小品搞笑剧本-一年级下册数学教案

直线、平面垂直的判定及其性质
[考纲要求] 1.以立体几何的定义、公理和定理 为出发点，认识和理解空间中
线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证 明一些
空间图形的垂直关系的简单命题．
[知识梳理]
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线
l
与平面
α
内 的__任意一条__直线都垂直，就说直线
l
与平面
α
互相垂直．
(2)判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言
判
定定
理

如果一条直线与一个平
面内 的__两条相交直线__都
垂直，则该直线与此平面垂直



⇒
l
⊥
α

__
a
，
b
⊂
α
__
__
a
∩
b
＝
O
__< br>__
l
⊥
a
__
__
l
⊥
b
__





性
质定
理

垂直于同一个平面的两
条直线__平行__



∥
b

__
a
⊥
α
__



⇒
a
__
b
⊥
α
__
< br>
2．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理和性质定理


判
定定
理

性
质定
理

文字语言

一个平面过另一个平面的一
条__垂线__，则这两个平面互相
垂直

两个平面互相垂直，则一个
平面内垂直于__交线__的直线与
另一个平面垂直

图形语言

符号语言


β
⊥
__
l
⊂
β
__



⇒
α

__
l
⊥
α
__

错误!⇒
l
⊥
α

[自我检测]
题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l
与平面
α
内的无数条直线都垂直，则
l
⊥
α
.( × )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × )
(3)直线
a< br>⊥
α
，
b
⊥
α
，则
a
∥
b
.( √ )
(4)若
α
⊥
β
，
a
⊥< br>β
，则
a
∥
α
.( × )
(5)若直线
a
⊥平面
α
，直线
b
∥
α
，则直线
a与
b
垂直．( √ )
(6)若平面
α
内的一条直线垂直于平 面
β
内的无数条直线，则
α
⊥
β
.( × )
题组二 教材改编
2．下列命题中错误的是( )
A．如果平面
α⊥平面
β
，那么平面
α
内一定存在直线平行于平面
β

B．如果平面
α
不垂直于平面
β
，那么平面
α
内一 定不存在直线垂直于平面
β

C．如果平面
α
⊥平面
γ，平面
β
⊥平面
γ
，
α
∩
β
＝
l
，那么
l
⊥平面
γ

D．如果平面
α
⊥平面
β
，那么平面
α
内所有直线都垂直于平面
β

答案 D
解析 对于D，若平面
α
⊥平面
β
，则平面α
内的直线可能不垂直于平面
β
，即与平面
β
的
关系还 可以是斜交、平行或在平面
β
内，其他选项均是正确的．
3．在三棱锥
P< br>－
ABC
中，点
P
在平面
ABC
中的射影为点
O
.
(1)若
PA
＝
PB
＝
PC
，则 点
O
是△
ABC
的________心；
(2)若
PA< br>⊥
PB
，
PB
⊥
PC
，
PC
⊥PA
，则点
O
是△
ABC
的________心．
答案 (1)外 (2)垂
解析 (1)如图1，连接
OA
，
OB
，
OC
，
OP
，
在Rt△
POA
，Rt △
POB
和Rt△
POC
中，
PA
＝
PC
＝
PB
，
所以
OA
＝
OB
＝
OC
，即
O
为△
ABC
的外心．
(2)如图2，延长
AO< br>，
BO
，
CO
分别交
BC
，
AC
，
AB
于
H
，
D
，
G
.

∵
PC
⊥
PA
，
PB
⊥
PC
，
PA
∩
PB
＝
P
，
∴
PC
⊥平面
PAB
，又
AB
⊂平面
PAB
，∴
PC
⊥
AB
，
∵
AB
⊥
PO
，
PO
∩
PC
＝
P
，
∴
AB
⊥平面
PGC
，又
CG
⊂平面
PGC
，
∴
AB
⊥
CG，即
CG
为△
ABC
边
AB
上的高．

同理可证
BD
，
AH
分别为△
ABC
边
AC
，
BC
上的高，
即
O
为△
ABC
的垂心．
题组三 易错自纠
4 ．(2017·湖南六校联考)已知
m
和
n
是两条不同的直线，
α< br>和
β
是两个不重合的平面，下
列给出的条件中一定能推出
m
⊥
β
的是( )
A．
α
⊥
β
且
m
⊂
α

