中国正规军-预科生是什么意思

立体几何证明
【知识梳理】
1. 直线与平面平行
判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条 直
线和这个平面平行.（“线线平行

线面平行”）
性质定理：如果一条直 线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平
面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行
线线平行”）

2.．直线与平面垂直
判定定理一 如果一 条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么
这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直

线面垂直”）
判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直
于这个平面.
性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的
所有直线。
（线面垂直

线线垂直）
性质2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

三。平面与平面
空间两个平面的位置关系：相交、平行.
1. 平面与平面平行
判定定理：如果 一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这
两个平面平行.（“线面平行

面面平行”）

2. 两个平面垂直
判定定理：如果一条直线与一个平面垂直， 那么经过这条直线的平面垂直
于这个平面.（“线面垂直

面面垂直”）
性 质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也
垂直于另一个平面.（面面垂直

线面垂直）
1

知识点一

【例题精讲】
1.在棱长为2的正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别为
DD
1
、D B的中点。
（1）求证：EF平面
ABC
1
D
1
；（2）求证： 平面B
D
1
C
1
B
1
C
EF
B
1
C
；
（3）求三棱锥
B
1
EFC
的体积V.





2.如图所示, 四棱锥
P

ABCD
底面是直角梯形,
BAAD,CDAD,CD2AB,PA
底面
ABCD
,
E
为
PC
的
中点,
PA
＝
AD
＝
AB
＝1.
（1）证明:
EB平面PAD
;
（2）证明:
BE平面PDC
;
（3）求三棱锥
B

PDC
的体积
V
.




3、如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥
CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，证明：
（1）AE⊥CD（2）PD⊥平面ABE．


2

< br>4、.如图，三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，CA =CB，AB=AA
1
，∠BAA
1
=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A
1
C；
练习
1、如图，菱形ABCD与等边△PAD所在的平面相互垂直，AD=2，∠
DAB=60°．
（Ⅰ）证明：AD⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PAB的高．


2.如图 1-4所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，
∠ABC＝∠DBC＝ 120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．求证：EF⊥
平面BCG；


3.如图1-1所示，三棱柱ABC - A
1
B
1
C< br>1
中，点A
1
在平面ABC内的射影D在AC
上，∠ACB＝90°， BC＝1，AC＝CC
1
＝2.
(1)证明：AC
1
⊥A
1
B；


4 、如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，
BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余 弦
值．
3

5、三棱锥P﹣ABC中，∠BAC=90 °，PA=PB=PC=BC=2AB=2，（1）求证：面PBC⊥面ABC

6.已知四棱锥P-ABCD中,底面四边形为正方形,侧面PDC为正三角形,且平面
PDC ⊥底面ABCD,E为PC的中点.(1)求证:PA∥平面EDB;
(2)求证:平面EDB⊥平面PBC;

7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底 面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，
PA⊥PB，BP=BC，E为PC的中点．（1）求 证：AP∥平面BDE；
2.求证BE 垂直平面PAC


8、将如图一的矩形ABMD沿CD翻折后构成一四棱锥M﹣ABCD（如图二），
若在四棱锥M﹣ABCD中有MA=
﹣ABCD的体积．
．（1）求证：AC⊥MD；（2）求四棱锥M
4

作业
1、如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC交BD于点O．将菱形
AB CD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M，N分别是棱BC，AD
的中点，且DM=6．

（Ⅰ）求证：OD⊥平面ABC；
2、
如图，在斜三棱柱ABC﹣A1
B
1
C
1
中，O是AC的中点，A
1
O⊥平 面ABC，∠BCA=90°，
AA
1
=AC=BC．（Ⅰ）求证：A
1B⊥AC
1
；



3、如图所示，四棱锥P﹣AB CD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD
是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点， PC=．（Ⅰ）求证：PC⊥AD；
5

1
4、如图，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC =AD，E，
2
F分别为线段AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．

< br>5、如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2 ，
CD=1，SD=．（1）证明：CD⊥SD；

6.如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．
（Ⅰ） 求证：SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．

7、如图，在矩形
ABCD
中，点
E
为边
AD
上的 点，点
F
为边
CD
的中点，
ABAE
2
AD 4
,现将
ABE
沿
BE
边折至
PBE
位置， 且平面
PBE
平面
3
BCDE
.
6

A

E

P

D

E

F

D

B

C


B

C


（1）求证：平面
PBE
平面
PEF
；

8、如图5．在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，


且∠DAB=60

，
PAPD2
,PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点．
（1） 证明：AD

平面DEF;






9、在如图所示的多面体
A BCDEF
中，
ABCD
为直角梯形，
ABCD
，
DAB 90
，四边形
ADEF
为等腰梯形，
EFAD
，已知
A EEC
，
ABAFEF2
，
ADCD4
．

（Ⅰ）求证：平面ABCD平面
ADEF

10.如图，在底面为平行四边 形的四棱锥PABCD中，ABAC，
PA
平面
ABCD，且
PAA B
，点
E
是
PD
的中点.
（Ⅱ）求证：
PB
平面
AEC
；


7

11.棱长为2的正方体A BCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，M是棱A A
1
的中点，过C、M、D
1
作正方体的截面，则截面的面积是

8