点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.
角度3 空间位置关系与几何体的度量计算
【例3－3】 (2019·湖北六市联考)如图，在Rt△
ABC
中，
AB
＝
BC
＝3，点
E
，
F
分别在线段
AB
，
AC
上，且
EF
∥
BC
，将△
AEF
沿
EF
折起到△
PEF
的位置，使得 二
面角
P
－
EF
－
B
的大小为60°.
(1)求证：
EF
⊥
PB
；
(2)当点
E
为线段
AB
的靠近
B
点的三等分点时，求四棱锥
P
－EBCF
的侧面积．

(1)证明 因为在Rt△
ABC
中，
AB
＝
BC
＝3，
所以
BC
⊥
AB
.
又因为
EF
∥
BC
，所以
EF
⊥
AB
，翻折后垂直关系没变，仍有
EF
⊥
PE
，
EF
⊥
BE
，又
因为
P E
∩
BE
＝
E
，
PE
，
BE
⊂平 面
PBE
，
所以
EF
⊥平面
PBE
，所以
EF
⊥
PB
.
(2)解 因为
EF
⊥
PE，
EF
⊥
BE
，所以∠
PEB
是二面角
P－
EF
－
B
的平面角，
即∠
PEB
＝60° ，在△
BEP
中，
PE
＝2，
BE
＝1，由余弦定理得PB
＝3，
所以
PB
2
＋
BE
2
＝
PE
2
，所以
PB
⊥
BE
，所以
PB，
BC
，
BE
两两垂直，
又
EF
⊥
PE
，
EF
⊥
BE
，所以△
PBE
，△
P BC
，△
PEF
均为直角三角形．
2
由△
AEF
∽△
ABC
可得，
EF
＝
BC
＝2，
3
S
△
PBC
＝
BC
·
PB
＝
1
2
33131
，
S
△
PBE
＝
PB
·
BE
＝，
S
△
PEF
＝
EF
·
PE＝2.
2222
在四边形
BCFE
中，过点
F
作BC
的垂线，垂足为
H
，则
FC
2
＝
FH2
＋
HC
2
＝
BE
2
＋(
BC
－
EF
)
2
＝2，∴
FC
＝2.
在△
PFC
中，
FC
＝2，
PC
＝
BC
2
＋< br>PB
2
＝23，
PF
＝
PE
2
＋
E F
2
＝22，由余弦定
PF
2
＋
FC
2
－
PC
2
1
理可得cos∠
PFC
＝＝－，
2PF
·
FC
4

则sin∠
PFC
＝15115
，
S
△
PFC
＝
PF
·
F C
sin∠
PFC
＝.
422
15
.
2
所以四棱锥
P
－
EBCF
的侧面积为
S
△
PBC
＋
S
△
PBE
＋
S
△
PEF
＋< br>S
△
PFC
＝2＋23＋
规律方法 1.本题的综合性较强，属于翻折 问题，其关键是看翻折前后线面位
置关系的变化情况．根据翻折的过程，把翻折前后一些线、面位置关系 中没有
变化和发生变化的量准确找出来，应用到求解中．
2．第(1)问证明线线垂直，这类 问题的一般是通过证明线面垂直来证明．第(2)
问的解决过程中要清楚二面角
P
－< br>EF
－
B
的平面角是哪一个，并且利用这个角的
大小找出四棱锥中各线 、面的位置关系，确定各侧面三角形的形状，即可求四
棱锥的侧面积．
【训练3】 (201 9·长沙模拟)在如图所示的几何体中，四边形
CDEF
为正方形，
四边形
A BCD
为等腰梯形，
AB
∥
CD
，
AC
＝3，AB
＝2
BC
＝2，
AC
⊥
FB
.

