唯物史观-志愿者心得体会

空间中的平行与垂直关系
一、知识梳理
1、 平行关系
（1）直线与平面平行的判定
定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。
判定定理：若
l

，
a

，
l
∥
a
，则
l
∥

。
（2）直线与平面的平行性质定理：
判定定理：若
l
∥

，
l

，



a
，则
l< br>∥
a
。
（3）平面与平面的平行的判定
定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
判定定理1：若
a

, b

，
abP< br>，
a
∥

，
b
∥

，则

∥

；
判定定理2：若
l

, l

，则

∥

；
判定定理3：若

∥

，

∥

，则

∥

。
（4）平面与平面的平行性质定理：
性质定理1：若

∥< br>
，
a

，则
a
∥

；
性质定理2：若

∥

，且



a
，



b
，则a∥b；
性质定理3：若
∥

，且
l

，则
l

。
2、补充结论：
如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
3、线线平行的常用证明方法
（1）利用平面几何的结论，如三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行、利用比
例，等；
（2）利用公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；
（3）利用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理
4、垂直关系
（1）直线与平面垂直的判定
定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的所有直线垂直。
判定定理：若
m

, n

, mnP
，
lm, ln
，则
l

。
（2）直线与平面的垂直性质定理：
符号表示：若
l

，对任意 的
a

，都有
la
。
（3）平面与平面的垂直的判定
定义：两个平面所成的二面角为直角，那么这两个平面垂直。
判定定理：若
a

, a

，则
l

。

（4）平面与平面的垂直性质定理：
性质定理1：若



,



l, a

, al
，则
a

。
性质定理2：若



l,



,



，则
l

。
5、补充定理
（1）若
l

,

∥

，则
l

；
（2）若
l

, a
∥
l
，则
a

。
6、线线垂直的常用证明方法
（1）利用平面几何的知识，如相似、全等、勾股定理的逆定理；
（2）三垂线定理：已知< br>AO

，
PA

，
a

，若
AOa
，则
POa
；
逆定理：已知
AO

，
PA

，
a

，若
PO a
，则
AOa
。
（3）线面垂直定义。
二、立体几何计算和证明题的思想方法：
（1）口诀：由结论想判定，由条件想性质。 解释：当结论中有线面（或面面）平行（或垂直）的关系时，要考虑这种关系的判定定理是
什么；而 当条件中有这样的关系时，则考虑性质定理是什么。然后结合判定定理和性质定理，考
虑必要的话应该添 加什么样的辅助线或者辅助面。
（2）判定定理中的转化思想：面面关系

线面关系

线线关系。
三、经典例题
例1 已知

,

表示两个不同的平面，m 为平面

内的一条直线，则“



”是“
m< br>
”的
（ ）。
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例2（2009江西卷）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN
是正方形，则下列命题中，错误的是（ ）
A．
ACBD

B．
AC
∥
平面PQMN

C．
ACBD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

BC
1
上分别有两点E、例3如图，正方体
ABCDA1
B
1
C
1
D
1
中，侧面对角线
AB
1
、F，且
B
1
EC
1
F
。
求证：EF∥平面ABCD。








例4 已知三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的底面是正三角形，侧棱与底面垂直，点D是
A
1
C
1
的中点。
求证：
BC
1
∥
平面AB
1
D
。






例5 如图，已知直棱柱
A BCA
1
B
1
C
1
中，
B
1
C
1
AC
11
，
M、N分别是
A
1
B
1
、
AB
的中点。
求证：平面
AMC
1
∥平面
NB
1
C
。

例6 四边形ABCD为平行四边形，P为平面ABCD外一点，M、N、Q分别是PC、AB、CD的
中点。
求证：（1）平面
QMN
∥
平面PAD
；
（2）若过直线AB和MN的平面交PD于E，
则
MN
∥
AE
，且E为PD的中点。






例7 正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，AB = 2 ，F为棱
BB
1
上一点，
BF2FB
1
2
，D 为BC的中点，
E为线段AD上不同于A、D的任意一点。
求证：
EFFC
1
。






