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个性化教学辅导教案

学科： 数学 任课教师：朱建辉 授课时间： 2017 年 春季班 第六周
教学
课题
教学
教学
重难线面垂直、面面垂直的判定与性质．
点
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理

文字语言 图形语言 符号语言
线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理

1.认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；
目标
2.能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交
直线都垂直，则该直线与此平面垂直



l⊥α



⇒l⊥α
l⊂β


教
学
过
程
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
性质定理
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这
两条直线平行
a⊥α



⇒a∥b

b⊥α


两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理

判定
定理
文字语言
如果一个平面经过另一个平面的
一条垂线，则这两个平面互相垂直

图形语言 符号语言

l⊥α



⇒α⊥β
l⊂β


1

性质
定理
如果两个平面互相垂直，则在一个
平面内垂直于它们交线的直线垂
直于另一个平面



α∩β＝a


⇒l⊥α
l⊥a


l⊂β
α⊥β

3.直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
π
(2)线面角θ的范围：θ∈

0，

.
2

高频考点一 直线与平面垂直的判定与性质
例1、(1)如图，△A BC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
E，F ，G分别为AC，DC，AD的中点．
①求证：EF⊥平面BCG； ②求三棱锥D－BCG的体积





1
(2)如图所示，已知AB为圆O的 直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，
3
且BC＝3AC，PD⊥ 平面ABC，PD＝DB.
求证：PA⊥CD.






【变式探究】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，
2

AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：（1）CD⊥AE； （2）PD⊥平面ABE。







高频考点二 平面与平面垂直的判定与性质
例2、(1)(2015·山东)如图，三棱台DEF- ABC中，AB＝2DE，G，H分别
为AC，BC的中点．
①求证：BD∥平面FGH；
②若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.





(2)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45 °，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角
线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平 面BCD.
求证：①CD⊥平面PBD.
②平面PBC⊥平面PDC.







高考真题：
1．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，
3

(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心． < br>(2)若
PA
⊥
PB
，
PB
⊥
PC
，
PC
⊥
PA
，则点
O
是△
ABC
的__ ______心．

2.【2016高考北京】如图，在四棱锥
PABCD
中，
PC
平面
ABCD
，
AB∥DC,DCAC

（I）求证：
DC平面PAC
；
（II）求证：
平面PAB平面PAC
；

（III）设点E为A B的中点，在棱PB上是否存在点F，
使得

平面
CF
?说明理 由.







3.【2016高考浙江】如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB= 90°，BE=EF=FC=1，
BC=2，AC=3.
（I）求证：BF⊥平面ACFD；
[来源学科网ZXXK]
（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.






4.【2015高考广东】如图
3，三角形
DC
所在的平面与长方形
CD
所在的平面垂直，
DC4
，
6
，
C3
．
（1）证明：< br>C
平面
D
；（2）证明：
CD
；（3）求点C
到平面
D
的距离．
4

5.【2015高考湖南】如图4，直三棱柱
ABCA
1
B1
C
1
的底面是边长为2的正三角形，
E,F
分别是
B C,CC
1
的中点。
（I）证明：平面
AEF
平面
B< br>1
BCC
1
；
（II）若直线
A
1
C与平面
A
1
ABB
1
所成的角为
45
，求三棱 锥
FAEC
的体积。


6.【2015高考浙江】如图，在三 棱锥
ABC-A
1
B
1
C
1
中，
ABC 90，ABAC2,AA
1
4,A
1
在底面ABC的射影为BC的中 点，D为
B
1
C
1
的中点.
（1）证明：
A
1
D平面A
1
BC
；
（2）求直线
A
1
B
和平面
BB
1
CC
1
所成的角的正弦值.



7.如图，在正方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为棱C
1
D
1
的中点，F为棱BC的中点．
(1)求证：AE⊥DA
1
；
(2)在线段AA
1
上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.



5

8． 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点．现在沿AE将
三 角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列问题：

(1)在线段AB上是否存在一点K ，使BC∥平面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，
请说明理由；
(2)若平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE.







9.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2 BC＝4，∠ABC＝120°，E，M分别为AB，DE的中点，将
△ADE沿直线DE翻折成△A′ DE，F为A′C的中点，A′C＝4.
(1)求证：平面A′DE⊥平面BCD；
(2)求证：FB∥平面A′DE.






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