(1)求证：
AC
⊥平面
FBC
；
(2)求四面体
FBCD
的体积；
(3)线段
AC
上是否 存在点
M
，使
EA
∥平面
FDM
？若存在，请说明其位置， 并加以
证明；若不存在，请说明理由．
(1)证明 在△
ABC
中，因为< br>AC
＝3，
AB
＝2，
BC
＝1，
所以
A C
2
＋
BC
2
＝
AB
2
，所以
A C
⊥
BC
.
又因为
AC
⊥
FB
，
BC
∩
FB
＝
B
，
BC
，
FB
⊂平面
FBC
，
所以
AC
⊥平面
FBC
.
(2)解 因为
AC
⊥平面
FBC
，
FC
⊂平面< br>FBC
，
所以
AC
⊥
FC
.
因为
CD
⊥
FC
，
AC
∩
CD
＝
C
，所以
FC
⊥平面
ABCD
.
在等腰梯形
ABCD
中可得
CB
＝
DC
＝1，所以
FC
＝1.

所以△
BCD
的面积为
S
＝
3
.
4
13
所以四面体
FBCD
的体积为
V
F
－
BCD
＝
S
·
FC
＝.
312
(3)解 线段
AC
上存在点
M
，且点
M< br>为
AC
中点时，有
EA
∥平面
FDM
.证明如下：

连接
CE
，与
DF
交于点
N
，取
AC
的中点
M
，连接
MN
.
因为四边形
CDE F
是正方形，所以点
N
为
CE
的中点．
所以
EA
∥
MN
.因为
MN
⊂平面
FDM
，
EA< br>⊄平面
FDM
，
所以
EA
∥平面
FDM
. 所以线段
AC
上存在点
M
，且
M
为
AC
的 中点，使得
EA
∥平面
FDM
成立．
考点四 线面角、二面角的概念及应用
【例4】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为
S
，母线
SA
，
SB
互相垂直，
SA
与圆锥底面所成 角为30°.若△
SAB
的面积为8，则该圆锥的体积为________．
解析 由题意画出图形，如图，设
AC
是底面圆
O
的直径，连接
SO
，则
SO
是圆锥
1
的高．设圆锥的母线长为
l
，则由SA
⊥
SB
，△
SAB
的面积为8，得
l
2< br>＝8，得
l
＝
2
13
4.在Rt△
ASO
中 ，由题意知∠
SAO
＝30°，所以
SO
＝
l
＝2，
AO
＝
l
＝23.
22
11
故该圆锥的体积
V
＝π×
AO
2
×
SO
＝π×(23)
2
× 2＝8π.
33

答案 8π
(2)已知正三棱锥
P
－
ABC
的侧面与底面所成的二面角为60°，且正三棱锥的体
积为
3
，则其侧面积为________．
24

解析 如图所示，设
AB< br>的中点为
M
，连接
CM
，
PM
，由正三棱锥的性质可 知
PM
⊥
AB
，
CM
⊥
AB
，所以∠PMC
＝60°，设点
P
在平面
ABC
上的射影为
H< br>，则
H
是
CM
靠近
M
的三等分点，设
AB< br>＝
a
，则
MH
＝
31
a
，在直角三角形PMH
中，
PH
＝
a
，
62

13
2
13
3
3
故三棱锥
P
－
ABC
的体积为×
a
×
a
＝
a
＝，
3422424解得
a
＝1，则
PM
＝
3133
，故
S
△
PAB
＝×1×＝，
3236
33
＝.
62
所以三棱锥的侧面积为3
S
△
PAB
＝3×
3

2
答案
规律方法 (1)解决这类问题的关键是根据线面角、二面角的定义找出或做 出这
个角，利用线面角或二面角的大小计算几何体中的相关的量．
(2)找出或做出线面角和 二面角的平面角都要根据其定义，恰当地利用图形中的
垂直关系．如(1)题中圆锥的轴线与底面垂直， (2)题中
PM
与
AB
，
CM
与
AB
垂直 ．
【训练4】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)在长方体
ABCD
－
A1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
＝
BC
＝2，
AC
1
与平面
BB
1
C
1
C
所成的角为30°，则该长方体的体积为( )
A．8
C．82
B．62
D．83
解析 连接
BC
1< br>，因为
AB
⊥平面
BB
1
C
1
C
， 所以∠
AC
1
B
＝30°，
AB
⊥
BC
1
，所以
△
ABC
1
为直角三角形．又
AB
＝2，所 以
BC
1
＝23.又
B
1
C
1
＝2，所以
BB
1
＝
（23）
2
－2
2
＝22，故该 长方体的体积
V
＝2×2×22＝82.
答案 C

