赛号-银行公共基础知识

四年级数学讲义
奥数：容斥原理(2)
教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。

一、教学衔接
1、五年级有122名学生参加语文 、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的
有65人，数学优秀的有87人。 语文、数学都优秀的有多少人？




2、某班有40名学生， 其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有
多少人两个小组都 不参加?




3、一个旅行社有36人，其中会英语的有24 人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？




二、教学内容
例1．五（1）班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测 试，有4名学生在这三个项目上
都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优 秀的项目和人数如下表：
短跑
17人
游泳
18人
篮球
15人
短跑、游泳
6人
游泳、篮球
6人
篮球、短跑
6人
短跑、游泳、篮球
2人
求全班人数。





例2．某班有学生50人，参加无线电小组，航 模小组和生物小组的人数分别是20人、20人和12人，
其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4 人，既参加航模小组又参加生物小组的有5人，既参加生物
小组又参加无线电小组的有3人。已知全班每 人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么，三个小组
参加的学生有多少人？





1

例3．一个体育锻炼小组有 35名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球队中的一个。结
果参加篮球队的有16人，参加 排球队的有11人，参加足球队的有20人，其中有4人既参加了排球队又
参加了篮球队，有3人既参加 了排球队又参加了足球队，没有人三个球队都参加。既参加篮球队又参加足
球队的有多少人？







三、教学练习
1．第三小 队的学生有20人，手中分别拿有红、黄蓝三种颜色的球，已知手中有红球、黄球、蓝球折学生
人数分别 为10人、10人、6人，其中手中既有红球又有黄球的有3人，既有黄球又有蓝球的有2人，既
有蓝球 又有红球的有4人。已知全队每人手里都至少有一种颜色的球，那么，手中三种颜色的球都有多少
人？






2．某班50名同学全部参加数学、 语文、美术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29人，参加语文小
组的有21人，参加美术小组的有 25人，有17人既参加数学小组又参加美术小组，有15人既参加数学小
组又参加语文小组，有10人 既参加语文小组又参加美术小组。三个小组都参加的有多少人？







3．有学生30名，他们中有部分学生参加了乒乓球，羽毛球、排球三 个训练小组，各组人数分别为14人、
12人、10人，其中既参加羽毛球小组又参加排球小组的有4人 ，既参加羽毛球小组又参加乒乓球小组的
有6人，既参加乒乓球小组又参加排球小组的有5人，三个小组 都参加的有1人。这些学生中这三个小组
都没有参加的有几人？









2

< br>4．某外语学习班有40名学员，规定他们至少学习英语、日语、德语中的一咱。结果学习英语的有20人 ，
学习日语的有12人，学习德语的有18人，其中有5人既学习了英语又学习了日语，有2人既学习了 日语
又学习了德语，没有人同时学习三咱语言。既学习英语又学习德语的有多少人？






四、教学小结
今天我们学习了什么？你都能掌握吗？让我们一起动笔归纳一下吧！






五、教学拓展
例4．松山小学45名学生参加数学、作文、 美术竞赛。有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，
其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3 人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学
竞赛又参加美术竞赛。
（1）只参加数学竞赛的有多少人？ （2）只参加作文竞赛的有多少人？






（3）只参加美术竞赛的有多少人？





练习：四（1）班有55名学生参加音乐、美术、体育兴趣组。有22人参加美术组，有21人参加音乐组，其中15人既参加音乐组又参加美术组，3人既参加音乐组又参加体育组，但没有一人既参加美术组又参加< br>体育组。
（1）只参加美术组的有多少人？ （2）只参加音乐组的有多少人？






3

六、课后练习

1．有30名运动员、其中18人会三 级跳远，16人会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高都不会。既会三
级跳远又会撑杆跳高的运动员有 多少名？






2．操场上的学生排成1 0路纵队做操，每路纵队的人数同样多，小明站在第4路纵队，从排头数他是第13
人，从后往前数他是 第8人。操场上有多少人在做操？






3．一个年级有120人爱好数学，100人爱好语文，85人爱好美术，30人既爱好数学又爱好语文，20人 既
爱好语文又爱好美术，35人既爱好美术又爱好数学，有18人三个学科都爱好。请问：这个年级中数 学、
语文、美术三个学科至少爱好一个学科的学生有多少人？






4．某班全体学生进行了数学、语文、英语三个科目的测试，有8名学 生在这三个科目上都没有达到优秀，
其余每人至少有一个科目达到优秀，这部分学生达到优秀的科目和人 数如下表：
数学
20
语文 英语 数学、语文
16 16 4
语文、英语
4
英语、数学
5
数学、语文、英语
3
全班一共有多少名学生？

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四年级数学讲义
奥数：容斥原理(2)
教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。

一、教学衔接
1、五年级有122名学生参加语文 、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的
有65人，数学优秀的有87人。 语文、数学都优秀的有多少人？




2、某班有40名学生， 其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有
多少人两个小组都 不参加?




