万仙山-爱心天使

第九章 立体几何
9.3.4 平面与平面垂直
【教学目标】
1．理解两个相交平面互相垂直的定义，掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．
2．从学生身边的实例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．
3．渗透把空间问题转换为平面问题进行解决的思想．
【教学重点】
平面与平面垂直的判定定理和性质定理．
【教学难点】
平面与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．
【教学方法】
这节课主要采用讲练 结合法．由生活中常见实例，得出平面与平面垂直的判定定理、性质定理，利用
文字语言、符号语言和图 形语言的相互转化，帮助学生理解定理．通过例题，明确应用定理时线线垂直到
线面垂直再到面面垂直的 证明思路．
【教学过程】
环节
导
入











新
课












教学内容
1. 复习二面角的平面角定义．
2. 如何来刻画平面与平面垂直的概念呢？
师生互动
师：（举例）黑板
所在墙面与地面给我们
相互垂直的形象．



教师讲解画法．








师：为什么教室的
门转到任何位置时，门
所在的平面都与地面垂
直？
通过观察，我们可
以发现，门在转动的过
程中，门轴始终与地面
垂直． 师：建筑工人在砌
墙时，常用铅锤线来检
查所砌墙面是否和水平
面垂直，为什么？
设计意图
由直二面
角的定义引出
两平面垂直的
定义．












由生活中
常见的门轴，得
出平面与平面
垂直的判定定
理， 同时加深对
定理的理解，帮
助学生记忆．





如果两个相交平面组成的二面角为直角，则称
这两个相交平面互相垂直．
平面

与

垂直，记作：

⊥

．
两个互相垂直的平面在画图时，通常把直立平
面的竖边画成与水平平面的横边垂直．
如图，已知

⊥

，AOB为二面角

-l-

的平面
角，OA⊥

吗？




A
l



O
B

平面与平面垂直的判定定理：
判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一
条垂线，那么这两个平面互相垂直．
用符号表示为(如图)：
l⊥

，l 



⊥

．




l







28

数学基础模块 下册




















新
课

























平面与平面垂直的性质定理：
性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一
个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平
面．
用符号表示为（如图所示）：
如果平面

⊥平面

，
∩

＝l，OA 

，OA⊥
l，那么OA⊥

．




A


l
O




例1 如图，已知平面

⊥平面

，

∩

＝l，
在 l 上取线段AB＝4，A C，BD分别在平面

和平
面

内，并且垂直于它们的交线AB，并 且AC＝3，
BD＝12．求CD的长．



C


B
A

l
D



解 连接BC，CD．因为AC⊥AB，所以
AC⊥

，AC⊥BD．
又BD⊥AB，所以
BD⊥

，BD⊥BC．
所以△BAC和△CBD都是直角三角形．
在Rt△BAC中，有
BC＝3
2
＋4
2
＝5；
在Rt△CBD中，有
CD＝5
2
＋12
2
＝13．

例2 已知 Rt△ABC中，AB＝AC＝a，AD是
斜边上的高，以AD为折痕使BDC成直角，如图
所示．求证：
(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面
BDC；
(2)BAC＝60．

A
A

D

C
B
D
C

B
(2)
(1)


