开幕式作文-百度度娘

直线与平面、平面与平面垂直的性质
[学习目标] 1.理解直线和平面垂直、平面与 平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图
形语言描述定理.2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理 证明相关问题.3.理解“平行”与“垂
直”之间的相互转化.

知识点一 直线与平面垂直的性质定理
文字语言
符号语言
垂直于同一个平面的两条直线平行

②作平行线
a⊥α



⇒a∥b

b⊥α

图形语言

作用

思考 (1)垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？
(2)过一点有几条直线与已知平面垂直？
答 (1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.
(2 )有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可
得这两条直线 平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.
知识点二 平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
①线面垂直⇒线线平行
符号语言

①面面垂直⇒线面垂直
②作面的垂线
α⊥β
α∩β＝l
a⊥l
a⊂α



⇒a⊥β



图形语言
作用
思考 (1)如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？
(2)如果α⊥β，过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α吗？

答 (1)正确.若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平 行的无数条直线均垂
直于α内的任意直线.
(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直.

题型一 直线与平面垂直的性质及应用
例1 如图，正方体A
1
B
1
C
1
D
1
-ABCD中，EF与异面直线AC、A
1D都
垂直相交.
求证：EF∥BD
1
.
证明 如图所示，
连接AB
1
、B
1
D
1
、B
1
C 、BD，
∵DD
1
⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，
∴DD
1
⊥AC.
又AC⊥BD，DD
1
∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDD
1
B
1
，
又BD
1
⊂平面BDD
1
B
1
，
∴AC⊥BD
1
.
同理可证BD
1
⊥B
1
C，
又AC∩B
1
C＝C，
∴BD
1
⊥平面AB
1
C.
∵EF⊥A
1
D，A
1
D∥B
1
C，∴EF⊥B
1
C.
又∵EF⊥AC，AC∩B
1
C＝C，
∴EF⊥平面AB
1
C，∴EF∥BD
1
.

跟踪训练1 已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R.
求证：QR⊥AB.
证明 如图，因为α∩β＝AB，
PO⊥β于点O，所以PO⊥AB.

因为PQ⊥α于点Q，所以PQ⊥AB.
因为PO∩PQ＝P，
所以AB⊥平面PQO.
因为OR⊥α于点R，所以PQ∥OR.
因为PQ与OR确定平面PQRO，
QR⊂平面PQRO，AB⊥平面PQRO，
所以AB⊥QR.
题型二 平面与平面垂直的性质及应用
例2 如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VA B为等边三角形，AC⊥BC
且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点.
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥V－ABC的体积.

(1)证明 ∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB.
∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
∴VB∥平面MOC.
(2)证明 ∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.
又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面 ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB.
∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.
(3)解 在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝2，
∴AB＝2，OC＝1，
∴S
△
VAB
＝
3
2
AB＝3.
4

∵OC⊥平面VAB，
113
∴V
C－VAB< br>＝OC·S
△
VAB
＝×1×3＝，
333
∴V
V－ABC
＝V
C－VAB
＝

跟踪训练2 如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，过点A作AF⊥S B，
垂足为F.求证：BC⊥SA.
证明 因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，
AF⊂平面SAB，AF⊥SB，
所以AF⊥平面SBC.
又因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.
因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以BC⊥平面SAB.
又因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.
题型三 线线、线面、面面垂直的综合应用
例3 如图，直四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA
1
＝3，E为C D上一点，DE＝1，EC＝3.
3
.
3

(1)证明：BE⊥平面BB
1
C
1
C；
(2)求点B
1
到平面EA
1
C
1
的距离.
(1)证明 过B作CD的垂线交CD于F，
则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.
在Rt△BFE中，BE＝3.
在Rt△CFB中，BC＝6.
在△BEC中，因为BE
2
＋BC
2
＝9＝EC
2
，故BE⊥BC.
由BB
1
⊥平面ABCD得BE⊥BB
1
，

又BB
1
∩BC＝B，所以BE⊥平面BB
1
C
1
C.
(2)解 三棱锥E－A
1
B
1
C
1
的体积
1
S
A
1
B
1
C
1
＝2. V ＝AA
1
·
3
在Rt△A
1
D
1
C
1
中，A
1
C
1
＝
同理，EC
1
＝A
1
E＝
2
A
1
D
2
1
＋D
1
C
1
＝32.
EC
2
＋CC
2
1
＝32，
A
1
A
2
＋AD
2
＋DE
2
＝23.
故
S
A
1
C
1
E
＝35.
设点B
1
到平面A
1
C
1
E的距离为d，
则三棱锥B
1
－A
1
C
1
E的体积
1
S
A
1
C
1
E
＝5d， V＝·d·
3
从而5d＝2，d＝
10
.
5
10
.
5
即点B
1
到平面EA
1C
1
的距离为

跟踪训练3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面AB CD是边长为a的
菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面
ABCD.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边上的中点，能否在PC棱上找到 一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明
你的结论.
(1)证明 设G为AD的中点，连接PG，BG，如图.
因为△PAD为等边三角形，
所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.
因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.