3、一个旅行社有36人，其中会英语的有24 人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？




二、教学内容
例1．五（1）班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测 试，有4名学生在这三个项目上
都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优 秀的项目和人数如下表：
短跑
17人
游泳
18人
篮球
15人
短跑、游泳
6人
游泳、篮球
6人
篮球、短跑
6人
短跑、游泳、篮球
2人
求全班人数。





例2．某班有学生50人，参加无线电小组，航 模小组和生物小组的人数分别是20人、20人和12人，
其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4 人，既参加航模小组又参加生物小组的有5人，既参加生物
小组又参加无线电小组的有3人。已知全班每 人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么，三个小组
参加的学生有多少人？





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例3．一个体育锻炼小组有 35名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球队中的一个。结
果参加篮球队的有16人，参加 排球队的有11人，参加足球队的有20人，其中有4人既参加了排球队又
参加了篮球队，有3人既参加 了排球队又参加了足球队，没有人三个球队都参加。既参加篮球队又参加足
球队的有多少人？







三、教学练习
1．第三小 队的学生有20人，手中分别拿有红、黄蓝三种颜色的球，已知手中有红球、黄球、蓝球折学生
人数分别 为10人、10人、6人，其中手中既有红球又有黄球的有3人，既有黄球又有蓝球的有2人，既
有蓝球 又有红球的有4人。已知全队每人手里都至少有一种颜色的球，那么，手中三种颜色的球都有多少
人？






2．某班50名同学全部参加数学、 语文、美术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29人，参加语文小
组的有21人，参加美术小组的有 25人，有17人既参加数学小组又参加美术小组，有15人既参加数学小
组又参加语文小组，有10人 既参加语文小组又参加美术小组。三个小组都参加的有多少人？







3．有学生30名，他们中有部分学生参加了乒乓球，羽毛球、排球三 个训练小组，各组人数分别为14人、
12人、10人，其中既参加羽毛球小组又参加排球小组的有4人 ，既参加羽毛球小组又参加乒乓球小组的
有6人，既参加乒乓球小组又参加排球小组的有5人，三个小组 都参加的有1人。这些学生中这三个小组
都没有参加的有几人？









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< br>4．某外语学习班有40名学员，规定他们至少学习英语、日语、德语中的一咱。结果学习英语的有20人 ，
学习日语的有12人，学习德语的有18人，其中有5人既学习了英语又学习了日语，有2人既学习了 日语
又学习了德语，没有人同时学习三咱语言。既学习英语又学习德语的有多少人？






四、教学小结
今天我们学习了什么？你都能掌握吗？让我们一起动笔归纳一下吧！






五、教学拓展
例4．松山小学45名学生参加数学、作文、 美术竞赛。有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，
其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3 人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学
竞赛又参加美术竞赛。
（1）只参加数学竞赛的有多少人？ （2）只参加作文竞赛的有多少人？






（3）只参加美术竞赛的有多少人？





练习：四（1）班有55名学生参加音乐、美术、体育兴趣组。有22人参加美术组，有21人参加音乐组，其中15人既参加音乐组又参加美术组，3人既参加音乐组又参加体育组，但没有一人既参加美术组又参加< br>体育组。
（1）只参加美术组的有多少人？ （2）只参加音乐组的有多少人？






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六、课后练习

1．有30名运动员、其中18人会三 级跳远，16人会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高都不会。既会三
级跳远又会撑杆跳高的运动员有 多少名？






2．操场上的学生排成1 0路纵队做操，每路纵队的人数同样多，小明站在第4路纵队，从排头数他是第13
人，从后往前数他是 第8人。操场上有多少人在做操？






3．一个年级有120人爱好数学，100人爱好语文，85人爱好美术，30人既爱好数学又爱好语文，20人 既
爱好语文又爱好美术，35人既爱好美术又爱好数学，有18人三个学科都爱好。请问：这个年级中数 学、
语文、美术三个学科至少爱好一个学科的学生有多少人？






4．某班全体学生进行了数学、语文、英语三个科目的测试，有8名学 生在这三个科目上都没有达到优秀，
其余每人至少有一个科目达到优秀，这部分学生达到优秀的科目和人 数如下表：
数学
20
语文 英语 数学、语文
16 16 4
语文、英语
4
英语、数学
5
数学、语文、英语
3
全班一共有多少名学生？

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