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高中立体几何定理及性质
一、公理及其推论
文字语言
公理1
如果一条直线上的
两点在一个平面
内，那么这条直线
上所有的点都在这
个平面内。
我们说：直线在平
面内
或：平面经过直线
公理2 如果两个平面有一
个公共点,那么它
们还有其他公共
点,且所有这些公
共 点的集合是一条
过这个公共点的直
线。
（那么它们有且只
有一条通过这个公
共点的公共直线）
公理3
经过不在同一条直
线上的三点，有且
符号语言 图像语言

作用
①用来验证直线
在平面内；
② 用来说明平
面是无限延展的
③可以用来判定
点在平面内
Al

Bl



AB

A


B



l



P

Pl



① 用来证明两
个平面是相交关
系；
② 用来证明多
点共线。

P

I



I

l



Pl

A,B,C不共线
A,B,C确定一个平面
可以用来确定一
个平面
用来证明多点共
C直线AB

只有一个平面
简单的说，不共线
的三点，确定一个
平面
推论1
存在唯一的平面

,
面，多线共面

A

使得

B


C





A直线a
存在唯一的平面

,

A

经过一条直线和这
使得


a

条直线外的一点，
有且只有一个平面
推论2
经过两条相交直
线，有且只有一个
平面
推论3
经过两条平行直
线，有且只有一个
平面
公理4 （平行公理）
a∥b

平行于同一条直线
的两条直线平行
abP

有且只有一个平面

，

使a

,b

a∥b

有且只有一个平面

，

使a

,b


a∥c

b∥c

用来证明线线平
行



二、平行关系
文字语言
（1）公理4 （平行
公理）
平行于同一条直线
符号语言 图像语言

作用

a∥b


a∥c

b∥c


的两条直线平行
（2）线面平行的判
定定理
如果平面外一条直
线和这个平面内的
一条直线平行，那
么这条直线和这个
平面平行。
（3）线面平行的性
质定理
如果一条直线和一
个平面平行，经过
这条直线的平面和
这个平面相交，那么这条直线和交线
平行。
（4）面面平行的判
定定理
如果一个平面 内有
两条相交直线都平
行于另一个平面,
那么这两个平面平
行.
（5）面面平行的判
定 如果两个平面

a∥b


a


a∥


b



线线平行推线面
平行





b

a∥b


a


b∥

线面平行推线线
平行
a∥

b∥





ab O



∥



a



b


线面平行推面面
平行
OO







∥


OO




线面垂直推面面
平行

垂直于同一条直
线，那么这两个平
面平行。

∥< br>





a

a∥b
质定理 如果两个



b


（6）面面平行的性
平行平面同时和第
三个平面相交,那
么它们的交线平
行。
（7）面面平行的
性质 如果两个平
面平行,那么其中
一个平面内的直线
平行于另一个平
面。

（8）面面平行的性
质 如果一条直线
垂直于两个平行平
面中的一 个平面，
那么它也垂直于另
一个平面。
（9）面面平行的性
质
平行于同一个平面
的两个平面平行。
面面平行推线线
平行

∥



a∥


a


面面平行推线面
平行



∥



l


l


∥





∥


∥



三、垂直关系
文字语言
（10）三垂线定理
在平面内 的一条直线，如
果和这个平面的一条斜
线的射影垂直，那么它也
和这条斜线垂直
（11）三垂线定理的逆定
理
在平面内的一条直线,如
果和这个平面的一 条斜
线垂直,那么它也和这条
斜线的射影垂直.
（12）线面垂直的判定定
理
如果一条直线和一个平
面内的两条相交直线 都
垂直，那么这条直线垂直
于这个平面。
（13）线面垂直的判定
如果两条平行线中的一
条垂直于一个平面，那么
另一条也垂直于这个平
面
（14）线面垂直的性质
定理 如果两条直线同垂



P O

O



aAO
aPO


a


符号语言
PA

图像语言 作用



PO

O




aPO
aAO


a

< br>PA



lm
ln




mnB

l



m



n


线线垂直推线面
垂直
a∥b


b


a


线线平行推线面
垂直
a



a∥b

b


线面垂直推线线
垂直、平行

直于一个平面,那么这两
条直线平行。

（15）线面垂直的性质
如果一条直线垂直于一
个平面,那么这条直线垂
直于这个平面内的所有
直线
（16）面面垂直的判定定
理
如果一个平面经过另一
个平面的一条垂线，那么
这两个平面互相垂直。
（17）面面垂直的性质定
理
如果两个平面垂直，那么
在一个平面内垂直 于它
们交线的直线垂直于另
一个平面。

l⊥



l⊥a
a




l
线面垂直推线线

a
垂直
AB








AB


线面垂直推面面
垂直







CD


ABCD
AB



面面垂直推线面
垂直

AB






其他定理
文字语言
等角定理
如果一个角的两边
和另一个角的两边
分别平行，并且方向
相同，那么这两个角
相等










最小角定理
斜线和平面所成的
角，是这条斜线和这
个平面内的直线
所成的一切角中最
小的角，且有

符号语言 图像语言

作用
uuuruuuur
AB∥A'B'


uuuru uuur

AC∥A'C'


BACB'A'C'

C'

'
B'
判定两个角相等
（或互补）的依
据
A'
C

BA
cos

cos

1
cos

2

（其中

,

1
,

2
如图
中所示）