(2) 在长方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面
ABCD
是正方形，且
AB
＝2，若平面< br>A
1
BD
和
平面
ABCD
所成的二面角为45°，则
A
1
A
＝________．
解析 如图所示，连接
AC
，交
BD
于
O
，则
AO
⊥
BD
， 连接
A
1
O
，由于
A
1
B
＝
A< br>1
D
，所
以
A
1
O
⊥
BD
，则∠
A
1
OA
即为二面角的平面角，即∠
A
1
O A
＝45°，所以
A
1
A
＝
AO
＝
22
AB
＝2.

答案 2

[思维升华]
1.证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义：
a
与
α
内任何直线都垂直⇒
a
⊥
α
；
(2)判定定理1：
< br>m
，
n
⊂
α
，
m
∩
n
＝< br>A

l
⊥
m
，
l
⊥
n
< br>⇒
l
⊥
α
；

(3)判定定理2：
a∥
b
，
a
⊥
α
⇒
b
⊥
α；
(4)面面垂直的性质：
α
⊥
β
，
α
∩< br>β
＝
l
，
a
⊂
α
，
a
⊥< br>l
⇒
a
⊥
β
；
2.证明面面垂直的方法
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：
a< br>⊂
α
，
a
⊥
β
⇒
α
⊥
β< br>.
3.转化思想：三种垂直关系之间的转化

[易错防范]
1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.
2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.
3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.

4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定
定理和性质定理的联 合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.

直观想象——立体几何中的动态问题
1．直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形
式特别是图形， 理解和解决数学问题的素养．
2．立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动
角的范围等．
3．一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥
曲线的定义推断 出动点的轨迹．
【例1】 在正方体
ABCD
－
A
1
B< br>1
C
1
D
1
中，点
M
、
N
分别是直线
CD
、
AB
上的动点，点
P
是△
A1
C
1
D
内的动点(不包括边界)，记直线
D
1
P
与
MN
所成角为
θ
，若
θ
的最小
π< br>值为，则点
P
的轨迹是( )
3

A．圆的一部分
C．抛物线的一部分
B．椭圆的一部分
D．双曲线的一部分
解析 把
MN
平移到平面
A
1
B
1
C
1
D
1
中，直线
D
1
P
与
MN
所成角为θ
，直线
D
1
P
与
MN
所成角的最小值是直线
D
1
P
与平面
A
1
B
1
C
1
D
1
所成角，即原问题转化为：直线
D
1
P
与
平面
A
1
B
1
C
1
D
1
所成角为
π
，点
P
在平面
A
1
B
1
C
1
D
1
的投影为圆的一部分，因为点
P
是
3< br>△
A
1
C
1
D
内的动点(不包括边界)，
所以点
P
的轨迹是椭圆的一部分．故选B.

答案 B
【例2】 (2018·石家庄一模)如图，四棱锥
P
－
ABCD
的底面是边长为2的正方
形，
PA
⊥平面
ABCD
，且
P A
＝4，
M
是
PB
上的一个动点(不与
P
，
B
重合)，过点
M
作平面
α
∥平面
PAD
，截棱 锥所得图形的面积为
y
，若平面
α
与平面
PAD
之间的距离为
x
，则函数
y
＝
f
(
x
)的图 象是( )


解析 过
M
作
MN
⊥
AB
，交
AB
于
N
，则
MN
⊥平面
ABC D
，过
N
作
NQ
∥
AD
，交
CD
于
Q
，过
Q
作
QH
∥
PD
，交
P C
于
H
，连接
MH
，

则平面
MNQH
是所作的平面
α
，
由题意得
2－
xMN
＝，
24

解得
MN
＝4－2
x
，由
CQQH
＝.
CDPD
即
2－
xQH
＝，解得
QH
＝5(2－
x
)， 2
25
过
H
作
HE
⊥
NQ
，在Rt△
HEQ
中，
EQ
＝
HQ
2
－
HE
2
＝2－
x
，

