华中农业大学研究生-结婚祝福语短信

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空间中的垂直关系
1．线面垂直
直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直
线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直
线 。

2．面面垂直
两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直

面面垂直）
如果 ，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直

线面垂直）
若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另
一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂 直来分析解决，其关系
判定判定

面面垂直．这三者之间的关系非常密 切，为：线线垂直

线面垂直

性质性质
可以互相转化 ，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同
学们应当学会灵活应用这些定理证明问 题．在空间图形中，高一级的垂直关系中
蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．
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例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的 两侧，试写出图中所有互
相垂直的各对平面．


2、如图，棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的侧面
BCC
1< br>B
1
是菱形，
B
1
CA
1
B
< br>证明：平面
AB
1
C

平面
A
1
B C
1






3、如图所示，在长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=AD=1，AA
1
=2，M是棱CC1
的中点
（Ⅰ）求异面直线A
1
M和C
1
D
1
所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A
1
B
1
M
1
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4、如图，
AB
是圆
Ｏ
的直径，
Ｃ
是圆周上一点，
PA
平面
A BC
．若
AE
⊥
PC
，
Ｅ
为垂足，
Ｆ< br>是
PB
上任意一点，求证：平面
AEF
⊥平面
PBC
．


5、如图，直三棱柱
ABC
—
A
1
B
1
C
1
中，
AC
＝
BC
＝1，∠
ACB
＝90°，
AA
1
＝
2
，
D
是
A
1
B
1
中点．（1）求证
C
1
D
⊥平面
A
1
B
；（2）当点
F
在
BB
1
上什么位置时，会使得
AB
1
⊥平面
C
1
DF
？并证明你的结论




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6、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.
S
A

B







7、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD
证明:AB⊥平面VAD
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V
D
A
B
C



8、如图，平行四边形
ABCD
中，
DAB

60

，
AB2,AD4
,将
 CBD
沿
BD
折
起到
EBD
的位置，使平面
ED B
平面
ABD
.
求证：
ABDE
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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9、如图，在 四棱锥
PABCD
中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、< br>F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD


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10、如图，在三棱锥
SABC
中，平面
SAB< br>平面
SBC
,
ABBC,ASAB
.过
A
作AFSB
，垂足为
F
,点
E,G
分别是棱
SA,SC
的中点。
求证：（1）平面
EFG
平面
ABC

（2）
BCSA







11、如图，在三棱锥
PABC
中，
D,E,F
分别是棱
PC,AC,AB
的中点，已知
PAAC,PA6,BC8,DF5
.
求证：（1）直线
PA
平面
DEF
;
（2）平面
BDE
平面
ABC

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12、如图，在正方形
ABCD
中，
AB 2,BC1,
E
是
CD
的中点，
F
是
AE
的中
点。现在沿
AE
将
ADE
向上折起，在折起的图形中解答下 列问题：
（1）在线段
AB
上是否存在一点
K
，使得
BC
平面
DFK
?若存在，请正明你的
结论；若不存在，请说明理由。
（2）若平面
ADE
平面
ABCE
,求证：平面
BDE
平面
ADE









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13、如图，在四棱锥
PABCD
中，
ABAC,ABPA ,ABCD
,
AB2CD
,
E,F,G,M,N
分别是
PB,AB,BC,PD,PC
的中点。
（1）求证：
CE
平面
PAD
；
（2）求证：平面
EFG

平面
EMN










14、如图， 直四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1< br>中，
ABCD,ADAB,AB2
,AD=
2
，
AA1
3
，
E
为
CD
上一点，
DE1,EC 3

（1）证明：
BE
平面
BB
1
CC
1
;
（2）求点
B
1
到平面
EA
1
C
1
的距离。

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空间中的垂直关系
1．线面垂直
直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直
线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直
线 。

2．面面垂直
两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直

面面垂直）
如果 ，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直

线面垂直）
若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另
一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂 直来分析解决，其关系
判定判定

面面垂直．这三者之间的关系非常密 切，为：线线垂直

线面垂直

性质性质
可以互相转化 ，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同
学们应当学会灵活应用这些定理证明问 题．在空间图形中，高一级的垂直关系中
蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．
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例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的 两侧，试写出图中所有互
相垂直的各对平面．


2、如图，棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的侧面
BCC
1< br>B
1
是菱形，
B
1
CA
1
B
< br>证明：平面
AB
1
C

平面
A
1
B C
1






3、如图所示，在长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=AD=1，AA
1
=2，M是棱CC1
的中点
（Ⅰ）求异面直线A
1
M和C
1
D
1
所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A
1
B
1
M
1
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4、如图，
AB
是圆
Ｏ
的直径，
Ｃ
是圆周上一点，
PA
平面
A BC
．若
AE
⊥
PC
，
Ｅ
为垂足，
Ｆ< br>是
PB
上任意一点，求证：平面
AEF
⊥平面
PBC
．


5、如图，直三棱柱
ABC
—
A
1
B
1
C
1
中，
AC
＝
BC
＝1，∠
ACB
＝90°，
AA
1
＝
2
，
D
是
A
1
B
1
中点．（1）求证
C
1
D
⊥平面
A
1
B
；（2）当点
F
在
BB
1
上什么位置时，会使得
AB
1
⊥平面
C
1
DF
？并证明你的结论




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6、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.
S
A

B







7、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD
证明:AB⊥平面VAD
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V
D
A
B
C



8、如图，平行四边形
ABCD
中，
DAB

60

，
AB2,AD4
,将
 CBD
沿
BD
折
起到
EBD
的位置，使平面
ED B
平面
ABD
.
求证：
ABDE
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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9、如图，在 四棱锥
PABCD
中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、< br>F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD


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10、如图，在三棱锥
SABC
中，平面
SAB< br>平面
SBC
,
ABBC,ASAB
.过
A
作AFSB
，垂足为
F
,点
E,G
分别是棱
SA,SC
的中点。
求证：（1）平面
EFG
平面
ABC

（2）
BCSA







11、如图，在三棱锥
PABC
中，
D,E,F
分别是棱
PC,AC,AB
的中点，已知
PAAC,PA6,BC8,DF5
.
求证：（1）直线
PA
平面
DEF
;
（2）平面
BDE
平面
ABC

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12、如图，在正方形
ABCD
中，
AB 2,BC1,
E
是
CD
的中点，
F
是
AE
的中
点。现在沿
AE
将
ADE
向上折起，在折起的图形中解答下 列问题：
（1）在线段
AB
上是否存在一点
K
，使得
BC
平面
DFK
?若存在，请正明你的
结论；若不存在，请说明理由。
（2）若平面
ADE
平面
ABCE
,求证：平面
BDE
平面
ADE









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13、如图，在四棱锥
PABCD
中，
ABAC,ABPA ,ABCD
,
AB2CD
,
E,F,G,M,N
分别是
PB,AB,BC,PD,PC
的中点。
（1）求证：
CE
平面
PAD
；
（2）求证：平面
EFG

平面
EMN










14、如图， 直四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1< br>中，
ABCD,ADAB,AB2
,AD=
2
，
AA1
3
，
E
为
CD
上一点，
DE1,EC 3

（1）证明：
BE
平面
BB
1
CC
1
;
（2）求点
B
1
到平面
EA
1
C
1
的距离。

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