南宁招生考试院-宿迁市马陵中学

15.3 平面与平面平行、垂直的判定与性质
【考纲要求】
1.了解平面与平面的位置关系；
2.掌握平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理；会运用这些定理证明空间两平面位置关系.
【命题规律】
本节内容是高考考查的重点内容，主要以棱柱、棱锥、长方体、正方体等空间几 何体为载体考查面面平行、
面面垂直，题型有填空题、解答题，以解答题居多，主要考查空间想象能力， 推理论证能力。
【知识回顾】
一.平面与平面的位置关系

两平面平行 两平面没有公共点



两平面斜交


两平面 相交两平面有一条公共直线

两平面直交

二．二面角与二面角的平面角 相关概念
1.半平面：一条直线将一个平面分成两个部分，每一部分叫做半平面。
2.二面 角：指一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形。该直线称为二面角的
棱，每个半平面称为 二面角的面.
3.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点作为端点；在两个半平面内分别作垂直于棱
的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图所示，简记为二面角


O

A

B

l




l

的平面角.其范围为
[0
o
,180< br>o
]

4.直二面角：当二面角的平面角是直角时叫直二面角，也即两个半平面互相垂直。
三．平面与平面平行
1.定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面，符号表示为：平面
，平面

，若

I
2.平面与平面平行的判定定理（ 不要求证明）
文字语言
如果一个平面内有两条相交的直线都
．．．
平行 于另一个平面，那么这两个平面平行
（简记为“线面平行

面面平行”）
图形语言
a


，则

∥

.
符号语言
判定
定理1


P

b



b




aIbP



∥


a
∥


b
∥



a

l
判定
定理2
如果两个平面同垂直于一条直线，那么
这两个平面平行



l




l







∥





判定
定理3
平行于同一个平面的两个平面平行


∥






∥



∥





注：判定定理1的推论： 如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线分别平行，则两平面平行

3.平面与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质
定理1
如果两个平面平行，那么一个平面内
的所有直线都平行于另一个平面（简记为
．．
“面面平行

线面平行”）


a


∥


a



a∥




a
性质
定理2
如果两 个平行平面同时和第三个平面
相交，那么它们的交线平行（简记为“面
面平行

线线平行”）





∥

b




I

a

a ∥b


I

b



l
性质
定理3
如果两个平行平面中有一个垂直于一
条直线，那么另一个平面也垂直于这条直
线





∥



l


l


问：如果两个平面平行，那么分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？
4.两平面平行间的距离
（1）两个平行平面的公垂线：与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.
（2）两个平行平面的公垂线段：夹在两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段.
（3）两个平行平面的距离：就是两个平行平面的公垂线段的长度.
（4）两个平行平面的公垂线段都相等.
四．平面与平面垂直
1.定义：如果两个 平面所成的二面角为直二面角，则这两个平面互相垂直，记为



.
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，
则两平面垂直 （简记为“线面垂直

面面垂直”）


l


l









l




注：如果一个平面平行于另一个平面的一条< br>垂线，则两平面也垂直

3.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言

符号语言
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内
垂直于它 们的交线的直线垂直于另一个平面（简
记为“面面垂直

线面垂直”）



l
m






I

l



m

m



ml


五．空间位置关系的转化
根据空间线线、线面、面面关 系的判定及性质定理，可知它们的关系是可以互相转化的，这一种转化是解决
位置关系的重要方法，是对 立体几何中位置关系的深度体现，如图所示:
线面关系
线线关系 面面关系

六．规律与技巧
1．平行中最重要的是线线平行的判定，当题目中给出中点条件时，往往隐含 着中位线的信息因素，利用中
位线很容易寻求线线平行．但不同三角形中的中位线效果也不一样，因此， 寻求三角形的中位线也是解题的关
键．对应线段成比例是平面几何中判断直线平行的重要依据，而线面平 行的空间问题通过转化可变通为线线平行，
因此，利用对应线段成比例寻求线线平行是一条行之有效的措 施．
2．立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用．事实上，立体几何问题最终是在一个或 几个平面
中得以解决的．
3．空间垂直问题的证明不能把线孤立于面之外，要善于利用平行线 平移构造，再利用线线垂直与线面垂直
相互转化，完成题目的证明．
4.立体几何的复习要牢 固树立以下的思维脉络：证线面垂直(或平行)，转化为证线线垂直(或平行)；证面面
垂直(或平行) ，转化为证线面垂直(或平行)或证线线垂直(或平行)．
从近年高考立体几何试题的命题来源来看， 很多题目是出自于课本，或略高于课本．我们在复习备考中，一
定要依纲靠本，抓住基础，不要把过多的 时间放在偏题、怪题上．

【例题精讲】
1.如图,在正方体
ABCD A
1
B
1
C
1
D
1
中,其棱长为1.

