工资计算方法-初中教学工作计划

平面与平面垂直的性质
刘丹丹

一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理及证明；
（2）了解性质定理的作用并能运用性质定理解决一些简单问题。
2、过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正
确性的认识；
（2）性质定理的推理论证。
3、情态与价值
通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能
力以及逻辑推理能力。
二、教学重点
对性质定理的理解
三、教学难点
性质定理的引入和证明
四、学法与用具
（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明；
（2）用具：两个互相垂直的平面，一根直的细棍；
（3）多媒体课件。
五、教学设计
（一）复习回顾
1、面面垂直的定义；
2、面面垂直的判定。
（二）探究新知
面面垂直的定义既提供了两个平面垂直的判定方法，又指出了两个平面互相垂直的性质。应用判定定理的关键是在其中一个平面中寻找另一个平面的垂

1

线，由线面垂直推出面面垂直。那么现在从面面垂直出发，能否得到线面垂直呢？
面面 垂直具有哪些性质呢？这就是我们这节课所要探究的内容。
问题：教室的黑板所在的平面与地面是什么关系？能否在黑板上画一条直线
与地面垂直？
1、 探究
取出平面与平面垂直的模型，并拿细棍在其中一个面上移动。让学生观察
模型，探究细棍移动时，细棍与另一个平面的位置关系。
2、 猜想
在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
3、推理证明
下面我 们一起来完成这个命题的证明.先分析命题的条件和结论，然后画
出图形，再结合图形，用符号语言叙述 已知、求证。
已知：α⊥β，α∩β=AB，CD
求证：CD⊥β.
引导：这个命 题的结论是线面垂直.考虑已学过的判定
线面垂直的方法有哪些，由本题的已知看看哪种方法
最 适合.
证明：在平面β内，过D作DE⊥AB，
因为 CD⊥AB，CDα，
α，CD⊥AB.
所以 ∠CDE是α-AB-β的平面角，
又 α⊥β，所以 ∠CDE=90°
即CD⊥DE.
又ABβ，DEβ，
故 CD⊥β.
此命题就是面面垂直的性质定理。
定理剖析：（1）面面垂直得到线面垂直；
（2）为判定和作出线面垂直提供依据。
（三）概念巩固
练习：判断下列命题的真假

2

1、若α⊥β，那么α内的所有直线都垂直于β。
2、两平面互相垂直，分别在这两平面内的两直线互相垂直。
3、两平面互相垂直，分别在两平面且互相垂直的两直线一定分别与另一个平面
垂直。
4、两平面互相垂直，过一平面内的任一点在该平面内作交线的垂线，则此直线
必垂直于另一个平面。
关键点：①线在平面内；
②线垂直于交线。
（四）巩固深化、发展思维
思考：设平面α⊥平面β，点C在平面α内，过点C作平面β的垂线CD，直线
CD与平面α具有什么位 置关系？
猜想：直线CD必在平面α内。
推理证明
（引导）要证直线在平面内， 直接证法是依据公理1，需要在直线上找到两点在平
面内.已知只有一点C∈α，再找合题意的点很困难 .应该采用什么对策?
证明： 过点C在平面α内作CE⊥AB于E.
因为 α⊥β， 所以 CE⊥β.
又因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，
所以直线CE和直线CD重合，
所以 CDα.
注：（1）此题运用了“同一法”来证明；
（2）这是面面垂直的另一个性质，它的作用是判定直线在平面内.
用语言叙述就是:
如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直
线，在第一个平面内。
（五）应用巩固
上面我们研究了面面垂直的两个性质定理。定理1是判定线面垂直的有效
方法，性质2是判定直线在平面内的一种方法。
（拿出教具，把两个相交平面直立的放在桌面上，观察交线与桌面的关系）

