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第一课时 直线与平面垂直的判定
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概
括结论.
2．过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法.
3．情态、态度与价值观
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.
（二）教学重点、难点
重点：（1）直线与平面垂直的定义和判定定理；
（2）直线和平面所成的角.
难点：直线与平面垂直判定定理的探究.
教学过程 教学内容
问题：直线和平面平行的判
新课导入 定方法有几种？
师生互动
师投影问题，学生回答.
生：可用定义可判断，也
可依判定定理判断.
一、直线和平面垂直的定
探索新知 义、画法
如果直线l与平面

内的
师：日常生活中我们对直
线与平面垂直有很多感性认
识，如旗杆与地面，桥柱与水
培养
学生的几
何直观能
复习巩固
设计意图

任意一条直线都垂直，我们说直
线l与平面

互相 垂直，记作l
⊥

.直线l叫做平面的垂线，
平面

叫做直 线l的垂面.直线
与平面垂直时，它们惟一的公共
点P叫做垂足.
面等，你能举出更多的例子来
吗？
师：在阳光下观察，直立
于地面的旗杆及它在地面的影
子，它们的位置关系如何？ < br>生：旗杆与地面内任意一
力使他们
在直观感
知，操作确
认的基础
上学会归
纳概括结
论. 画直线与平面垂直时，通常条经B的直线垂直.
把直线画成与表不平面的平行
四边形的一边垂直，如图.
师：那么旗杆所在直线与
平面内不经过B点的直线位置
关系如何，依据是什么？（图）

生：垂直，依据是异面直
线垂直的定义.
师：你能尝试给线面垂直
下定义吗？
……
师：能否将任意直线改为
无数条直线？学生找一反例说
明.
二、直线和平面垂直的判定
1．试验 如图，过△ABC
的顶点A翻
探索新知
折纸片，得到
折痕AD，将翻折后的 纸片竖起
放置在桌面上（BD、DC与桌面
学生动手实验，然后回答
问题.
生：当且仅当折痕AD是
师：下面请同学们准备一
块三角形的小纸片，我们一起
来做一 个实验，（投影问题）.
培养
学生的几
何直观能
力使他们
在直观感
知，操作确

接触）.
BC边上的高时，AD所在直线
认的基础
上学会归
纳概括结
论.
（1）折痕AD与桌面垂直与桌面所在平面

垂直.
吗？
（2）如何翻折才能使折痕
AD与桌面所在平面

垂直？
2．直线与平面垂直的判定
定理：
一条直线与一个平面内两
条相交直线都垂直，则该直线与
此平面垂直.
思考 ：能否将直线与平面垂
直的判定定理中的“两条相交直
线”改为一条直线或两条平行直
线？
师：此时AD垂直上的一条
直线还是两条直线？
生：AD垂直于桌面两条直
线，而且这两条直线相交.
师：怎么证明？
生：折痕AD⊥BC，翻折
之后垂直关系不变，即AD⊥
CD，AD⊥BD
……
师：直线和平面垂直的判
定定理体现了“直线与平面垂
直”与“直线与 直线垂直”互
相转化的数学思想.
例1 如图，已知a∥b，a
⊥

，求证：
b⊥

.
证明：在平面

内作两条
典例剖析
相交直线m、n.
因为直线a⊥

，根据直线
与平面垂直的定义知
a⊥m，a⊥n.
又因为b∥a，
师：要证b⊥

，需证b
与

内 任意一条直线的垂直，
又a∥b，问题转化为a与面

内
任意直线m垂直，这 个结论显
巩固
所知识培
养学生转
然成立.
化化归能
学生依图及分析写出证明
力、书写表
过程.
达能力.
……
师：此结论可以直接利用，

所以b⊥m，b⊥n.
又因为
m

,n

，m、
n是两条相交直线，
b⊥

.
二、直线和平面所成的角
如图，一
条直线PA 和
一个平面

相交，但不与这个平面垂直，这
条直线叫做这个平面的斜线，斜
线的平面的交点A叫做斜足.过
斜线上斜足以外的一点向平面
判定直线和平面垂直.
借助
教师借助多媒体直接讲
多媒体讲
授，注意直线和平面所成的角
授 ，提高上
是分三种情况定义的.
课效率.
引垂线PO，过垂足O和斜足A
探索新知
的直线AO叫做斜线在这个平
面上 的射影.平面的一条斜线和
它在平面上的射影所成的锐角，
叫做这条直线和这个平面所成
的角.
一条直线垂直于平面，我们
说它们所成的角是直角；一条直
线和平面平行， 或在平面内，我
们说它们所成的角是0°的角.

