由
BD
⊥平面
SAD
,
SD
⊂平面
SAD
,可得
BD
⊥
SD
,
则
SB
＝
SD
＋
BD
＝2＋2＝2.
又
AB
＝2,
SA
＝6,
在等腰三角形
SBA
中,
边
SA
上的高为
610
4－＝,
42
22
11015
则△
SAB
的面积为×6×＝.
222
考点三 多面体中平行与垂直关系的证明
【典例3】【2019年高考江 苏卷】如图,在直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C1
中,
D
,
E
分别为
BC
,
AC的中点,
AB
=
BC
．
求证：（1）
A
1< br>B
1
∥平面
DEC
1
；
（2）
BE
⊥
C
1
E
．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）因为
D
,
E
分别为
BC
,
AC
的中点,
所以
ED
∥
AB
.
在直三棱柱
ABC
−
A
1
B
1
C
1
中,
AB
∥
A
1
B
1
,
所以
A
1
B
1
∥
ED
.
又因为
ED
⊂平面
DEC
1
,
A
1
B
1

平面
DEC
1
,
所以
A
1
B
1
∥平面
DEC
1
.

（2）因为
AB
=
BC
,
E为
AC
的中点,所以
BE
⊥
AC
.
因为三棱 柱
ABC
−
A
1
B
1
C
1
是直棱 柱,所以
CC
1
⊥平面
ABC
.
又因为
BE⊂平面
ABC
,所以
CC
1
⊥
BE
.
因为
C
1
C
⊂平面
A
1
ACC
1
,
AC
⊂平面
A
1
ACC
1
,
C
1
C
∩
AC
=
C
,
所以
BE
⊥平面
A
1
ACC
1
.
因为
C
1
E
⊂平面
A
1
ACC
1
,所以
BE
⊥
C
1
E
.
【举一反三】 (20 18·北京卷)如图,在四棱锥
P
－
ABCD
中,底面
ABCD为矩形,平面
PAD
⊥平面
ABCD
,
PA
⊥
PD
,
PA
＝
PD
,
E
,
F
分别 为
AD
,
PB
的中点.

(1)求证：
PE
⊥
BC
；
(2)求证：平面
PAB
⊥平面
PCD
；
(3)求证：
EF
∥平面
PCD
.
【证明】(1)因为< br>PA
＝
PD
,
E
为
AD
的中点,
所以
PE
⊥
AD
.
因为底面
ABCD
为矩形,
所以
BC
∥
AD
.
所以
PE
⊥
BC
.
(2)因为底面
ABCD
为矩形,
所以
AB
⊥
AD
.
又因为平面
PAD
⊥ 平面
ABCD
,平面
PAD
∩平面
ABCD
＝
AD
,
所以
AB
⊥平面
PAD
.
所以
AB
⊥
PD
.
又因为
PA
⊥
PD
,且
PA
∩
AB
＝
A
,
所以PD
⊥平面
PAB
.又
PD
⊂平面
PCD
,
所以平面
PAB
⊥平面
PCD
.
(3)如图,取
PC
中点
G
,连接
FG
,
DG
.
因为< br>F
,
G
分别为
PB
,
PC
的中点,

1
所以
FG
∥
BC
,
F G
＝
BC
.
2

因为
ABCD
为矩形,且
E
为
AD
的中点, 1
所以
DE
∥
BC
,
DE
＝
BC.
2
所以
DE
∥
FG
,
DE
＝FG
.
所以四边形
DEFG
为平行四边形.
所以
EF
∥
DG
.
又因为
EF
⊄平面< br>PCD
,
DG
⊂平面
PCD
,
所以
EF
∥平面
PCD
.
【方法技巧】
1.三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
2.垂直与平行的结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
【举一反三 】(2017·全国卷Ⅱ)如图,四棱锥
PABCD
中,侧面
PAD
为等边三 角形且垂直于底面
ABCD
,
AB
＝
BC
＝
AD< br>,∠
BAD
＝∠
ABC
＝90°.
1
2

(1)证明：直线
BC
∥平面
PAD
；
(2)若△
PCD
的面积为27,求四棱锥
P
－
ABCD
的体积．
(1)证明：在平面
ABCD
中,因为∠
BAD
＝∠
ABC
＝90°.所以
BC
∥
AD
,又
BC
⊄平面
PAD
,
AD
⊂平面
PAD
.
所以直线
BC
∥平面
PAD
.
1
(2)如图,取
AD
的中点
M
,连接
PM
,
CM
,由AB
＝
BC
＝
AD
及
BC
∥
AD,
2

∠
ABC
＝90°得四边形
ABCM
为正方形,则
CM
⊥
AD
.

