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第五讲 定义新运算
小朋友们，我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.
如：2＋3＝5 2×3＝6
都是2和3，为什么运算结果不同呢？ 主要是运算方式不同，实际是对应法则
不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对 应法则不同就
是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一
个 唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.
在这一讲中，我们定义了一 些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，
“－”，“×”，“÷”运算不相同.
定义新运 算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运
算，定义新运算就打破了运算规则，要求我 们要严格按照题目的规定做题．新
定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表 示特定
的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义
的式子代入 数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一、定义新运算
概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本运算。
基本思路：严格按照 新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的
运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
二、定义新运算分类
模块一、直接运算型
【例 1】
若
A*B
表示

A3B



AB

，求
5*7
的值。



练习：1、定义新运算为
a
△
b
＝（
a
＋1）÷
b
，求的值。6△（3△4）


2、设
a△
baa2b
，那么，5△
6
______，(5△2) △
3
_____.
1 7

3、已知
a
,
b
是任意自然数,我们规定:
a
⊕
b
=
a
+
b
-1,
abab2
,那么
4

(68)(35)


.



4、
MN
表示
(MN)2,( 20082010)2009
____




5、 规定运算“☆”为：若
a
>
b
，则
a
☆
b
=
a
＋
b
；若
a
=
b
，则
a☆
b
=
a
－
b
＋1；若
a
<
b
，则
a
☆
b
=
a
×
b
。那么， （2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）= 。



6、“ △”是一种新运算，规定：
a
△
b
＝
a
×
c
＋
b
×
d
(其中
c
，
d
为常数)， < br>如5△7＝5×
c
＋7×
d
。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△ 1
OOO
的计算结果
是_____。



【例 2】
对于任意的整数
x
与
y
定义新运算“△”：
xy=
6xy
,求2△9。
x2y



练习：“*”表示一种运算符号，它的含义是：
xy


【例 3】
我们规定：符号

表示选择两数中较大数的运算，例如：
11

，已知
xy

x1

yA

21
112

，求
19981999
。
21

21

1A

3
2 7

5

3=3

5=5，符号△表示选择两数中较小数 的运算，例如：
1523
)(0.625)
2335
的结果是多少？ 5△3=3△5=3，计算：
•
3411
(0.3)(2.25)
99 6
(0.6
•



练习：1、规定：符号“&”为选择 两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中
较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）]




2、我们规定：
A○
B
表示
A
、
B
中较大的数，
A
△< br>B
表示
A
、
B
中较小的数。
则




【例 4】
“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“24 40”、
10△86△5



11○13+15△20

=

“4199”和“3088” ，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果
这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数 位的数码改变为关于9的
补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________ .


【例 5】
羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们 规定一种运算，
用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以
上运算 的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是
狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希 望羊能战胜狼.所以我们规
定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起
还是狼，但由于羊能战胜狼， 当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只
剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运 算
的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式
的结果：羊△(狼☆羊 )☆羊△(狼△狼)

练习：一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能
看懂吗
3 7

规定：警察
那么：（猎人


小偷

警察，警察
小兔）（山羊
小偷

小偷．
白菜）

．
模块二、反解未知数型
【例 6】
如果
a
△
b
表示
(a2)b,例如3△4
(32)44
,那么,当
a
△5=30时,
a
= .



练习：1、规定新运算※ :
a
※
b
=3
a
-2
b
.若
x< br>※(4※1)=7,则
x
= .


2、如果
a
⊙
b
表示
3a2b
,例如4⊙5=3×4-2 ×5=2,那么,
当
x
⊙5比5⊙
x
大5时,
x
=



3、对于数
a< br>、
b
、
c
、
d
，规定，<
a
、
b
、
c
、
d
>＝2
ab
－
c
＋
d
，
已知< 1、3、5、
x
>＝7，求
x
的值。



【例 7】
已知
x
、
y
满足
x[y]200 9
，
{y}y20.09
；其中
[x]
表示不大于
x< br>的最
大整数，
{x}
表示
x
的小数部分，即
{x}x[x]
，那么
x
。



练习：如有
a
#
b
新运算，
a
#
b
表示
a
、
b
中较大的数除以较小数后的余 数.例
如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#
x< br>））=5，则
x
可以是
________（
x
小于50）
【例 8】
规定：
A
○
B
表示
A
、B
中较大的数，
A
△
B
表示
A
、
B< br>中较小的数．若
（
A
○5＋
B
△3）×（
B
○5+
A
△3）＝96，且
A
、
B
均为大于0的自然
4 7

数，
A
×
B
的所有取值为 ．（8
级）



模块三、观察规律型
【例 9】
如果 1※2＝1＋11


2※3＝2＋22＋222
3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
计算 （3※2）×5。


练习：规定:6※2=6+66=72
2※3=2+22+222=246,
1※4=1+11+111+1111=1234.
计算7※5=

【例 10】
有一个数学运算符号

，使下列算式成立：

2 48
，
5313
，
3511
，
9725< br>，求
73?


练习：规定
a
△
b
a(a2)(a1)b
,
计算：（2△1）
L
（11△10）

______.



模块四、综合型题目
【例 11】
已知：10△3=14， 8△7=2，
31
△
1
，根据这几个算式找规律，如
44
果 △
x
=1，那么
x
= .

【例 12】
如果
a
、
b
、
c
是3个整 数，则它们满足加法交换律和结合律，即
5
8
⑴
abba
； ⑵
(ab)ca(bc)
。
5 7

现在规定一种运算，它对于整数
a
、
b
、
c
、
d
满足：
(a,b)*(c,d)(acbd,acbd)
。
例：
( 4,3)*(7,5)(4735,4735)(43,13)

请你举例说明，运算是否满足交换律、结合律。



【例 13】
在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支
圆圈中的，再读 与它相连的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相
连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每一 个圆圈中的数据
(或运算)都是按中→左→右的顺序。如：图
A
表示：2+3， B
表示
2+3×2－1。图
C
中表示的式子的运算结果是_______ _ 。



【例 14】
64222
22 2
表示成
f

64

6
;
2433 3333
表示成
g

243

5
.
试求下列的值:
(1)
f

128



(2)
f(16)g()

(3)
f()g(27)6
;
(4)如果
x
, y
分别表示若干个2的数的乘积,试证明:
f(xy)f(x)f(y)
.



【例 15】
对于任意有理数
x
, y
,定义一种运算“※”，规定:
x
※
y
=
axby cxy
,
其中的
a,b,c
表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算 .又知道
1※2=3,2※3=4,
x
※
m
=
x
(
m
≠0),则
m
的数值是 _________。

【例 16】
对于任意的两个自然数
a
和
b
，规定新运算

：
a

b
a(a1)(a2)L(ab1)
，其中
a
、
b
表示自然数.⑴求
6 7

1
100的值；⑵已知
x

10

75，求
x
为多少？⑶如果（
x
3）

2

121，那么< br>x
等于几？



【例 17】
设
a
,
b
是两个非零的数,定义
a
※
b

ab

.
ba
(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).
(2 )如果已知
a
是一个自然数,且
a
※3=2,试求出
a
的值 .




【例 18】
国际统一书号
I SBN
由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别
用来表示区域、出版社和书名，最后一 个数字则作为核检之用。核检
码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：某书的书号是
I SBN

7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是：
①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝
207；
②207÷11＝18……9；
③11－9＝2。这里的2就是该书号的核检码。
依照上面的顺序，求书号
ISBN
-7-303-07618-□的核检码。




7 7