我喜欢的动物-自检自查报告

二讲 加法与乘法原理

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加法原理：做一件事 情，完成它有n类办法，在第一类办法中有M
1
种不
．．
同的方法，在第二类 办法中有m
2
种不同的方法，„„，在第n类办法中有m
n
种不同的方法，那 么完成这件事情共有m
1
+m
2
+„„+m
n
种不同的方法 。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种
方法都可以独立 地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类
不重)；完成此任务的任何一种方法，都 属于某一类(即分类不漏)。合理分类也
是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往 不同，需要积累
一定的解题经验。
乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有 m
1
种方法，完
成第二个步骤有m
2
种方法，„，完成第N个步骤有 m
n
种方法，那么，完成这件
工作共有m
1
×m
2
ׄ×m
n
种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个 步骤，各个
步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成
这N 步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，
则对应的完成此工作的方法也 不同。
精典例题
例1：
一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所 有这些
小球颜色各不相同。问：
① 从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
② 从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

思路点拨


①：从两个口袋中只需取一个小球,则这 个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个
口袋中取，共有两大类方法。所以是加法原理的问题。
②：要从两个口袋中各取一个小球， 则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个
口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题。



模仿练习
孙老师的一个口袋内装有60个小球，另一个口袋内装有80个小球，所有
这些小球颜色各不相同。问：
（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？






例2：
一把钥匙只能开一把锁，淘气有7把钥匙和7把锁全部都搞乱了，
最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？
思路点拨
要求“最多”多少次配 好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第1把钥匙要配到
锁，最多要试6次（如果6次配对失败， 第7把锁就一定是这把钥匙，不用再试）；同理，
第2把钥匙最多要试5次；„„第6把锁最多试1次， 最好一把锁不用试。

模仿练习 一把钥匙只能开一把锁，淘气有20把钥匙和20把锁全部都搞乱了，最多要
试验多少次才能全部配 好锁和相应的钥匙？



例3：
用数字1、8、3、2、0能组成多少个数字不重复的四位数？
思路点拨
运 用乘法原理，把组数过程分为四个步骤：第一步：确定三位数千位上数字，有4种选
法（最高位不能为0 ）；第二步：确定百位上数字，有4种选法；第三步：确定十位上数字，
有3种选法；第四步：确定个位 上数字，有2种选法。





模仿练习
用数字9、2，1、0、3、7能组成多少个数字不重复的四位数？

例4：
如图4有A、 B、C、D、E五个区域，分别用五种颜色中的某一种
染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种 不同的染色方法？


思路点拨
由于有5个区域，则分为依次给A，B ，C，D，E染色五步。先给A染色，因为有5种颜
色，故有5种不同的染色方法；再给B染色，因不能 与A同色，还剩下4种颜色可选择，故
有4种染色方法；再给C染色，因为不能与A、B同色，故有3种 不同的染色方法；再给D
染色，同样不能与A、B、C同色，故有2种不同的染色方法；最后给E染色， 由于E只与A、
D相邻则只须与A、D不同色即可，那么它有（5－2）种染色方法。







模仿练习
小星同学用5 种颜色给右图的5个区域染色，每个区域染1种颜色，相邻的
区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的 染色方法？



学以致用

A级

< br>1.
机器猫有120本不同的童话书、450本不同的科技书、80本不同的故事
书，熊 大想从中借一本书回家看，问他有多少种不同的选法？



2.
学校羽毛球队有12名男队员，10名女队员。
（l）要挑选一名男队员和一名女队员组成一对男、女混合双打选手，有多
少种不同的搭配方法？
（2）该羽毛球队在比赛中获团体总分第一名，学校选一名运动员去领奖，
有多少种选法？





3.
如图5，从甲地到乙地有两条路，从乙地 到丙地有三条路；从甲地到丁
地有四条路，从丁地到丙地有四条路，问从甲地到丙地共有多少种走法？




4.
欧洲足球锦标赛共有16支球队参加 ，如果进行行单循环赛。问：共需要
进行多少场比赛？

5.
由数字0、l、2、3、4、5、 6、7共可组成多少个没有重复数字的四位奇
数？（奇数：不是2 的倍数，即单数）




6.
有男生5人，女生2人，排成一行照相，女生不站 两头，而且2个女生
要站在一起，那么有多少种不同的站法？