29
学生思考回答．

师：黑板所在平面
与地面所在平面垂直，
是否在黑板上任意画一
条直线，都能使这条直
线和地面垂直？你 能否
在黑板上画一条与地面
垂直的直线？
学生思考．





教师边作图边分析
已知条件．
分析每一步的根据< br>是什么，面面垂直的性
质、线面垂直的性质分
别在哪一步应用的．













通过折纸让学生明
确折后哪些量没有发生
改变．










由生活实
例得出平面与
平面垂直的性
质定理．
利用文字
语 言、符号语言
和图形语言的
相互转化，有助
于学生理解定
理的本质，明确应用定理的关
键．

此题较为复
杂，教师应详细
分析各线与 平
面的关系，各三
角形的形状及
其根据，给学生
以明确的思路．












通过例２,
让学生进一掌
握理解定理的
本质，明确应用
定 理的关键．同
时通过折纸的
形式来帮助学
生理解题意,从
而提高学生的
读图能力,及文
字语言转换为

第九章 立体几何












新
课





证明 (1) 如图(2)，因为AD⊥BD，AD⊥DC，
所以
AD⊥平面BDC，
因为平面ABD和平面ACD都过AD，所以
平面ABD⊥平面BDC，
平面ACD⊥平面BDC；
(2) 如图(1)，在Rt△BAC中，因为AB＝AC＝a，
所以
BC＝2 a，BD＝DC＝
2
a．
2
如图(2)，因为△BDC是等腰直角三角形，所以
BC＝2 BD＝2×
2
a＝a．
2
所以AB＝AC＝BC．
因此BAC＝60．

练习
1．将一张长方形纸片ABCD沿对角线 AC进行
折叠，如何才能使两部分所在的平面互相垂直？
2．长方体教室里的墙面之间是否垂直？
3．正方体的对角面是否互相垂直？
4．分别画出互相垂直的两个平面和两两垂直的
三个平面．
5．检查工件的相邻的两 个面是否垂直时，只要
用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工
件的另一个面上转动一 下，观察尺边是否和这个面
密合就可以了．为什么？如果转不动呢？
1．两个相交平面互相垂直的定义．
2．平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并
会简单应用．


















师生合作完成．
数学语言的表
达能力．















学 习新知后
紧跟练习有利
于帮助学生更
好的梳理和总
结本节所学内
容． 有利于教师
检验学生的掌
握情况．
小
结
作
业
梳理知识，
形成体系．
教材P136习A组第3题，练习B组第3题．



30

数学基础模块 下册
9.3.3 平面与平面所成的角
【教学目标】
1. 了解二面角、二面角的平面角的定义，会求二面角的大小．
2．从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．
3．培养学生把空间问题转化为平面问题进行解决的思想．
【教学重点】
二面角的定义．
【教学难点】
找出二面角的平面角．
【教学方法】 < br>这节课主要采用讲练结合法．由直观的生活实例抽象出二面角及其平面角的定义，通过题目练习其应
用．
【教学过程】
环节
教学内容
修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用 ，需要使水
坝面与水平面成适当的角度；使用笔记本电脑时，
为了方便操作，两个面板要成一定 的角度．
师生互动 设计意图
两个平面成一定夹由生活实
角的实例． 例引出平面与
如何刻画两个平面平面所成角的
形成的这种“角”呢？ 定义，由具体到
抽象，符合学生
的认知规律．












由直观的形象感知到抽
象的数学定义，
让学生感到数
学知识来源于
生活．




通过此问题
可加深对二面
角的平面角的
理解．




导
入










新
课











1. 二面角
平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，
其中的每一部分都分别叫 做一个半平面，从一条直
线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这
条直线叫做二面角的 棱，这两个半平面叫做二面角
的面．
如图，以 AB为棱，

和

为半平面的二面角，
记作二面角

-A B-

．如果C，D分别是半平面

和

内(棱以外的半平 面部分)的点，那么这个二面角也
可记作C-AB-D．



D
l
A

B
C



笔记本电脑打开过
程中，我们可以感到两
个面板构成的二面角的
大小在逐渐变大．如何
来刻画二面角的大小
呢？



2. 二面角的平面角
如图，在二面角

-l-

的棱 l 上任取一点 O，师：棱l 与AOB
以点 O 为垂足，在半平面

和

内分别作垂直于所在的平面有什么关
棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成系？
的 AOB 叫做二面角的平面角． 生：棱l ⊥平面
AOB．


A

l

B
O




31

第九章 立体几何

















新
课


二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面
角的平面角是 多少度，就说这个二面角是多少度．我
oo
们约定，二面角