例2 师：此题A
1
是斜足，要求
直线A
1
B与平面A
1
B
1
CD所成
的角，关键在于过B点作出（找
到，面A
1
B
1
CD的垂线，作出（找
到）了面A
1
B
1
CD的垂线，直线
A
1
B在平面A
1
B
1
CD内的射影
就知 道了，怎样过B作平面
如图，在正
方体ABCD
– A
1
B
1
C
1
D
1
中，求A
1
B和平面A
1< br>B
1
CD所
成的角.
分析：找出直线A
1
B在平< br>面A
1
B
1
CD内的射影，就可以求A
1
B
1
CD的垂线呢？
出A
1
B和平面A
1
B
1
CD所成的
角.
解：连结BC
1
交B
1
C于点
典例剖析
O，连结A
1
O.
设正方体的棱长为a，因为
A
1
B
1
⊥B
1
C
1
， A
1
B
1
⊥B
1
B，所
以A
1
B
1
⊥平面BCC< br>1
B
1
.
所以A
1
B
1
⊥BC
1
.
又因为BC< br>1
⊥B
1
C，所以
B
1
C⊥平面A
1
B
1
CD.
所以A
1
O为斜线A
1
B在平面A
1
B
1
CD内的射影，∠BA
1
O
为A< br>1
B与平面A
1
B
1
CD所成的
角.
在Rt△A
1
BO中，
生：连结BC
1
即可.
师：能证明吗？
学生分析，教师板书，共
同完成求解过程.
点拔关键
点，突破难
点，示范书
写及解题
步骤.

A
1
B2a
，
BO
所以BO
∠BA
1
O = 30°
2
a
，
2
1
A
1
B
，
2
因此，直线A
1
B和平面
A
1
B
1
CD所成的角为30°.
1．如图，在三棱锥V–ABC
中，VA = VC，AB = BC，求证：
VB⊥AC.
学生独立完成
答案：
1．略
2．（1）AB边的中点；（2）
点O是△ABC的外心；（3）点

2．过 △ABC所在平面

外
一点P，作PO⊥

，垂足为O，
连 接PA ，PB，PC.
随堂练习
（1）若PA= PB = PC，∠C
=90°，则点O是AB边的 心.
（2）若PA = PB =PC，则
点O是△ABC的 心.
（3）若P

A⊥PB，PB⊥PC，
PB⊥P A，则点O是△ABC
的 . 心.
3．两条直线和一个平面所
成的角相等，这两条直线一定平
O是△ABC的垂心.
3．不一定平行.
4．AC⊥BD.
巩固
所学知识

行吗？
4．如图，直四棱柱A′B′C′D′
– A BCD（侧棱与底面垂直的棱
柱称为直棱柱）中，底面四边形
ABCD满足什么条件时，A′C ⊥
B′D′？

1．直线和平面垂直的定义
判定
2．直线和平面所成的角定
归纳总结 义与解答步骤、完善.
3．线线垂直
ƒ
线面垂直
学生归纳总结教师补充
巩固学习
成果，使学
生逐步养
成爱总结，
会总结的
习惯和能
力.
强化知识
课后作业 2.7 第一课时 习案 学生独立完成
提升能力
备选例题
例1 如图，在空间四边形ABCD中，AB = AD，CB = CD，M为BD中点，作AO⊥
MC，交MC于O．求证：AO⊥平面BCD．
【解析】连结AM
∵AB = AD，CB = CD，M为BD中点．
∴BD⊥AM，BD⊥CM．

又AM∩CM = M，∴BD⊥平面ACM．
∵AO
≠


平面ACM，∴BD⊥AO．
又MC⊥AO，BD∩MC = M，∴AO⊥平面貌BCD．
【评析】本题为了证明AO⊥平面BCD，先证明了平面BCD内的
直线垂直于AO所在的平面 ．这一方法具有典型性，即为了证明线与面
的垂直，需要转化为线与线的垂直；为了解决线与线的垂直， 又需转化为另一个线与面的垂
直，再化为新的线线垂直．这样互相转化，螺旋式往复，最终使问题得到解 决．
例2 已知棱长为1的正方体ABCD – A
1
B
1
C< br>1
D
1
中，E是A
1
B
1
的中点，求直线A E与
平面ABC
1
D
1
所成的角的正弦值．
【解析】取C D的中点F，连接EF交平面ABC
1
D
1
于O，连AO．
由已知正方体，易知EO⊥ABC
1
D
1
，所以∠EAO为所求．
在Rt △EOA中，
EO
112
EFAD
1

，
222

15
，
AE()
2
1
2

22
sin∠EAO =
EO10
．

AE5
10
．
5
所以直 线AE与平面ABC
1
D
1
所成的角的正弦值为
【评析】求直线和平 面所成角的步骤：
（1）作——作出斜线和平面所成的角；
（2）证——证明所作或找到的角就是所求的角；
（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角形）
（4）答．