民航大学-课题开题报告范文

直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质

（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.
2．过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
3．情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间 想象能力以及逻辑推
理能力.
（二）教学重点、难点
两个性质定理的证明.
（三）教学方法
学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化.
教学过程 教学内容
问题1：判定直线和平面垂直的方法
有几种？ 师投影问题. 学生思
复习巩固以旧
新课导入 问题2：若一条直线和一个平面垂直，考、讨论问题，教师点
带新
可得到什么结论？若两条直线与同一
个平面垂直呢？
探索新知 一、直线与平面垂直的性质定理 生：借助长方体模型借助模型教
出主题
师生互动 设计意图

1．问题：已知
和平面

，如
那
a

,b

，
直线
a
、
bAA
′、BB
′、
CC
′、
DD
′学，培养几何
果
么直 线
所在直线都垂直于平面直观能力.，反
证法证题是一
个难点，采用
以教师为 主，
ABCD
，它们之间相互平
行，所以结论成立.
师：怎么证明呢？由于
a
、
b
一定平行吗？
已知
a

,b


求证：
b
∥
a
.
无法把两条直线
a
、< br>b
归能起到一个示
范作用，并提
高上课效率.
证明：假定
b
不平行于
a
，设
b

=0
入到一个平面内，故无
b
′是经过
O
与直线
a
平行 的直线
∵
a
∥
b
′，
a


∴
b
′⊥
a

即经过同一点
O
的两线b
、
b
′都与

垂直这是不可能的，
因此
b
∥
a
.
2．直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
简化为：线面垂直

线线平行
二、平面与平面平行的性质定理
1．问题
黑板所在平面与地面所在平面垂直，
探索新知 你能否在黑板上画一条直线与地面垂
法 应用平行直线的判定
知识，也无法应用公理
4，有这种情况下，我们
采用“反证法”
师生边分析边板书.
教师投影问题，学生思
本例题的难点
考、观察、讨论， 然后
是构造辅助
回答问题
线，采用分析
生：借助长方体模型，
综合 法能较好
在长方体
ABCD
–
地解决这个问
直？
A
′
B
′
C
′
D
′中，面
题.
2．例1 设



，

=
CD
，
AB

，
A
′
ADD
′⊥面
ABC D
，

AB
⊥
CD
，
AB
⊥
CD
=
B
求证
AB



A
′
A
⊥
AD
，
AB
⊥
A
′
A
∵
ADA

AA


∴
A
′
A
⊥面
ABCD

证明：在

内引直线
BE
⊥
CD
，垂足为
故只需在黑板上作一直< br>B
，则∠
ABE
是二面角

CD

的平 面
线与两个平面的交线垂
角.由



知，
AB< br>⊥
BE
,又
AB
⊥
CD
,
BE
直即 可.
与
CD
是

内的两条相交直线，所以
师：证明直线和 平面垂
直一般都转化为证直线
和平面内两条交线垂
直，现
AB
⊥CD
，需找一
条直线与
AB
垂直，有条
件



还没有用，能否
利用



构造一条直
线与
AB
垂直呢？
生：在面

内过
B
作
BE
⊥
CD
即可.
师：为什么呢？
学生分析，教师板书

例2 如图，
面

,

，
典例分析
直线
a
满足
a

AB
⊥


3．平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于
交线的直线与另一个平面垂直
简记为：面面垂直

线面垂直.
已知平师投影例2并读题 巩固所学知
识，训练化归
能力.





，
生：平行
a

，
师 ：证明线面平行一般
，试判断直线
a
与平面

的位置
策略是 什么？
生：转证线线平行
关系.

解：在

内作 垂直于

与

交线的直
线
b
，
因为
a

，所以
b


因为
a

，所以
a
∥
b
.
又因为
a

，所以
a
∥

.
即直线
a
与平面

平行.
例3 设平面

⊥平面

，点
P
作平面

的垂线
a
，试 判断直线
a
与平面

的
位置关系？
证明：如

=
c
，
师：假设内一条直线
b巩固所学知
∥
a
则
b
与

的位置关系识，训练 分类
如何？
生：垂直
思想化归能力
及思维的灵活
师：已知
b

,



，怎
性.
样作直线
b
？
生：在

内作
b
垂直于< br>
、

的交线即可.
学生写出证明过程，教
图，设
过点
P
在
作直线
b
平面与平
师投影.
师投影例3并读题，师
生共同分析思路，完成
证题过程，然后教师给
予评注.
师：利用“同一法”证
明问题主要是在按一般
途径不易完成问题的情
形下，所 采用的一种数
学方法，这里要求做到
两点.一是作出符合题
意的直线不易想到，二是证直线
b
与直线
a
重
合，相对容易一些，本
题注意要 分类讨论，其
平面

内
⊥
c
，根据
面垂直的性质定 理有
b

.
因为过一点有且只有一条直线与平面

垂直 ，所以直线
a
与直线
b
垂合，
因此
a

.