3

猜想：交线与桌面垂直，即垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面.
推理证明
已知:α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a。
求证:a⊥γ.
（引导）本题条件是面面垂直，结论是线面垂直.选
择适当的判定线面垂直的方法，给出证明.
证明：设α∩γ=b,β∩γ=c,
在γ内任取一点P，作PM⊥b于M，PN⊥C于N.
因为 α⊥γ，β⊥γ，所以 PM⊥α，PN⊥β.
因为 α∩β=a，所以 PM⊥a，PN⊥a,
所以 a⊥γ.
此题还可采用间接的证明方法，请同学们课下尝试着用同一法来证明此题。
（六）课堂总结
1．这节课我们学习了哪些内容？我们是如何得到这些结论的？
2．空间垂直关系有哪些？如 何实现垂直关系的相互转化？指出下图中空间垂直
关系转化的依据？
线线垂直 线面垂直 面面垂直
（七）课堂作业
课本82页 习题B组第3题
六、教后记













课后反思

4

各位老师你们好!这次观摩活动终于结束了,应该说这节观摩课经过本人及
全组共同努力上得还是相当成功的.此课得到了我县数学教研员石老师、我校数
学组组长钱老师 及校内外众多同行的一致肯定,在此对他们给予我工作上的肯定
和支持表示感谢!
面面垂直的 性质这节课是立体几何初步的最后一节课,重点在于学生对性质
定理的理解,难点是性质定理的引入及证 明,为了突出重点、突破难点,整节课按
照“观察模型——直观感知——操作确认——推理证明”的方式 进行，为了加深
学生对性质定理的理解，教学中设置了四个辨析题对概念进行巩固，每介绍一个
性质定理或结论前，让学生观察模型，自己猜想结论，然后引导学生对猜想结论
进行证明，引导过程中巧 设问题，及时组织学生思考，交流，讨论。通过模型演
示激发学生探索新知的欲望，通过“探究”、“猜 想”等活动多维度构建学生“自
主参与、自主探究”的实践活动，通过学生思考、交流、讨论、发言多形 式提供
学生“展示自我、发展自我”的教学平台，在突破重难点的同时，注重培养学生
空间概念 ，空间想象能力以及逻辑推理能力，使不同层次学生有所收获。
当然这节课还存在着很多不足之处，如 教学中所选例题开放性较大，课堂时
间不足，导致该问题学生难以消化，未达到预期效果，教案中也出现 丢词和错词
的现象，等等，在这里就不再赘述。
通过这次观摩活动，我觉得自己在教学上收获 很大，特别是很多老师给我提
出了许多宝贵意见，让我收益非浅。我期盼学校以后能多提供给我们年轻教 师展
示自我的平台、提高教学水平的机会！












胡婷婷老师公开课点评意见

5

无为二中 钱光学
本节课是立体几何初步的最后一节课内容，也是高考中文科学生的最后一
节新课，如何 使本节课成为立体几何的点睛之笔，胡老师作了一些有益的探究，
教师通过“模型演示、直观感知、操作 确认、推理证明”培养了学生空间概念、
空间想象能力以及逻辑推理能力，较好地揭示了知识、规律发生 、发展过程，较
好地体现出高中数学新课程标准所倡导的教学理念，教师语言流畅，亲切，课堂
气氛活跃，学生积极参与。主要特色如下：
1． 教学思路清晰，教学重点突出
整节课的教 学思路清晰，突出了对主干知识的深入研讨，本节课的主线就
是面面垂直的性质及应用，课堂上的每一个 环节和片段都是围绕这个主线展开，
每一个知识点，每一个结论的发现，教师总是设法由学生自己得出， 教师只是在
关键处加以引导，尤其是，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生动手，
动 脑，相互讨论，充分体现出学生才是学习的主角这一新课程理念。
2． 设问合乎情理，探究活动自然
一位哲人说过“问题构成了一切科学探索活动（包括数学活动）的实际出
发点”。在课堂上，只 有通过适当的设问，才能在教学中真正实现“人人动脑筋，
积极思考”。本节课，教师十分注意提问的艺 术，设计的探究问题围绕面面垂直
性质而进行，引导学生充分经历“模型演示——直观感知——操作确认 ——推理
证明”这一完整的探究活动，让学生感受到数学知识产生的合理性，是大自然赋
予数学 的和谐美、自然美。
3． 注重方法引导，揭示研究方法
无论是面面垂直的定义，面面垂直的判定的复习，还是研究面面垂直的性