因为侧面< br>PAD
为等边三角形且垂直于底面
ABCD
,平面
PAD
∩平 面
ABCD
＝
AD
,
PM
⊂平面
PAD
, 所以
PM
⊥
AD
,
PM
⊥底面
ABCD
,
因为
CM
⊂底面
ABCD
,所以
PM
⊥
C M
.
设
BC
＝
x
,则
CM
＝
x
,
CD
＝2
x
,
PM
＝3
x
,< br>PC
＝
PD
＝2
x
,
如图,取
CD
的中点
N
,连接
PN
,则
PN
⊥
CD
,
所以
PN
＝
14
x
.因为△
PCD
的面积 为27,
2
114
所以×2
x
×
x
＝27,解得
x
＝－2(舍去)或
x
＝2.
22
于是
AB＝
BC
＝2,
AD
＝4,
PM
＝23.
12 ×2＋4
所以四棱锥
P
－
ABCD
的体积
V
＝×× 23＝43.
32
【变式3】（山西大学附中2019届高三模拟）如图,三棱锥
P
－
ABC
中,
PA
⊥平面
ABC
,
PA< br>＝1,
AB
＝
1,
AC
＝2,∠
BAC
＝6 0°.

(1)求三棱锥
P
－
ABC
的体积；
(2)在线段
PC
上是否存在点
M
,使得
AC
⊥
B M
,若存在点
M
,求出的值；若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题 知
AB
＝1,
AC
＝2,∠
BAC
＝60°,
1 3
可得
S
△
ABC
＝·
AB
·
AC
·sin 60°＝,
22
由
PA
⊥平面
ABC
,可知
PA
是三棱锥
P
－
ABC
的高.
13
又
PA
＝1,所以三棱锥
P
－
ABC
的体积
V
＝·
S
△
ABC
·
PA
＝.
36
(2 )在平面
ABC
内,过点
B
作
BN
⊥
AC
,垂足为
N
.在平面
PAC
内,过点
N
作
MN∥
PA
交
PC
于点
M
,连接
PM
MC
BM
.

由
PA
⊥平面
ABC
知
PA
⊥
AC
,所以
MN
⊥
AC
.

由于
BN
∩
MN
＝
N
, 故
AC
⊥平面
MBN
.
又
BM
⊂平面
M BN
,所以
AC
⊥
BM
.
1
在Rt△
B AN
中,
AN
＝
AB
·cos∠
BAC
＝,
2
3
从而
NC
＝
AC
－
AN
＝.
2
PMAN
1
由
MN
∥
PA
,得＝＝.
MCNC
3
【方法技巧】
1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后 证,即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立
的必要条件探索出命题成立的条件,再证明 充分性.
2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存在问题, 点多为中点
或三等分点中某一个,也可以根据相似知识建点.
考点四 平行与垂直的综合问题
【典例4】 (2018·北京高考)如图,在四棱锥
P
­< br>ABCD
中,底面
ABCD
为矩形,平面
PAD
⊥平面
ABCD
,
PA
⊥
PD
,
PA
＝
PD< br>,
E
,
F
分别为
AD
,
PB
的中点 ．

(1)求证：
PE
⊥
BC
；
(2)求证：平面
PAB
⊥平面
PCD
；
(3)求证：
EF
∥平面
PCD
.
证明：(1)因为PA
＝
PD
,
E
为
AD
的中点,
所以
PE
⊥
AD
.
因为底面
ABCD
为矩形,
所以
BC
∥
AD,所以
PE
⊥
BC
.
(2)因为底面
ABCD
为矩形,所以
AB
⊥
AD
.
又因为平面
PAD
⊥平面
ABCD
,平面
PAD
∩平面
ABCD
＝
A D
,
AB
⊂平面
ABCD
,
所以
AB
⊥平面
PAD
,
因为
PD
⊂平 面
PAD
,所以
AB
⊥
PD
.
又因为
P A
⊥
PD
,
AB
∩
PA
＝
A
,

所以
PD
⊥平面
PAB
.
因为
PD
⊂平面
PCD
,
所以平面
PAB
⊥平面
PCD
.

(3)如图, 取
PC
的中点
G
,连接
FG
,
DG
. < br>因为
F
,
G
分别为
PB
,
PC
的中 点,
1
所以
FG
∥
BC
,
FG
＝
BC
.
2
因为四边形
ABCD
为矩形,且
E
为
AD
的中点,
1
所以
DE
∥
BC
,DE
＝
BC
.
2
所以
DE
∥
FG< br>,
DE
＝
FG
.
所以四边形
DEFG
为平行四边形．
所以
EF
∥
DG
.
又因为
EF
⊄平面< br>PCD
,
DG
⊂平面
PCD
,
所以
EF
∥平面
PCD
.
【举一反三】（辽宁抚顺一中2 019届高三模拟）由四棱柱
ABCD
­
A
1
B
1
C
1
D
1
截去三棱锥
C
1
­
B
1
CD
1
后得
到的几何体如图所示．四边形
ABCD
为正方形 ,
O
为
AC
与
BD
的交点,
E
为
AD
的中点,
A
1
E
⊥平面
ABCD
.