∴
NE
＝2－(2－
x
)＝
x
，∴
MH
＝
x
.
∴
y< br>＝
f
(
x
)＝
（
x
＋2）（4－2
x
）

2
＝－
x
2
＋4(0<
x
<2)．
∴函数
y
＝
f
(
x
)的图象如图．故选C.
答案 C

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.已知互相垂直的平面
α
，
β
交于直线
l
，若直 线
m
，
n
满足
m
∥
α
，
n
⊥
β
，则
( )
A.
m
∥
l
B.
m
∥
n
C.
n
⊥
l
D.
m
⊥
n

解析 因为
α
∩
β
＝
l
，所以
l
⊂
β
，又
n
⊥
β< br>，所以
n
⊥
l
.
答案 C
2.(2018·成都 二诊)已知
m
，
n
是空间中两条不同的直线，
α
，
β
为空间中两个
互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )
A.若
m
⊂
α
，则
m
⊥
β
B.若
m
⊂
α
，
n
⊂
β
，则
m
⊥
n

C.若
m
⊄
α
，
m⊥
β
，则
m
∥
α

D.若
α
∩
β
＝
m
，
n
⊥
m
，则
n
⊥
α

解析 对于A：若
m
⊂
α
，则
m
与平面
β
可能平行或相交，所以A错误；对于B：
若
m
⊂
α
，
n
⊂
β
，则
m
与
n
可能平行、相交或异面，所以B错误；对于C：若
m
⊄
α
，m
⊥
β
，则
m
∥
α
，C正确；对于D：
α
∩
β
＝
m
，
n
⊥
m
，则n
不一定与平面
α
垂直，所以D错误.
答案 C
3.(20 19·泉州模拟)在下列四个正方体
ABCD
－
A
1
B
1< br>C
1
D
1
中，
E
，
F
，
G
均为所在棱的
中点，过
E
，
F
，
G
作正方 体的截面，则在各个正方体中，直线
BD
1
与平面
EFG
不
垂直的是( )

解析 如图，在正方体中，
E
，
F
，
G
，
M
，
N
，
Q
均为所在棱的中点，易知
E
，
F
，
G
，
M
，
N
，
Q
六个点共面，直线
BD
1
与平面
EFMNQG
垂 直，并且选项A、B、C中的
平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线
BD1
与平面
EFG
不垂
直，满足题意，故选D.

答案 D
4.(2019·广州一模)设
m
，
n
是两条不同的直线，α
，
β
是两个不同的平面，下
列命题中正确的是( )
A. 若
α
⊥
β
，
m
∥
α
，
n
∥
β
，则
m
⊥
n

B.若
m
⊥< br>α
，
m
∥
n
，
n
∥
β
，则
α
⊥
β

C.若
m
⊥
n
，
m
⊂
α
，
n
⊂
β
，则
α
⊥β

D.若
α
∥
β
，
m
⊂
α
，
n
⊂
β
，则
m
∥
n
解析 若
α
⊥
β
，
m
∥
α
，
n
∥
β
，则
m
与
n
相交、平行或异面， 故A错误；
∵
m
⊥
α
，
m
∥
n
，∴
n
⊥
α
，
又∵
n
∥
β
，∴
α
⊥
β
，故B正确；
若
m
⊥
n
，
m
⊂
α
，
n
⊂
β
，则
α
与
β
的位置关系不确定，故C错误；
若
α
∥
β
，
m
⊂
α
，
n
⊂
β
，则
m
∥
n
或
m
，
n
异面，
故D错误.
答案 B
5.(2018·赣州模拟)如图，在斜三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，∠
BAC
＝90°，且
BC
1
⊥
AC
，过
C
1
作
C1
H
⊥底面
ABC
，垂足为
H
，则点
H
在( )

A.直线
AC
上
C.直线
BC
上


B.直线
AB
上
D.△
ABC
内部
解析 连接
AC
1
，如图.

