关于端午节的习俗-中学生励志美文

平面与平面垂直的性质（教案）

教学目的
通过对面面垂直性质定理的探索、证明，培养学生的观察、分析、论证
等思维能力
教学目标：
1 理解掌握面面垂直的性质定理
2 能初步运用性质定理解决问题

教学重点难点：
重点：理解掌握面面垂直的性质定理
难点：运用性质定理解决实际问题
教学过程：
(一) 复习提问
师：请大家回顾一下，怎样判断线面垂直和面面垂直？（提问）
生：线面垂直判定定理：
如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于
这个平面.
生：面面垂直判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
(二)引入新课
师：今天我们要学习“两个平面垂直的性质”，先来看下面问题：
如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。
1)平面ADD′A′⊥平面ABCD

2) DD′⊥ 面ABCD

3)AD′⊥ 面ABCD



1

师：我们发现：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′∩平面ABCD
= AD，D′是平面ADD′A′内一点，过D′点可作无数条直线，这些直
线中有与平面A BCD垂直的，也有不垂直的，那么，满足什么条件的直线
能与平面ABCD垂直呢？
（提出问题，引发思维,并引导学生积极寻找这些直线与交线AD的关系）
生：（略） 师：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′内的任一点，平面内过该
点且垂直于交线 的直线垂直于平面ABCD。

（三）新课
已知：面α⊥面β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于 B，
求证：AB⊥β
(让学生思考怎样证明)
师：(分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于
平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，
故可过该直线作辅助线）
证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a，
∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β，
∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B,
∴AB⊥β

1. 面面垂直的性质定理：
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
（用符号语言表述） 若α⊥β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于 B，则 AB⊥β

师： 从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，
而前面我们知道，面面垂直也可 通过线面垂直来证明。这种互相转换的证
明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体 会。

2. 例题分析
例1． 空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为
正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD
内找一点，使AE⊥面BCD
解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点E，
连结AE，则AE为BD的中线
2

∴AE⊥BD
又∵面BCD∩面ABD=BD, 面ABD⊥面BCD
∴AE⊥面BCD


例2．如图，已知平面α 、β，α⊥β，α∩β =AB，直线a⊥β, a α,
求证：a ∥α
(引导学生思考)
α
(分析：因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系)
b
证明：在α内作垂直于α 、β交线AB的直线b，
A
又∵ α⊥β,
β
∴b⊥β 又∵ a⊥β
B
∴ a ∥b , a α
∴ a ∥α
a
3．课堂练习： 练习P
77

4.小结：
① 面面垂直的性质定理：
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

② 利用性质定理解决问题

5思考题
1 已知平面α 、β，直线a,且α⊥β, α∩β =AB，a ∥α ,
a⊥AB,试判断直线a与平面β的位置关系

(分析:因为直线与平面在平面内、相交、平行三种关系)
解: ∵ a ∥α , 过a作平面与α相交于直线b,则 a ∥ b
∵ a⊥AB , ∴ b⊥AB
又∵ a⊥β , α∩β =AB
∴b⊥β (面面垂直性质定理)
β
∴ a⊥β
B




3
α
b
A
a

2 已知α∩β = c, α⊥γ , β⊥γ, 求证: c⊥γ
(可从多方面思考证明本题)
问题1:能否证明直线c垂直于平面γ内的两条相交直线?

问题2:能否运用两平行直线中的一条垂直于平面γ,那么另一条也和该平面
γ垂直?

问题3:能否直接围绕直线本身的特征进行论证?

6.作业：P
78
1 , 4

4