丹皮的功效与作用-文明伴我成长

课题
直线与平面垂直的判定及其性质

知识点一：直线与平面垂直的判定与性质
1.直线与平面垂直的判定定理和性质定理

2.直线与平面所成的角（线面所成的角关键：过斜线上一点作平面的垂线）
(1 )定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平< br>面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角.
(2)线面角θ的取值范围:0°≤θ≤90°.
规律总结
1. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 2.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
知识点二：平面与平面垂直的判定与性质
1.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

2. 二面角

平面与平面垂直的定义:一般地，两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两
个平面互相垂直.

面叫做二面角的面 二面角的平面角:
AOB即为二面角

l

的平面角.


二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二 面角的棱，这两个半平
题型一：线面垂直的判定与性质
证明直线与平面垂直的方法:
(1)利用判定定理(a⊥b,a⊥c,b∩c=M,b⊂α,c⊂α⇒a⊥α);
(2)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);

(3)利用面面垂直的性质定理(α⊥β,α∩β=l,a⊥l,a⊂β⇒a⊥α);
(4)利用面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ).
例1：如图，已知< br>P
是菱形
ABCD
所在平面外一点，且
PA
＝
PC< br>，求证：
AC
⊥平面
PBD
.


【证明】 设
AC
∩
BD
＝
O
，由题意 知
O
为
AC
的中点，连接
PO
，因为
PA
＝
PC
，所以
PO
⊥
AC
，
又因为
AB CD
是菱形，所以
BD
⊥
AC
，而
PO
∩
BD
＝
O
，
PO
⊂平面
PBD
，
BD⊂平面
PBD
，
所以
AC
⊥平面
PBD
.
变式1：


题型二：面面垂直的判定与性质

证明面面垂直的思路
(1)利用面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,计算平面角为90°);
(2)利用面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).
2.空间垂直关系之间的转化


例2：如图，在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
A
1
B
1
ACCC
1
上的点（点
D
不同于点
C
），
E
分别是棱< br>BC，
11
，
D，
且
ADDE，F
为
B< br>1
C
1
的中点．求证：平面
ADE
平面
BCC1
B
1
．

证明：因为
ABC-A
1
B
1
C
1
是直三棱柱，所以
CC1
⊥
平面
ABC
.又因为
AD
平面
ABC< br>，所以
CC
1
AD
.
CC
1
，DE< br>平面
BCC
1
B
1
，CC
1
∩DE=E，所以
AD⊥
平面
BCC
1
B
1
. 又因为< br>AD
平面又因为
AD⊥DE，
ADE
，所以平面
ADE< br>平面
BCC
1
B
1
．
变式2：如图,在四面体ABCD中,平面BAD⊥平面CAD,∠BAD=90°.M,N,Q分别为 棱AD,BD,AC的中点.
(1)求证:CD∥平面MNQ; (2)求证:平面MNQ⊥平面CAD.


一、选择题
1．在正方体
ABCD
­
A
1B
1
C
1
D
1
中，
E
为棱
C D
的中点，则( )
A．
A
1
E
⊥
DC
1
B．
A
1
E
⊥
BD
C．
A
1
E
⊥
BC
1
D．
A
1
E
⊥
AC

如图，∵
A
1
E
在平面
ABCD
上的投影为
AE
，而
AE
不与
AC
，
BD
垂直，∴B，D错；
∵
A
1
E
在平面
BCC
1
B
1
上的投影为B
1
C
，且
B
1
C
⊥
BC
1
， ∴
A
1
E
⊥
BC
1
，故C正确；
(证明：由条件易知，
BC
1
⊥
B
1
C
，
BC
1
⊥
CE
，又
CE
∩
B
1< br>C
＝
C
，
∴
BC
1
⊥平面
CEA
1
B
1
.又
A
1
E
平面
CEA< br>1
B
1
，∴
A
1
E
⊥
BC
1
)
∵
A
1
E
在平面
DCC
1
D
1
上的投影为
D
1
E
，而
D
1
E
不与
DC
1
垂直，故A错．故选C.]



1 2 3 4

2．如图，在正方形
ABCD
中，
E
、
F
分别是
BC
、
CD
的中点，
G
是
EF
的 中点，现在沿
AE
、
AF
及
EF
把这个正方形
折成 一个空间图形，使
B
、
C
、
D
三点重合，重合后的点记为< br>H
，那么，在这个空间图形中必有( )
A．
AG
⊥平面
EFH
B．
AH
⊥平面
EFH
C．
HF
⊥平面
AEF
D．
HG
⊥平面
AEF