∵∠
BAC
＝90°，∴
AC
⊥
AB
，
∵
BC
1
⊥
AC
，
BC
1
∩
AB
＝
B
，
∴
AC
⊥平面
ABC
1
.
又
AC
在平面
ABC
内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面
ABC
⊥平面
ABC
1
，
则根据面面垂直的性质定理知，在平面
ABC
1内一点
C
1
向平面
ABC
作垂线，垂足必
落在交线AB
上.故选B.
答案 B
二、填空题
6.如图，已知∠
BAC
＝90°，
PC
⊥平面
ABC
，则在△
ABC
，△
PAC
的边所在的直线
中，与
PC
垂直的直线有______ ______；与
AP
垂直的直线有____________.

解析 因为
PC
⊥平面
ABC
，所以
PC
垂直于直 线
AB
，
BC
，
AC
.因为
AB
⊥
AC
，
AB
⊥
PC
，
AC
∩
PC
＝
C
，所以
AB
⊥平面
PAC
，又因为
AP⊂平面
PAC
，所以
AB
⊥
AP
，
与
AP
垂直的直线是
AB
.
答案
AB
，
BC
，
AC

AB

7. 如图所示，在四棱锥
P
－
ABCD
中，
PA
⊥底面
ABCD
，且底面各边都相等，
M
是
PC
上的一动点，当点
M
满足________时，平面
MBD
⊥平面
PCD
(只要填写一 个你认为
是正确的条件即可).

解析 连接
AC
，
BD
，则
AC
⊥
BD
，因为
PA
⊥底面
ABC D
，所以
PA
⊥
BD
.又
PA
∩
AC＝
A
，所以
BD
⊥平面
PAC
，所以
BD⊥
PC
.所以当
DM
⊥
PC
(或
BM
⊥
PC
)时，即有
PC
⊥平
面
MBD
.而
PC
⊂平面
PCD
，所以平面
MBD
⊥平面
PCD
.

答案
DM
⊥
PC
(或
BM
⊥
PC
)
8.如图，在长方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
＝
BC
＝2，
AA1
＝1，则
AC
1
与平面
A
1
B
1< br>C
1
D
1
所成角的正弦值为________.

解析 连接
A
1
C
1
，则∠
AC
1
A
1
为
AC
1
与平面
A
1
B
1
C
1
D
1
所成的角.
因为
AB
＝
BC
＝2，所以
A
1
C
1
＝
AC
＝22 ，
又
AA
1
＝1，所以
AC
1
＝3，
AA
1
1
所以sin∠
AC
1
A
1
＝＝.
AC
1
3

1
答案
3
三、解答题
9.(2019·石家庄摸底)如图，在多面体
ABCDPE
中，四边形
AB CD
和
CDPE
都是直
角梯形，
AB
∥
DC
，
PE
∥
DC
，
AD
⊥
DC
，
PD
⊥平面
ABCD
，
AB
＝
PD
＝
DA
＝2
PE
，
CD
＝
3
PE
，
F< br>是
CE
的中点.

(1)求证：
BF
∥平面
ADP
；
(2)已知
O
是
BD
的中点，求证：
BD
⊥平面
AOF
.
证明 (1)如图，取
PD
的中点为
G
，连接
FG
，
AG
.

∵
F
是
CE
的中点，∴FG
是梯形
CDPE
的中位线，
∵
CD
＝3
PE
，
∴
FG
＝2
PE
，
FG
∥
CD
.
∵
CD
∥
AB
，
AB
＝2
PE
，
∴
AB
∥
FG
，
AB
＝
FG
，即 四边形
ABFG
是平行四边形，
∴
BF
∥
AG
， 又
BF
⊄平面
ADP
，
AG
⊂平面
ADP
，
∴
BF
∥平面
ADP
.
(2)延长
AO交
CD
于
M
，连接
BM
，
FM
. < br>∵
BA
⊥
AD
，
CD
⊥
DA
，AB
＝
AD
，
O
为
BD
的中点，
∴ 四边形
ABMD
是正方形，则
BD
⊥
AM
，
MD< br>＝2
PE
，
∴
FM
∥
PD
.
∵
PD
⊥平面
ABCD
，∴
FM
⊥平面
ABCD，∴
FM
⊥
BD
，
∵
AM
∩
FM< br>＝
M
，∴
BD
⊥平面
AMF
，

∴
BD
⊥平面
AOF
.
10.如图，在四 棱锥
P
－
ABCD
中，
PC
⊥平面
ABCD
，
AB
∥
DC
，
DC
⊥
AC
.