6

质，教师都很注重对数学思考和解决问题基本方法的教学，教师总是问“你是怎
样想的 ”、“为什么这样做”、“还可以怎样做”等问题，问思路，问道理，问方法，
及时组织学生思考，交流 ，讨论，遇到学生表述不准确或有错误时及时纠正，对
待学生大胆的尝试，给予充分的肯定，借此引导学 生学会必要的思维策略，展现
问题解决的途径，揭示研究问题的基本方法，注重数学思想方法的渗透。
4． 整合教材资源，巧用信息技术
如何把握新课标，新教材，教育对象三者关系是考验教师 教学水平的重要
尺子，我们既要使一部分学生通过高中阶段数学学习有一定的数学素养，又要为
另一部分学生继续深造打下扎实的数学基础，为了体现这点，本节课教师对教材
的内容作了必要的整合， 通过观察感知，猜想得出结论，同时对有些结论进行必
要的证明，如本课的例题就选用了课本上的一道习 题，虽然这道题有点难度，但
恰好和本节课面面垂直的两个性质相呼应，较好地培养了学生思维的严谨性 ，也
反映出教师对教学内容的深入思考；另外，本节课信息技术的运用也较得法，不
是通过电教 来灌学生，而是通过信息技术来辅助教学，使师生有时间对重点、难
点内容进行突破。
作为刚 走上讲台三个来月的年轻教师，本节课还存在很多不足和值得商榷
的地方，这里不再赘述。

2006年12月29日


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平面与平面垂直的性质
刘丹丹

一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理及证明；
（2）了解性质定理的作用并能运用性质定理解决一些简单问题。
2、过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正
确性的认识；
（2）性质定理的推理论证。
3、情态与价值
通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能
力以及逻辑推理能力。
二、教学重点
对性质定理的理解
三、教学难点
性质定理的引入和证明
四、学法与用具
（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明；
（2）用具：两个互相垂直的平面，一根直的细棍；
（3）多媒体课件。
五、教学设计
（一）复习回顾
1、面面垂直的定义；
2、面面垂直的判定。
（二）探究新知
面面垂直的定义既提供了两个平面垂直的判定方法，又指出了两个平面互相垂直的性质。应用判定定理的关键是在其中一个平面中寻找另一个平面的垂

1

线，由线面垂直推出面面垂直。那么现在从面面垂直出发，能否得到线面垂直呢？
面面 垂直具有哪些性质呢？这就是我们这节课所要探究的内容。
问题：教室的黑板所在的平面与地面是什么关系？能否在黑板上画一条直线
与地面垂直？
1、 探究
取出平面与平面垂直的模型，并拿细棍在其中一个面上移动。让学生观察
模型，探究细棍移动时，细棍与另一个平面的位置关系。
2、 猜想
在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
3、推理证明
下面我 们一起来完成这个命题的证明.先分析命题的条件和结论，然后画
出图形，再结合图形，用符号语言叙述 已知、求证。
已知：α⊥β，α∩β=AB，CD
求证：CD⊥β.
引导：这个命 题的结论是线面垂直.考虑已学过的判定
线面垂直的方法有哪些，由本题的已知看看哪种方法
最 适合.
证明：在平面β内，过D作DE⊥AB，
因为 CD⊥AB，CDα，
α，CD⊥AB.
所以 ∠CDE是α-AB-β的平面角，
又 α⊥β，所以 ∠CDE=90°
即CD⊥DE.
又ABβ，DEβ，
故 CD⊥β.
此命题就是面面垂直的性质定理。
定理剖析：（1）面面垂直得到线面垂直；
（2）为判定和作出线面垂直提供依据。
（三）概念巩固
练习：判断下列命题的真假

