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第35周 容斥问题
专题简析:
容斥问题涉及一个重要原理一一包含与 排除原理，也叫容斥原理。当两
个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重< br>复部分。

容斥原理:对n个事物，如果采用两种不同的分类标准,按性质a分类与性 质b分类(如右图所示),那么
具有性质a或性质b的事物的个数是N
a
十 N
b
- N
ab
。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问“谁 做完语文作业了?请举手！”有37人举手。又问:“谁
做完数学作业了?请举手!”有42人举手。最 后问“谁语文、数学作业都没有做完?“没有人举手。求
这个班语文、数学作业都完成的人数。




练习一：
1、五年级有122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优
秀的有65 人，数学成绩优秀的有87 人。语文、数学成绩都优秀的有多少人?



2、四(1)班有54 人，订阅<小学生优秀作文》和(数学大世界)两种读物的有13 人，订《小学生优秀
作文》的有45 人，每人至少订种读物。订《数学大世界》》的有多少人?


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3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉 手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两
种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人 ?




例2：城中小学选出10名学生参加区作文和数学比赛 ，结果每人都获奖。其中有3人两项比赛都获奖，
作文比赛获奖的有5 人,求数学比赛获奖的有多少人?



练习：1、一个班有55 名学生，他们分别订阅了《小学生数学报》和《中国少年报》。其中订阅《小
学生数学报》的有32 人,两种报纸都订阅的有15 人,求订阅《中国少年报》的有多少人?



2、四(1)班有40 个学生,有19 人参加了数学和科技两个兴趣小组。其中有11人两个小组都 没参加，
有25人参加数学小组，求有多少人参加了科技小组?






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3、在四年级96 个学生中调查会下中国象棋和围棋的人数。调查结果显示:有78人会下中国象棋，有
24 人两样都会，还有12人两样都不会。求会下围棋的有多少人?



例3 ：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有
25人 ，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?



练习：1、一个旅行社有36 人，其中会英语的有24 人,会法语的有18 人,两样都不会的有4 人。问
两样都会的有多少人?



2、一个俱乐部有103 人,其中会下中国象棋的有69 人，会下国际象棋的有52 人,这两种棋都不会下
的有12 人。问这两种棋都会下的有多少人?



3、三(1)班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20 人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14 人,
这两队都没有参加的有10人。请算一算,这个班共有多少人?


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例4：在1到100 的自然数中，既不是5 的倍数也不是6 的倍数的数有多少个?



练习：1、在1到200 的全部自然数中，既不是5 的倍数又不是8的倍数的数有多少个?



2、在1到130的全部自然数中，既不是6 的倍数又不是5的倍数的数有多少个?



3、接受采访的100 个小学生中,88 人订阅<中国少年报》，76人订阅《小学生语文报》，
其中仅订阅《中国少年报》的有15 人，则这100 个小学生中仅订阅《小学生语文报》的共有多少人?



例5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是
五年级的，有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共
有多少幅?




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练习：1、科技 节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级
的，有100件不 是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件?



2、六一儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是三 年级的,有
19幅画不是四年级的，三、四年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅?



3、实验小学举办学生书法展。学校的橱窗里展出每个年级学生的书法 作品,其中有28幅不是五年级的,
有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。一 、二年级参展的作品总数比三、四
年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅?



课后练习
1、植树节那天，学校每个年级的学生都去郊外义 务植树，其中有23棵不是五年级种的，有21棵不是
六年级种的，五、六年级种的树共有8棵，其他年 级种的树有多少棵?





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2、如下图，有两个面积各为80平方厘米、60平方厘米的圆重叠放于桌面，重叠面积为10平方厘
米，求桌面被覆盖部分的面积。

3、两个正方形的面积分别是30平方分米、15平方分米，重叠在一起，如图重叠部分的面积为6平方
分米，这个图能覆盖的面积是多少?



4、在100名学生中，有78人语文测试得优秀，85人数学测试得优秀，最少 有多少人语文、数学测试
都得优秀?



5、某班有学生44人 ，书法爱好者有30人，体育爱好者有25人，每人至少有这其中的一种爱好，这
个班有多少人既爱好书 法又爱好体育?



6、北京大学某班会说英语的有30人，会说法语的 有25人，既会说英语又会说法语的有13人，全班
学生至少会说一种外语，全班有多少人?


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提优练习
1、在200名学生中，参加书法兴趣小组 的有110人，参加围棋兴趣小组的有50人，其中两个小组都
参加的有30人，那么，两个小组都不参 加的有多少人?


2、在1到100的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个?




3、某班有40个同学，参加作文竞赛的有26人，参加数学竞赛的有 22人，作文和数学竞赛都参加的
有10人，问多少同学作文和数学竞赛都没有参加?




4、某班有68人，参加足球兴趣小组的有32人，参加排球兴趣小组 的有30人，如果两个兴趣小组都
没有参加的有25人，那么同时参加足球、排球两个兴趣小组的有多少 人?



5、某班学生排队，全班排成4行，每行的人数相等，小星排的 位置是：从前面数第8个，从后面数第
9个，这个班共有多少名学生?

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6、某班有学生42人，参加语文小组、数学小组和英语小组的人数分别是20人、20人和1 2人，其中
既参加语文小组又参加数学小组的有4人，既参加数学小组又参加英语小组的有5人，既参加 英语小
组又参加语文小组的有3人，只参加一个小组的人数是22人，已知全班每人都至少参加了以上三 个小
组中的某一个，那么，三个小组都参加的学生有多少人?



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