的大小范围是0≤

≤180．平
面角是直角的二面角叫做直二面角．

例 如图，已知正方体 ABCD-A

B

C

D

，求二
面角 D

-AB-D 的大小．

D


C



A



B




D

C

A B

解 在正方体ABCD-A

B

C

D

中，因为
AB⊥平面 ADD

A

，
所以AB⊥AD

，AB⊥AD，
因此D

AD即为二面角 D

-AB-D的平面角．
由于△D

AD是等腰直角三角形，因此
o
D

AD＝45，
o
所以二面角 D

-AB-D 的大小为45．

练习
1．一个平面垂直于二 面角的棱，它和二面角的
两个面的交线组成的角就是二面角的平面角，对
吗？为什么？
2．如图所示，在正方体ABCD-A

B

C

D
中，
求二面角A

-AB-D 的大小．

D


C










A


B







师：所求二面角是
哪两个平面所成的角 ？
其平面角是哪一个？如
何求出平面角的大小？















师生合作共同完
成．




用问题引导
学生分析解题
思路，尤其注重
分析如何找出
二面角的平面角，为练习中的
题目做铺垫．












学习新知
后紧跟练习有利于帮助学生
更好的梳理和
总结本节所学
内容．有利于教
师检验学生的< br>掌握情况．
D
A
B
C
小
结
作
业


1．二面角，二面角的平面角的定义．
2．会求二面角的平面角．
教材P133练习A组第 1，2题．
教材P133练习B组第1，2题（选做）．





32

数学基础模块 下册
9.3.1 直线与平面垂直
【教学目标】
1. 了解空间直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．
2. 渗透由平面到空间的转换思想，培养学生学习的空间想象能力．
【教学重点】
直线与平面垂直的判定定理和性质定理．
【教学难点】
直线与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．
【教学方法】
本节主要采用讲练结 合法．通过学生动手操作，由线段的一条垂直平分线在空间旋转成垂直平分面，
在此基础上，定义直线与 平面垂直．通过猜测，说理得出线面垂直的判定定理与性质定理，然后在例题中
体验定理在实际生活中的 应用．
【教学过程】
环节
教学内容 师生互动
师：在平面

内，设
l是线段AB的垂直平分线，
垂足为M，到AB两点距离
相等的点是否一定在l上？
到AB两点距离不相等
的点是否一定不在l上？
学生思考后回答．
师：推广到空间，如果
A，B是空间中的两点，线
段AB 的垂直平分线有多少
条？所有线段AB的垂直平
分线的集合形成怎样的图
形？
设计意图
由学生
初中学过的
垂直平分线
推广到垂直
平分面 ，符
合学生的认
知规律．
通过学
生动手操
作，直观感
知垂 直平分
线运动成垂
直平分面的
过程，为下
面定义线面
垂直奠定基础．













平面内到两定点距离相等的点的轨迹是连接这
两点线段的垂直平分线．

l


A
M B


学生操作：取一根细的直钢丝AB，通过AB的
导
中点O固定一条与AB垂直的金属棒l，然后把金属
入
棒两端放在固定的槽内．通过外力让其旋转，观察 l
的轨迹，看它是什么样的图形．





新
课






1. 空间直线与平面垂直的定义
如果一条直线 和一个平面内的任何直线都垂
直，我们就说这条直线与这个平面互相垂直，直线
叫做平面的垂线 ，平面叫做直线的垂面，交点叫做
垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个
点到这个平 面的垂线段．
画直线与平面垂直时，通常要把直线画成和表
示平面的平行四边形的一边垂直． 如图，直线l与
平面

互相垂直，记作l

．

l







33

教师强调，直线与平面
垂直，则它垂直于平面内的
任意直线，这个结论在证 明
时经常用到．

第九章 立体几何






















新
课






















实验：如图，将一张矩形纸片对折后略微展开，
竖立在桌面上，观察折痕与桌面关系．







我们知道，一个平面可由 它所含的两条相交直
线完全确定．实际上只要检验一条直线与平面内的
两条相交直线是否垂直就 可以了．

2. 直线与平面垂直的判定
判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条
相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．
用符号表示为（如下图所示）：
若 l  m，l  n，m ∩ n＝A，m 