(1)求证：
DC
⊥平面
PAC
；
(2)求证：平面
PAB
⊥平面
PAC
；
(3)设点E
为
AB
的中点，在棱
PB
上是否存在点
F
， 使得
PA
∥平面
CEF
？说明理由.
(1)证明 因为
P C
⊥平面
ABCD
，
DC
⊂平面
ABCD
，

所以
PC
⊥
DC
.
又因为
AC
⊥
DC
，且
PC
∩
AC
＝
C
，所以DC
⊥平面
PAC
.
(2)证明 因为
AB
∥
CD
，
DC
⊥
AC
，所以
AB
⊥
AC< br>.
因为
PC
⊥平面
ABCD
，
AB
⊂平面
ABCD
，所以
PC
⊥
AB
.
又因为
P C
∩
AC
＝
C
，所以
AB
⊥平面
PAC< br>.
又
AB
⊂平面
PAB
，所以平面
PAB
⊥平面
PAC
.
(3)解 棱
PB
上存在点
F
， 使得
PA
∥平面
CEF
.
理由如下：取
PB
的中 点
F
，连接
EF
，
CE
，
CF
，又因为< br>E
为
AB
的中点，所以
EF
∥
PA
.又因为
PA
⊄平面
CEF
，且
EF
⊂平面
CEF
，
所以
PA
∥平面
CEF
.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2018·唐山一模)如图，在正方形
ABCD< br>中，
E
，
F
分别是
BC
，
CD
的中 点，
G
是
EF
的中点，现在沿
AE
，
AF
及
EF
把这个正方形折成一个空间图形，使
B
，
C
，
D
三点重合，重合后的点记为
H
，那么在这个空间图形中必有( )

A.
AG
⊥平面
EFH

C.
HF
⊥平面
AEF

B.
AH
⊥平面
EFH

D.
HG
⊥平面
AEF

解析 根据折叠前、后
A H
⊥
HE
，
AH
⊥
HF
不变，又
HE∩
HF
＝
H
，∴
AH
⊥平面
EFH
，
B正确.
∵过
A
只有一条直线与平面
EFH
垂直，∴A不正确.
∵
AG
⊥
EF
，
EF
⊥
GH
，
AG
∩
GH
＝
G
，∴
EF
⊥平面
HAG
，又
EF
⊂平面
AEF
，
∴平面
HAG
⊥平面
AEF
，过
H
作直线垂直于平面
AEF
，一定在平面
HAG
内，
∴C不正确.
由条件证不出
HG
⊥平面
AEF
，∴D不正确.
答案 B
12.如图，在矩形
ABCD
中，
AB
＝3，
BC
＝1，将△
ACD
沿
AC
折起，使得
D
折起后
的位 置为
D
1
，且
D
1
在平面
ABC
上的射影 恰好落在
AB
上，在四面体
D
1
ABC
的四个
面中 ，有
n
对平面相互垂直，则
n
等于( )

A.2 B.3 C.4 D.5
解析 设
D
1
在平面
ABC上的射影为
E
，连接
D
1
E
，则
D
1
E
⊥平面
ABC
.

∵
D
1
E
⊂平面
ABD
1
，
∴平面
ABD
1
⊥平面
ABC
.
∵
D< br>1
E
⊥平面
ABC
，
BC
⊂平面
ABC，∴
D
1
E
⊥
BC
，
又
AB
⊥
BC
，
D
1
E
∩
AB
＝
E< br>，∴
BC
⊥平面
ABD
1
.
又
BC
⊂平面
BCD
1
，∴平面
BCD
1
⊥平面
ABD
1
.