2

1、若α⊥β，那么α内的所有直线都垂直于β。
2、两平面互相垂直，分别在这两平面内的两直线互相垂直。
3、两平面互相垂直，分别在两平面且互相垂直的两直线一定分别与另一个平面
垂直。
4、两平面互相垂直，过一平面内的任一点在该平面内作交线的垂线，则此直线
必垂直于另一个平面。
关键点：①线在平面内；
②线垂直于交线。
（四）巩固深化、发展思维
思考：设平面α⊥平面β，点C在平面α内，过点C作平面β的垂线CD，直线
CD与平面α具有什么位 置关系？
猜想：直线CD必在平面α内。
推理证明
（引导）要证直线在平面内， 直接证法是依据公理1，需要在直线上找到两点在平
面内.已知只有一点C∈α，再找合题意的点很困难 .应该采用什么对策?
证明： 过点C在平面α内作CE⊥AB于E.
因为 α⊥β， 所以 CE⊥β.
又因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，
所以直线CE和直线CD重合，
所以 CDα.
注：（1）此题运用了“同一法”来证明；
（2）这是面面垂直的另一个性质，它的作用是判定直线在平面内.
用语言叙述就是:
如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直
线，在第一个平面内。
（五）应用巩固
上面我们研究了面面垂直的两个性质定理。定理1是判定线面垂直的有效
方法，性质2是判定直线在平面内的一种方法。
（拿出教具，把两个相交平面直立的放在桌面上，观察交线与桌面的关系）

3

猜想：交线与桌面垂直，即垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面.
推理证明
已知:α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a。
求证:a⊥γ.
（引导）本题条件是面面垂直，结论是线面垂直.选
择适当的判定线面垂直的方法，给出证明.
证明：设α∩γ=b,β∩γ=c,
在γ内任取一点P，作PM⊥b于M，PN⊥C于N.
因为 α⊥γ，β⊥γ，所以 PM⊥α，PN⊥β.
因为 α∩β=a，所以 PM⊥a，PN⊥a,
所以 a⊥γ.
此题还可采用间接的证明方法，请同学们课下尝试着用同一法来证明此题。
（六）课堂总结
1．这节课我们学习了哪些内容？我们是如何得到这些结论的？
2．空间垂直关系有哪些？如 何实现垂直关系的相互转化？指出下图中空间垂直
关系转化的依据？
线线垂直 线面垂直 面面垂直
（七）课堂作业
课本82页 习题B组第3题
六、教后记













课后反思

4

各位老师你们好!这次观摩活动终于结束了,应该说这节观摩课经过本人及
全组共同努力上得还是相当成功的.此课得到了我县数学教研员石老师、我校数
学组组长钱老师 及校内外众多同行的一致肯定,在此对他们给予我工作上的肯定
和支持表示感谢!
面面垂直的 性质这节课是立体几何初步的最后一节课,重点在于学生对性质
定理的理解,难点是性质定理的引入及证 明,为了突出重点、突破难点,整节课按
照“观察模型——直观感知——操作确认——推理证明”的方式 进行，为了加深
学生对性质定理的理解，教学中设置了四个辨析题对概念进行巩固，每介绍一个
性质定理或结论前，让学生观察模型，自己猜想结论，然后引导学生对猜想结论
进行证明，引导过程中巧 设问题，及时组织学生思考，交流，讨论。通过模型演
示激发学生探索新知的欲望，通过“探究”、“猜 想”等活动多维度构建学生“自
主参与、自主探究”的实践活动，通过学生思考、交流、讨论、发言多形 式提供
学生“展示自我、发展自我”的教学平台，在突破重难点的同时，注重培养学生
空间概念 ，空间想象能力以及逻辑推理能力，使不同层次学生有所收获。
当然这节课还存在着很多不足之处，如 教学中所选例题开放性较大，课堂时
间不足，导致该问题学生难以消化，未达到预期效果，教案中也出现 丢词和错词
的现象，等等，在这里就不再赘述。
通过这次观摩活动，我觉得自己在教学上收获 很大，特别是很多老师给我提
出了许多宝贵意见，让我收益非浅。我期盼学校以后能多提供给我们年轻教 师展
示自我的平台、提高教学水平的机会！