例8如图，已知直棱柱
ABCA
1
B
1C
1
中，
AC
1
B
，M、N分别是
A
11
B
1
C
1
，
AC
1
A
1
B
1

和
AB
的中点。
求证：
A
1
BB
1
C
。

例9（2011新课标）如图，四棱锥
PA BCD
中，底面ABCD为平行四边形，
DAB60
，
AB = 2AD，
PD
⊥底面ABCD。
（1）证明：
PABD
；
（2）设
PDAD1
，求棱锥
DPBC
的高。





例10四棱锥
PABCD
的底面ABCD是边长为1的菱形，
BCD60
，E是CD的中点，
PA底面ABCD
。
求证：
平面PBE平面PAB
。





例11如图，已知三棱锥
APBC
中，
APPC
，< br>ACBC
，M、D分别为AB和PB的中点，
且
PMB
是正三角形。
（1）求证：DM∥平面APC；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC。
（3）若BC = 4，AB = 20，求三棱锥
DBCM
的体积。

例12（2011广东理科卷）在椎体P- ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且
DAB60
，
PAPD2
，
PB2
，E、F分别是BC和PC的中点。
（1）证明：AD

平面DEF；
（2）求二面角P-AD- B的余弦值。









练习：
1、（2010湖南文科卷）如图所示，在长方体
ABCDA< br>1
B
1
C
1
D
1
中，
ABAD 1,AA
1
2
，M
是棱
CC
1
的中点。 （1）求异面直线
A
1
M
和
C
1
D
1
所成的角的正切值；
（2）证明：平面
ABM平面A
1
B
1
M
。

2、如图，在四棱锥
PABCD
中，底面ABCD是正方 形，侧棱
PD底面ABCD
，
PDDC
。
E是PC的中点，作
EFPB
交
PB
于点F。
（1）证明：
PA平面EDB
；
（2）证明：
PB平面EFD
。









3、（2010北京）如图，正方形ABCD和 四边形ACEF所在的平面互相垂直，
CEAC
，
EF∥AC，AB =
2
，CE = EF =1。
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求证：CF⊥平面BDE；
（3）求二面角
ABED
的大小。

4、（2011广东文科卷）

空间中的平行与垂直关系
一、知识梳理
1、 平行关系
（1）直线与平面平行的判定
定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。
判定定理：若
l
，
a

，
l
∥
a
，则
l
∥

。
（2）直线与平面的平行性质定理：
判定定理：若
l
∥

，
l

，


a
，则
l
∥
a
。
（3）平面与平面的平行的判定
定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
判定定理1：若
a

, b

，
abP< br>，
a
∥

，
b
∥

，则

∥

；
判定定理2：若
l

, l

，则

∥

；
判定定理3：若

∥

，

∥

，则

∥

。
（4）平面与平面的平行性质定理：
性质定理1：若

∥< br>
，
a

，则
a
∥

；
性质定理2：若

∥

，且



a
，



b
，则a∥b；
性质定理3：若
∥

，且
l

，则
l

。
2、补充结论：
如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
3、线线平行的常用证明方法
（1）利用平面几何的结论，如三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行、利用比
例，等；
（2）利用公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；
（3）利用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理
4、垂直关系
（1）直线与平面垂直的判定
定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的所有直线垂直。
判定定理：若
m

, n

, mnP
，
lm, ln
，则
l

。
（2）直线与平面的垂直性质定理：
符号表示：若
l

，对任意 的
a

，都有
la
。
（3）平面与平面的垂直的判定
定义：两个平面所成的二面角为直角，那么这两个平面垂直。
判定定理：若
a

, a

，则
l

。

（4）平面与平面的垂直性质定理：
性质定理1：若



,



l, a

, al
，则
a

。
性质定理2：若



l,



,



，则
l

。
5、补充定理
（1）若
l

,

∥

，则
l

；
（2）若
l

, a
∥
l
，则
a

。
6、线线垂直的常用证明方法
（1）利用平面几何的知识，如相似、全等、勾股定理的逆定理；
（2）三垂线定理：已知< br>AO

，
PA

，
a

，若
AOa
，则
POa
；
逆定理：已知
AO

，
PA

，
a

，若
PO a
，则
AOa
。
（3）线面垂直定义。
二、立体几何计算和证明题的思想方法：
（1）口诀：由结论想判定，由条件想性质。 解释：当结论中有线面（或面面）平行（或垂直）的关系时，要考虑这种关系的判定定理是
什么；而 当条件中有这样的关系时，则考虑性质定理是什么。然后结合判定定理和性质定理，考
虑必要的话应该添 加什么样的辅助线或者辅助面。
（2）判定定理中的转化思想：面面关系

