公务员照片-借款申请书范文

线面垂直的判定和性质定理（习题课）
A组 1 C 2 B 3 D 4 D 5 C 6 ③ 7 ①② 8 a或2a
106
9 (2) d＝
5
. 10 (2) V＝3 (3)
4

433
B组 1 D 2 ①②③ 3 (2)
3
(3)
2

A组 基础训练
一、选择题
1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( )
A．
β
内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．
β
内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C．
β
内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直
D．
β
内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

【解析】 如图，在平面β内的直线若与α，
β
的交线a平行，则有m与之
垂 直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．
【答案】 C
2．已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】 根据面面垂直的性质定理知，命题④正确；两平面垂直，一个平
面内的已知直线必垂 直于另一个平面内与交线垂直的直线，故命题②正确，命题
①③错误．
【答案】 B
3．(2013·广东高考)设m，n是两条不同的直线，
α
，
β
是两个不 同的平面，
下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m⊂
α
，n⊂
β
，则m⊥n
B．若α∥β，m⊂
α
，n⊂
β
，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂
α
，n⊂
β
，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥
β
，则α⊥β

【解析】 如图，在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，平面BCC
1
B
1
⊥平面ABCD，
B C
1
⊂平面BCC
1
B
1
，BC⊂平面ABCD，而BC< br>1
不垂直于BC，故A错误．
平面A
1
B
1
C1
D
1
∥平面ABCD，B
1
D
1
⊂平面A< br>1
B
1
C
1
D
1
，AC⊂平面ABCD，但
B
1
D
1
和AC不平行，故B错误．
AB⊥A
1
D
1
，AB⊂平面ABCD，A
1
D
1
⊂平面A< br>1
B
1
C
1
D
1
，但平面A
1B
1
C
1
D
1
∥平
面ABCD，故C错误．故 选D.
【答案】 D

图7－5－10
4．(2014 ·大连模拟)如图7－5－10，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD
⊥底面ABCD，则下列结 论中不正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
【解析】 ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
又∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC.
其 中SD∩BD＝D，∴AC⊥面SDB，从而AC⊥SB.故A正确；易知B正确；
设AC与DB交于O 点，连结SO.则SA与平面SBD所成的角为∠ASO，SC与平
面SBD所成的角为∠CSO，又O A＝OC，SA＝SC，∴∠ASO＝∠CSO.故C正确；
由排除法可知选D.
【答案】 D
5．(2014·郑州模拟)设m，n是不同的直线，
α
，
β
是 不同的平面，下列命
题中正确的是( )
A．若m∥α，n⊥
β
，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥
β
，m⊥n，则α∥β
C．若m∥α，n⊥
β
，m∥n，则α⊥β
D．若m∥α，n⊥
β
，m∥n，则α∥β
【解析】 C中，当m∥α，m∥n时，有n∥α或n⊂
α
，当n⊥β时，有α⊥β，
故C正确．
【答案】 C
二、填空题

图7－5－11
6 ．如图7－5－11，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC
的中点，则下列命 题中正确的有________(填序号)．
①平面ABC⊥平面ABD；
②平面ABD⊥平面BCD；
③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；
④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
【解析】 由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，
故③正确．
【答案】 ③

图7－5－12
7．如图7－5－12， 在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别
是AD，BE的中点，将三角形ADE沿 AE折起，下列说法正确的是________(填
上所有正确的序号)．
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.
【解析】 取AE的中点F，连接MF，NF，则MF∥DE，NF∥AB∥CE，
从而平面MFN∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；
又AE⊥MF，AE⊥NF，所以AE⊥平面MFN，从而AE⊥MN，②正确；
又MN与AB是异面直线，则③错误．
【答案】 ①②

图7－5－13
8．如图7－5－13，在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，底面是∠ABC为直角的等
腰直角三角形，AC＝2a，BB< br>1
＝3a，D是A
1
C
1
的中点，点F在线段AA
1
上，当
AF＝________时，CF⊥平面B
1
DF.
【解析】 ∵B
1
D⊥平面A
1
ACC
1
，∴CF ⊥B
1
D，∴为了使CF⊥平面B
1
DF，
只要使CF⊥DF(或C F⊥B
1
F)，设AF＝x，则CD
2
＝DF
2
＋FC2
，∴x
2
－3ax＋2a
2
＝0，∴x＝a或x＝2a.
【答案】 a或2a
三、解答题

图7－5－14 9．(2013·江西高考)如图7－5－14，直四棱柱ABCD－A
1
B
1< br>C
1
D
1
中，AB∥
CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2 ，AA
1
＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.
(1)证明：BE⊥平面BB
1
C
1
C；
(2)求点B
1
到平面EA
1
C
1
的距离．
【解】 (1)证明 过点B作CD的垂线交CD于点F，则
BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.

