①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用
时要注意“平面内的 直线”.
②两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个
平面.

(2019·北京卷) 如图,在四棱锥P- ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD
为菱形,E为CD的中点.

(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE;
(3)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由.
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形,
所以BD⊥AC.
又PA∩AC=A,
所以BD⊥平面PAC.
(2)证明:因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,且E为CD的中点,
所以AE⊥CD.

所以AB⊥AE.
又AB∩PA=A,
所以AE⊥平面PAB.
因为AE⊂平面PAE,
所以平面PAB⊥平面PAE.

(3)解:棱PB上存在点F,使得CF∥平面PAE.理由如下:
如图,取PB的中点F,PA的中点G,连接CF,FG,EG,
则FG∥AB,且FG=
1
AB.
2
因为底面ABCD为菱形,且E为CD的中点,
所以CE∥AB,且CE=
1
AB.
2
所以FG∥CE,且FG=CE.
所以四边形CEGF为平行四边形.
所以CF∥EG.
因为CF⊄平面PAE,EG⊂平面PAE,
所以CF∥平面PAE.
考点三 线面角、二面角的求法
[例3] (2019· 浙江卷)如图,已知三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
,平面A
1
ACC
1
⊥平
面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°, A
1
A=A
1
C=AC,E,F分别是AC,A
1
B
1
的中
点.

(1)证明:EF⊥BC;
(2)求直线EF与平面A
1
BC所成角的余弦值.
法一

(1)证明:如图①,连接A
1
E.
因为A
1
A=A
1
C,E是AC的中点,
所以A
1
E⊥AC.
又平面A
1
ACC
1
⊥平面ABC,A
1
E⊂平面A
1
ACC
1
,平面A1
ACC
1
∩平面ABC=AC,
所以A
1
E⊥平面ABC,
则A
1
E⊥BC.
又因为A
1
F∥AB,∠ABC=90°,
故BC⊥A
1
F.
所以BC⊥平面A
1
EF.因此EF⊥BC.
(2)解:如图①,取BC的 中点G,连接EG,GF,则四边形EGFA
1
是平行四边
形.
由于A
1
E⊥平面ABC,故A
1
E⊥EG,
所以平行四边形EGFA
1
为矩形.

由(1)得BC⊥平面EGFA
1
,
则平面A
1
BC⊥平面EGFA
1
,
所以EF在平面A
1
BC上的射影在直线A
1
G上.
连接A
1
G交EF于点O,
则∠EOG是直线EF与平面A
1
BC所成的角(或其补角).
不妨设AC =4,则在Rt△A
1
EG中,A
1
E=2
由于O为A
1< br>G的中点,
故EO=OG=
AG
=
2
1
3
,EG=
3
.
15
2
,
3
=
5
. 所以cos∠EOG=
EO
2
OG< br>2
EG
2
2EOOG
3
因此,直线EF与平面A
1
BC所成角的余弦值为
5
.
法二

(1)证明:连接A
1
E.
因为A
1
A=A
1< br>C,E是AC的中点,所以A
1
E⊥AC.
又平面A
1
AC C
1
⊥平面ABC,A
1
E⊂平面A
1
ACC
1< br>,平面A
1
ACC
1
∩平面ABC=AC,
所以A
1
E⊥平面ABC.
如图②,以点E为原点,分别以射线EC,EA
1
为y, z轴的正半轴,建立空
间直角坐标系E-xyz.
不妨设AC=4,则
A
1
(0,0,2
3
),B(
3
,1,0),B
1
(< br>3
,3,2
3
),F(
3
2
,
3
, 2
2
3
),C(0,2,0).

因此,
EF
=(
uuur
uuur
uuu r
3
2
,
3
,2
2
uuur
3
) ,
BC
=(-
3
,1,0).
所以
EF
·
BC
=0,
所以EF⊥BC.
法二(2)解:设直线EF与平面A
1
BC所成角为θ.
由(1)可得BC
=(-
uuur
uuuur
3
,1,0),
AC< br>1
=(0,2,-2
3
).
设平面A
1
BC的法向量为n=(x,y,z).
uuur


BCn0,

3xy0,
r
由

uuuu
得


ACn0,
y3z0.



1

取n=(1,
3
,1),
故sin θ=|cos<
EF
,n>|=
3
所以cos θ=
5
.
uuur
uuur
EFn
uuur
E Fn
4
=
5
,
3
因此,直线EF与平面A
1
BC所成角的余弦值是
5
.
求线面角、二面角的关键
(1)求线面角的关键是找出斜线在平面内的射影.
(2)求二面角的关键是找到二面角的平面角,常见的方法有:
①定义法;②垂面法.

(2018·全国Ⅱ卷)如图,在三棱锥P- ABC
中,AB=BC=2
2
,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.

