因为 a⊥α，
所以 a⊥m，a⊥n．（线面垂直的定义）
又因为 a∥b，
所以 b⊥m，b⊥n．（一条直线垂直于平行线中的一条也就垂直于另一条
）
故 b⊥α．（线面垂直的判定定理1）
三、直线和平面垂直的性质定理
师：现在我们来研究直 线和平面垂直的性质定理，先来看模型．（这时教
师用两根小棍都垂直于桌面，让学生观察、回答）Zzz6ZB2LZzz6ZB2L
生：这两直线平行．
师：这就是直线和平面垂直的性质定理．
直线和平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两
条直线平行．

已知：a⊥平面α，（如图4）b⊥平面α，
求证：a∥b．
师：我们讲过了线面 垂直的判定定理1、2．也曾经在讲线面垂直的定义时
，把课本中的两句话（第24页）升格为两个定理 ，即：
dvzfvkwMdvzfvkwM
定理 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．
定理 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．
现在可以根据上述定理来证明线面垂直的性质定理：
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生：可用反证法，假设b

a，设b∩α＝O，过O点作b′∥a，因 为a⊥α，所以b′⊥α（判定定理2），所以过点
O有两条直线b，b′都与平面α垂直，与垂线的唯 一性矛盾，所以b

a不能成立，所以b∥a．
rqyn14ZNrqyn14ZN
师：用反证法证明可以，也可以用同一法，即在证明的开始不做假设b

a，证完b′ ⊥α后，根据垂线的唯一性b′应与b重合，所以b∥a．当然，对反证法
和同一法，我们主要要掌握反 证法，对同一法只要求有所了解．
EmxvxOtOEmxvxOtO
四、两个定义
1．点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间
的距离叫做这个点到这个平面的距离．
（教 师可先用一根小棍垂直于桌面演示，然后给点到平面的距离下定义，
下完定义后可指出，点到平面的距离 可转化为两点间的距离，即这个点和垂足
之间的距离）
SixE2yXPSixE2yXP
2．平行的直线和平面的距离 一条直线和一个平面平行，这条直线上任
意一点到平面的距离 ，叫做这条直线和平面的距离．
6ewMyirQ6ewMyirQ
（教师可先用一根小棍和 平面平行，演示让学生观察，如何给平行的直线
和平面的距离下定义，定义给出后，教师可指出平行的直 线和平面的距离可能
转化为点到平面的距离，当然也就可转化为两点间的距离）
kavU42V RkavU42VR
师：在这定义中，是这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平
面的距离，那会不会因在直线上所取的点不同，而使距离不同呢？
y6v3ALoSy6v3AL
oS
生：不会，它们之间的距离都相等．
师：对，但为了在理论上说明这个定义的合理性，我们来看下面这个例题
．
例 已知：l∥平面α，A∈l，B∈l，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′．（如图5）
求证：AA′＝BB′．
生：因为AA′⊥α，BB′⊥α，所以AA′∥BB′（性质定理 ），所以过AA′，BB′作平
面β，设β∩α＝A′B′，因为l∥α，所以l∥A′B′，故AA′ ＝BB′．（平行线间的距离处
处相等）
M2ub6vSTM2ub6vST
5 12

师：通过这个例题的证明，我们就了解了定义的合理性．可以在直线上 任
意取点．这对于以后我们求平行的直线和平面的距离，提供了很好的思路．
0Yuj
CfmU0YujCfmU
今天我们讲了直线和平面垂直的第2个判定定理，讲了直线和平面垂直的性
质定理，在这个基础上还讲了点到平面的距离、平行的直线和平面的距离两个
定义．
e Uts8ZQVeUts8ZQV
作业
课本第32页习题四第3，5，8题．
补充题
1．已知：平面α∩平面β＝直线l．A∈α，AB⊥β于B，BC⊥α于C．
求证：AC⊥l．
［提示：证明直线l⊥平面ABC］
2．已知：AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A和B的点，PA⊥⊙O所在的平面
．
求证：BC⊥PC．
［提示：证明BC⊥平面PAC］
3．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，PB⊥平面ABC，BD⊥PC于D．
求证：（1）AC⊥BD；（2）BD⊥PA．
［提示：（1）证明AB⊥平面PBC：（2）证明BD⊥平面PAC］
课堂教学设计说明
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1．立体几何第一章直线和平面主要研究的是空间两条直线、空间 直线和平
面、空间两个平面的位置关系，其中以直线与直线的垂直、直线与平面的垂直
、平面与 平面垂直为重点．而直线与平面的垂直是其中的最重要的一个环节，
它是三垂线定理及其逆定理、两平面 垂直的判定和性质的基础．所以对直线与
平面垂直的定义与判定定理一定要让学生深刻理解、牢固记忆、 灵活应用．
sQs
AEJkWsQsAEJkW
2．直线与平面垂直的定义，既是直 线与平面垂直的最基本的判定方法，别
的判定定理都是根据定义和有关定理经过演绎推理而得，在这个意 义上，我们
说直线与平面垂直的定义是最基本的判定方法；直线与平面垂直的定义又是直
线与平 面垂直最基本的性质．别的性质定理是根据定义和有关定理经过演绎推
理而得，在这个意义上，我们说直 线与平面垂直的定义是直线与平面最基本的
性质．
GMsIasNXGMsIasNX
为了使学生理解直线与平面垂直的定义这两种用法，以平面几何中的平行
四边形的定义为例．平行四边 形的定义既是平行四边形的最基本的判定方法，
也是平行四边形的最基本的性质．别的判定定理和性质定 理都是根据定义和有
关定理经过演绎推理而得．
TIrRGchYTIrRGchY
在这里一定要让学生深刻的理解并掌握应用直线与平面垂直的定义是证明
两直线垂直最常用的方法． < br>3．在课本第24页给直线与平面垂直下定义后的这两句话：“过一点有且只
有一条直线和一个平 面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．”是两
个定理．关于垂线的唯一性和垂面的唯一性的 这两个定理是可以证明的．关于
这两个定理的证明可以参看1989年出版的《立体几何全一册（甲种本 ）教学参
考书》第47页第11题（1）、（2）．要让学生了解这两个定理，并会应用这两
个 定理，在证明直线和平面垂直的性质定理时，用到垂线的唯一性，以后在证
课本第38页习题五第4题时 还要用到垂线的唯一性和垂面的唯一性．
7EqZcWLZ7EqZ
cWLZ
为什么 课本在这里只是提出两个唯一性没有明确是两个定理也没有证明呢
？这是课本的编者为了降低学习立体几 何的难度而这样处理的．但我以为还是
明确垂线的唯一性、垂面的唯一性是两个定理，但可以不予证明而 直接应用为
好．
lzq7IGf0lzq7IGf0
4．前面我们提出了“视觉语言 ”这个概念，既然作为一种“语言”它应该而且
必须与思维过程相一致．所以这里我们又提出“起始图” （根据题中的条件而出
现的“视觉语言”）和“终止图”（解完题后，或思维过程完结时出现的“视觉语 言
”）这两个概念．
zvpgeqJ1zvpgeqJ1
前面我们也提到过为了使“ 视觉语言”达到最佳的视觉效果，必须注意视角
的选择，我们认为视角的选择要以终止图有最佳的视觉效 果为标准，这样有时
会出现起始图视觉效果较好而终止图视觉效果并不好；或者起始图视觉并不太
好而终止图视觉效果较好这样不一致情况，所以这样就要求教立体几何的教师
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