本科二批-元旦祝福语简短

“体现高中数学相关分支教育价值的教学
设计”
--直线与平面垂直的判定教学 设计(人教A必修2
第二章第2.3.1节）

莆田第二中学 卢妮
一．教学设计
内容和内容解析
本节课 是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定
及其性质之后进行的，其主 要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理
及其应用。
直线与平面 垂直是通过直线和平面内的任意一条直线都垂直来定义的，定义本身也表
明了直线与平面垂直的意义，即 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这
个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直 的一个判定方法；直线与平面垂直的判定
定理本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的 两条相交直线垂直就可以
判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条（无限）垂直转化为只 要与两条
（有限）相交直线垂直就行了，也就是说，线不在多，相交则灵。直线与平面垂直的判定
方法除了定义法、判定定理外，还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那
么另一条直线 也垂直于这个平面，这是直线与平面垂直判定的一种间接方法，也是十分重
要的。
本 节学习内容蕴含“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与
线面垂直互相转化”等 丰富的数学思想。
空间中直线与平面垂直问题是连接线线垂直和面面垂直的桥梁和纽带，可以 说线面垂
直是立体几何的核心。
目标和目标解析
目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结
论。
2、过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
1

3、情感态度与价值观
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获 取新知，在探索直线与平面垂
直判定定理的过程中发展合情推理能力，培养学生分析问题、解决问题的能 力；同时感悟
和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”
等数学思想.。
目标解析：
1.利用已有知识与生活经验，抽象概括出直线与平面垂直的定义；
2.通过概括、辨析与应用，正确理解直线与平面垂直的定义；
3.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；
4.能运用直线与平面垂直的判定定理，证明和直线与平面垂直有关的简单命题.

教学问题诊断分析
学生已经学习了两条直线（共面或异面）互相垂直的位置关系，学习 了直线、平面平行
的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了 一
定的几何直观能力、推理论证能力等，这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新
知识 奠定基础。
学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定
义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定
理。在探究直 线与平面垂直的判定定理过程中，学生对“为什么要且只要两条相交直线”
的理解有一定的困难，因为定 义中的“任意一条直线”是指“所有直线”，这种用“有限”
代替 “无限”的过程会导致学生形成理解 上的思维障碍.同时，在运用直线与平面垂直的
判定定理时，有些学生不知如何选择已知平面内的两条相 交直线，从而导致证明过程中无
从着手或发生错误.
教学的重点是直线与平面垂直的定义和直 线与平面垂直判定定理的探究；教学的难点
是操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

教学支持条件分析
为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析和学习行为分析， 教师准备：观察和通过多
媒体课件（以P owerPoint为平台）展示现实生活中的实例与图片，以直观感知直线与平面
垂直的形象；准备三 角板、三角形纸片，用于探究直线与平面垂直的判定定理；制作多媒
体课件动态演示，以加深对直线与平 面垂直定义及判定定理的感知与理解。学生自备：三
角形纸片（任意形状）、笔（表直线）、课本（表平 面）等学具.

教学过程
1.从实际背景中感知直线与平面垂直的形象
2

问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？
生1：直线在平面内，直线在平面外。
生2：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交。

设计意图：此问基于学 生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习
的“固着点”。

问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明。

设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平
面相交中一种 特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义。

问题3：在直线与平面相交的模型中（位置关系中），你认为哪种相交最特殊？
生：直线与平面垂直．
师：今天我们就来研究这种关系（板书出示课题）．

设 计意图：引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想象和语言叙述．注意知识的系统
与联系；强调学生 生活经验的作用．这样容易唤起在“直线与平面平行”的学习中形成的
经验，从而明确“研究什么”和“ 怎样研究”，使学习的自觉性得到提高．

2.提炼直线与平面垂直的定义

问题4：将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系， 书脊与每一书页下边缘有何
位置关系？思考：如何定义一条直线与一个平面垂直？