结论也可作性质用.
1．判断下列命题是否正确，正确的在学生独立完成
括号内画“√”错误的画“×”.
（1）a．垂直于同一条直线的两个平
面互相平行. （ √ ）
b．垂直于同一个平面的两条直线互相
平行. （ √ ）
c．一条直线在平面内，另一条直线与
这个平面垂直，则这两条直线互相垂
直. （ √ ）
（2）已知直线
a
，
b
和平面

，且a
⊥
b
，
a
⊥

，则
b
与< br>
的位置关系
随堂练习
是 .
答案：
b
∥

或
b


.
2．（1）下列命题中错误的是（ A ）
．．
A．如果平面

⊥ 平面

，那么平面

内所有直线垂直于平面

.
B．如果平面

⊥平面

，那么平面

内一定存在直线平行 于平面

.
C．如果平面

不垂直平面

，那么 平
面

内一定不存在直线垂直于平面

.

巩固、所学知
识


D．如果平面

⊥平面
，平面

⊥平

面

，
< br>l
，那么
l

.
（2）已知两个平面垂直，下列命题
（ B ）
①一个平面内已积压直线必垂直于另
一平面内的任意一条直线.
②一个平面内的已知直线必垂直于另
一个平面的无数条直线.
③一个平面内的任意一条直线必垂直
于另一个平面.
④过一个平面内任意一点作交线的垂
线，则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．设直线
a
，
b
分别在正方体
ABCD
– < br>A
′
B
′
C
′
D
′中两个不同的面所在平< br>面内，欲使
a
∥
b
，
a
，
b
应满足 什么条
件？
答案：不相交，不异面
4．已知平面

，

，直线
a
，且



，

A B
，
a
∥

，
a
⊥
AB
，试判断 直
线
a
与直线

的位置关系.
答案：平行、相交或在平面

内
归纳总结 1．直线和平面垂直的性质 学生归纳总结，教材再回顾、反思、

2．平面和平面垂直的性质
3．面面垂直线面垂直线线垂直
补充完善. 归纳知识提高
自我整合知识
的能力.
固化知识
课后作业 2.3 第三课时 习案 学生独立完成
提升能力
备选例题
例1 把直角三角板
ABC
的直角边
BC
放置桌面，另一条直
桌面所在的平面

垂直，
a
是

内一条直线，若斜边
AB
与
a垂
是否与
a
垂直？
aAC

AC


【解析】

aAB


a


ACABA



a平面ABC


aBC

BC平面ABC

角边
AC
与
直，则
BC
【评析】若
BC
与

垂直，同理可得< br>AB
与

也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证
明过程体现了一种 重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直” ．
例2 求证：如果两个平面都垂 直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已
知

⊥
r
，< br>
⊥
r
，

∩

=
l
，求证：
l
⊥
r
．
【分析】根据直线和平面垂 直的判定定理可在
r
内构造两相交直线分别与平面

、

垂
直．或由面面垂直的性质易在

、

内作出平面
r
的垂线，再设法证明
l
与其平行即可．
【证明】法一：如图，设

∩
r
=
a
，

∩
r
=
b
，在
r
内任取一点P
．过点
P
在
r
内作直线
m
⊥
a，
n
⊥
b
．
∵

⊥
r
，

⊥
r
，
∴
m
⊥
a
，
n
⊥

（面面垂直的性质）．
又

∩

=
l
，

∴< br>l
⊥
m
，
l
⊥
n
．又
m
∩
n
=
P
，
m
，
n

r
∴
l
⊥
r
．
法二：如图，设

∩
r
=
a
，

∩
r
=
b
，在
内作
m
⊥
a
，在

内作
n
⊥
b
．
∵

⊥
r
，

⊥
r
，
∴
m
⊥
r
，
n
⊥
r
．
∴
m
∥
n
，又
n


，
m


，
∴
m
∥

，又

∩

=
l
，
m


，
∴
m
∥
l
，
又
m
⊥
r
，∴
l
⊥
r
．
【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法一充分利用面
面垂直、线面垂 直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题
是线线、面面垂直转化的典型 题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益
的．