(2)解 当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
如图，设F为PC的中点，则在△PBC中，EF∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE，
而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，
所以平面DEF∥平面PGB.
由(1)，得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD.
所以平面DEF⊥平面ABCD.


条件开放型

例4 如图，在直四棱柱A
1
B
1
C
1
D
1
－ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有
A
1
C⊥B1
D
1
？(注：写出一个你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形)

分析 要使A
1
C⊥B
1
D
1
→A1
C⊥BD――――――→BD⊥平面A
1
AC→AC⊥BD
解 因为 BD∥B
1
D
1
，所以要使A
1
C⊥B
1
D
1
，需A
1
C⊥BD.
又因为A
1
A⊥平面A BCD，A
1
A⊥BD，A
1
A∩A
1
C＝A
1< br>，
所以BD⊥平面A
1
AC.
因为AC⊂平面A
1
AC，所以AC⊥BD.
由以上分析，知要使A
1
C⊥B
1
D
1
，需使AC⊥BD或任何能推导出AC⊥BD的条 件，如四边
形ABCD是正方形、菱形等.


A
1
A∩A
1
C＝A
1

1.在空间中，下列命题正确的是( )
A.垂直于同一条直线的两直线平行B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行
2.关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是( )
A.①② B.③④C.①④ D.②③
3.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A.α∥γ
C.α与γ相交但不垂直
B.α⊥γ
D.以上都有可能
4.已知a、b为直线，α、β为平面.在下列四个命题中，正确的命题是________.
①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
④若α∥b，β∥b，则α∥β.
5.如图，在 三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则
PB＝ ________.







一、选择题
1.在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱AB上任取一点E，作EF⊥A
1
B
1
于F，则EF与平面A
1
B
1
C
1
D
1
的 关系是( )
A.平行
C.相交但不垂直
⊂平面A
1
B
1
C
1
D
1

D.相交且垂直

2.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PA B，PA＝PB，AD＝DB，则( )

⊂平面⊥平面ABC
与平面ABC相交但不垂直∥平面ABC
3.如图所示，在斜三棱柱ABC－A
1< br>B
1
C
1
中，∠BAC＝90°，BC
1
⊥AC，则 点C
1
在底面ABC上
的投影H必在( )

A.直线AB上
C.直线AC上
B.直线BC上
D.△ABC内部
4.如图，正方 形SG
1
G
2
G
3
中，E、F分别是G
1
G
2
、G
2
G
3
的中点，现在沿SE、SF、EF把这个< br>正方形折成一个四面体，使G
1
、G
2
、G
3
重合， 重合后的点记为G.给出下列关系：

①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有( )
A.①与②B.①与③C.②与③D.③与④





垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系不正
确的是( )

⊥BC
⊥PB
⊥平面PAC
⊥BC

< br>6.三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，O是顶点P在底面ABC上的射影，
则( )
A.S
△
ABC
＝S
△
PBC
＋S
△
OBC
B.S
2
S
△
ABC

△
PBC
＝S
△
OBC
·
C.2S
△
PB C
＝S
△
OBC
＋S
△
ABC
D.2S
△
OBC
＝S
△
PBC
＋S
△
ABC
7.如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角< br>线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )

A.A′C⊥BDB.∠BA′C＝90°
1
′与平面A′BD所成的角为30°D.四面体A′－BCD的体积为
3

二、填空题
8.设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β .若以其中两个作为前
提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为 _______.
9.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A
1
B
1C
1
D
1
中，E是BC
1
的中点，则直线DE与平面A BCD
所成角的正切值为________.

10.已知矩形ABCD的顶点都在 半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝23，则棱锥O
－ABCD的体积为________.


11.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分 别为AB，DF的
中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于______ __.




三、解答题

1
12.如图所示，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别2
为线段AD，PC的中点.
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：BE⊥平面PAC.









13.在如图所示的多面体中，四边形ABB
1
A< br>1
和ACC
1
A
1
都为矩形.
(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC
1
A
1
； (2)设D，E分别是线段BC，CC
1
的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线D E∥平面
A
1
MC？请证明你的结论.









当堂检测答案
1.答案 D
解析 A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线
的两 个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确.
2.答案 D

解析 ①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误.
3.答案 D
解析 两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C
都有可能，故选D.
4.答案 ①③
解析 由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两 直线平行或异
面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假.
5.答案 5
解析 ∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，∴PB＝PA
2
＋AB
2
＝1＋4＝5.