教师演示实例并指出书脊（想象成一条直线）各书页与桌面的交线，由于书脊和书页
底边（即与桌面接触 的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有的直线都垂直，书脊与桌面的
位置关系给我们直线与平面垂直的形 象。

设计意图：我们已经学过直线与平面平行的判定和性质，知道直线与平面平行的问题转 化
为考察直线与平面平行内的直线平行的关系。由此得到启发：用“平面化”的思想来思考
3

问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？

问题5：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．

(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？
(2)随着太阳的移动 ,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生
改变?
(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线
BC
的位置关系如何?依据是什么？
''

师生活动:教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的 过程,引导
学生得出旗杆所在的直线与地面内的直线都垂直.

设计意图：第（1） 与（2）两问意在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过
点B的直线垂直，第（3）问进 一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不
过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生 通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影
子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。
如果直线与平面
作
内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面
的 垂线，平面
互相垂直，记
．直线叫做平面叫做直线的垂面，直线与平面垂直时，它们
唯 一的公共点P叫做垂足．

（5）给出符号语言与图形语言（可让学生来表述与画图）．

（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）

4

思考：
（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
（ 对于问（1），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示(如下图）。）

（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？
（对 于问（2）可引导学生给出符号语言表述：若
a

,b

，则< br>ab
.
)

设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与 平面垂直的概念。通过对问题（2）
的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法。
通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂
直需要考察平面内 的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我
们无法去一一检验。这就有必要去 寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方
法。

3.探究直线与平面垂直的判定定理
创设情境 猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆 ，两位工人先从旗杆的顶点挂两条
长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗 杆脚不在同一直线上）。
如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为 什么吗？

设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，猜想判定定理。

师生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形
的顶点A翻折纸 片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC
与桌面接触）.

设计意图：通过折纸试验，让学生在发现定理的过程中，先通过直观感知，再操作确认并理性说明，以提高几何直观能力和理性说理能力．
5

问题6：折痕

与桌面一定垂直吗？
追问：为什么图1中折痕不一定与桌面垂直？（引导学生根据定义进行回答）

设 计意图：从另一个角度理解定义：如果想说明一条直线与平面不垂直，只需要在平面内
找到一条直线与它 不垂直就够了,实际上就是举反例.

问题7：如何翻折才能使折痕

追问：为什么图1中折痕AD与桌面是垂直的？（引导学生根据定义进行确认）

师生活动：（1）组织学生以小组的形式探究讨论：折叠图形2不论在桌面上如何平移和转
动，折痕AD 与桌面的垂直关系为什么始终不变？
（2）在学生讨论的基础上教师用课件进行动画演示，以折痕与平面内过点的所有直线都垂直，平面内不过
为轴转动纸片，来说明
点，
与桌面所 在的平面垂直？
点的直线，可以通过平移到
说明它们与都垂直，于是符合直线与平面垂直的定义．
在学生感知直线与平面垂直的判定定理的基础上，进一步引导学生对判定定理中两个
关键条件“双垂直” 和“相交”进行理解和确认．
在学生观看动画后提出问题8：
在你翻折纸片的过程中，纸片 的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是
什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折 痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，
把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂 直的条件是什么？

对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直 线AD（点
D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内。问：直线AD现在还垂直 于
桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）

设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面
垂直判定定理 的核心词：平面内两条相交直线。

6

问题9：如果将图3中的 两条相交直线、的位置改变一下，仍保证
lm,ln,
（如图4）
你认为直线还垂 直于平面吗？

设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这 个平面内能
否找出两条相交直线和已知直线垂直，与这两条相交直线是否和已知直线有公共点无关紧。

接着，教科书又设置了“思考：（1）有人说，折痕AD所在的直线与桌面所在平面α
上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面α，你同意他的说法吗？（2）如图4，由折痕
A D⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD，由此你能得到什么结论？”
学生预计会回答：（1）不能。（2）
AD



师： 根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法。
（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）
（3）引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理．
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
图形语言：


符号语言：
l

,la,lb,a

,b

,则l

.

