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第5节 直线、平面垂直的判定及其性质
最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定 理为出发点，认识和理解空间中线面
垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论 证明一些空间
图形的垂直关系的简单命题.

知 识 梳 理
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理

文字语言 图形表示 符号表示
判定
定理
一条直线与一个平面内的两条
相交直线都垂直，则该直线与
此平面垂直




a∩b＝O

⇒l⊥α
a⊂α


b⊂α
l⊥b
a⊥α


⇒a∥b
b⊥α

l⊥a
性质
定理
两直线垂直于同一个平面，那
么这两条直线平行


2.直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线 和这个平面所
成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或
在 平面内，则它们所成的角是0°的角.
π

(2)范围：

0，

.
2

3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角 ：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面
内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所 构成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范围：[0，π].
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理

判定
文字语言
一个平面经过另一个平面的一

图形表示 符号表示
定理 条垂线，则这两个平面互相垂直

l⊥α


⇒α⊥β
l⊂β

性质
定理
如果两个平面互相垂直，则在一
个平面内垂直于它们交线的直
线垂直于另一个平面


α⊥β
α∩β＝a
l⊥a
l⊂β


⇒l⊥α

[常用结论与微点提醒]
1.两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线 垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线
线垂直的一个重要方法).
2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直
于平面内的无数条直线 ，就垂直于这个平面”.
3.线线、线面、面面垂直间的转化

诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )

解析 (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥
α
或l 与α斜交或l⊂
α
或l∥α，故(1)错误.
(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.
(3)若两个平面垂直，则 其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与
另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在 另一平面内，故(3)错误.
(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(必修2P73A组T1改编)下列命题中不正确的是( )
A.如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β
B.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
解析 根据面面垂直的性质，A不正确，直线l∥平面β或l⊂
β
或直线l与β相
交.
答案 A
3.(2018·湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重 合的平
面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )
A.α⊥β且m⊂α
C.m∥n且n⊥β
B.m⊥n且n∥β
D.m⊥n且α∥β
解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.
答案 C
4 .(2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为棱CD的中点，则( )
A.A
1
E⊥DC
1

C.A
1
E⊥BC
1



B.A
1
E⊥BD
D.A
1
E⊥AC
解析 如 图，由题设知，A
1
B
1
⊥平面BCC
1
B
1且BC
1
⊂平面

BCC
1
B
1
，从而A
1
B
1
⊥BC
1
.
又B
1C⊥BC
1
，且A
1
B
1
∩B
1
C＝ B
1
，所以BC
1
⊥平面A
1
B
1
CD， 又A
1
E⊂平面A
1
B
1
CD，
所以A
1
E⊥BC
1
.
答案 C
5.边长为a的正方形ABCD沿对角线 BD折成直二面角，则折叠后AC的长为
________.
解析 如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC
是二面角A′－BD－C的平面角，
即∠A′OC＝90°.
2
又A′O＝CO＝
2
a，
a
2
a
2
∴A′C＝
2
＋
2
＝a，即折叠后 AC的长(A′C)为a.
答案 a

考点一 线面垂直的判定与性质
【例1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB
⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中
点.证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，
∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：
(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥
α
⇒b⊥
α
)；(3)面面平行的性质
(a⊥α，
α
∥
β
⇒a⊥
β
)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，
α
∩
β
＝a，l⊥a，l⊂
β
⇒l⊥
α
).
2.证明 线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
因此，判定定理与性质定理的 合理转化是证明线面垂直的基本思想.
【训练1】 如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段< br>1
AB上一点，且AD＝
3
DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC，
PD⊥平面ABC，PD＝DB.
求证：PA⊥CD.
证明 因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
在Rt△ABC中，由3AC＝BC得，∠ABC＝30°.
设AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝23.
由余弦定理得CD
2＝DB
2
＋BC
2
－2DB·BCcos 30°＝3，
所以CD
2
＋DB
2
＝BC
2
，即CD⊥AB.
因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D得，CD⊥平面PAB，
又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.
考点二 面面垂直的判定与性质
【例2】 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，