(1)求证：
A
1
O
∥平面
B
1
CD1
；
(2)设
M
是
OD
的中点,求证：平面
A
1
EM
⊥平面
B
1
CD
1
.
【证明】(1)取
B
1
D
1
的中点
O
1
, 连接
CO
1
,
A
1
O
1
,
< br>因为
ABCD
­
A
1
B
1
C
1D
1
是四棱柱,
所以
A
1
O
1
∥
OC
,

A
1
O
1
＝
OC
,
因此四边形
A
1
OCO
1
为平行四边形,
所以
A
1
O
∥
O
1
C
,
因为
O
1
C
⊂平面
B
1
CD
1
,
A
1
O
⊄平面
B
1
CD
1
,
所以
A
1
O
∥平面
B
1
CD
1< br>.
(2)因为
E
,
M
分别为
AD
,
OD
的中点,
所以
EM
∥
AO
.
因为
AO
⊥
BD
,
所以
EM
⊥
BD
.
又
A
1
E< br>⊥平面
ABCD
,
BD
⊂平面
ABCD
,
所以
A
1
E
⊥
BD
,
因为
B
1
D
1
∥
BD
,
所以< br>EM
⊥
B
1
D
1
,
A
1
E
⊥
B
1
D
1
,
又
A
1
E
⊂平面
A
1
EM
,
EM
⊂平面
A
1
EM
,
A
1
E
∩
EM
＝
E< br>,
所以
B
1
D
1
⊥平面
A
1EM
,
又
B
1
D
1
⊂平面
B
1
CD
1
,
所以平面
A
1
EM
⊥平面
B
1
CD
1
.
【方法技巧】
1．平行关系之间的转化
线线平行
判定
性质
线面平行
判定
性质
面面平行 < br>在证明线面、面面平行时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,< br>再到“面面平行”；而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向是由题目的具体条件 而
定的,不可过于“模式化”．
2．垂直关系之间的转化
在证明线面垂直、面面垂 直时,一定要注意判定定理成立的条件,同时抓住线线、线面、面面垂直的转
化关系,即：
线线垂直
判定
性质
线面垂直
判定
性质
面面垂直 < br>在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在图中不存在,则可通过

作辅助线来解决．
【变式4】（吉林省实验中学2019届高三模拟） 如图,在三棱台
ABC
­
DEF
中,
CF
⊥平面
D EF
,
AB
⊥
BC
.

(1)设平面
ACE
∩平面
DEF
＝
a
,求证：
DF
∥
a
；
(2)若
EF
＝
CF
＝2
BC
,试 问在线段
BE
上是否存在点
G
,使得平面
DFG
⊥平面CDE
?若存在,请确定
G
点的位置；若不存在,请说明理由．
【解析】
(1)证明：在三棱台
ABC
­
DEF
中,AC
∥
DF
,
AC
⊂平面
ACE
,
D F
⊄平面
ACE
,∴
DF
∥平面
ACE
.
又∵
DF
⊂平面
DEF
,平面
ACE
∩平面
DE F
＝
a
,
∴
DF
∥
a
.
1< br>(2)线段
BE
上存在点
G
,且
BG
＝
BE
时,使得平面
DFG
⊥平面
CDE
.
3
证明如下：
取
CE
的中点
O
,连接
F O
并延长交
BE
于点
G
,交
CB
的延长线于点H
,
连接
GD
,

∵
CF
＝
EF
,∴
GF
⊥
CE
.
在三棱台
ABC
­
DEF
中,
AB
⊥
BC
⇒
DE
⊥
EF
.
由
CF
⊥平面
DEF
⇒
CF
⊥
DE
.
又
CF
∩
EF
＝
F
,∴
DE
⊥平面
CBEF
,
∵
GF
⊂平面
CBEF
,∴
DE
⊥
GF
.
∵
CE
∩
DE
＝
E
,
CE
⊂平面
CDE
,
DE
⊂平面
CDE
,

∴
GF
⊥平面
CDE
.
又
GF
⊂平面< br>DFG
,∴平面
DFG
⊥平面
CDE
.
∵
O
为
CE
的中点,
EF
＝
CF
＝2
BC< br>,
由平面几何知识易证△
HOC
≌△
FOE
,
1
∴
HB
＝
BC
＝
EF
.
2< br>由△
HGB
∽△
FGE
,可知＝
BGHB
11
＝,即
BG
＝
BE
.
GEEF
23