(1)证明:PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA- C为30°,求PC与平面PAM所
成角的正弦值.
(1)证明:因为PA=PC=AC=4,O为AC的中点,
所以OP⊥AC,且OP=2
如图,连接OB.
因为AB=BC=
2
2
3
.
AC,
所以△ABC为等腰直角三角形,
且OB⊥AC,OB=
1
AC=2. < br>2
由OP
2
+OB
2
=PB
2
知PO⊥OB .
由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,
得PO⊥平面ABC.

(2)解:如图,以O为坐标原点,
OB
的方向为x轴正方向,
建立空间直角坐标系Oxyz.
uuur

由已知得
O(0, 0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2
3
) .
uuur
3
),
AP
=(0,2,2
取平面PAC的一 个法向量
OB
=(2,0,0).
设M(a,2-a,0)(0≤a≤2),则
AM
=(a,4-a,0).
设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).
由
AP
·n=0,
AM
·n=0得


2y23z0,


ax4ay0,



uuur
uuuur
uuuruuuur
可取y =
3
a,得平面
uuur
PAM的一个法向量为n=(
23

a4

2
22
3
(a-4),
3
a, -a),
所以cos<
OB
,n>=
23

a4

3aa
.
3
2
由已知可得|cos<
OB
,n>|=cos 30°=
所以
23

a4

23

a4
< br>3aa
2
2
2
uuur
,
=
3
2
,
解得a=-4(舍去)或a=
4
. < br>3
所以n=(-
8
3
3
,
4
3
3< br>,-
4
).
3
又
PC
=(0,2,-2
u uur
uuur
3
),
3
4
所以cos<
PC
,n>=,
3
4
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为
考点四 易错辨析
.
[例4] (2018·浙江卷)如图,已知多面体ABCA
1
B
1
C
1
,A
1
A,B
1
B,C
1
C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A
1
A=4,C
1
C=1,AB =BC=B
1
B=2.

(1)证明:AB
1⊥平面A
1
B
1
C
1
;
(2)求直线AC
1
与平面ABB
1
所成的角的正弦值.
法一 (1)证明:由AB=2,AA
1
=4,BB
1
=2,AA< br>1
⊥AB,BB
1
⊥AB得
AB
1
=A
1< br>B
1
=2
2
1
2
,
2
1
2
1
所以A
1
B
+A
B
=A
A
.
故AB
1
⊥A
1
B
1
.
由BC=2,B B
1
=2,CC
1
=1,BB
1
⊥BC,CC
1< br>⊥BC,
得B
1
C
1
=
5
,
3
, 由AB=BC=2,∠ABC=120°,得AC=2
由CC
1
⊥AC,得AC
1
=
2
1
2
1
2
113
,
所以A
B
+B
1
C
=A
C< br>,故AB
1
⊥B
1
C
1
.
又因为A
1
B
1
∩B
1
C
1
=B
1
,
因此AB
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
.
法一(2)解:

如图,过点C
1
作C
1
D⊥A
1
B
1
,交直线A
1
B
1于点D,连接AD.
由AB
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
,得平面A
1
B
1
C
1
⊥平面AB B
1
,
由C
1
D⊥A
1
B
1
得 C
1
D⊥平面ABB
1
,
所以∠C
1
AD是AC
1
与平面ABB
1
所成的角.
由B
1
C
1
=
5
,A
1
B
1
=2
2
,A< br>1
C
1
=
21
,得
cos∠C
1
A
1
B
1
=
所以C
1
D=
6
7< br>,sin∠C
1
A
1
B
1
=
1
1< br>7
,
39
13
3
,故
D
sin∠C
1
AD=
C
=
AC
1
.
39
13因此,直线AC
1
与平面ABB
1
所成的角的正弦值是.
法二 (1)证明:如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y
轴的正半轴,建立空间直角 坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下:

A(0,-
3
, 0),B(1,0,0),A
1
(0,-
3
,4),B
1
( 1,0,2),C
1
(0,
3
,1),
uuuur
3< br>,2),
A
1
B
1
=(1,
3
,-2), 因此
AB
=(1,
1
uuuur
uuuur
A
1< br>C
1
=(0,2
3
,-3),
由
AB
·< br>AB
=0得AB
1
⊥A
1
B
1
.
111
uuuur
uuuur
1
uuuur
由
AB
·
AC
=0得AB
1
⊥A
1
C
1
. 11
uuuur
所以AB
1
⊥平面A
1
B
1< br>C
1
.
法二(2)解:设直线AC
1
与平面ABB
1
所成的角为θ.由(1)可知

uuuur
AC
1
=(0,2
uuur
uuur
3
,1),
AB
=(1,3
,0),
BB
1
=(0,0,2),
设平面ABB
1
的法向量为n=(x,y,z).
uuur
nAB0,

x3y0,
由

得

可 取

uuur

2z0,
nBB0,

< br>
1

n=(-
3
,1,0).
所以
uuuur
sin θ=|cos<
AC
1
,n>|=
uuuur
AC
1
n
uuuur
AC
1
n
=
39
13
.
39
13
因此,直线AC
1
与平面ABB
1
所成的角的正弦值是.