CD＝2AB，平面PAD ⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，
求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)∵平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD，
∴PA⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE.
∴四边形ABED为平行四边形.
∴BE∥AD.
又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.
∴BE⊥CD，AD⊥CD，
由(1)知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，
∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点，
∴PD∥EF.
∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，
∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.
规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判
定定理.
2. 已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，

转化为线 面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
【训练2】 (2017·北京卷)如图，在三棱锥P－ABC 中，PA⊥
AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中
点，E 为线段PC上一点.
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积.
(1)证明 ∵PA⊥AB，PA⊥BC，
AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC＝B，
∴PA⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD.
(2)证明 ∵AB＝BC，D是AC的中点，
∴BD⊥AC.
由(1)知PA⊥平面ABC，∵PA⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC.
∵平面PAC∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，BD⊥AC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC，
(3)解 ∵PA∥平面BDE，
又平面BDE∩平面PAC＝DE，PA⊂平面PAC，
∴PA∥DE.
由(1)知PA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC.
∵D是AC的中点，∴E为PC的中点，
1
∴DE＝PA＝1.
2
∵D是AC的中点，
111
∴S
△
BCD
＝< br>2
S
△
ABC
＝
2
×
2
×2×2＝ 1，
111
∴V
E
－
BCD
＝
3
×S< br>△
BCD
×DE＝
3
×1×1＝
3
.
考点三 平行与垂直的综合问题(多维探究)

命题角度1 多面体中平行与垂直关系的证明
【例3－1】 (2017·山东卷)由四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
截去三棱锥C
1
－B
1
CD
1
后得到的几何体如图所示.四边
形ABCD为正方形， O为AC与BD的交点，E为AD
的中点，A
1
E⊥平面ABCD.
(1)证明：A
1
O∥平面B
1
CD
1
；
(2)设M是OD的中点，证明：平面A
1
EM⊥平面B
1
CD
1
.
证明 (1)取B
1
D
1
的中点O
1
，连接CO
1
，A
1
O
1
，
由于ABCD－A< br>1
B
1
C
1
D
1
是四棱柱，
所以 A
1
O
1
∥OC，A
1
O
1
＝OC，
因此四边形A
1
OCO
1
为平行四边形，
所以A
1
O∥O
1
C，
又O
1
C⊂平面 B
1
CD
1
，A
1
O⊄平面B
1
CD1
，
所以A
1
O∥平面B
1
CD
1
.

(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，
所以EM⊥BD，
又A
1
E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以A
1
E⊥BD，
因为B
1
D
1
∥B D，所以EM⊥B
1
D
1
，A
1
E⊥B
1
D
1
，
又A
1
E，EM⊂平面A
1
EM，A1
E∩EM＝E，
所以B
1
D
1
⊥平面A
1
EM，
又B
1
D
1
⊂平面B
1
CD
1
，
所以平面A
1
EM⊥平面B
1
CD
1
.
规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂
直间的转化.
2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.

命题角度2 平行垂直中探索性问题
【例3－2】 如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD
为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点.
(1)证明：AE∥平面BDF.
(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P ，使得
PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.
(1)证明 连接AC交BD于O，连接OF，如图①.
∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点，
又F为EC的中点，
∴OF为△ACE的中位线，
∴OF∥AE，
又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，∴AE∥平面BDF.
(2)解 当P为AE中点时，有PM⊥BE，
证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH.
∵P为AE的中点，H为BE的中点，
∴PH∥AB，
又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面.
∵平面ABCD⊥平面BCE， 平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊂
平面ABCD，CD⊥BC.
∴CD⊥平面BCE，
又BE⊂平面BCE，∴CD⊥BE，
∵BC＝CE，H为BE的中点，∴CH⊥BE，
又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，
又PM⊂平面DPHC，
∴BE⊥PM，即PM⊥BE.
规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后 证，即先观察与尝试给出
条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明 充
分性.

