
1
B

证明：平面AB
1
C

平面
A
1
BC
1

3、如图所示，在长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=AD=1，AA
1
=2，M是棱CC
1的中点
（Ⅰ）求异面直线A
1
M和C
1
D
1
所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A
1
B
1
M
1
4 、如图，
AB
是圆
Ｏ
的直径，
Ｃ
是圆周上一点，
P A
平面
ABC
．若
AE
⊥
PC
，
Ｅ< br>为垂足，
Ｆ
是
PB
上任意一点，求证：平面
AEF
⊥ 平面
PBC
．
5、如图，直三棱柱
ABC
—
A
1
B
1
C
1
中，
AC
＝
BC
＝1，∠
ACB
＝90°，
AA
1
＝
2
，
D

是
A
1
B
1
中点．（1）求证
C
1
D
⊥平面
A
1
B
；（2）当点
F
在
BB
1
上什么位置时，会使
得
AB
1
⊥平面
C
1
DF
并证明你的结论

6、S是△AB C所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.
S
A

B
底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 7、在四棱锥中，
证明:AB⊥平面VAD
V
D
A
B
C


8、如图，平行四边形
ABCD
中，
D AB60

，
AB2,AD4
,将
CBD
沿
BD
折
起到
EBD
的位置，使平面
EDB
平面
ABD
.
求证：
ABDE

9、如图，在四棱锥
P ABCD
中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、
F分别是AP 、AD的中点
求证：（1）直线EF‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD
10、 如图，在三棱锥
SABC
中，平面
SAB
平面
SBC
,
ABBC,ASAB
.过
A
作
AFSB
，垂足为F
,点
E,G
分别是棱
SA,SC
的中点。
求证：（1）平面
EFG
平面
ABC

（2）
BCSA

11、如图，在三棱锥
PABC
中，
D,E,F
分别是棱
PC,AC,AB
的中点，已知
PAAC,P A6,BC8,DF5
.
求证：（1）直线
PA
平面
DEF
;
（2）平面
BDE
平面
ABC

12、如图，在正方形< br>ABCD
中，
AB2,BC1,
E
是
CD
的中点 ，
F
是
AE
的中
点。现在沿
AE
将
AD E
向上折起，在折起的图形中解答下列问题：
（1）在线段
AB
上是否存在 一点
K
，使得
BC
平面
DFK
?若存在，请正明你的
结论；若不存在，请说明理由。

（2）若平面
ADE
平面
ABCE
,求证：平面
BDE
平面
ADE

13、如图 ，在四棱锥
PABCD
中，
ABAC,ABPA,ABCD
,
AB2CD
,
E,F,G,M,N
分别是
PB,AB,BC,PD,PC
的中点。
（1）求证：
CE
平面
PAD
；
（2）求证：平面
EFG

平面
EMN

14、 如图，直四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
ABCD,ADAB,AB2
,AD=
2
，
A A
1
3
，
E
为
CD
上一点，
DE1, EC3

（1）证明：
BE
平面
BB
1
CC
1
;
（2）求点
B
1
到平面
EA
1
C
1
的距离。