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学科教师辅导讲义
学员编号：
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授课主题
授课类型
教学目标
授课日期及时段
T同步课堂
年 级：四年级
辅导科目：奥数
课 时 数：3
学科教师：
第18讲-
重叠问题

P实战演练 S归纳总结
① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容
②
掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用


T
（Textbook-Based）
——同步课堂

知识梳理


一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合 元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把
两个集合的元素个数相加，而要从两个集 合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，
用式子可表示成：
AUB ABAIB
，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．
图示如下:
A< br>表示小圆部分，
B
表示大圆部分，
C
表示大圆与小圆的公共部分，记为 ：
AIB
，即阴影面积．
图示如下:
A
表示小圆部分，
B
表示大圆部分，
C
表示大圆与小圆的公共部分，记为：
AIB
，即阴 影面积．

1．先包含——
AB

重叠部分
AIB
计算了
2
次，多加了
1
次；

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合
A、B
的并集
AUB
的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合
A、B< br>的元素个数，然后加起来，即先求
AB
(意思是把
A、B
的一切元素 都“包含”进
来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去
CAIB
(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A类、
B
类与
C
类元素个数的总和
A
类元素的个数B
类元素个数
C
类元素个数

既是
A
类又 是
B
类

的元素个数

既是
B类又是
C
类的元素个数

既是
A
类又是
C类的元素个数

同时是
A
类、
B
类、
C
类的元
素个数．用符号表示为：
AUBUCABCAIBBICAICAIB IC
．图示如下：

图中小圆表示
A
的元素的个数，中圆表示B
的元素的个数，
1．先包含：
ABC

重叠部分
AIB
、
BIC
、
CIA
重叠了
2
次，多加了1
次．
2．再排除：
ABCAIBBICAIC




在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

典例分析

考点一：两量重叠问题
例1、实验小学四年级二班 ，参加语文兴趣小组的有
28
人，参加数学兴趣小组的有
29
人，有
12
人两个小组都
参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

AC
B




例2、对全班同学调查发现，会游 泳的有
20
人，会打篮球的有
25
人．两项都会的有
10
人 ，两项都不会的有
9
人．这个班一共有多少人？

会
游
泳
的
A
两
项
都
会
的
B
会
打
篮
球
的
两项都不会的






例3、在
46
人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有
18
人，既采了樱桃又采了杏的有
7
人，既没采樱桃又没采
杏的有< br>6
人，问：只采了杏的有多少人？
A
既采
樱桃
又采
杏的
B
既没采樱桃
又没采杏的




例 4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？
乙
A
丙
B
甲




考点二：三量重叠问题
例1、全班有
25
个学生，其中
17
人会骑自行车，
13
人会游泳，
8
人会滑冰，这三个运动项目没有人全会， 至
少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有
6
个人数 学不及格，那么，
（1） 数学成绩优秀的有几个学生？

（2）有几个人既会游泳，又会滑冰？






考点三：图形中的重叠问题
例1、把长
38
厘米和
53
厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长
4
厘米，焊接后这根铁条有多长？







例2、两张长
4
厘米，宽
2
厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平 方厘米？
4
厘
米
2厘米
图3




例3、三个面积均为
50
平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片 共同重叠的面积是
10
平方厘米．三个
纸片盖住桌面的总面积是
100
厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？
A
10
B
C

考点四：容斥原理在数论问题中的应用
例1、在
1~100
的全部自然数中 ，不是
3
的倍数也不是
5
的倍数的数有多少个？
A
B





考点五：容斥原理中的最值问题
例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大 小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内
的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大 是多少？


P(Practice-Oriented)——实战演练

实战演练

➢ 课堂狙击
1、芳草地小学四年级有
58
人学钢琴，
43
人学画画，
37
人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画 的分别
有多少人？

A
CB




2、科技活动小组有
55
人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模 型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：
制作好一架飞机模型的同学有
40
人， 制作好一艘舰艇的同学有
32
人．每个同学都至少完成了一项制作．问两
项制作都完成 的同学有多少人？
A
C
B



3、五年级一班 共有
36
人，每人参加一个兴趣小组，共有
A
、
B
、
C
、
D
、
E
五个小组，若参加
A
组的有
15
人，参加
B
组的人数仅次于
A
组，参加
C
组、
D
组的人数相同，参加
E
组的人数最少，只有
4
人．那么， 参
加
B
组的有_______人．



4、如下图，一张长
8
厘米，宽
6
厘米，另一个正方形边长为
6
厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为
4
厘米
的正方形，求这个组合图形的 面积．
8
6
4
6
图3




5、甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都 浇过的花

最少有多少盆?





➢ 课后反击
1、实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳 舞的有18人，两种都能表演的有7人．这
个表演队共有多少人能登台表演歌舞？




2、某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有
32
人，参加 军棋比赛的有
28
人，有
18
人两项比赛都参加了，
这个班参加棋类 比赛的共有多少人？
只参
加象
棋比
赛的
两项
比赛
都参
加的
A
只参
加军
棋比
赛的
B

3、在自然数
1~100
中，能被
3
或
5
中任一个整除的 数有多少个？





4、如图，三角形纸板、正方形 纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40
平方厘米，3张板盖住的 总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？

5、四年级科技活动组共有
63
人．在一次剪贴汽车模型和装配 飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点
发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有
42
人，装配好一架飞机模型的同学有
34
人．每个同学都至少完成了一项
活动．问：同 时完成这两项活动的同学有多少人？



直击赛场

1、(第二届小学迎春杯数学竞赛)有
100
位旅客，其中有
10
人 既不懂英语又不懂俄语，有
75
人懂英语，
83
人懂
俄语．问既懂英 语又懂俄语的有多少人？




(Summary- Embedded)——归纳总结

名师点拨

容斥原理的基本 思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后
再把计数时重复计 算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
学霸经验

➢ 本节课我学到了

➢ 我需要努力的地方是