广西招生院-低碳生活资料

第九章 立体几何
9.3.4 平面与平面垂直
【教学目标】
1．理解两个相交平面互相垂直的定义，掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．
2．从学生身边的实例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．
3．渗透把空间问题转换为平面问题进行解决的思想．
【教学重点】
平面与平面垂直的判定定理和性质定理．
【教学难点】
平面与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．
【教学方法】
这节课主要采用讲练 结合法．由生活中常见实例，得出平面与平面垂直的判定定理、性质定理，利用
文字语言、符号语言和图 形语言的相互转化，帮助学生理解定理．通过例题，明确应用定理时线线垂直到
线面垂直再到面面垂直的 证明思路．
【教学过程】
环节
导
入











新
课












教学内容
1. 复习二面角的平面角定义．
2. 如何来刻画平面与平面垂直的概念呢？
师生互动
师：（举例）黑板
所在墙面与地面给我们
相互垂直的形象．



教师讲解画法．








师：为什么教室的
门转到任何位置时，门
所在的平面都与地面垂
直？
通过观察，我们可
以发现，门在转动的过
程中，门轴始终与地面
垂直． 师：建筑工人在砌
墙时，常用铅锤线来检
查所砌墙面是否和水平
面垂直，为什么？
设计意图
由直二面
角的定义引出
两平面垂直的
定义．












由生活中
常见的门轴，得
出平面与平面
垂直的判定定
理， 同时加深对
定理的理解，帮
助学生记忆．





如果两个相交平面组成的二面角为直角，则称
这两个相交平面互相垂直．
平面

与

垂直，记作：

⊥

．
两个互相垂直的平面在画图时，通常把直立平
面的竖边画成与水平平面的横边垂直．
如图，已知

⊥

，AOB为二面角

-l-

的平面
角，OA⊥

吗？




A
l



O
B

平面与平面垂直的判定定理：
判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一
条垂线，那么这两个平面互相垂直．
用符号表示为(如图)：
l⊥

，l 



⊥

．




l







28

数学基础模块 下册




















新
课

























平面与平面垂直的性质定理：
性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一
个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平
面．
用符号表示为（如图所示）：
如果平面

⊥平面

，
∩

＝l，OA 

，OA⊥
l，那么OA⊥

．




A


l
O




例1 如图，已知平面

⊥平面

，

∩

＝l，
在 l 上取线段AB＝4，A C，BD分别在平面

和平
面

内，并且垂直于它们的交线AB，并 且AC＝3，
BD＝12．求CD的长．



C


B
A

l
D



解 连接BC，CD．因为AC⊥AB，所以
AC⊥

，AC⊥BD．
又BD⊥AB，所以
BD⊥

，BD⊥BC．
所以△BAC和△CBD都是直角三角形．
在Rt△BAC中，有
BC＝3
2
＋4
2
＝5；
在Rt△CBD中，有
CD＝5
2
＋12
2
＝13．

例2 已知 Rt△ABC中，AB＝AC＝a，AD是
斜边上的高，以AD为折痕使BDC成直角，如图
所示．求证：
(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面
BDC；
(2)BAC＝60．

A
A

D

C
B
D
C

B
(2)
(1)


29
学生思考回答．

师：黑板所在平面
与地面所在平面垂直，
是否在黑板上任意画一
条直线，都能使这条直
线和地面垂直？你 能否
在黑板上画一条与地面
垂直的直线？
学生思考．





教师边作图边分析
已知条件．
分析每一步的根据< br>是什么，面面垂直的性
质、线面垂直的性质分
别在哪一步应用的．













通过折纸让学生明
确折后哪些量没有发生
改变．










由生活实
例得出平面与
平面垂直的性
质定理．
利用文字
语 言、符号语言
和图形语言的
相互转化，有助
于学生理解定
理的本质，明确应用定理的关
键．

此题较为复
杂，教师应详细
分析各线与 平
面的关系，各三
角形的形状及
其根据，给学生
以明确的思路．












通过例２,
让学生进一掌
握理解定理的
本质，明确应用
定 理的关键．同
时通过折纸的
形式来帮助学
生理解题意,从
而提高学生的
读图能力,及文
字语言转换为

第九章 立体几何












新
课





证明 (1) 如图(2)，因为AD⊥BD，AD⊥DC，
所以
AD⊥平面BDC，
因为平面ABD和平面ACD都过AD，所以
平面ABD⊥平面BDC，
平面ACD⊥平面BDC；
(2) 如图(1)，在Rt△BAC中，因为AB＝AC＝a，
所以
BC＝2 a，BD＝DC＝
2
a．
2
如图(2)，因为△BDC是等腰直角三角形，所以
BC＝2 BD＝2×
2
a＝a．
2
所以AB＝AC＝BC．
因此BAC＝60．

练习
1．将一张长方形纸片ABCD沿对角线 AC进行
折叠，如何才能使两部分所在的平面互相垂直？
2．长方体教室里的墙面之间是否垂直？
3．正方体的对角面是否互相垂直？
4．分别画出互相垂直的两个平面和两两垂直的
三个平面．
5．检查工件的相邻的两 个面是否垂直时，只要
用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工
件的另一个面上转动一 下，观察尺边是否和这个面
密合就可以了．为什么？如果转不动呢？
1．两个相交平面互相垂直的定义．
2．平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并
会简单应用．


















师生合作完成．
数学语言的表
达能力．















学 习新知后
紧跟练习有利
于帮助学生更
好的梳理和总
结本节所学内
容． 有利于教师
检验学生的掌
握情况．
小
结
作
业

梳理知识，
形成体系．
教材P136习A组第3题，练习B组第3题．




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