在Rt△BFE中，BE＝3.
在Rt△CFB中，BC＝6.

在 △BEC中，因为BE
2
＋BC
2
＝9＝EC
2
，故BE⊥ BC.
由BB
1
⊥平面ABCD，得BE⊥BB
1
，
所以BE⊥平面BB
1
C
1
C.
1
(2)连接B
1
E，则三棱锥E－A
1
B
1
C
1
的体积 V＝
3
AA
1
·S△A
1
B
1
C
1
＝2.
在Rt△A
1
D
1
C
1
中，A
1
C
1
＝
同理，EC
1
＝
A
1< br>E＝
2
A
1
D
1
＋D
1
C
2
1
＝32.
EC
2
＋CC
2
1
＝32，
A
1
A
2
＋AD
2
＋DE
2
＝23，
故S△A
1
C
1
E＝35.
设点B
1
到平面EA
1
C
1
的距离为d，
则三棱锥B
1
－EA
1
C
1
的体积
1
V＝
3
·d·S△EA
1
C
1
＝5d，
10
从而5d＝2，d＝
5
.

图7－5－15
10．(2014·青岛模拟)在如图7－5－15所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面

< br>ACD，DE⊥平面ACD，且AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1.
(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明
这一事实；
(2)求多面体ABCDE的体积；
(3)求直线EC与平面ABED所成角的正弦值．

【解】 (1)如图，由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥ED，
设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，
1
连接FH，则FH綊
2
ED，
∴FH綊AB，
∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH，
由BF⊄平面ACD内，AH⊂平面ACD，
∴BF∥平面ACD；
(2)取AD中点G，连接CG.
AB⊥平面ACD，∴CG⊥AB
又CG⊥AD，∴CG⊥平面ABED，即CG为四棱锥的高，

1
（ 1＋2）
CG＝3，∴V
C－ABED
＝
3
··2·3＝3.
2
(3)连接EG，由(2)有CG⊥平面ABED，
∴∠CEG即为直线CE与平面ABED所成的角．
CG36
在Rt△CEG中，s in∠CEG＝
CE
＝＝
4
.
22
B组 能力提升 1．如图7－5－16所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝
45°，∠ BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱
锥A—BCD.则在三 棱锥A—BCD中，下列命题正确的是( )

图7－5－16
A．AD⊥平面BCD B．AB⊥平面BCD
C．平面BCD⊥平面ABC D．平面ADC⊥平面ABC
【解析】 在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝ 45°，∠BAD＝
90°，∴BD⊥CD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB，
又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.
【答案】 D

图7－5－17
2．如图7－5－17所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O 的直径，C是圆
O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________．
【解析】 由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，
∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.
又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.
∴PB⊥EF.故①②③正确．
【答案】 ①②③

图7－5－18
3．(2013·浙江高考)如图7－5－18，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝7，PA＝3，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点．
(1)证明：BD⊥平面APC；
(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；
(3)若G满足PC⊥平面BGD，求
PG
的值．
GC
【解】 (1)证明 设点O为AC，BD的交点．

由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线，所以O为AC的中点，
BD⊥AC.

又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.
所以BD⊥平面APC.
(2)连接OG.由(1)可知，OD⊥平面APC，则DG在平面 APC内的射影为OG，
所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．
13
由题意得OG＝
2
PA＝
2
.
在△ABC中，AC＝
AB
2
＋BC
2
－2AB·BC· cos∠ABC＝
1
所以OC＝
2
AC＝3.
在直角△OCD中，OD＝CD
2
－OC
2
＝7－3＝2.

1

4＋4－2×2×2×

－
2

＝23，

OD43
在直角△OGD中，tan∠OGD＝
OG
＝
3
.
所以DG与平面APC所成的角的正切值为
43
.
3
(3)因为PC⊥平面BGD，OG⊂平面BGD，所以PC⊥OG.
在直角△PAC中，PC＝ PA
2
＋AC
2
＝3＋12＝15，
AC·OC
23×3
215
所以GC＝
PC
＝＝
5
.
15
315PG3
从而PG＝
5
，所以
GC< br>＝
2
.