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第三课时 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.
2．过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
3．情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间 想象能力以及逻辑
推理能力.
（二）教学重点、难点
两个性质定理的证明.
（三）教学方法
学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转 化.
教学过程

教学内容

师生互动

设计意图

问题1：判定直线和平面垂
直的方法有几种？
新课导入

问题2：若 一条直线和一个
平面垂直，可得到什么结论？若
两条直线与同一个平面垂直
呢？

一、直线与平面垂直的性质
定理
师投影问题. 学生思考、讨
论问题，教师点出主题

复习巩固以
旧带新

生：借助长方体模型AA′、
BB′、CC′、DD′所在直线都垂直
于平面ABCD，它们之 间相互平
行，所以结论成立.
借助模
型教学，培
养几何直观
能力.， 反证
法证题是一
个难点，采
用以教师为
主，能起到
用，并提高
上课效率.

1．问题：已知直线a、b和
平面

，如果
a

,b

，那
么直线a、b一定
平行吗？
已知
a

,b


求证：b∥a.
探索新知

证明：假定b不平行于a，
设
b

=0
b′是经过O与直线a平行的
直线
∵a∥b′，a

[来
源:]

∴b′⊥a
即经过同一点O的两线b、
b′都与

垂直这是不可能的，
因此b∥a.
师：怎么证明呢？由于无法
把两条直线a、b归入到一个平
面 内，故无法应用平行直线的判
定知识，也无法应用公理4，有
师生边分析边板书.

这种情况下，我们采用“反证法” 一个示范作

2．直线与平面垂直的性质
定理
垂直于同一个平面的两条
直线平行
简化为：线面垂直

线线
平行

二、平面与平面平行的性质
定理
教师投影问题，学生思考、
观察、讨论，然后回答问题
1．问题
黑板所在平面与地面所在
平面垂直，你能否在黑板上画一
生：借助长方体模型，在长
方体ABCD – A′B′C′D′中，面
A′ADD′⊥面ABCD，A′A⊥AD，AB
∵
AD
条直线与地面垂直？ ⊥A′A
A

AA

∴A′A⊥面ABCD
故只需在黑板上作一直线

2．例1 设



，

与两个平面的交线垂直即可.
< br>师：证明直线和平面垂直一
般都转化为证直线和平面内两
条交线垂直，现AB⊥CD，需 找
一条直线与AB垂直，有条件



还没有用，能否利用
本例题
的难点是构
造辅助线，
采用分析综
合法能较好
地解决这个问题.

=CD，
AB

，AB⊥CD，AB⊥
CD = B求证AB



探索新知


证明：在
内引直线BE⊥
CD，垂足为B，则∠ABE是二面
角

C D

的平面角.由
AB⊥BE,又AB⊥CD,BE



知，
与CD是

内的两条相交直线，
所以AB⊥


3．平面与平面垂直的性质
定理
两个平面垂直，则一个平面
内垂直于交线的直线与另一个
平面垂直
简记为：面面垂直

线面
垂直.

例2 如图，已知平面< br>
,

，



构造一条直线与AB垂直< br>呢？
生：在面

内过B作BE⊥
CD即可.
师：为什么呢？
学生分析，教师板书

师投影例2并读题

生：平行
师：证明线面平行一般策略
是什么？
生：转证线线平行
师：假设内一条直线b∥a
则b与

的位置关系如何？
生：垂直[来源:学_科_网
巩固所学知
识，训练化
归能力.


[来
源:]
巩固所学知
识，训练分



，直线
a满
a

足
，
典例分析
< br>a

，试判
断直线a与平面

的位置关系.
解：在

内作垂直于

与

交线的直线b，

因为
a

，所以
b


因为
a

，所以a∥b.
即直线a与平面

平行.
例3 设平面

⊥平面

，
点P作平面

的垂线a，试判断
直线a与平面

的位置关系？
证明：如图，设

= c，
根据平面与平面垂直的性质定
理有
b

.

因为过
一点有且只
有一条直线
与平面

垂
直，所以直线a与直线b垂合，因此
a

.

