线面垂直的判定定理和性质
kaixinwang-公司年度工作总结
§1.9直线和平面垂直的判定和性质
(第一课时)
浙江省湖州二中数学组
王峥嵘 邮编313000
一、 素质教育目标:
(一) 知识教学点
1、 直线和平面垂直的定义和相关概念
2、 直线和平面垂直的判定定理
3、
直线和直线平行的性质定理
(即课本P25 页例1)
(二) 能力训练点
1、
引导学生合理应用平移的方法将分散的条件集中到某一个图
形中进行研究,特别是辅助线的合理添加。
2、 引导学生在研究直线和平面位置关系时转化为直线和直线的
的位置关系(如直线和平面垂
直,只须这条直线垂直于这个平
面内的两条相交直线),向学生渗透转化思想的应用。
(三)
德育教育:引导学生认识到定理的证明过程实质是应用转化思想
的过程:立体几何的问题转化为平面
几何的问题;解决空间线、面
垂直问题我们通过转化为线、线垂直的问题来解决,转化的思想是
一种常用的数学思想方法。
二、 教学重点、难点
(一)
教学重点:1、掌握直线和平面垂直的定义:如果一条直线和一个
平面内的任何一条直线垂直,那么这条直线和这个平面垂直。
2、掌握直线和平面垂直的判定定理:
则l平面
.
若m平面
,n平面
,mnA,lm,ln,
3、掌握线线平行的性质定理:
若ab,a平面
,则b平面
.
(二)
教学难点:
线、面垂直定义的理解和判定定理的证明;同时还要解决好定
理证明中辅助线添加
的方法和原因,及为何可用经过B点的两条直
线说明“任意”直线的问题。
三、
教学工具的准备
幻灯片:书写本节课涉及的定义、定理和图例.
多媒体课件:演示本节课涉及的线线、线面关系,增加立体几何
的直观性.
四、课时安排:
本课题(
§1.9直线和平面垂直的判定和性质
)共安排2课时,本节课
为第一课时
五、 学生活动设计:
1、
2、
观察生活中,线面垂直的实例和应用。
现实生活中如何确定和保证一条“线”和“面”的垂直。
六、 教学过程:
(一)
温顾知新,新课引入:
1、 空间两条直线有哪几种位置关系?
多媒体课件演示(三种:两直线相交,两直线平行,两直线异面)
2、
经过一点和一条直线垂直的直线有几条?
多媒体课件演示(由两直线垂直的定义可知:经过一点有无数条直线和已
知直线垂直)
3、 空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系?
多媒体课件演示(三种:直线在平面内,直线和平面相交,直线和平面平行)
师:
我们已经学过直线和平面平行的判定和性质,知道直线和平面平行的问题可
转化为考察直线和平面内直线平行的关系,今天我们学习直线和直线相交的一种特殊情
况——直
线和平面垂直,这个问题同样可以转化为考察一条直线和一个平面内直线的关
系,然后加以解决。
(板书:§1.9直线和平面垂直的判定和性质)
(二) 小结活动,推测结论
1、 教师演示课本P
23
的实例并指出书脊(想象成一条直线)、各书页
与
桌面的交线成90°角,得出书脊(“线”)和桌面(“面”)垂直,
给出直线和平面垂直的具体形象。
从而引出直线和平面垂直的概
念:(
多媒体课件演示结合幻灯片显示定义)
如果一条直
线和一个平面内的
任何一条直线垂直,我们说这条直线和这个平面互相垂直,直线
叫做平面的垂
线,平面叫做直线的垂面。
2、 注意点:过一点
(无论点是否在平面上)
有且只有
一条直线和一个平面
垂直;过一点
(无论点是否在直线上)
有且只有一个平面和一条直
线垂
直。平面的垂线和平面一定相交,交点
叫做垂足。
3、 说明直线和平面垂直的
画法和表示:画
直线和水平平面垂直时要把直线画成
和表示平面的平行四边形的横边垂直,A
l
α
B
(图1)
如图(图1)中的AB.直线和平面互相垂直,记作⊥
α
.
4、 小结现实生活中的线面垂直,推测线面垂直判定定理:
师:我们在现实生活中是如何保证“线”和“面”的垂直?
生甲:泥瓦匠用铅锤来使墙面和地面垂直。
生乙:广场的路灯靠灯杆下的六个有一个角为直角的角铁,来
使灯杆和地面垂直。
师:很好,大家都对生活中“线”和“面”的垂直有所发现,
甲同学的发现是工人们对重力的利用,我们暂且不说,请
注意乙同学的发现,我们一起想一想,是否可以减少角铁
的个数,同时这些角铁要是怎样的位置关系?
生:两个,它们不在同一平面上。
师:对!那么我们想想看,这样的两个角铁实际上是保证了灯
杆(“线”)和地面(“平面”)的几条直线垂直,对这些直
线有什么要求?