课时精练答案
一、选择题
1.答案 D
解析 在长方体AB CD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，平面A1
ABB
1
⊥平面A
1
B
1
C
1D
1
且平面A
1
ABB
1
∩平面
A
1
B
1
C
1
D
1
＝A
1
B
1
，又EF⊂面A
1
ABB
1
，EF⊥A
1
B1
，∴EF⊥平面A
1
B
1
C
1
D
1
，答案D正确.
2.答案 B
解析 ∵PA＝PB，AD＝DB，
∴PD⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面PAB，
平面ABC∩平面PAB＝AB，
∴PD⊥平面ABC.
3.答案 A
解析 连接AC
1
，∠BA C＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC
1
，AB∩BC
1
＝B，所以AC ⊥平面
ABC
1
.又AC⊂平面ABC，于是平面ABC
1
⊥平面A BC，且AB为交线，因此，点C
1
在平面

ABC上的投影必在直线A B上，故选A.
4.答案 B
解析 由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排 除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，
这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.
5.答案 C
解析 ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，A选项正确；∵BC⊥AC，∴B C⊥面PAC，∴BC⊥PC，
∴B，D选项均正确.故选C.
6.答案 B
解析 如图，由题设，知O是垂心，且有AP⊥PD，所以PD
2
＝OD·AD，即S
2S
△
ABC
.
△
PBC
＝S
△
OBC
·
7.答案 B
解析 取BD的中点O，连接A′O，CO.
∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD.
∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.
假设A′C⊥BD，∵A′O∩A′C＝A′，∴BD⊥平面A′OC，
∴OC⊥BD，出现矛盾，即A′C不垂直于BD，A选项错误；
∵CD⊥BD，平面A′B D⊥平面BCD，且平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面A′BD，
∴CD⊥A′B.
∵A′B＝A′D＝1，BD＝2，∴A′B⊥A′D，
∴A′B⊥平面A′CD，∴A′B⊥A′C，B选项正确；
∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C选项错误；
11
V
A
′
－BCD
＝S
△
A
′
BD
·CD＝，D选项错误.
36
二、填空题
8.答案 1
解析 ①②作为前提条件，③作为结论构成的命题正确，过l作一平面与β交于l′，则l∥l′，
所以l′⊥ α，故α⊥β；①③作为前提条件，②作为结论构成的命题错，这时可能有l⊂β；
②③作为前提条件， ①作为结论构成的命题错，这时l与α的各种位置关系都可能存在.

9.答案
5

5
解析 取BC的中点F，连接EF，DF，易知∠EDF为直线DE与 平
面ABCD所成的角，tan∠EDF＝
10.答案 83
解析 如图.
因为矩形ABCD的四个顶点都在球面上，所以过A，B，C，D四点的截
面圆的圆心为矩形ABCD 的中心O′.连接OO′，在△AOC中，因为
OA＝OC，且O′为AC的中点，所以OO′⊥AC. 同理，OO′⊥BD.又因为AC∩BD＝O′，
所以OO′⊥平面ABCD，即OO′为棱锥O－AB CD的高.
AC
AO′＝＝
2
OO′＝
6
2
＋ 23
2
43
＝＝23，
22
4
2
－23
2
＝2，
15
＝.
5
5
AO
2
－AO′
2
＝
1
所以 V
O－ABCD
＝×6×23×2＝83.
3
11.答案 6
解析 取CD的中点G，连接MG，NG.

因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝2.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，
所以MN＝
三、解答题
12.证明 (1)如图所示，设AC∩BE＝O，连接OF，EC.
MG
2
＋NG
2
＝6.

1
由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，
2
所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，
因此，四边形ABCE为菱形，
所以O为AC的中点.
又F为PC的中点，
因此，在△PAC中，可得AP∥OF.
又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)由题意，知ED∥BC，ED＝BC，
所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD.
又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.
因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.
又AP∩AC＝A，AP、AC⊂平面PAC，
所以BE⊥平面PAC.
13.(1)证明 因为四边形ABB
1
A
1
和ACC
1< br>A
1
都是矩形，
所以AA
1
⊥AB，AA
1
⊥AC.
因为AB，AC为平面ABC内两条相交的直线，
所以AA
1
⊥平面ABC.
因为直线BC⊂平面ABC，
所以AA
1
⊥BC.
又由已知，AC⊥BC，AA
1
、A C为平面ACC
1
A
1
内两条相交的直线，所以BC⊥平面ACC
1
A
1
.
(2)解 取线段AB的中点M，连接A
1
M，M C，A
1
C，AC
1
，设O为A
1
C，

AC
1
的交点.
由已知，O为AC
1
的中点.
连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC
1
的中位线，
11
所以MD綊AC，OE綊AC，
22
因此MD綊OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，
则DE∥MO.
因为直线DE⊄平面A
1
MC，MO⊂平面A
1
MC，
所以直线DE∥平面A
1
MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A
1
MC.