求证:平面
AB
1
C
∥
平面
A
1
C
1
D
.
AA
1
∥B
B
1


AA
1BB
1


证明：方法一：
CC
1

四边形
AA
1
C
1
C
为平行四边形

AA
1
∥
BB
1
∥CC
1

BB
1
CC
1


AC∥AC
11


AC∥平面AC
11
D

同理，AB∥平面ACD
平面ABC∥平面ACD

AC平面ACD
111

111
1111



ACIABA
AC平面AC
1
11
D


方法二：易知
AA
1
和CC< br>1
确定一个平面
AC
1
，于是，
平面AC
1
I平面A
1
C
1
A
1
C
1

AC

11
∥AC


平面AC
1
I平 面ACAC

AC
11
平面AB
1
C


AC平面ABC

平面A
1
C
1
∥平面AC
1


A
1
C
1
∥平面AB
1
C


A
1
D∥平面AB
1
C

平面AB
1
C∥平面A
1
C
1
D
A
1
C
1
IA
1
DA
1


2.在正文体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
M,N,E,F
分别是棱
A
1
B
1
,A
1
D
1
,B
1
C
1
,C
1
D
1
的中点.
求证：平面
AMN
∥
平面
EFDB
.
证明：如图，连接MF.
QM,F
分别是
A
1
B
1
,
C
1
D
1
的中点，且四边形
A
1B
1
C
1
D
1
为正方形，
MF
∥ A
1
D
1
,又
A
1
D
1
∥AD, MF∥AD
,

四边形ADFM为平行四边形，
AM
∥DF
.
又
QAM
平面EFDB，同理可证，< br>AN
∥
平面EFDB.
QAM,AN
平面AMN,
AMIANA


平面
AMN∥
平面
EFDB
.
3.如图所示，
ABC
为正三角形，
EC
平面
ABC,BD
∥CE,且
CECA2BD,M
是EA的中点.
求证：（1）DE=DA；
（2）平面
MBD
平面
ECA
；
（3）平面
DEA
平面
ECA
.
（1）方法一:如图,取EC的中点F,连接DF.
QEC
平面ABC,
ECBC
.
QCE2BD,BDCF
.

CF
. 又
QBD∥CE,BD∥

四边形BDFC是平行四边形.

BC∥DF,DFEC

在
RtDEF
和
RtADB
中,
QEF
1
ECBD,FDBCAB

2
RtDEF≌RtADBDEDA
.
方法二:如图,取AC中点N,连接BN、MN
QABC
是正三角形，∴BN⊥AC于点N.
又∵EC⊥平面ABC，
EC
平面CAE，
∴平面ACE⊥平面ABC，交线为AC.∴BN⊥平面ACE.
又∵M、N分别是AE、AC中点,
1
∴在△ACE中，
MN∥CE
,
2
1
又BD∥CE且2BD=CE,∴
BD∥CE∥MN

2
∴四边形BDMN是平行四边形,
∴
MD∥BN
∴DM⊥平面ACE.
又
AE
平面ACE，∴DM⊥AE于点M.
又∵M是AE中点，∴DA=DE.
1
(2)取CA的中点N，连接MN、BN，则
MN∥EC
.
2
又∵BD∥EC且EC=2BD,∴
MN∥DB
MN DB.
∴N点在平面BDM内.
∵EC⊥平面ABC，
BN
平面ABC，∴EC⊥BN.
∵△ABC为正三角形，∴BN⊥AC.
又AC∩EC=C，
EC
平面ACE，
AC
平面ACE,
∴BN⊥平面ACE.
∵
BN
平面MBN,
∴平面MBN⊥平面ECA，即平面MBD⊥平面ECA.
（3）DM∥BN,BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.
又
DM
平面DEA,∴平面DEA⊥平面ECA.
4.如图所示，在三棱 锥
SABC
中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.
求证：AB⊥BC.
证明： 如图，作AH⊥SB于H，连接EH、AE，
∵平面SAB⊥平面SBC，
∴AH⊥平面SBC,∴AH⊥BC.

又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.
又SA∩AH=A,

SA,AH
平面SAB,
∴BC⊥平面SAB.
∴BC⊥AB.