胡婷婷老师公开课点评意见

5

无为二中 钱光学
本节课是立体几何初步的最后一节课内容，也是高考中文科学生的最后一
节新课，如何 使本节课成为立体几何的点睛之笔，胡老师作了一些有益的探究，
教师通过“模型演示、直观感知、操作 确认、推理证明”培养了学生空间概念、
空间想象能力以及逻辑推理能力，较好地揭示了知识、规律发生 、发展过程，较
好地体现出高中数学新课程标准所倡导的教学理念，教师语言流畅，亲切，课堂
气氛活跃，学生积极参与。主要特色如下：
1． 教学思路清晰，教学重点突出
整节课的教 学思路清晰，突出了对主干知识的深入研讨，本节课的主线就
是面面垂直的性质及应用，课堂上的每一个 环节和片段都是围绕这个主线展开，
每一个知识点，每一个结论的发现，教师总是设法由学生自己得出， 教师只是在
关键处加以引导，尤其是，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生动手，
动 脑，相互讨论，充分体现出学生才是学习的主角这一新课程理念。
2． 设问合乎情理，探究活动自然
一位哲人说过“问题构成了一切科学探索活动（包括数学活动）的实际出
发点”。在课堂上，只 有通过适当的设问，才能在教学中真正实现“人人动脑筋，
积极思考”。本节课，教师十分注意提问的艺 术，设计的探究问题围绕面面垂直
性质而进行，引导学生充分经历“模型演示——直观感知——操作确认 ——推理
证明”这一完整的探究活动，让学生感受到数学知识产生的合理性，是大自然赋
予数学 的和谐美、自然美。
3． 注重方法引导，揭示研究方法
无论是面面垂直的定义，面面垂直的判定的复习，还是研究面面垂直的性

6

质，教师都很注重对数学思考和解决问题基本方法的教学，教师总是问“你是怎
样想的 ”、“为什么这样做”、“还可以怎样做”等问题，问思路，问道理，问方法，
及时组织学生思考，交流 ，讨论，遇到学生表述不准确或有错误时及时纠正，对
待学生大胆的尝试，给予充分的肯定，借此引导学 生学会必要的思维策略，展现
问题解决的途径，揭示研究问题的基本方法，注重数学思想方法的渗透。
4． 整合教材资源，巧用信息技术
如何把握新课标，新教材，教育对象三者关系是考验教师 教学水平的重要
尺子，我们既要使一部分学生通过高中阶段数学学习有一定的数学素养，又要为
另一部分学生继续深造打下扎实的数学基础，为了体现这点，本节课教师对教材
的内容作了必要的整合， 通过观察感知，猜想得出结论，同时对有些结论进行必
要的证明，如本课的例题就选用了课本上的一道习 题，虽然这道题有点难度，但
恰好和本节课面面垂直的两个性质相呼应，较好地培养了学生思维的严谨性 ，也
反映出教师对教学内容的深入思考；另外，本节课信息技术的运用也较得法，不
是通过电教 来灌学生，而是通过信息技术来辅助教学，使师生有时间对重点、难
点内容进行突破。
作为刚 走上讲台三个来月的年轻教师，本节课还存在很多不足和值得商榷
的地方，这里不再赘述。

2006年12月29日


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