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四年级数学讲义
奥数：容斥原理(1)
教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。

一、教学衔接
二、教学内容
（一）知识介绍
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个 计数部分有重复包含
时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个 事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有
性质a或性质b的事物 的个数=N
a
＋N
b
－N
ab
。


（二）例题精讲
Na
Nab
Nb
例1、一个班有48人，班主任在 班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数
学作业？请举手！”有42 人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语
文、数学作业都完成的人 数。
【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人， 多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做 完数学作业的人
数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－4 8=31人。

例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题 的有23人，两题都答对的有
15人。问多少个同学两题都答得不对？
【分析与解答】已知答 对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10
人。又已知 答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答
对的人数： 10＋23=33人。所以，两题都答得不对的有36－33=3人。

例3、某班有56人 ，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，
那么同时参加 语文、数学两科竞赛的有多少人？
【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一 科竞赛的人数：56－25=31人，再求
两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。


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例4、1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
【分析与解答 】从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中，5的倍数有
100÷ 5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍
数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33 个，既不是5的倍
数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个。

例5 、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年
级 的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少
幅？
【分析与解答】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、 二、三、
四、五年级参展作品的总数。24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四 年级参展的作品
数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参 展作品的总数，
再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。（24＋22－10）÷2=18幅。



三、教学练习
1、五年级有122名学生参加语文、数学考 试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的
有65人，数学优秀的有87人。语文、数 学都优秀的有多少人？





2、五（1）班有40 个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人 两个小组都没有参加？





3、一个旅行社有36 人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有
多少人？






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4、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？




5、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科 技作品，其中有110件不是一年级的，有100
件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。 其他年级参展的作品共有多少件？




四、教学小结





六、课后练习

1、学校文艺组每人至少 会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种
乐器都会演奏的有8人 。这个文艺组一共有多少人？





2、某校选出5 0名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没
有获奖。已知 作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？





3、三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人 。这
两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人？




4、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？





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5、六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，< br>有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？


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