2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出 证明，探索点
存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.
命题角度3 空间位置关系与几何体的度量计算
【例3－3】 (2017·天津卷)如图， 在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD
∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝ 4，PD＝2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求证：PD⊥平面PBC；
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.



(1)解 如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直
线AP与BC所成的角.
因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，
所以AD⊥PD.
在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD
2
＋PD
2
＝5，
AD5
故cos∠DAP＝
AP
＝
5
.
5
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为
5
.
(2)证明 由(1)知AD⊥PD，
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.
又PD⊥PB，BC∩PB＝B，
所以PD⊥平面PBC.
(3)解 过点D作D F∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的
角等于AB与平面PBC所成的角.
因PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF
和平面P BC所成的角.

由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.
由已知，得CF＝BC－BF＝2.
又AD⊥DC，故BC⊥DC.
在Rt△DCF中，可得DF＝CD
2
＋CF
2
＝25.
PD5
在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝
DF
＝
5
.
5
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为
5
.
规律方法 1 .本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由AD∥BC，AD⊥PD，得
PD⊥BC，进而利用线面垂 直的判定定理证明PD⊥平面PBC.
2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角 、证明、计算”是
完整统一过程，缺一不可.
(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影 ，关键是作垂线，找垂足，要把线
面角转化到一个三角形中求解.
(2)二面角的大小用它的 平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂
面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.
【训练3】 如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所
在的平面垂直，PD＝PC＝ 4，AB＝6，BC＝3.点E是CD边的
中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB， CG＝
2GB.
(1)证明：PE⊥FG.
(2)求二面角P－AD－C的正切值.
(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.
(1)证明 因为PD＝PC且点E为CD的中点，
所以PE⊥DC.
又平面PD C⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE⊂平面PDC，所
以PE⊥平面ABCD ，
又FG⊂平面ABCD，所以PE⊥FG.

(2)解 由(1)知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，
又AD⊥CD，PE∩CD＝E，
∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PD，
∴∠PDC为二面角P－AD－C的平面角，
在Rt△PDE中，PD＝4，DE＝3，
PE7
∴PE＝16－9＝7，∴tan ∠PDC＝
DE
＝
3
.
7
故二面角P－AD－C的正切值为
3
.
(3)解 如图，连接AC，∵AF＝2FB，CG＝2GB，∴AC∥FG.
∴直线PA与FG所成角即直线PA与AC所成角∠PAC.
在Rt△PDA中，PA
2
＝AD
2
＋PD
2
＝25，∴PA＝5.
又PC＝4.
AC
2
＝CD
2
＋AD
2
＝36＋9＝45，∴AC＝35.
PA
2
＋AC
2
－PC
2
25＋45－16
9
又cos∠PAC＝＝＝5.
2PA·AC
2×5×35
25
95
所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.
25

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题 1.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，
n⊥ β，则( )
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
解析 因为α∩β＝l，所以l⊂
β
，又n⊥β，所以n⊥l.
答案 C
2.( 2018·福州质检)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是
“l∥α”的( )

A.充分而不必要条件
C.充分必要条件
B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 ∵m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.
但l⊥m⇒l∥
α
，∵l⊥m时，l可能在α内.
故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件.
答案 B
3.(2018·衡水 中学质检)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，
BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影 H必在( )
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线AC上
D.△ABC内部
解析 因AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD.
又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD.
所以D在平面ABC内的射影必在交线AB上.
答案 A
4.(2018·广州一 模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列
命题中正确的是( )
A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
C.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
解析 若α⊥β，m⊂
α
，n⊂
β
，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
∵m⊥
α
，m∥n，∴n⊥
α
，
又∵n∥β，∴
α
⊥
β
，故B正确；
若m⊥n，m⊂α
，n⊂
β
，则α与β的位置关系不确定，故C错误；

若
α
∥
β
，m⊂
α
，n⊂
β
，则m∥n或 m，n异面，
故D错误.
答案 B
5.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝ CB，AD＝CD，E是AC
的中点，则下列正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析 因为AB＝CB，且E是A C的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，又
BE∩DE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC ⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.
又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
答案 C
二、填空题
6.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________.