15.3 平面与平面平行、垂直的判定与性质
【考纲要求】
1.了解平面与平面的位置关系；
2.掌握平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理；会运用这些定理证明空间两平面位置关系.
【命题规律】
本节内容是高考考查的重点内容，主要以棱柱、棱锥、长方体、正方体等空间几 何体为载体考查面面平行、
面面垂直，题型有填空题、解答题，以解答题居多，主要考查空间想象能力， 推理论证能力。
【知识回顾】
一.平面与平面的位置关系

两平面平行 两平面没有公共点



两平面斜交


两平面 相交两平面有一条公共直线

两平面直交

二．二面角与二面角的平面角 相关概念
1.半平面：一条直线将一个平面分成两个部分，每一部分叫做半平面。
2.二面 角：指一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形。该直线称为二面角的
棱，每个半平面称为 二面角的面.
3.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点作为端点；在两个半平面内分别作垂直于棱
的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图所示，简记为二面角


O

A

B

l




l

的平面角.其范围为
[0
o
,180< br>o
]

4.直二面角：当二面角的平面角是直角时叫直二面角，也即两个半平面互相垂直。
三．平面与平面平行
1.定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面，符号表示为：平面
，平面

，若

I
2.平面与平面平行的判定定理（ 不要求证明）
文字语言
如果一个平面内有两条相交的直线都
．．．
平行 于另一个平面，那么这两个平面平行
（简记为“线面平行

面面平行”）
图形语言
a


，则

∥

.
符号语言
判定
定理1


P

b



b




aIbP



∥


a
∥


b
∥



a

l
判定
定理2
如果两个平面同垂直于一条直线，那么
这两个平面平行



l




l







∥





判定
定理3
平行于同一个平面的两个平面平行


∥






∥



∥





注：判定定理1的推论： 如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线分别平行，则两平面平行

3.平面与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质
定理1
如果两个平面平行，那么一个平面内
的所有直线都平行于另一个平面（简记为
．．
“面面平行

线面平行”）


a


∥


a



a∥




a
性质
定理2
如果两 个平行平面同时和第三个平面
相交，那么它们的交线平行（简记为“面
面平行

线线平行”）





∥

b




I

a

a ∥b


I

b



l
性质
定理3
如果两个平行平面中有一个垂直于一
条直线，那么另一个平面也垂直于这条直
线





∥



l


l


问：如果两个平面平行，那么分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？
4.两平面平行间的距离
（1）两个平行平面的公垂线：与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.
（2）两个平行平面的公垂线段：夹在两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段.
（3）两个平行平面的距离：就是两个平行平面的公垂线段的长度.
（4）两个平行平面的公垂线段都相等.
四．平面与平面垂直
1.定义：如果两个 平面所成的二面角为直二面角，则这两个平面互相垂直，记为



.
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，
则两平面垂直 （简记为“线面垂直

面面垂直”）


l


l









l




注：如果一个平面平行于另一个平面的一条< br>垂线，则两平面也垂直

3.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言

符号语言
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内
垂直于它 们的交线的直线垂直于另一个平面（简
记为“面面垂直

线面垂直”）



l
m






I

l



m

m



ml


五．空间位置关系的转化
根据空间线线、线面、面面关 系的判定及性质定理，可知它们的关系是可以互相转化的，这一种转化是解决
位置关系的重要方法，是对 立体几何中位置关系的深度体现，如图所示:
线面关系
线线关系 面面关系

六．规律与技巧
1．平行中最重要的是线线平行的判定，当题目中给出中点条件时，往往隐含 着中位线的信息因素，利用中
位线很容易寻求线线平行．但不同三角形中的中位线效果也不一样，因此， 寻求三角形的中位线也是解题的关
键．对应线段成比例是平面几何中判断直线平行的重要依据，而线面平 行的空间问题通过转化可变通为线线平行，
因此，利用对应线段成比例寻求线线平行是一条行之有效的措 施．
2．立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用．事实上，立体几何问题最终是在一个或 几个平面
中得以解决的．
3．空间垂直问题的证明不能把线孤立于面之外，要善于利用平行线 平移构造，再利用线线垂直与线面垂直
相互转化，完成题目的证明．
4.立体几何的复习要牢 固树立以下的思维脉络：证线面垂直(或平行)，转化为证线线垂直(或平行)；证面面
垂直(或平行) ，转化为证线面垂直(或平行)或证线线垂直(或平行)．
从近年高考立体几何试题的命题来源来看， 很多题目是出自于课本，或略高于课本．我们在复习备考中，一
定要依纲靠本，抓住基础，不要把过多的 时间放在偏题、怪题上．

【例题精讲】
1.如图,在正方体
ABCD A
1
B
1
C
1
D
1
中,其棱长为1.