生:灯杆和地面两条直线垂直,这两条直线相交。
师:好!请大家自己根据上面的例子总结一下,我们如何在判断
空间一条直线和一个平面垂直。
(三) 层层推进,证明线面垂直判定定理
指导学生写出已知条件和结论,并画出图形(图2):
已知:
m平面
,n平面
,mnB,
lm,ln.
求证:
l平面
.
n
α
m
(图2)
A
l
B
师:你们准备如何证明直线和平面
α
垂直呢?
生:根据直
线和平面垂直的概念来证明,我们需要证明直线和平
面
α
内的任何一条直线都垂直。
师:是的,我们现在只有从直线和平面垂直的概念入手证明直线
和平面
α
垂
直。那么我们设
g
是在平面内
α
任意一条直线,现
在只要证明
⊥
g
就可以了。对于平面
α
内不经过B点的直线
k,
可以过点B做它的平行线
k′
,通过异面直线所成的角的定义
来说明直
线
k
和直线垂直,所以,我们先来证明g经过和平
面
α
的垂足B
点的情况。
(学生思考证明方法,教师在图2上适时添加辅助线,并对下列问题根据需要作出提示)
1、l、g是相交直线,要证明她们垂直,实际上已经转化为平面几何中证明直线和直线
垂直的
问题,可以考虑等腰三角形的性质,在直线l上点B的两侧分别取点A和A′,
使AB = A′B.
2、直线m、n和线段A A′是什么关系?(m、n垂直平分线段AA′)
3、从结论看,直线g与线段A A′应当是什么关系?(g垂直平分线段A A′)
4、怎样证明直线g垂直平分线段A A′?(只要能
证明在g上任取的点E,有AE=
A′E)
5、过E做直线分别与m、n交于C、D,连接AC、
A′C、AD、A′D,则有:AC=
A′C、
AD= A′D,由此能证明AE= A′E吗?(利用
全等三角形的性质)
(学生叙述证明过程,教师板书)
l
A
B
m
n
α
(图3) A′
证明:设g是平面
α
内的任意一条直线,要证明⊥平面
α
,根据定
义,只要证明⊥g就可以了。
先证明、g都通过点B的情况(图3).
在直线上点B的两侧分别取A、A’,使AB=
A’B.那么直线
m
、
n
都是线
段AA’的垂直平分线,为了证明
⊥g,可证明直线g也是线段AA’垂直平分
线.
当g与
m
(或
n
)重合时,根据已知⊥
m
(或
n
),可知⊥g成立.当g与m、n不重合时,在平面
α
内作一条直线CD,与直线m、n、g分别交于点C、
D、E.则有
AC=A’C ,AD=A’D
∴
ΔACD≌ΔA’CD,
得 ∠ACE=∠A’CE
∴
ΔACE≌ΔA’CE
得 AE=A’E
∴
g是AA’的垂直平分线.
∴ ⊥g
如果直线、g中有一条或两条不经过点B,那么可过点B 引它们的平
行线,由于过点B的这
样两条直线所成的角就是直线与g所成的角,同
理可证这两条直线垂直.因而⊥g.
综上所述可得 ⊥g
参看图3并作说明:
1、
当直线g和m(或n)重合时,结论显然成立.
2、
如果直线、g中有一条或两条不经过点B,那么可过点B 引
它们的平行直线,由过点B的的这两条直
线所成的角,就是
直线与g所成的角,同理可证这两条直线垂直,因而⊥g.
3、 要判
断一条已知直线是否和一个平面垂直,取决于在这个
平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,至于
这两条
..
相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.
这样,我们得到了直线和平面垂直的判定定理.
(板书:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直
线垂直于这个平面)
4、 强调“线面垂直片顶定理”中的“两条”和“相交直线”
这两个条件的重要性。
⑴
用新课引入时学生的生活实例,路灯下的角铁如过只有一个就不
能保
证使灯杆垂直于地面,如果是两个,但这两个角铁靠地面的两条边在同
一直线上同样不能保证使灯杆垂直
于地面,那样的话路灯就很不稳定了
⑵
将一块大直角三角板的一条直角边AC放在讲台上演示,这时另
一 条直角边BC就
和讲台上的一条直线垂直(即三角板与桌面的交线AC)
垂直,但它不一定和讲台桌面垂直.(强调“两
条”)
⑶
在
⑵
的基础上在讲台上放一根和大直角
三角板边AC平行的竹
竿EF,那么三角板的直角边BC同样和EF垂直,但它不一定和讲台桌面垂直.
(四) 初步应用,提高能力
例1:如果两条平行直线中的一条垂直于一
个平面,那么另一条也垂直于同一个平面.
a
m
n
图4
b
已知:
ab,a平面
(图4)
证明:
b平面
证明:在平面
α
内作两条相交直线
m
、
n .
am
a平面
bm
an
bn
b平面
ab
说明:本例结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理.这
样判定一条直线与已知平面垂直,可以用这条直线垂直于
平面两条相交直线来证明,也可以用这条直线的平行直线
垂直于平面来证明.