解析 ∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形.
由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形.
答案 4
7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面
各边都相等，M是PC 上的一动点，当点M满足________时，
平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条 件即可).

解析 由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.
又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
8.如图，在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，AB＝BC＝2，AA
1
＝1，
则AC
1
与平 面A
1
B
1
C
1
D
1
所成角的正弦值为_ _______.
解析 连接A
1
C
1
，则∠AC
1A
1
为AC
1
与平面A
1
B
1
C1
D
1
所成的
角.
因为AB＝BC＝2，所以A
1
C
1
＝AC＝22，
又AA
1
＝1，所以AC
1
＝3，
AA
1
1
所以sin∠AC
1
A
1
＝
AC
＝
3
.
1
1
答案
3

三、解答题
9.( 2016·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面
ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理
由.
(1)证明 因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
所以PC⊥DC.
又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.
(2)证明 因为AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB.
又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.
又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.

(3)解 棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.
理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又 因为E为AB的中点，所以
EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF，
所以PA∥平面CEF.
10.(2018·武汉调研)如图，在长方形ABCD中，AB＝ 2，BC＝1，E为CD的中点，
F为AE的中点，现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形 中解答下列
问题：

(1)在线段AB上是否存在一点K，使BC∥平面DFK？若 存在，请证明你的结论；
若不存在，请说明理由；
(2)若平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE.
1
(1)解 如图，线段AB上存在一点K，且当AK＝
4
AB时，BC∥
平面DFK.
证明如下：
设H为AB的中点，连接EH，则BC∥EH.
1
∵AK＝
4
AB，F为AE的中点，
∴KF∥EH，∴KF∥BC，
∵KF⊂平面DFK，BC⊄平面DFK，
∴BC∥平面DFK.
(2)证明 ∵在折起前的图形中E为CD的中点，AB＝2，BC＝1，
∴在折起后的图形中，AE＝BE＝2，
从而AE
2
＋BE
2
＝4＝AB
2
，∴AE⊥BE .
∵平面ADE⊥平面ABCE，
平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，
∴BE⊥平面ADE，
∵BE⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ADE.

能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2018·唐山一模)如图，在正方形ABCD中，E，F 分别是BC，CD的中点，G
是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形， 使B，C，
D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有( )

⊥平面EFH
⊥平面AEF
⊥平面EFH
⊥平面AEF
解析 根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，
B正确.
∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确.
∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，
∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，
∴C不正确.
由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确.
答案 B
12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，
∠BAD＝90°， 将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，
构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中 ，下列命题正确的命题序号是
________.
①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC；
③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC.
解析 因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，

∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，
所以CD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，则CD⊥AB，
又AD⊥AB，AD∩CD＝D，
所以AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，
所以平面ABC⊥平面ADC.
答案 ④
13.如图，在四棱锥P－ABCD中， PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中 点.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；
(2)证明：AE⊥平面PCD；
(3)求二面角A－PD－C的正弦值.
(1)解 在四棱锥P－ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，
故PA⊥AB.
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，
故PB在平面PAD内的射影为PA，
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.
在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.
(2)证明 在四棱锥P－ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
故CD⊥PA.
由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.
又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD.
由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD.
(3)解 过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示.
由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，
则可证得AM⊥PD.
因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角.
由已知，可得∠CAD＝30°.
设AC＝a，得PA＝a，
23212
AD＝
3
a，PD＝
3
a，AE＝
2
a.
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，
23
a·
3
a
PA·AD27
则AM＝
PD
＝＝
7
a. < br>21
3
a
AE14
在Rt△AEM中，sin∠AME＝
AM
＝
4
.
14
所以二面角A－PD－C的正弦值为.

4