C．
m
∥
n
且
n
⊥
β

答案 C
解析 由线面垂直的判定定理，可知C正确．
5.如图所示，在正方体< br>ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，点
O
，
M
，
N
分别是线段
BD< br>，
DD
1
，
D
1
C
1
的中点，则< br>直线
OM
与
AC
，
MN
的位置关系是( )
B．
α
⊥
β
且
m
∥
α

D．
m
⊥
n
且
α
∥
β


A．与
AC
，
MN
均垂直
B．与
AC
垂直，与
MN
不垂直
C．与
AC
不垂直，与
MN
垂直
D．与
AC
，
MN
均不垂直
答案 A
解析 因 为
DD
1
⊥平面
ABCD
，所以
AC
⊥
D D
1
，
又因为
AC
⊥
BD
，
DD
1
∩
BD
＝
D
，所以
AC
⊥平面
BDD
1
B
1
，
因为
OM
⊂平面
BDD
1
B
1
，所以
OM
⊥
AC
.
设正方体的棱长为2，则
OM
＝1＋2＝3，
MN
＝1＋1＝2，
ON
＝1＋4＝5，
所以
OM
＋
MN
＝
ON
，所以
OM
⊥
MN
.故选 A.
6.如图所示，
AB
是半圆
O
的直径，
VA
垂直于半圆
O
所在的平面，点
C
是
圆周上不同于
A
，
B
的任意一点，
M
，
N
分别为
VA
，< br>VC
的中点，则下列结论
正确的是( )
A．
MN
∥
AB

B．平面
VAC
⊥平面
VBC

C．
MN
与
BC
所成的角为45°
D．
OC
⊥平面
VAC


222

答案 B
解析 由题意得
BC
⊥
A C
，因为
VA
⊥平面
ABC
，
BC
⊂平面
ABC
，所以
VA
⊥
BC
.因为
AC
∩
V A
＝
A
，
所以
BC
⊥平面
VAC
.因为< br>BC
⊂平面
VBC
，所以平面
VAC
⊥平面
VBC< br>.故选B.
【考点突破】
考点一、线面垂直的判定与性质
【例1】如图， 在四棱锥
P
－
ABCD
中，
PA
⊥底面
ABCD< br>，
AB
⊥
AD
，
AC
⊥
CD
，∠< br>ABC
＝60°，
PA
＝
AB
＝
BC
，E
是
PC
的中点.证明：
(1)
CD
⊥
AE
；
(2)
PD
⊥平面
ABE
.

[解析] (1)在四棱锥
P
－
ABCD
中，
∵
PA
⊥底面
ABCD
，
CD
⊂平面
ABCD
，∴
PA
⊥
CD
，
又∵
AC
⊥
CD
，且
PA∩
AC
＝
A
，
∴
CD
⊥平面
PAC
.而
AE
⊂平面
PAC
，∴
CD
⊥
AE< br>.
(2)由
PA
＝
AB
＝
BC
，∠
ABC
＝60°，可得
AC
＝
PA
.
∵
E是
PC
的中点，∴
AE
⊥
PC
.
由(1)知
AE
⊥
CD
，且
PC
∩
CD
＝
C
，
∴
AE
⊥平面
PCD
.而
PD
⊂平面
PCD
，∴
AE
⊥
PD
.
∵
PA
⊥底面
ABCD
，
AB
⊂平面
ABCD
，∴
PA
⊥
AB
.
又∵
AB
⊥
AD
，且
PA
∩
AD
＝
A
，
∴
AB
⊥平面
PAD
，而
PD
⊂平面
PAD
，∴
AB
⊥
PD
.
又∵
AB
∩
AE
＝
A
，∴PD
⊥平面
ABE
.
【类题通法】
1．证明直线和平面垂直的常用方法有：
(1)判定定理；
(2)垂直于平面的传 递性(
a
∥
b
，
a
⊥
α
⇒
b⊥
α
)；
(3)面面平行的性质(
a
⊥
α
，
α
∥
β
⇒
a
⊥
β
)；
(4)面面垂直的性质．

2．证明线面垂直的核心是证线线垂直， 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因
此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本 思想．
【对点训练】
如图，在三棱锥
A
­
BCD
中，< br>AB
⊥平面
BCD
，
CD
⊥
BD
.
(1)求证：
CD
⊥平面
ABD
；
(2)若
AB
＝
BD
＝
CD
＝1，
M
为
AD
中 点，求三棱锥
A
­
MBC
的体积．