(五) 学生练习,检查学习效果
练习1、一条直线垂直于平面内的两条直线,这条直线垂直于这个平
面吗?
生:不一定.当平
面内的两条直线平行时,它们的垂线不一定和平面
垂直.比如在同一个平面内和两条平行线垂直的直线就
有无数条.
练习2、求证:如果三条共点直线两两垂直,那么其中的一条直线垂
直于另外两条
直线确定的平面.
分步解答:(1)、生丙:在黑板上根据命题作图(图5).
(教师及时讲评
回顾线面垂直作图的注意点)
A
C
(2)、生丁:口答命题的已知条件和结论.
O
(3)、生戊:根据黑板上的图和已知条
件
(教师板书)
已知:OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA
B
图5
求证:OA⊥平面BOC,OB⊥平面AOC,OC⊥平面AOB.
证明:
(以证明OA⊥平面BOC为例,目的强化书写格式和线面垂直判定定理的两
个重要条件)
OBOC
OB平面BOC
OA平面BOC.
OC平面BOC
OBOCO
同理可证
OB⊥平面AOC<
br>,
OC⊥平面AOB.
OAOB
(六) 课堂小结
师:今天这节
课,我们学习了直线和平面垂直的定义,同时我们利用
这个定义证明了直线和平面垂直的判定定理,事实
上在判定一条直线
和一个平面是否垂直上,直线和平面的垂直判定定理用得较多,如果
直线垂
直于一个平面
α
,那么直线垂直于这个平面
α
内任何一条直
线;对于
判定线、面垂直,实质是转化成线、线垂直,从中不难发现
立体几何问题解决的一般思路。注意区分线面
平行和线面垂直的数
量:经过一点有无数条直线和已知直线垂直,但经过一点只有一个平
面和已
知直线垂直;经过平面外一点有无数条直线和已知平面平行,
但经过一点只有一条直线和已知平面垂直.
七、 作业巩固
(
做为线面垂直定义和判定定理的第一节课,回家作业只做一般要求顾布置如下四题:)
习题1、求证和三角形两边同时垂直的直线,也和第三边垂直.
习题2、如果一条直线平行于一个平面,那么这个平面的任何垂线都
和这条直线垂直
习题3、直角三角形ABC在平面
α
内,D是斜边AB的中点、AC=6cm,
BC=8cm,EC⊥平面
α
,EC=12cm。求EA、EB、ED的长.
习题4
、如右图,钳工检查长方体工
件的棱BB’是否和底面A’C’垂直,只要检
查∠BB’A’和
∠ BB’C’是不是直角就可以
了,为什么?
八、 板书设计:
(板书1)
(板书2)
1、定义
2、画法
§1.9直线和平面垂直的判定和性质(一)
直线和平面垂直的判定定理:
如果一条
直线和一个平面内
的两条相交直线都垂直,那么
这条直线垂直于这个平面
证明:在平面α内作两条相交
直线m、n设m∩n=A,
………………
………………
例1、 如果两条平行直线中的
一条垂直于一个平面,那么另
一条垂直于同一个平面
已知ab a
平面α
求证:b⊥平面α
1、定义
2、画法
§1.9直线和平面垂直的判定和性质(一)
直线和平面垂直的判定定理:
如果一条
直线和一个平面内
的两条相交直线都垂直,那么
这条直线垂直于这个平面
已知:m
平面α,m∩n=B,
l⊥m,l ⊥n.
求证:l⊥平面α
D’
A’
D
A B
C’
B’
C
α
3、表示
图3
图2及线面垂
直的判定定
理证明
α
(板书
3、表示
3)
图4
(板书3)
教案说明:
由实
际生活中“线”和“面”垂直的观察,引入立体几何中对线面垂
直的定义以及线面垂直的判定定理,有利
于学生把抽象的“线”“面”和生
活中的实际联系起来,同时通过多媒体的演示把具体事物放到立体几何
的
“线”和“面”中来,完成了从具象思维到抽象思维的过度。并且通过定
理和例1的证明,培
养了学生的严密逻辑思维能力,同时有效的巩固了这
节课的知识,为进一步学习新的知识打下坚实的基础
。本教案参考了《高
级中学立体几何全一册(必修)教学参考书》,并且很好的结合了多面体课
件的使用,能很好的完成这节课所要达到的教学目的和能力培养目的。
1、定义
2、画法
§1.9直线和平面垂直的判定和性质(一)
直线和平面垂直的判定定理:
如果一条
直线和一个平面内
的两条相交直线都垂直,那么
这条直线垂直于这个平面
求证:如果三条共点直线两两
垂直,那么其中一条垂直于另
外两条直线确定的平面。
已知:OA⊥OB,OB⊥OC,
OC⊥OA
证明:OA⊥平面BOC,
OB⊥平面AOC
OC⊥平面AOB.
……………………
……………………
α
3、表示
图5