立体几何证明的向量公式和定理证明
韩国的风土人情-实习周记20篇
附表2
立体几何证明的向量公式和定理证明
线线平行
平
行
的
证
明
(1)向量法
(2)线面平行性质定理
(线面平行
线线平行)
(3)面面平行性质定理
(4)线面垂直性质定理
线面平行
(1)向量法
(2)线面平行判定定理
(线线平行
线面平行)
(3)面面平行
线面平行
面面平行
(1)向量法
(2)面面平行判定定理
(线面平行
面面平行)
(3)面面平行判定定理推论
线线垂直
垂
直
的
证
明
(1)向量法
(2)线面垂直
线线垂直
(3)三垂线定理
(4)三垂线逆定理
线面垂直
(1)向量法
(2)线面垂直判定定理
(线线垂直
线面垂直)
(3)面面垂直性质定理
(面面垂直
线面垂直)
面面垂直
(1)向量法
(2)面面垂直判定定理
(线面垂直
面面垂直)
两异面直线所成角(0,
】
2
线面角【0,
】
2
二面角【0,
】
角
度
的
计
算
(1)向量法
(2)直接法:平行移动一条或两
条直线,直到他们相交。这时所
成的角(或其补角)为所求
角。
技巧:多找中点,中位线,平
行四边形等,或实行拓展补图等。
(1)向量法 (1)向量法
(2)定义法:直接找到斜
垂线法(定义法)
线和射影所成角。
2找平面角
<
br>三垂线法(斜线射影)
(3)
sin
h
l
垂面法(平行于公共棱的面)
(4)三角余弦定理:
cos<
br>
cos
1
cos
2
(3)射影面积法
距
离
点面距离
线面距离
面面距离
两异面直线间的距离
的
计
算
(1)向量法:
1、转化为平面的平行线上
(2)转化法
另外一点到平面的距离
2、转化到平面另外一侧的点来
求,
这两点的线段的中点是与平面的交点
(1)向量法
(2)定义法:找出异面直线的公垂线段。
(3)转化法:转化为线面距离或面面距
离来求。
(3)等体积法:
(四)利用向量方法证明和计算的原理(
非常重要
)
证明 分类 示意图
所需条件
(1)直线m方向向量
m
;
证明原理
线线
平行
平
行
的
证
明
m
n
m
∥
n
m
∥n
(2)直线n方向向量
n
线面
平行
(1)直线m方向向量
m
;
(2)平面
的法向量
n
mn0
mn
直线
m
∥平面
m
n
面面
平行
(1)平面
的法向量
m
m
∥
n
(2)平面
的法向量
n
平面
∥平面
(1)直线m方向向量
m
;
线线
垂直
垂
直
的
证
明
mn0
mn
m
⊥
n
(2)直线n方向向量
n
(1)直线m方向向量
m
;
(2)平面
的法向量
n
线面
垂直
m
n
m
∥
n
直线
m
⊥平面
(1)直线m方向向量
m
;
m
AB
=0
m
⊥AB
(2)平面
内两相交直线
的方向向量
AB
,
CD
m
CD
=0
m
⊥CD
m
⊥
AB,CD
且AB
CD=P
mn0
面面
垂直
计算 分类
两异
面直
线所
成角
示意图 所需条件 证明原理
mn
mn
(1)平面
的法向量
m
mn
(2)平面
的法向量
n
平面
⊥平面
cos
cosm,n
(1)直线m方向向量
m
(2)直线n方向向量
n
简化:
cos
(0,】
2
mn
mn
(1)直线OA的方向向量
线面角
角
的
计
算
sin
cosOA,n
OAn
OAn
【0,】
2
θ
OA
;
(2)平面
的法向量
n
简化:sin
=
OAn
OAn
同进同出为互补
二面角
【0,
】
(1)平面
的法向量
n
cosm,n
mn
mn
(2)平面
的法向量
m
(1二面角平面角是锐角余弦就取正值
(2二面角平面角是钝角余弦就取负值
一进一出为相等
(1)直线a和直线b的公
距
离
的
计
算
垂线的方向向量
n
;
两异面直线间的距离
(2)a上任意一点A,b
d
上任意一点B,构成向量
|ABn|
|n|
AB
点面距离
点
面
距
离
(1)点A和平面
内任
意一点B构成一个向量
AB
;
点A到平面
的距离
(2)平面
的法向量
n
d
线面距离
转化为
点面距离
|ABn|
|n|
面面距离
转化为
点面距离
高考数学专题——立体几何
综合近几年的高考题可知,本章高考命题的形式比较稳定,难易适
中。主要考线线、线面及面
面的平行与垂直,三垂线定理及逆定理的应用,以及空间角和距离的计算。从
解答题来看,一般
遵循先证明后计算的原则,即融推理于计算之中,突出模型法,平移法等数学方法。注
重考查转化
与化归的思想。(即立体几何平面化:面面问题
线面问题
线线问题;几何问题代数化)
一、基本定理梳理
平行的证明
定义
线面平行
一条直线与一个平面没有公共
点,叫做直线与平面平行。
如果不在平面内的一条直线和平面
内的一条直线平行,那么这条直线和
这个平面平行。
面面平行
如果两个平面没有公共点,那么这两个平面互相平
行,也叫做平行平面。
如果一个平面内有
两条相交直线分别平行
于另外一个平面,那么这
两个平面平行。 <
br>推论:如果一个平面内有两
条相交直线分别平行于另
外一个平面内的两条直线,
那么这两个平面平行。
文字
语言
判
定
定
理
图
形
语
言
符
号
语
言
a
b
a
ab
如果一条直线和一
个平面平行,
经过这条直线的平面和这个平面相
交,那么这条直线和交线平行。
a
,ba
a
,ba
a
bP
a
bP
<
br>''
aa,bb
a
,b
a
'
,b
'
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么他
们的交线平行。
性
质
定
文字
语言
理
图
形
语
言
符
号
语
言
a
ab
b
a
a
ab
b
其他
重要
结论
如果两个平面平行,则其中一
个平面内的任意一条直线平行于另
外一个平面。
a
a
垂直的证明 线面垂直
如果一条直线和一个平面相交,
面面垂直
其他重要结论
相交成直二面角的两个
平面叫做相互垂直的平面。
如果一个平面过另一个
平面的一条垂线,那么这两个
平面互相垂直。
如果一条直线和一个平
面垂直,那么这条直线垂直于
这个平面内的任意一条直线。
定义
并且和这个平面内的任意一条直线
都垂直,我们就说这条直线和这个平
面互相垂直。
文字
语言
如果一条直线和一个平面
内的两条相交直线都垂直,那么
这条直线垂直于这个平面。
判
定
定
理
图形
语言
符号
语言
a
,b
a
bP
c
ca,cb
a
a
b
ab
a
性
质
定
理
文字
语言
如果两个平面互相垂直,
如果两条平行线中的一
如果两
条直线同垂直于一那么在一个平面内垂直于他
条垂直于一个平面,那么另一
个平面,那么这两条
直线平行。 们交线的直线垂直于另外一
条也垂直于这个平面。
个平面。
图形
语言
符号
语言
a
ab
b
三垂线定理
,a
a
b,ab
ab
b
a
三垂线逆定理
在平面内的一条直线,如果它和这个
平面内的
一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的
射影垂直。
文字语言
在平面内的一条直线,如果它和这个平
面内的一条斜线的射影垂直,那么它也和这
条斜线垂直。
图形语言
符号语言
PO
,PO
O
aPA
A
,a
,aOA
PO
,PO
O
aOA
A
,a
,aPA