，n 

，则
l 

．


A

l
m n




推论 如果在一组平行直线中，有一条直线垂
直于平面，那么另外的直线也都垂直于这个平面．





例 有一根旗杆AB高8 m，它的顶端A挂一条
10 m的绳子．拉紧绳子，并把它的下端放在地面上
的两点C，D(和 旗杆脚不在同一条直线上)．如果这
两点都和旗杆脚B的距离是6 m，那么旗杆就和地
面垂直，为什么？
解 在△ABC和△ABD中，因为
AB＝8 m，BC＝BD＝6 m，
AC＝AD＝10 m，
所以
A B
2
＋BC
2
＝6
2
＋8
2
＝10
2
＝AC
2
，
AB
2
＋BD
2
＝6< br>2
＋8
2
＝10
2
＝AD
2
．

因此 ABC＝ ABD＝90，即
AB  BC，AB  BD．
又知B，C，D三点不共线，所以AB平面BCD，
34
师：用直线与平面垂直< br>的定义，直接检验直线是否
与平面垂直是困难的．想一
想，是否有容易操作又比较
简单的判别方法？
学生实验探究，并讨论
分析．







教师归纳直线与平面
垂直的判定定理．
教师边画图边强调定
理中的关键词语：“平面内”
“两条相交直线”．












结合下图分析证明思
路．

A




C
B
D




教师引导学生列举实
际生活中的例子，来验证此
性质．

通过此
实验直观感
知直线与平
面垂直．为
引出直线与
平面垂直的
判定定理做
铺垫．






通过猜
测，说理得
出线面垂直
的判定定
理，不做严
格证明．
利用文
字语言、符
号语言和图
形语言的相
互转化，有
助于学 生理
解定理的本
质，明确利
用定理证明
的关键．

通过例
题，理解线
面垂直的判
定定理，体
验定理的实
际应用．
通 过实
例的分析可
加深对定理
的理解，体
会数学来源
于生活，数
学服务于生
活．

数学基础模块 下册
即旗杆和地面垂直．

3. 直线与平面垂直的性质
性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平
面，那么这两条直线平行．
用符号表示为（如图所示）：
若 l 

，m 

，则 l m．

l

m


A
B



新
课
练习
1．在空间中过一点都能作任意一条直线的垂线
吗？为什么？
2．已知长方体ABC D-A
1
B
1
C
1
D
1
，分别写出与下< br>列直线垂直的平面．
（1）AA
1
； （2）AB； （3）B
1
C
1
．
3．如果一条直线垂直于一个平面内的：
（1）三角形的两条边；
（2）梯形的两条边；
（3）圆的两条直径．
试问这条直线与上述图形所在的平面都垂直
吗？
4．三角形的两边可以都垂直于同一个平面吗？
1．空间直线与平面垂直的定义．
2．直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并
会简单应用．















师生共同合作完成．















学习新
知后紧跟练
习有利于帮
助学生更好
的梳理和总
结本节 所学
内容．有利
于教师检验
学生的掌握
情况．
小
结
师生合作总结．教师应
强调转化的思想．
梳理知
识点，尤其
是小结线面
垂直的两个
性质．
巩固拓
展．
作
业

教材P129练习 B组第 1，2，3题．



35

第九章 立体几何
9.3.2 直线与平面所成的角
【教学目标】
1. 了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．
2. 注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．
【教学重点】
直线与平面所成的角．
【教学难点】
斜线与平面所成的角．
【教学方法】
本节主要采用讲练结合法．在学生熟悉线面垂直的基础上，讲解平面的斜线及其 射影，通过推导三垂
线定理进一步熟悉线面垂直的知识．
【教学过程】
环节
教学内容
1．直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定
理．
2．直线与平面的位置关系．

导
入
师生互动
直线与平面的位置
关系利用表格进行提问
（见课件）．
师：空间直线与平
面垂直属于哪一种情
况？
生：一条直线和一
个平面相交，且和这个
平面垂直
师：一条直线与一
个平面相交但不垂直，
会怎样？