求证:平面
AB
1
C
∥
平面
A
1
C
1
D
.
AA
1
∥B
B
1


AA
1BB
1


证明：方法一：
CC
1

四边形
AA
1
C
1
C
为平行四边形

AA
1
∥
BB
1
∥CC
1

BB
1
CC
1


AC∥AC
11


AC∥平面AC
11
D

同理，AB∥平面ACD
平面ABC∥平面ACD

AC平面ACD
111

111
1111



ACIABA
AC平面AC
1
11
D


方法二：易知
AA
1
和CC< br>1
确定一个平面
AC
1
，于是，
平面AC
1
I平面A
1
C
1
A
1
C
1

AC

11
∥AC


平面AC
1
I平 面ACAC

AC
11
平面AB
1
C


AC平面ABC

平面A
1
C
1
∥平面AC
1


A
1
C
1
∥平面AB
1
C


A
1
D∥平面AB
1
C

平面AB
1
C∥平面A
1
C
1
D
A
1
C
1
IA
1
DA
1


2.在正文体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
M,N,E,F
分别是棱
A
1
B
1
,A
1
D
1
,B
1
C
1
,C
1
D
1
的中点.
求证：平面
AMN
∥
平面
EFDB
.
证明：如图，连接MF.
QM,F
分别是
A
1
B
1
,
C
1
D
1
的中点，且四边形
A
1B
1
C
1
D
1
为正方形，
MF
∥ A
1
D
1
,又
A
1
D
1
∥AD, MF∥AD
,

四边形ADFM为平行四边形，
AM
∥DF
.
又
QAM
平面EFDB，同理可证，< br>AN
∥
平面EFDB.
QAM,AN
平面AMN,
AMIANA


平面
AMN∥
平面
EFDB
.
3.如图所示，
ABC
为正三角形，
EC
平面
ABC,BD
∥CE,且
CECA2BD,M
是EA的中点.
求证：（1）DE=DA；
（2）平面
MBD
平面
ECA
；
（3）平面
DEA
平面
ECA
.
（1）方法一:如图,取EC的中点F,连接DF.
QEC
平面ABC,
ECBC
.
QCE2BD,BDCF
.

CF
. 又
QBD∥CE,BD∥

四边形BDFC是平行四边形.

BC∥DF,DFEC

在
RtDEF
和
RtADB
中,
QEF
1
ECBD,FDBCAB

2
RtDEF≌RtADBDEDA
.
方法二:如图,取AC中点N,连接BN、MN
QABC
是正三角形，∴BN⊥AC于点N.
又∵EC⊥平面ABC，
EC
平面CAE，
∴平面ACE⊥平面ABC，交线为AC.∴BN⊥平面ACE.
又∵M、N分别是AE、AC中点,
1
∴在△ACE中，
MN∥CE
,
2
1
又BD∥CE且2BD=CE,∴
BD∥CE∥MN

2
∴四边形BDMN是平行四边形,
∴
MD∥BN
∴DM⊥平面ACE.
又
AE
平面ACE，∴DM⊥AE于点M.
又∵M是AE中点，∴DA=DE.
1
(2)取CA的中点N，连接MN、BN，则
MN∥EC
.
2
又∵BD∥EC且EC=2BD,∴
MN∥DB
MN DB.
∴N点在平面BDM内.
∵EC⊥平面ABC，
BN
平面ABC，∴EC⊥BN.
∵△ABC为正三角形，∴BN⊥AC.
又AC∩EC=C，
EC
平面ACE，
AC
平面ACE,
∴BN⊥平面ACE.
∵
BN
平面MBN,
∴平面MBN⊥平面ECA，即平面MBD⊥平面ECA.
（3）DM∥BN,BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.
又
DM
平面DEA,∴平面DEA⊥平面ECA.
4.如图所示，在三棱 锥
SABC
中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.
求证：AB⊥BC.
证明： 如图，作AH⊥SB于H，连接EH、AE，
∵平面SAB⊥平面SBC，
∴AH⊥平面SBC,∴AH⊥BC.

又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.
又SA∩AH=A,

SA,AH
平面SAB,
∴BC⊥平面SAB.
∴BC⊥AB.