面面垂直关系的证明
[例题] (2018·江苏卷)在平行六面体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AA
1
=AB,AB
1
⊥< br>B
1
C
1
.

求证:(1)AB∥平面A
1
B
1
C;
(2)平面ABB
1
A
1
⊥平面A
1
BC. 证明:(1)在平行六面体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB∥A
1
B
1
.
因为AB⊄平面A1
B
1
C,A
1
B
1
⊂平面A
1B
1
C,
所以AB∥平面A
1
B
1
C. < br>证明:(2)在平行六面体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,四边形ABB
1
A
1
为平行四边形.
又 因为AA
1
=AB,所以四边形ABB
1
A
1
为菱形,
因此AB
1
⊥A
1
B.
又因为AB
1
⊥ B
1
C
1
,BC∥B
1
C
1
,所以AB< br>1
⊥BC.
又因为A
1
B∩BC=B,A
1
B⊂平 面A
1
BC,BC⊂平面A
1
BC,

所以AB
1
⊥平面A
1
BC.
因为AB
1
⊂平面ABB
1
A
1
,
所以平面ABB
1
A
1
⊥平面A
1
BC.

规范要求:(1)线面垂直的判定定理中必须要有相交线;
(2)证明面面垂直一定说清一个平面的垂线在另一个平面内.
[规范训练] 如图,平行四边形ABCD⊥平面CDE,AD=DC=DE=4,∠
ADC=60°,AD⊥DE.

(1)求证:DE⊥平面ABCD;
(2)求二面角C-AE- D的余弦值的大小.
(1)证明:过A作AH⊥DC交DC于H.
因为平行四边形ABCD⊥平面CDE,
所以AH⊥平面CDE,
又DE⊂平面CDE,
所以AH⊥DE,
又AD⊥DE,AH∩AD=A,
所以DE⊥平面ABCD.

(2)解:过C作CM⊥AD交AD于M,
过C作CN⊥AE交AE于N,连接MN.
由(1)得DE⊥平面ABCD,
又CM⊂平面ABCD,所以DE⊥CM,
又CM⊥AD,AD∩DE=D,
所以CM⊥平面ADE,
所以CM⊥AE,
又CN⊥AE,且CM∩CN=C,
所以AE⊥平面CMN,得∠CNM就是所求二面角的一 个平面角.又
CM=2
3
,MN=
2
,
△CMN为直角三角形,
所以CN=
14
,
7
7
所以所求二面角的余弦值为.

类型一 直线与平面垂直的判断与性质
1.若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中
不正确的是( C )
(A)若m⊥α,m⊥β,则α∥β
(B)若m∥n,m⊥α,则n⊥α

(C)若m∥α,α∩β=n,则m∥n
(D)若m⊥α,m⊂β,则α⊥β
解析:因为垂直于同一条直线的两平面平行,故A正确;因为平行线中
的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于这个平面,故B正确;若m
∥α,α∩β=n,则m,n可能平行也可能异面,故C错 误;由平面和平面
垂直的判定定理可得若m⊥α,m⊂β,则α⊥β,故D正确,故选C.
2.若α,β是两个相交平面,m为一条直线,则下列命题中,所有真命题
的序号为 .
①若m⊥α,则在β内一定不存在与m平行的直线;
②若m⊥α,则在β内一定存在无数条直线与m垂直;
③若m⊂α,则在β内不一定存在与m垂直的直线;
④若m⊂α,则在β内一定存在与m垂直的直线.
解析:对于①,若m⊥α,如果α,β互相 垂直,则在平面β内存在与m
平行的直线,故①错误;对于②,若m⊥α,则m垂直于平面α内的所有< br>直线,故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直,故②正确;对于③
④,若m⊂α,则在平面β 内一定存在与m垂直的直线,故③错误,④正
确.
答案:②④
类型二 面面垂直的判断与性质
3.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=4 5°,∠
BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥
A -BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是( D )

⇒
(A)平面ABD⊥平面ABC
(B)平面ADC⊥平面BDC
(C)平面ABC⊥平面BDC
(D)平面ADC⊥平面ABC

解析 :平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊥BD,从而CD⊥
平面ABD,
所以CD⊥AB,而AB⊥AD,AD∩CD=D,
所以AB⊥平面ADC,从而平面ABC⊥平面ADC,故选D.
4.已知PD垂直于正方形 ABCD所在的平面,连接PB,PC,PA,AC,BD,则
一定互相垂直的平面有 对.
解析:

由于PD⊥平面ABCD,故平面PAD⊥平面ABCD,平面PDB⊥平 面ABCD,
平面PDC⊥平面ABCD,平面PDA⊥平面PDC,平面PAC⊥平面PDB,平面< br>PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PDC,共7对.
答案:7
类型三 线面角、二面角的求法
5.(2018·杭州市学军中学5月模拟考试)已知在矩形ABCD
中,AD=
2
AB,沿直线BD将△ABD折成△A′BD,使得点A′在平面BCD