教师给出定义．
学生理解并记忆定
义．









重点强调斜线的射
影是过垂足和斜足的直
线．
教师可在此处多设
计几个图形，让学生练
习辨别垂线，斜线及其
设计意图 < br>本节内容
是建立在线面
垂直的基础之
上的，所以学生
必须对线面垂直的定义、判定
定理和性质定
理非常熟练．课
前复习，为新课
的学习扫清 障
碍．

引导学生
在理解的基础
上记忆．









此处加强
练习为下面顺
利引入三垂线
定理奠定基础．










新
课










1．平面的斜线
如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平
面垂直 ，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线
和平面的交点叫做斜足．斜线上一点与斜足之间的
线 段叫做斜线段．
如图，AB是平面

的斜线，B是斜足，AB是斜
线段．

A


B




2．直线与平面所成的角
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂
足和斜足的直 线叫做斜线在这个平面上的射影．斜
线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面所
成的角( 或夹角)，如上图所示．
如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成
的角是直角(90)；
36

数学基础模块 下册





















新
课






















如果直线和平面平行，或在平面内，则规定直
线与平面所成的角是0的角．
一条线段与平面所成的角指的是线段所在直线
与平面所成的角．
如图，设线段AB在平面

内的射影为A

B

，
且AB与平面

所成的角为

．易证
|A

B

|＝|AB| cos

．

B
A







A

B



练习
设线段AB＝l，且AB与平面

所成的角为

，
求线段AB在平面内的射影A

B

长：

（1）l＝6，

＝；
3
（2）l＝10，

＝0；

（3）l＝8，

＝．
2

例1 如图长方 体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB ＝1，
BC＝1，AA
1
＝2．求对角线A
1
C与平面ABCD所< br>成的角．
D
1

C
1


A
1


B
1




D
C

A

B
解 连接AC，由题意知 △A
1
AC为直角三角形，
且A
1
AC＝90．又由题意，可知
AC＝AB
2
＋BC
2
＝1
2
＋1
2＝2．
而AA
1
＝2，所以ACA
1
＝45．
因此A
1
C与平面ABCD所成的角为45．

例2 如图，已知 PA是平面

的斜线，PO

，
a 

，a  AO．
求证：a  PA．
P


a

O A






37
射影．












学生练习．







展示图形，要求学
生找出对角线A
1C所在
直线在平面ABCD上的
射影，讨论如何作图．












教 师引导学生对定
理进行结构分析，明确
各元素之间的制约关
系，指导学生抓住“四线一面”中“垂线”这
个关键条件．

可借助三角板与铅





















教 师用问
题引导学生一
步步分析如何
作出斜线与平
面所成的角，培
养学 生思维的
条理性．









此题看似
简单，但每一步
都分别应用了
线面垂直的定< br>义、判定定理
等，教师必须在
每一步后注明
所用定理，给学

第九章 立体几何











新
课


证明：因为 PO 

，a 

，所以
PO  a．（线面垂直的定义）
又因为AO  a，且PO∩AO＝O，所以
a 平面PAO．（线面垂直的判定）
又因为PA  平面 PAO，所以
a  PA．（线面垂直的定义）
例2中，AO是斜线PA在平面

内的射影，
通 常例2的结论也叫做三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．

练习
1．已知正方体ABCD-A
1
B
1
C< br>1
D
1
，写出对角线
B
1
D
1
与 平面AC，平面BA
1
，平面BC
1
所成的角，
并求这些角的余弦值 ．
2．如图所示，PA为平面

的斜线，PO

，
a

，a PA．求证：aAO．
P



a

O A




该结论叫做三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．

1．平面的斜线的定义．
2．理解直线与平面所成的角的概念，并会求直
线与平面所成的角．
教材P131练习A组第 3 题．
教材P131练习 B组第1题（选做）．
笔演示三垂线定理，给
学生以直观印象．










师生合作共同完
成．
生以明确的思
维指导．










学习新知
后紧跟练习，有
利于帮助学生< br>更好的梳理和
总结本节所学
内容．有利于教
师了解学生对
本节课的掌握
情况．

教师引导梳理．
小
结
作
业





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