线面关系

线线关系。
三、经典例题
例1 已知

,

表示两个不同的平面，m 为平面

内的一条直线，则“



”是“
m< br>
”的
（ ）。
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例2（2009江西卷）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN
是正方形，则下列命题中，错误的是（ ）
A．
ACBD

B．
AC
∥
平面PQMN

C．
ACBD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

BC
1
上分别有两点E、例3如图，正方体
ABCDA1
B
1
C
1
D
1
中，侧面对角线
AB
1
、F，且
B
1
EC
1
F
。
求证：EF∥平面ABCD。








例4 已知三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的底面是正三角形，侧棱与底面垂直，点D是
A
1
C
1
的中点。
求证：
BC
1
∥
平面AB
1
D
。






例5 如图，已知直棱柱
A BCA
1
B
1
C
1
中，
B
1
C
1
AC
11
，
M、N分别是
A
1
B
1
、
AB
的中点。
求证：平面
AMC
1
∥平面
NB
1
C
。

例6 四边形ABCD为平行四边形，P为平面ABCD外一点，M、N、Q分别是PC、AB、CD的
中点。
求证：（1）平面
QMN
∥
平面PAD
；
（2）若过直线AB和MN的平面交PD于E，
则
MN
∥
AE
，且E为PD的中点。






例7 正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，AB = 2 ，F为棱
BB
1
上一点，
BF2FB
1
2
，D 为BC的中点，
E为线段AD上不同于A、D的任意一点。
求证：
EFFC
1
。






例8如图，已知直棱柱
ABCA
1
B
1C
1
中，
AC
1
B
，M、N分别是
A
11
B
1
C
1
，
AC
1
A
1
B
1

和
AB
的中点。
求证：
A
1
BB
1
C
。

例9（2011新课标）如图，四棱锥
PA BCD
中，底面ABCD为平行四边形，
DAB60
，
AB = 2AD，
PD
⊥底面ABCD。
（1）证明：
PABD
；
（2）设
PDAD1
，求棱锥
DPBC
的高。





例10四棱锥
PABCD
的底面ABCD是边长为1的菱形，
BCD60
，E是CD的中点，
PA底面ABCD
。
求证：
平面PBE平面PAB
。





例11如图，已知三棱锥
APBC
中，
APPC
，< br>ACBC
，M、D分别为AB和PB的中点，
且
PMB
是正三角形。
（1）求证：DM∥平面APC；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC。
（3）若BC = 4，AB = 20，求三棱锥
DBCM
的体积。

例12（2011广东理科卷）在椎体P- ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且
DAB60
，
PAPD2
，
PB2
，E、F分别是BC和PC的中点。
（1）证明：AD

平面DEF；
（2）求二面角P-AD- B的余弦值。









练习：
1、（2010湖南文科卷）如图所示，在长方体
ABCDA< br>1
B
1
C
1
D
1
中，
ABAD 1,AA
1
2
，M
是棱
CC
1
的中点。 （1）求异面直线
A
1
M
和
C
1
D
1
所成的角的正切值；
（2）证明：平面
ABM平面A
1
B
1
M
。

2、如图，在四棱锥
PABCD
中，底面ABCD是正方 形，侧棱
PD底面ABCD
，
PDDC
。
E是PC的中点，作
EFPB
交
PB
于点F。
（1）证明：
PA平面EDB
；
（2）证明：
PB平面EFD
。









3、（2010北京）如图，正方形ABCD和 四边形ACEF所在的平面互相垂直，
CEAC
，
EF∥AC，AB =
2
，CE = EF =1。
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求证：CF⊥平面BDE；
（3）求二面角
ABED
的大小。

4、（2011广东文科卷）