师归纳：线不在多，相交则灵。

问题10：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优势体现在哪里?
（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?

设计意图：通过和直线与平面垂直 定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思
想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体 会“空间问题转化为平面问题”、“线
面垂直转化为线线垂直”的数学思想.

思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面
上两点和旗杆脚不在 同一直线上？如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有
什么好方法？

7

设计意图：用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学生用数学的意识，同时通 过提
出 “为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导学生用
三角形纸片来验证），从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解。

4.直线与平面垂直判定定理的应用

例1:如图5，在长方体
ABCD A
1
B
1
C
1
D
1
中，请列举与平面AB CD垂直的直线。并说明这
些直线有怎样的位置关系？

例2：如图6，已知
ab,a

,求证
b

.

分别用 直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明；并让学生用语言叙
述：如果两条平行直线中的 一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.

设计意图：这个例题给出了 判断直线和平面垂直的一个常用的命题，这个命题体现了平行
关系与垂直关系之间的联系。

练习：如图，在三棱锥V-ABC中 ，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点,求证：AC⊥平面VKB.

思考：

变式(1)：在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；

变式(2)：在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；

变式(3)：在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF， ∴VB⊥平面ABC”，对吗？

设计意图：练习重在对直线与平面垂直判定定理的应用．变式（1）在练习的基础上，应用< br>了直线与平面垂直的意义；变式（2）是对例2判定方法的应用；变式（3）的判断在于进
8

一步巩固直线与平面垂直的判定定理。3个小题环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突 出
了知识间内在联系和融会贯通。

5.小结
（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述。
（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？

设计意图：以问题 讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生运用自己理解的
语言对问题进行质疑和概括。

6.作业
1．课本P73探究：如图2.3-7，直四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
（侧棱与底面垂直的棱柱 称为
直棱柱）中，底面四边形
ABCD
满足什么条件时,
AC
11< br>B
1
D
1
．

2．如图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形。

3．课本P74练习2

设计意图：第1题是本节教材中的一探究题，主要运 用直线与平面垂直的意义与判定定
理；第2题也是活用直线与平面垂直的意义与判定定理，前两题重在检 测本节课的知识与
技能目标，检测运用知识解决问题的能力；第3题通过学生探索，培养学生观察——分 析
——归纳和综合运用知识的能力。

二．教学实践心得
直线与平面垂直的教学价值的思考
本节是高一《必修2》第二章2.3.1的内容。本节课所 要达到的知识目标是：（1）掌
握线面垂直的定义;（2）掌握线面垂直的判定定理，并能利用判定定理 证明一些简单的线
面垂直问题。知识目标很明确，但学生的实际情况是空间想象能力较弱。所以本节课我 先
9