Z_X_X_K]
师：已知
b

,



，怎
生：在
内作b垂直于

、

的交线即可.
学生写出证明过程，教师投
影.
师投影例3并读题，师生共
后教师给予评注.
师：利用“同一法”证明问
题 主要是在按一般途径不易完
成问题的情形下，所采用的一种
数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易
想到，二是证直线b与直线a
重合，相对容易一些，本题注意
要分类讨论，其结论也可作性质
用.

类思想化归
能力及思维
的灵活性.

又因为
a

，所以a∥

. 样作直线b？
过 点P在平面

内作直线b⊥c，同分析思路，完成证题过程，然
1．判断下列命题是否 正确，
正确的在括号内画“√”错误的
画“×”.

（1）a．垂直于同一条直线
的两个平面互相平行. （ √ ）
b．垂直于同一个平面的两
条直线互相平行. （ √ ）
c．一条直线在平面内，另
一条直线与这个平面垂直，则这
两条直线互相垂直. （ √ ）
（2）已知直线a，b和平面
学生独立完成



巩固、所学
知识



，且a⊥b，a⊥

，则b与

随堂练习

的位置关系是 .
答案：b∥

或b


.[来
源:学,科,网Z,X,X,K]
2．（1）下列命题中错误的
．．
是（ A ）
A．如果平面
< br>⊥平面

，
那么平面

内所有直线垂直于
平面

.
B．如果平面

⊥平面

，
那么平面
内一定存在直线平
行于平面

.
C．如果平面
< br>不垂直平面

，那么平面

内一定不存在

直线 垂直于平面

.
D．如果平面

⊥平面

，平面

⊥平面

，

那么
l
.
（2）已知两个平面垂直，
下列命题（ B ）
①一个平面内已积压直线
必垂直于另一平面内的任意一
条直线.
②一个平面内的已知直线
必垂直于另一个平面的无数条
直线.
③一个平面内的任意一条
直线必垂直于另一个平面.
④过一个平面内任意一点
作交线的垂线，则此垂线必垂直
于另一个平面.
其中正确命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．设直线a，b分别在正方
体ABCD – A′B′C′D′中两个不同的
面所在平面内，欲使a∥b，a，b
应满足什么条件？
答案：不相交，不异面
4．已知平面

，

，直线
a，且



，


l
，

AB
，a
∥

，a⊥AB，试判断直线a与
直线

的位置关系.
答案：平行、相交或在平面

内

1．直线和平面垂直的性质
归纳总结[来
源:]

[来源:学|科|网]

2．平面和平面垂直的性质
3．面面垂直
线线垂直

课后作业

2.3 第三课时 习案

学生独立完成

线面垂直
学生归纳总结，教材再补充
完善.

回顾、
反思、归纳
知识提高自
我整合知识
的能力.

固化知识

提升能力

备选例题
例1 把直角三角板A BC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC
与桌面所在的平面

垂直，a是

内一条直线，若斜边AB与a垂直，
则BC是否与a垂直？

a AC

AC



【解析】

aA B


a


ACABA


a平面ABC


aBC

BC平面ABC
< br>
【评析】若BC与

垂直，同理可得AB与

也垂直，其实 质是三垂线定理及逆定理，
证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线 垂直” ．
例2 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已< br>知

⊥r，

⊥r，

∩

= l，求证：l⊥r．
【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面
、

垂
直．或由面面垂直的性质易在

、

内作出平面r的垂线，再设法证明l与其平行即可．[来
源:学.科.网]
【证明】法一：如图，设

∩r = a ，

∩r = b，在r内任取一点
P．过点P在r内作直线m⊥a，n⊥b．
∵

⊥r，

⊥r，
∴m⊥a，n⊥

（面面垂直的性质）．
又

∩

= l，
∴l⊥m，l⊥n．又m∩n = P，m，n

r
∴l⊥r．
法二：如图，设

∩r = a，

∩r = b，在

内作m⊥a，在

内作n⊥b．
∵

⊥r，

⊥r，
∴m⊥r，n⊥r．
∴m∥n，又n


，m


，
∴m∥

，又

∩

= l，m


，[来源:]
∴m∥l，
又m⊥r，∴l⊥r． < br>【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法一充分利用面
面垂直、线 面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题
是线线、面面垂直转化的 典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益
的．

教学反 思：通过本节课学习使学生明白线面垂直是核心，线线垂直，线面垂直可
以相互转化。





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