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直线与平面垂直的判定和性质
教学目标：
1． 理解线面垂直的定义，总结线面垂直的判定方法和性质，形成系统的知识结构；
2． 树立数学定理即 数学模型的意识，能从实际问题情境中找到符合定理模型的基本元素，
从而解决问题，提高数学建模和直 观想象素养；
3． 通过应用定理解决实际问题，进一步强调等价转换和“降维”思想，体会数学定理 作为
一种基本模型的应用价值，提高逻辑推理素养；
4． 通过“鳖臑”的引入，体会我国古代数学家对人类的数学贡献，增强民族自信和民族自
豪感。
教学重点与难点：
1． 从具体几何问题中分离出定理模型并找到符合定理模型的基本元素，解决问题；
2． 在解决问题时，渗透“立体问题平面化”的“降维”处理，培养学生的等价转换思想。
教学内容与过程：
一、 构建知识框架
1.线面垂直的定义
什么样的直线和平面是垂直关系呢？
直线l与平面α内的任一条直线都垂直，则直线l与平面 α垂直，此时直线l叫做平面α
的垂线，平面α叫做直线l的垂面。
2.判定直线和平面垂直的方法（文字语言、符号语言、图形语言三种形式表达）
判定方法 文字语言
如果一条直线与平面内的两条相
① 交直线垂直，则这条直线与这个
平面垂直．
如果两个平面互相垂直，那么在
② 一个平面内垂直于它们交线的直
线垂直于另一个平面.
如果在两条平行直线中，有一条
③ 垂直于平面，那么另一条直线也
垂直于这个平面．
如果一条直线垂直于两个平行平
④ 面中的一个，那么也垂直于另一
个.
3.直线和平面垂直的性质
性质
①
文字语言
直线垂直于平面，则垂直于平面
内任意直线．
图形语言


l
图形语言 符号语言

la

lb



l


abO

a,b







α∩β＝a


⇒l⊥α
l⊥a


l⊂β
α⊥β
ab


a


b










l


l


符号语言
l
m
l



lm

m



如果一个平面经过另一个平面的
② 一条垂线，那么这两个平面互相
垂直.
垂直于同一个平面的两条直线平
行．

l


l⊥α



⇒α⊥β
l⊂β


③


a⊥α



b⊥α


⇒a∥b
④ 垂直于同一直线的两平面平行．


l








l


其实，能 够判定线面垂直的方法远不止这么多，线面垂直的性质也不只这几个，那么我
们为什么选定了这些作为定 理呢？其实他们都是立体几何问题中的基本模型，我们在遇到复
杂的几何问题时，都可以分离出这些基本 的定理模型。我们通过这节课的学习，就是要能够
在具体问题中，确定需要的定理模型，并找到符合定理 模型的基本元素，从而得到我们需要
的结论。
4.牛刀小试
P
我们掌握了 那么多线面垂直的判定方法，现在就试着在图形中找找
E
互相垂直的直线和平面有哪些吧。
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面
D
ABCD, 且PD=CD,点E是PC的中点．你还能发现哪些线面垂直关系？
对于这样简单的几何体，我们很快 就可以从中看出定理模型，找到
模型中所需的元素，得到想要的结论，那么我们在这个图上继续构造，< br>AB
让图形复杂起来，继续探究其中的垂直关系。

二、 例题分析
例. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD ，
P
E是PC的中点，EF⊥PB，垂足为F，连接DE,DF,BD,BE.
（1）求证：PB⊥平面DEF；
FE
（2）试判断：四面体BDEF中有几个面是 直角三角形，并指出其中的
N
直角；
D
（3）设M、N分别为AD、PB< br>的
中点，连接MN，MC，NC，求证：平
面CMN⊥平面PBC.
M

AB
引导分析：（1）要证明PB⊥平面DEF，你选择哪个模型？（“ 线面垂
P
直判定定理”模型）模型中已经有哪个条件具备了？（已经有“EF⊥
PB” ）还缺的条件应该从哪里找？（“DF⊥PB”（共面垂直：从边长关
F
系，中线长度等平面几 何办法入手）)或者“DE⊥PB”（异面垂直：从
D
平移成共面或线面垂直入手））。 证明：∵PD⊥面ABCD，且BC⊂面ABCD，∴PD⊥BC，又∵BC⊥CD，
CD∩PD= D，CD,PD⊂面PCD，∴BC⊥面PCD.∵DE⊂面PCD，∴BC
A
⊥DE.又∵D E⊥PC，BC∩PC=C，BC,PC⊂面PBC，∴DE⊥面PBC.∵
PB⊂面PBC，∴DE⊥ PB.又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，DE,EF⊂面DEF，∴PB⊥面DEF.
C
C
E
C
B

（2）找直角就是找线线垂直，线线垂直可以由“线面 垂直性
P
质定理模型”，先找线面垂直关系。（PB⊥平面DEF可以得到
FE
PB⊥DF,PB⊥EF，还有没有其他的线面垂直关系？DE⊥面
PBC，所以DE⊥EF，DE⊥ EB，四个面都是直角三角形。）
N
D
（3）要得到面面垂直，要利用线面垂直的性 质定理模型，先
C
找线面垂直关系。对于平面CMN和平面PBC来说，第一问已
M< br>经找到面PBC的垂线DE了，可以考虑线面垂直的性质模型，
AB
在平面CMN中能找 到DE的平行线即可。

三、 课堂小结
处理空间中线面垂直相关问题的一般方法：
1.通过逻辑分析和空间想象，分离出具体问题中包含的定理模型；
2.寻找定理模型所需的基本元素，完成逻辑推理的过程；
3.对照定理模型，严谨地表述证明的过程。
解决具体问题的过程中，注意“转化”和“降维”思想。

四、 数学文化——“鳖臑”与“阳马”
在今天上课的例题中，有两个几何体中国很早就有研究，而且他们还 拥有自己的名字：
一个是底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的名字叫“阳马”，另一个四个 面都
为直角三角形的四面体叫“鳖臑”。这两个名称还曾经出现在高考卷上，今天我们上课这道
例题就是2015年湖北高考题改编的。
原题是这样的：《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧 棱与底面垂直的四棱锥称
之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在 阳马
PABCD
中，侧棱
PD
底面
ABCD
，且
F
E
P
PDCD
，过棱
PC
的中点
E
，作
EFPB
交
PB
于点
F
，连
接
DE ,DF,BD,BE.

(I)证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖< br>臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，
说明理由；
(II)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为

π
DC
，求的值．
3
BC
A
D
C
B
大家可以看出，我们例题的（1）（2）两个小题就改编自这题，只是没有用它的名称，
实 际上，“阳马”和“鳖臑”怎么来的，《九章算术》里是这样描述的：
《九章算术·商功》：“斜解立 方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马
居二，鳖臑居一，不易之率也。”
阳 马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得
两个一模一样的三棱 柱，称为堑堵.

再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一 个.以矩形为底，另有一棱
与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四 面体，称为鳖
臑.

我们可以看出来，“阳马”和“鳖臑”是截长方体所得，那么如 果有需要也可以补形回
去。而且“阳马”和“鳖臑”的最长的棱就是对应长方体的体对角线。
关于“鳖臑”这个几何体，浙江省也考过一个相关的题目，不过没有提出这个名称：
（200 8•浙江14）如图，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面
ABC，AB⊥BC，DA=A B=BC=
3
，则球O的体积为 .
要是了解鳖臑的由来， 这道题就迎刃而解了，此球就是补回的长方
体的外接球，半径就是体对角线的一半，体积也就可以求解了 。