是以生活实例让学生比较直观的认识线面垂直体现数学来源于生活,同 时让学生自己动手
比划找出线面垂直的条件，鼓励学生自己给出线面垂直的定义。然后，引导学生探索发 现
线面垂直的判定定理。最后，利用判定定理证明一些简单线面垂直问题。本节课我最满意
的地 方是线面垂直定义、定理的引入，折纸试验和练习的3个变式。
本节的一个亮点是我大胆鼓励让学生自 己动手比划，再结合生活实例，得出结论。通
过精彩辨析如果一条直线和平面内的无数条直线都垂直，那 这条直线一定与这个平面垂直
吗？,完全放开让学生自己动手比划，让学生在动手的过程中发现问题，巩 固理解定义。这
个过程使学生很有成就感，而且极大的调动了学生学习兴趣和积极性。好些学生说:“立 体
几何太有兴趣了，根本没有想象的难嘛！”这部分之所以感到满意，是因为所有的内容基
本都 是让学生亲自动手比划得出的，这使他们对定义的理解更到位，更深刻。以至于在后
面的实践证明中原本 很愁人的地方反而比较顺手，学生也一直比较兴奋，课堂气氛很活跃。
另一个亮点是，例题练习的选择 充分考虑了知识应用的层次性，从让学生理解、记忆定义
与判定及简单应用到灵活应用判定和定义进行线 线、线面位置关系的转化等，巩固所学知
识，体会蕴含的转化思想，丰富证明问题的思考策略.练习重在 对直线与平面垂直判定定理
的应用．变式（1）在练习的基础上，应用了直线与平面垂直的意义；变式（ 2）是对例2
判定方法的应用；变式（3）的判断在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理。3个小题
环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通。 3个变式， 它
们环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通。 是对学生本
课 学习效果的一次检测，问题有一定的挑战性，学生不仅要掌握这堂课所学知识，而且要
领会问题解决的一 般思维策略，有合理选择辅助平面和转化的能力．学生的表现是令人满
意的．
之后的作业反馈 ，大部分学生都能证明出一些简单的线面垂直问题，这也说明我的这
堂课的确是比较成功的一堂课。通过 这堂课，让我对立体几何这部分的教学有了全新的看
法：一定要以最大的可能让学生自己动手，自己比划 ，发现问题，试着自己总结规律，得
出结论。要努力把他们的态度从“要我学”变为“我要学”升华为“ 我爱学” 。

三．专家点评
本节课卢老师在直线与平面位置关系的系统 中，以“在这些相交关系中，你认为哪种
相交最特殊？”引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想象 和语言叙述．这一设计的
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特点是：注意知识的系统与联系；强调学生生 活经验的作用．这样容易唤起在“直线与平
面平行”的学习中形成的经验，从而明确“研究什么”和“怎 样研究”，使学习的自觉性
得到提高． 良好的开端是成功的一半，课题引入是课堂教学的重要一环．教 学设计中，体
现了如何利用新旧知识的联系与发展，以及学生相关的生活经验，创设问题情境，以自然、
亲切地引出学习内容；如何在课题引入中融入“学什么、为什么、怎么学”的成分．
卢老师对 直线与平面垂直概念形成的过程的处理，首先在思想方法上加以引导．回顾“线
面平行”位置关系研究中 曾将“线面平行”关系转化为“线线平行”，体现了“平面化”
和“降维”的思想，并指出“要研究直线 与平面垂直，也可以转化为直线与平面内的直线
垂直的问题．”然后由教师展示图片，有意识地举出旗杆 与影子的位置关系这种学生熟悉
的直线与平面垂直的实际事例，并引导学生关注此刻平面内任意一条直线 是否与该直线也
垂直．让学生通过观察、实验、归纳、猜想等思维活动逐步概括得出线面垂直的定义，使
定义教学自然、合理、准确.有助于学生对线面垂直本质的理解，也有助于提高学生的抽象
概括 能力.
卢老师在定义形成之后，精彩辨析“任意一条”与“无数条”问题．引入一条直线与
平 面垂直需要怎样的两条，这样就为判定定理的引出做了很好的铺垫．
折纸试验也是本节一个亮点为，学 生通过自己动手研究参与定理的形成过程，增加学
生学习数学的乐趣。例题练习的选择充分考虑了知识应 用的层次性，从让学生理解、记忆
定义与判定及简单应用到灵活应用判定和定义进行线线、线面位置关系 的转化等，巩固所
学知识，体会蕴含的转化思想，丰富证明问题的思考策略.练习后设置了层叠递进的3 个变
式， 它们环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通。 是
对学生本课学习效果的一次检测，问题有一定的挑战性，学生不仅要掌握这堂课所学知识，
而且要领会问 题解决的一般思维策略，有合理选择辅助平面和转化的能力．学生的表现是
令人满意的．
卢老师最后引导学生对本课以知识、能力、方法为视角进行了小结，培养学生反思的
习惯，鼓励学生对研 究的问题进行质疑和概括．完整地呈现了一堂数学概念教学课．




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