[根据折叠前、后
AH
⊥
HE
，
AH
⊥
HF
不变，∴
AH
⊥平面< br>EFH
，B正确；

∵过
A
只有一条直线与平面
EFH
垂直，∴A不正确；
∵
AG
⊥
EF
，
EF
⊥
GH
，
AG
∩
GH
＝
G
，∴
EF
⊥平面
HAG
，又
EF
平面
AEF
，∴平面
HAG
⊥
AEF< br>，过
H
作直线垂直
于平面
AEF
，一定在平面
HAG
内，∴C不正确；由条件证不出
HG
⊥平面
AEF
，∴D不正确．故 选B.]
3.如图，∠
BAC
＝90°，
PC
⊥平面
AB C
，则在△
ABC
，△
PAC
的边所在的直线中，与
PC< br>垂直的直线是________；
与
AP
垂直的直线是________．
答案：AB
，
BC
，
AC
；
AB
[∵< br>PC
⊥平面
ABC
，∴
PC
垂直于直线
AB
，
BC
，
AC
.
∵
AB
⊥
AC
，
AB
⊥
PC
，
AC
∩
PC
＝
C
，∴
AB
⊥平面
PAC
，∴
AB
⊥
AP< br>，故与
AP
垂直的直线是
AB
.]
4．如图7­4­12所 示，在四棱锥
P
­
ABCD
中，
PA
⊥底面
ABC D
，且底面各边都相等，
M
是
PC
上的一动点，当点
M满足________时，平面
MBD
⊥平面
PCD
.(只要填写一个你 认为是正确的条件即可)
DM
⊥
PC
(或
BM
⊥
PC
) [连接< br>AC
，
BD
，则
AC
⊥
BD
，∵
P A
⊥底面
ABCD
，∴
PA
⊥
BD
.
又
PA
∩
AC
＝
A
，∴
BD
⊥平面
PAC
，∴
BD
⊥
PC
.
∴当
DM
⊥< br>PC
(或
BM
⊥
PC
)时，即有
PC
⊥平面
MBD
.
5．
α
，
β
是两个平面，
m< br>，
n
是两条直线，有下列四个命题：
①如果
m
⊥
n
，
m
⊥
α
，
n
∥
β
，那么
α
⊥
β
. ②如果
m
⊥
α
，
n
∥
α
，那么
m
⊥
n
.
③如果
α
∥
β
，
mα
，那么
m
∥
β
. ④如果
m
∥
n
，
α
∥
β
，那么
m
与
α
所成的角和
n
与
β
所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
②③④ [对于①，
α
，
β
可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．
对于 ②，由线面平行的性质定理知存在直线
lα
，
n
∥
l
，又< br>m
⊥
α
，所以
m
⊥
l
，所以
m⊥
n
，故正确．
对于③，因为
α
∥
β
，所以
α
，
β
没有公共点．又
mα
，所以
m
，< br>β
没有公共点，由线面平行的定义可知
m
∥
β
，故正确． < br>对于④，因为
m
∥
n
，所以
m
与
α
所成的角和
n
与
α
所成的角相等．因为
α
∥
β，所以
n
与
α
所成的角和
n
与
β
所成 的角相等，所以
m
与
α
所成的角和
n
与
β
所成的角相等，故正确．]
6.如图7­4­16，在三棱柱
ABC
­
A< br>1
B
1
C
1
中，侧棱
AA
1
⊥底面
ABC
，底面是以∠
ABC
为直角的等腰直角三角形，
AC
＝
2
a
，
BB
1
＝3
a
，
D是
A
1
C
1
的中点，点
F
在线段
AA
1
上，当
AF
＝________时，
CF
⊥平面
B
1
DF
.

a
或2
a
[∵
B
1
D
⊥平面
A
1
ACC
1
，∴
CF
⊥
B
1
D< br>.
为了使
CF
⊥平面
B
1
DF
，只要使< br>CF
⊥
DF
(或
CF
⊥
B
1
F)．
设
AF
＝
x
，则
CD
＝
DF< br>＋
FC
，
∴
x
－3
ax
＋2
a< br>＝0，∴
x
＝
a
或
x
＝2
a
.]
7.如图7­4­13，在三棱锥
P
­
ABC
中，
PA⊥
AB
，
PA
⊥
BC
，
AB
⊥
BC
，
PA
＝
AB
＝
BC
＝2，
D为线段
AC
的中点，
E
为线
段
PC
上一点．
（1）求证：
PA
⊥
BD
； (2)求证：平面
BDE
⊥平面
PAC
； (3)当
PA
∥平面
BDE
时，求三棱锥
E
­
BCD
的体积．
22
222

[解] (1)证明：因为
P A
⊥
AB
，
PA
⊥
BC
，所以
PA
⊥平面
ABC
.
又因为
BD
平面
ABC
，所以
PA
⊥
BD
.
(2)证明：因为
AB
＝
BC
，
D
为
AC
的中点，所以
BD
⊥
AC
.
由(1)知，
PA
⊥
BD
，所以
BD
⊥平面
PAC
，所以平面
BDE
⊥平面
PAC
.
(3)因为
PA
∥平面
BDE
，平面
PAC
∩平面
BDE
＝
DE
，所以
PA
∥
DE
.
1< br>因为
D
为
AC
的中点，所以
DE
＝
PA＝1，
BD
＝
DC
＝2.
2
由(1)知，
P A
⊥平面
ABC
，所以
DE
⊥平面
ABC
， 11
所以三棱锥
E
­
BCD
的体积
V
＝
BD
·
DC
·
DE
＝.]
63
8.如图7­4 ­14，在三棱锥
A
­
BCD
中，
AB
⊥
AD，
BC
⊥
BD
，平面
ABD
⊥平面
BCD，点
E
，
F
(
E
与
A
，
D< br>不重合)分别在
棱
AD
，
BD
上，且
EF
⊥
AD
. 求证：(1)
EF
∥平面
ABC
； (2)
AD
⊥
AC
.
[证明] (1)在平面
ABD内，因为
AB
⊥
AD
，
EF
⊥
AD
， 所以
EF
∥
AB
.
又因为
EF
⊆平面
A BC
，
AB
平面
ABC
，所以
EF
∥平面
ABC
.
(2)因为平面
ABD
⊥平面
BCD
，平面ABD
∩平面
BCD
＝
BD
，
BC
平面
BCD
，
BC
⊥
BD
，所以
BC
⊥平面
ABD
.
因为
AD
平面
ABD
，所以
BC
⊥
AD
.又
AB
⊥
AD
，
BC
∩
AB
＝
B
，
AB
平面
ABC
，
BC平面
ABC
，
所以
AD
⊥平面
ABC
.又因 为
AC
平面
ABC
，所以
AD
⊥
AC
.
9. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1，D是棱AA1的中点.
(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC.（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.