∵
BC
⊥平面
ABD
1，
AD
1
⊂平面
ABD
1
，
∴
BC
⊥
AD
1
，又
CD
1
⊥
AD
1< br>，
BC
∩
CD
1
＝
C
，
∴
AD
1
⊥平面
BCD
1
，
又
AD
1
⊂平面
ACD
1
，∴平面
ACD
1
⊥平面
BCD
1
.
∴共有3对平面相互垂直.故选B.
答案 B
13.如图，在直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，侧棱长为2，
AC
＝
BC
＝1，∠
AC B
＝90°，
D
是
A
1
B
1
的中点，F
是
BB
1
上的动点，
AB
1
，
DF
交于点
E
，要使
AB
1
⊥平面
C
1
DF
，则线
段
B
1
F
的长为________.

解析 设
B
1
F
＝
x
，
因为
AB
1
⊥平面
C
1
DF
，
DF
⊂ 平面
C
1
DF
，
所以
AB
1
⊥
DF
，
由已知可得
A
1
B
1
＝2，
设Rt△
A A
1
B
1
斜边
AB
1
上的高为
h
，
1
则
DE
＝
h
.
2
11
又 ×2×2＝×
h
2
2
＋（2）
2
，
22
所以
h
＝
233
，
DE
＝.
33
在Rt△
DB
1
E
中，
B
1
E
＝

2

3

6

－< br>
＝.
6

2

3

22< br>16
由面积相等得××
26
1
得
x
＝.
2
x
2
＋


2

12

＝×
x
，

2

22
2

1
答案
2
14.如图①，在直角梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC，
AB
⊥
BC
，
BD
⊥
DC
，点E
是
BC
边的中
点，将△
ABD
沿
BD
折起，使平面
ABD
⊥平面
BCD
，连接
AE
，
AC
，
DE
，得到如图②
所示的几何体.

(1)求证：
AB
⊥平面
ADC
；
(2)若
AD
＝1，
AC
与其在平面
ABD
内的正投影所成角的正切值为6，求点
B
到平
面
ADE
的距离.
(1)证明 因为平面
ABD
⊥平面
BCD
，平面
ABD
∩平面
BCD
＝
BD
，
BD
⊥
DC
，
DC
⊂平面
BCD
，所以
DC
⊥平面
ABD
.
因为
AB⊂平面
ABD
，所以
DC
⊥
AB
，
又因为< br>AD
⊥
AB
，且
DC
∩
AD
＝
D< br>，
所以
AB
⊥平面
ADC
.
(2)解 由(1) 知
DC
⊥平面
ABD
，所以
AC
在平面
ABD内的正投影为
AD
，即∠
DAC
为
AC
与其在平面ABD
内的正投影所成角.
依题意得tan∠
DAC
＝
CD
＝6，
AD
因为
AD
＝1，所以
CD
＝6，
设
AB
＝
x
(
x
>0)，则
BD
＝
x
2
＋1，
因为△
ABD
∽△
DCB
，所以
AB DCx
6
＝，即＝
2
，
ADBD
1
x
＋ 1
解得
x
＝2，故
AB
＝2，
BD
＝3，
BC
＝3.
由于
AB
⊥平面
ADC
，
AC
⊂平面
ADC
，
所以
AB
⊥
AC
，又
E
为
BC
的中点，
所以由平面几何知识得
AE
＝
BC
3
2
＝， 2

因为
BD
⊥
DC
，
E
为BC
的中点，所以
DE
＝
1
所以
S
△
ADE
＝×1×
2
因为
DC
⊥平面
ABD
， 13
所以
V
A
－
BCD
＝
V
C
－
ABD
＝
CD
·
S
△
ABD
＝.
33
设点
B
到平面
ADE
的距离为
d
.
2

3

1


－
＝.
2

2

2

22
BC3
2
＝，
2
113
则由
d
·
S△
ADE
＝
V
B
－
ADE
＝
V
A
－
BDE
＝
V
A
－
BCD
＝，
326
得
d
＝
6
，
2
6
即点
B
到平面
ADE
的距离为.
2