入党分子思想汇报-诗歌鉴赏技巧

【重点节】高三总复习---刘剑敏---2012
平面与平面的平行与垂直
一、考纲要求：掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；
二、知识网络：

两个平面平行
空间两
个平面
两个平面相
交

距离
两个平面平行的判定与性质

二面角


两个平面垂直的判定与性质
三、基础过关
1．两个平面的位置关系：
2．两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(记忆口诀：线面平行，则面面平行)
3、两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的 平行．
(记忆口诀：面面平行，则线线平行)
4．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则
这两个平面互相垂直．
5．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，
则这两个平面互相垂直．
6．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它
们的 的直线垂直于另一个平面．
四、典型例题
例1．如图，正方体ABCD－A
1B
1
C
1
D
1
中，M、N、E、F分别是棱A
1
B
1
、A
1
D
1
、
B
1
C
1
、C
1
D
1
中点．
(1) 求证：平面AMN∥平面EFDB；
D
1

F
C
1

N
(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值．
M
B
1

E
A
1

D


C

A


B





变式训练1：如图，

∥
，AB交

、

于A、B，
α
A
O
B
C
CD交

、


于C、D，AB

CD＝O，O在两平面之间，
AO＝5，BO＝8，CO＝6．求CD．

β
D

例2 . 已知平面

∥平面

，AB、CD是夹在 平面

和平面

间的两条线段，点E、
F分别在AB、CD上，且< br>AECFm

．求证：EF∥

∥

．

EBFDn









变式训练2：在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N、P分别是CC
1
、B
1
C
1
、C
1
D
1
的中点．
求证：(1) AP

MN；
(2) 平面MNP∥平面A
1
BD．








例3.如图，平面

∥平面

，

ABC．

A
1
B
1
C
1
分别在

、

内，线段AA< br>1
、BB
1
、
CC
1
交于点O，O在
、

之间，若AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，OA:OA
1
＝3 :2．
求

A
1
B
1
C
1
的面积．












α
B
O
β
C
1

A
1

B
1

A
C

< br>变式训练3：如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝
AC＝a ，PB＝PD＝
2
a，点E是PD的中点．
P
证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

E

A

D

B

C



例4、 如图所示，在四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°．
求证：平面ABC⊥平面BSC．
A


B
D

S
C






变式训练4：如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
⑴ 求证：AB⊥BC；
S
⑵ 若设二面角S－BC－A为45°，
SA＝BC，求二面角A－SC－B的大小．
C

A

B

例5.如图，四棱锥 P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、
PD的中点，又二面角P－CD －B为45°．
P
⑴ 求证：AF∥平面PEC；
F
⑵ 求证：平面PEC⊥平面PCD；
A
⑶ 设AD＝2，CD＝2
2
，求点A到面PEC的距离．
D
E

B
C








变式训练5：如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD
是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
证明：AB⊥平面VAD；
V

C

D

B

A





五、小结
1、证明面面平行的方法： (1)定义法；(2)判定定理．
2．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线

线∥面

面∥面．

3、在证明两平面垂直时，一般方法是从 现有的直线中寻找平面的垂线；若没有
这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根 据并且要有利
于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作
交 线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线
面垂直”、“面面垂直” 间的转化是解决这类问题的关键．