线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质
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空间中得垂直关系
1.线面垂直
直线与平面垂直得判定定理:如果
,那么这条直线
垂直于这个平面。
推理模式:
直线与平面垂直得性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直
线
。
2.面面垂直
两个平面垂直得定义:相交成
得两个平面叫做互相垂直得平面。
两平面垂直得判定定理:(线面垂直面面垂直)
如果
,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:
两平面垂直得性质定理:(面面垂直线面垂直)
若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们得
得直线垂直于另
一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂
直来分析解决,其关系
为:线线垂直线面垂直面面垂直.这三者之间得关系非常密切,可以互相转化,从
前
面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活
应用这些定
理证明问题.在空间图形中,高一级得垂直关系中蕴含着低一级得垂直
关系,下面举例说明.
例题:1.如图,AB就是圆O得直径,C就是圆周上一点,PA⊥平面ABC.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若D也就是圆周上一点,且与C分居直径AB
得两侧,试写出图中所有互相
垂直得各对平面.
2、如图,棱柱得侧面就是菱形,
证明:平面平面
<
br>3、如图所示,在长方体中,AB=AD=1,AA
1
=2,M就是棱CC
1<
br>得中点
(Ⅰ)求异面直线A
1
M与C
1
D
1
所成得角得正切值;
(Ⅱ)证明:平面ABM⊥平面A
1
B
1
M
1
4、如图,就是圆
Ｏ
得直径,
Ｃ
就是圆周
上一点,平面
ABC
.若
AE
⊥
PC
,
Ｅ
为垂足,
Ｆ
就是
PB
上任意一点,求证:平面
AEF
⊥平
面
PBC
.
5、如图,直三棱柱
ABC
—
A<
br>1
B
1
C
1
中,
AC
＝
BC
＝1,∠
ACB
＝90°,
AA
1
＝,
D
就是
A
1
B
1
中点.(1)求证
C
1
D
⊥平面
A
1
B
(2)当点
F
在
BB
1
上什么位置时,会使得
AB
1
⊥平面
C
1
DF
？并证明您得结论
6、S就是△ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC、
S
A
B
7、在四棱锥中,底面ABCD就是正方形,侧面VAD
就是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD
证明:AB⊥平面VAD
V
D
A
B
C
8、如图,平行四边形中,,,将沿折起到得位置,使平面平面、
求证:
9、如图,在四棱锥中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°
,E、F分别就是AP、
AD得中点
求证:(1)直线EF‖平面PCD;(2)平面BEF⊥平面PAD
10、如图,在三棱锥中,平面平面,、过作,垂足为,点分别就是棱得中点。
求证:(1)平面平面
（2）
11、如图,在三棱锥中,分别就是棱得中点,已知、
求证:(1)直线平面;
（2）平面平面
12、如图,在正方形中,就是得中点,就是得中点。现在沿将向上折起,在
折起得图
形中解答下列问题:
（1）在线段上就是否存在一点,使得平面?若存在,请正明您
得结论;若不存在,请
说明理由。
（2）若平面平面,求证:平面平面
13、如图,在四棱锥中,,,
分别就是得中点。
（1）求证:平面;
（2）求证:平面平面
14、如图,直四棱柱中,,AD=,,为上一点,
（1）证明:平面;
（2）求点到平面得距离。