会计工作内容-学校军训总结

直线与平面、平面与平面垂直的性质
【知识梳理】
1．直线与平面垂直的性质定理
(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
(2)图形语言：

a⊥α



⇒a∥b. (3)符号语言：

b⊥α

(4)作用：
①线面垂直⇒线线平行；
②作平行线．
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)文字语言：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
(2)图形语言：


(3)符号语言：


α∩β＝l


⇒a⊥β.
a⊂α


a⊥l
α⊥β
(4)作用：
①面面垂直⇒线面垂直；
②作面的垂线．
【常考题型】
题型一、线面垂直性质定理的应用
【例1】 如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面AC D，△ACD为等边三角形，AD＝DE
＝2AB，F为CD的中点．

求证：平面BCE⊥平面CDE.
[证明] 取CE的中点G，连接FG，BG，AF.
1
∵F为CD的中点，∴GF∥DE，且GF＝DE.
2
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE.则GF∥AB.
1
又∵AB＝DE，∴GF＝AB.
2
则四边形GFAB为平行四边形．于是AF∥BG.
∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.
又∵CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面CDE，∴AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.
∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.
【类题通法】
1．此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明时要综合题目中的条件， 利用条件和
已知定理来证，或从结论出发逆推分析．
2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行， 可考虑利用线面
垂直 的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三
角形中位线的有 关性质．
【对点训练】
1.如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC， 且AE＝AB

＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证：(1)DF∥平面ABC；
(2)AF⊥BD.
证明：(1)取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG ＝
1
2
AE.
∵CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，

∴CD∥AE.
又∵CD＝
1
2
AE.
∴FG∥CD，FG＝CD.
∵FG⊥平面ABC，
∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG.
又∵CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，
∴DF∥平面ABC.
(2)Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F为BE中点，
∴AF⊥BE.
∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，∴DF⊥AB.
又∵DF⊥FG，FG∩AB＝G，∴DF⊥平面ABE.
又∵AF⊂平面ABE.∴DF⊥AF.
∵BE∩DF＝F，∴AF⊥平面BDF.
又∵BD⊂平面BDF，∴AF⊥BD.
题型一、面面垂直的性质的应用
【例2】 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形
ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的 菱形．侧面PAD为正三角形，其所在

平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
[证明] (1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
则PG⊥AD.

又∵平面PAD⊥平面ABCD，PG⊂平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD.
∵BG⊂平面ABCD，
∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形．
则BG⊥AD.
又∵AD∩PG＝G，且AD，PG⊂平面PAD.∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.
又∵BG，PG为平面PBG内两条相交直线，∴AD⊥平面PBG.
∵PB⊂平面PBG，
∴AD⊥PB.
【类题通法】
证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理 ，另一种方法是利用面面垂直的性质
定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面 垂直的性质定理，证明线
面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其 中一个平面内；(3)直线
必须垂直于它们的交线．

【对点训练】
2.如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面
PBC.
求证：BC⊥AC.
证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D.
∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，
∴AD⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.
∵AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC.
题型三、线线、线面、面面垂直的综合问题
【例3】 已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E
为垂足．

(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
[证明] (1)在平面A BC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥
平面ABC，且交线为 AC，∴DF⊥平面PAC.

∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.
同理可证，DG⊥PA.

∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于点H.
∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.
又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.
∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
【类题通法】
线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想．
【对点训练】
3.如图 ，在三棱锥P－ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.
求证：平面PEF⊥平面PBC.
证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.
又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，
∴PE⊥AC.
又∵平面PAC⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.
又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.
∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.
∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.

又∵BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PEF.
【练习反馈】
1．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：选D 由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误．
2．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l ⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则不重合的直线
l，m的位置关系是( )
A．相交
C．平行
B．异面
D．不确定
解析：选C ∵直线l⊥AB，l⊥AC，且AB∩AC＝A，
∴l⊥平面α，同理直线m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.
3．若a，b表示 直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，
a⊥b⇒b∥α； ③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的序号是________．
解析 ：由线面垂直的定义及性质定理可知，①④正确；②中b可能满足b⊂α，故②错误；
③中b可能与α相 交但不垂直．也可能平行，故③不正确．
答案：①④
4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n ⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
解析：由题意知n⊥α，而m⊥α，∴m∥n.
答案：平行
5．如图所示，正方体 A
1
B
1
C
1
D
1
－ABCD中，EF与 异面直线AC，A
1
D都垂直相交．
求证：EF∥BD
1
.

证明：如图所示：
连接AB
1
，B
1< br>D
1
，B
1
C，BD.
∵DD
1
⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，∴DD
1
⊥AC.
又AC⊥BD，DD
1
∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDD
1
B
1
.
又BD
1
⊂平面BDD
1
B
1
，∴AC⊥BD
1
.
同理可证BD
1
⊥B
1
C.又B
1
C∩AC＝C，
∴BD
1
⊥平面AB
1
C.∵EF⊥AC，EF⊥A
1D，又A
1
D∥B
1
C，∴EF⊥B
1
C.又AC∩B
1
C＝C，
∴EF⊥平面AB
1
C，∴EF∥BD
1
.


学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在 开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量
往前甩，然 后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？”学生们都 笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每
天甩手300下，哪个同学坚 持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80％。 一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的
甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时， 整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所 以能成为大哲学家，其中一个重要原
因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业， 必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为 他具有锲而不
舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候 ，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事
要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些 困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的
道路，不能靠一时激 情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！ 当下市面上关于 教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而
当读者实际应用时，很多看似实用的方法用 来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但 最终肯定还是会回归到当初的原点。这
本《学会学习》在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测 试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉 、听觉和动觉学
习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对 性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按
照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施 教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方
法也能更深入的认识 客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一 篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个
学习方法的题目清晰明了十分便于查找 ，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。 其内容从“时间规划”、“笔记”“阅读”直到
“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精 炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论 的方法肯定会无心查看，明
了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能 在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的 心理
测试:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“消极的行为”，来自由搭配，看如 何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”
想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为” 才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的
生搬硬套不适合自 己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个 人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗
憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已 是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具 书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这
本书的副标题为“增加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨， 本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括7个方面，分别是 学习模式，时间管理和
学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采 取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任

何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分 ，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系
统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力 上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与
伦比的，但是这本书 让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还 要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和
感的，好吗？所以他们能出现这样的情况， 从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克 能成为管理上的大师，其理念影响了全
世界……不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较 深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似 的学习模式，她
把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的 ，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短
了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他 的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受
用终生。还有，作者 提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如 果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，
这在我们现在工作中都必须要用的管理信息 的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历程，可以获得持续的提高，直到最 后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统
地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的 时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统，游刃有余地攻克自己之前没接触的领域，提升自己的理解 力，我想这正是
我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了 ，包括笔记的表格，辅助记忆的表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧，缓解紧张的方法……我觉得
全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所提到的方法，定能在学习 中得到提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的那个故事，在
美国得到诺贝尔奖的 科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一样，不要贪多吃不烂，认 定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档
系统，虽然不是学习过程中的技能，只属于 学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维，对自己的收益将难以估量。稍显不足的地方 是，第一，本书的语言太过精练，感觉
就像没有主观感情一样，要命的是有很多词语或者概念读的时候甚 至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就看的比较费力，现在好了，作者也不等你，直接把你撂那。第二，作 者很多地方就像
立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习惯了。第三，作者在书中 提到各种学习的类型，但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍，比如，将学习分为好几
种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点就 不太适用，像成立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是比较
的困难，但作者没有 就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。