[解析] (1) 因为
AB
⊥平面
BCD
，
CD
⊂平面
BCD
，
所以
AB
⊥
CD
.
又因为
CD
⊥
BD
，
AB
∩
BD
＝
B
，
AB
⊂平面
ABD
，
BD
⊂平面
ABD
，
所以
CD
⊥平面
ABD
.
(2)由
AB
⊥平面
BCD
，得
AB
⊥
BD
.
1
2< br>1
又
AB
＝
BD
＝1，所以
S
△
A BD
＝×1＝.
22
11
因为
M
是
AD
的中点，所以
S
△
ABM
＝
S
△
ABD
＝ .
24
根据(1)知，
CD
⊥平面
ABD
，
则 三棱锥
C
­
ABM
的高
h
＝
CD
＝1，
11
故
V
A
­
MBC
＝
V
C­
ABM
＝
S
△
ABM
·
h
＝.
312
考点二、面面垂直的判定与性质
【例2】如图，四边形
ABCD为菱形，
G
为
AC
与
BD
的交点，
BE
⊥平面
ABCD
.
(1)证明：平面
AEC
⊥平面
BED
；
6
(2 )若∠
ABC
＝120°，
AE
⊥
EC
，三棱锥
E
­
ACD
的体积为
3
，求该三棱锥的侧面积．

[解析] (1)因为四边形
ABCD
为菱形，所以
AC
⊥
BD
. < br>因为
BE
⊥平面
ABCD
，所以
AC
⊥
BE
.

故
AC
⊥平面
BED
.
又
AC
⊂平面
AEC
，
所以平面
AEC
⊥平面
BED
.
(2)设
AB
＝
x
，在菱形
ABCD
中，
由∠
ABC
＝120°，可得
AG
＝
GC
＝
因为
AE
⊥
EC
，
所以在Rt△
AEC
中，可得EG
＝
3
x
.
2
3
x
x
，
GB
＝
GD
＝. < br>22
由
BE
⊥平面
ABCD
，知△
EBG
为 直角三角形，
可得
BE
＝
2
x
.
2
由已知得，三棱锥
E
­
ACD
的体积
V
三棱锥
E
­
ACD
＝×·
AC
·
GD
·
BE
＝
故
x
＝2.
从而可得
AE
＝
EC
＝
ED
＝6.
11
32
6
3
6
x
＝，
243
所以△
EAC
的面积为3，△
EAD
的面积与△
ECD
的面 积均为5.
故三棱锥
E
­
ACD
的侧面积为3＋25.
【类题通法】
1．面面垂直的证明的两种思路：
(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；
(2)用 面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的
问题转化为证明平面角为 直角的问题．
2．垂直问题的转化关系：

【对点训练】
如图，在四棱 锥
P
－
ABCD
中，
AB
∥
CD
，且∠< br>BAP
＝∠
CDP
＝90°.
(1)证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
8
(2 )若
PA
＝
PD
＝
AB
＝
DC
，∠
APD
＝90°，且四棱锥
P
－
ABCD
的体积为，求该四棱锥的 侧
3

面积.

[解析] (1)由已知∠BAP
＝∠
CDP
＝90°，得
AB
⊥
PA
，
CD
⊥
PD
.
由于
AB
∥
CD
，故
AB
⊥
PD
.
又
PA
∩
PD
＝
P
，
PA
，
PD
⊂平面
PAD
，从而
AB
⊥平面
PAD
.
又
AB
⊂平面
PA B
，所以平面
PAB
⊥平面
PAD
.

(2)如 图，在平面
PAD
内作
PE
⊥
AD
，垂足为
E.
由(1)知，
AB
⊥平面
PAD
，故
AB
⊥
PE
，又
AB
∩
AD
＝
A
，可得
PE
⊥平面
ABCD
.
设
AB
＝
x
， 则由已知可得
AD
＝2
x
，
PE
＝
2
x< br>，
2
11
3
故四棱锥
P
－
ABCD
的体积
V
P
－
ABCD
＝
AB
·
AD< br>·
PE
＝
x
.
33
1
3
8
由题设得
x
＝，故
x
＝2.
33
从而结合已知可得PA
＝
PD
＝
AB
＝
DC
＝2，
AD
＝
BC
＝22，
PB
＝
PC
＝22，
可得四棱锥
P
－
ABCD
的侧面积为
1111
P A
·
PD
＋
PA
·
AB
＋
PD
·
DC
＋
BC
2
sin 60°＝6＋23.
2222
【作业】
全品作业本