立体几何判定平行垂直的20个判定定理
考研服务-学前教育心得
.
平行关系的判定
图示
a
b
c
符号 文字
公理4：平行于同一条直线的两
ab
,
ac
bc
条直线互相平行
线面平行的性质定理：如果一条
a
b
a
,a
,
b
直线和一个平面平行，经过这条
直线的平面和这个平面相交，那
么这条直线和交线平行。
ab
线线
（4个）
a
b
线面垂直
的性质定理：如何两条
a
⊥
，b⊥
ab
直线都垂直于同一个平面，那么
这两条直线平行。
面面平行的性质定理：一个平面
b
a
,
a,
b
ab
同时与两个平行平面相交，那么
这两条交线平行。
线面平行的判定定理：若平面外
a
b
线面
ab
，
b
，
a
a
的一条直线与平面内的一条直
线平行，那么这条直线与这个平
面平行。
（2个）
a
面面平行的性质：
两个平面平行,
，
a
a
在一个平面内的任意一条直线平行
于另外一个平面。
面面
（3个）
a
b
a
,
b
,
abo
,
面面平行的判定定理：一个平面
内两
条相交直线分别与另一个
a
,
b
.
平行关系的判定
垂直关系的判定
a
.
平面平行,那么这两个平面平行.
图示
P
a
⊥
,a
⊥
O
符号
课本P35例1：垂直于同一直线
文字
的两个平面平行。
三垂线定理：平
面内一直线若
与斜线的射影垂直则它与斜
补充：平行于同一平面的两个平
线垂直。
面平行。
线⊥线
（5个）
a
A
PA
⊥
，
a
，
a
⊥
PO
AO
⊥
a
<
br>
,
.
.
P
a
A<
br>
三垂线定理的逆定理：平面内
O
PA
⊥
，
a
，
AO
⊥
a
一直线若与斜线垂直则与斜
线的射影垂直。
线面垂直的性质定理：一条直
a
⊥
PO
a
b
线若垂直于一平面,则直线垂
a
⊥
，
b
ab
直于这个平面内任意一条直
线。
a
b
两条平行直线，一条垂直第三
c
a⊥
c
，
ab
b
⊥
c
条直线，则另一条也垂直于第
三条直线。
补充：三个两两垂直的平面的
交线垂直
线面垂直的判定定理：一条直
c
O
a
b
a
,b
,abo
，
线与平面内两条相交直线都
相交,那么这条直线与这个平
面垂直。
ca
，
cb
c
线⊥面
（4个）
a
b
面面垂直的性质定理：两个平
,
b
,
ab
a
⊥
面垂直,在第一个平面内垂直
于交线的直线垂直于另一个
平面。
a
b
线面垂直的性质：由线线平行
a
⊥
，
ab
<
br> b⊥
得线面垂直。
.
.
a
面面平行的性质：由面面平行
a
⊥
，
a
⊥
<
br>
得线面垂直。
面面垂直的判定定理：一个平
a
a
，
a
面经过另外一个平面的垂线，
则这两个平面互相垂直。
补充：如果一个平面与另一个
面⊥面
（2个）
a
a<
br>
,
a
⊥
β
α
平面的垂线平行，那么这两个
平面互相垂直。
平面的基本性质
基本性质
公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面
内,那么这条直线上所有点都在这个平面内.
图示 作用
判断线在面内的依据
公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们
有且仅有一条通过这个点的公共直线.
判断两个平面相交的
依据；证明点在线上的
依据;确定交线位置
公理3：经过不在同一直线上的三点有且仅有
一个平面.
确定一个平面的依据
空间角
平面图形
异面直线
空间图形
直线和平面 两个平面
.
.
夹角图示
O
a
b
a
b
b'
a'
a
a'
O
B
AO
异面直线所成的直线与平面所成
角：作
a`a
，
的角：a’是a在
二面角的平面角：O在
棱上，OA在α内，OA
⊥棱，OB在β内
，OB⊥
棱，∠AOB是二面角的
平面角。
由一点出发的
定义
两条射线组成
的图形
b`b
，
a`,b`
所成
平面上的射
影,a
的角（锐角或直与a’所成锐角为
角）为异面直线所直线与平面所成
成的角
的角。
0
90
范围
0
180
0
90
0
180
空间距离
b
距离图示
a
d
a
a
d
a'
d
a'b
两平行直线间异面直线间的距平行直线和平面平行平面间距离
的距离
离：两条异面直线的距离
的公垂线段的长
度。
定义
.